1、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M
叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，
O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）。点列P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△
ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关
于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对
称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是
（1，1），则点P2017的坐标为。
解：P2的坐标是（1，-1），P2017的坐标是（1，-1）。
理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，-1），P3（-1，3），P4（1，-3），P5（1，3），P6（-1，-1），又回到原来P1的坐标，P7（-1，-1）；由此可知，每6个点为一个周期，作一次循环，2017÷6＝336…1，循环了336次后又回到了原来P1的坐标，故P2017的坐标与P1的坐标一样为（1，1）。
点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键．
2、如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且DE=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF。试证明：AB=DB+AF。
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB、DB、AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由。
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间数量关系，不必说明理由。
证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF。
类比探究
（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°
得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+
∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB。
即AB=BD-AF。
（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
考点点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题：旋转变化，等边三角形，三角形全，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
3、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ。
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值。
X
y
-1
P1
1
B
1A
解：（1
）连结OQ ，如图1， ∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ， ∴OP ⊥AB ，
求OP 的方法1：OP 2＋32＝(2×OP)
2
求得OP=3
求OP 的方法2：在Rt △OBP 中，∵tan ∠B=OB
OP ，
∴OP=3tan30°=3， 在Rt △OPQ 中，∵OP=3，OQ=3， ∴PQ=OP OQ 22-=6；
（2）连结OQ ，如图2，
在Rt △OPQ 中，PQ=OP OQ 22-=OP 92-， 当OP 的长最小时，PQ 的长最大，
此时OP ⊥BC ，则OP=21OB=2
3
，
∴PQ 长的最大值为)2
3(92
-=233。
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。也考查了勾股定理和解直角三角形。 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧⌒
AB 。
（1）用直尺和圆规作出⌒
AB 所在圆的圆心O ；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⌒AB 的中点C 到弦AB 的距离为20m ，AB=80m ，求⌒
AB 所在圆的半径。 解：（1）如图1，点O 为所求；
（2）连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，如图2，
∵C 为⌒
AB 的中点， ∴OC ⊥AB ， ∴AD=BD=
2
1
AB=40， 设⊙O 的半径为r ，则OA=r ，OD=OD-CD=r-20，
在Rt △OAD 中，∵OA 2=OD 2+BD 2
，
∴r 2=（r-20）2+402
，解得r=50， 即⌒
AB 所在圆的半径是50m 。 考点1：圆
圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有
关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。
5、如图所示，某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由。 解题方法一： 设⊙O 的半径为R ， AB=7.2，CD=2.4， 在Rt △AOD 中，OD=R-2.4，AD=3.6， R 2=（R-2.4）2+3.62 ∴R=3.9 在Rt △OHN 中，HN=1.5， OH ＝HN ON 22-＝5.129.32-＝3.6
∴HD=3.6-1.5=2.1 ∵2.1>2
∴此货船能顺利通过。
解题方法二： 设⊙O 的半径为R ， AB=7.2，CD=2.4， 在Rt △AOD 中，OD=R-2.4，AD=3.6， R 2=（R-2.4）2+3.62 ∴R=3.9 在Rt △ONH 中,
ON 2=NH 2+OH 2=(EF/2)2+(OC-DC+DH)2=1.52+3.52
=14.5 R 2
=15.21 ON 2＜R 2 即ON 解题方法三： 判断船宽与拱高出水面2米处弦长，若船宽小于弦长，则能通过，否则不能通过，解法略。 考点点评：本题考查的是垂径定理的应用；勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． ⌒ AB 分别交OC 、OD 于点E 、F ．求证：AE ＝BF ＝CD 证明方法一： C 、D 是弧AB 的三等分点， 则∠AOC=∠COD=∠DOB=30°。 AC=CD=DB(在同圆中相等的弧所对的弦也相等）； AO=OB,∠AOB=90° 则∠OAB=∠OBA=45°。 OA=OC,∠AOC=30°则∠OAC=75°。 ∠OAB=45°则∠BAC=30°。 ∠ACO=∠CAO=75°则∠AEC=75°， 则△ACE 是等腰三角形。 AC=AE,AC=CD 则AE=CD 。 同理可证BF=CD 所以AE ＝BF ＝CD 。 证明方法二：∵O 为⌒AB 的中点，∴OA=OB ，∴点O 为⌒ AB 所在圆的圆心， 连接AC 、BD ，则有AC=CD=BD ，如上图： ∵∠AOC=∠COD ，OA=OC=OD ， ∴△ACO ≌△DCO ．∴∠ACO=∠OCD ． ∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75° ∠OCD=2 30180?-?=75°， ∴∠OEF=∠OCD ，∴CD ∥AB ， ∴∠AEC=∠OCD ，∴∠ACO=∠AEC ．故AC=AE ， 同理，BF=BD ． 又∵AC=CD=BD ，∴AE=CD=BF ． 弧、弦的关系等知识的综合应用能力。 7、如右图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E 、F ． （1）若∠E=∠F 时，求证：∠ADC=∠ABC ； （2）若∠E=∠F=42°时，求∠A 的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A 的大小． 解：（1）∠E=∠F ， ∵∠DCE=∠BCF ， ∴∠ADC=∠E+∠DCE ，∠ABC=∠F+∠BCF ， ∴∠ADC=∠ABC ； （2）由（1）知∠ADC=∠ABC ， ∵∠EDC=∠ABC ， ∴∠EDC=∠ADC ， ∴∠ADC=90°， ∴∠A=90°﹣42°=48°； （3）连结EF ，如图， ∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠ECD=∠A ， ∵∠ECD=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2， ∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°， ∴2∠A+α+β=180°， ∴∠A=90°﹣ 2 β +α． 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 8、在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP+CP ′=2r ，则称点P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定CP ′=0． （1）当⊙O 的半径为1时， ①分别判断点M （2，1），N （2 3 ，0），T （1，3）关于⊙O 的反称点是否存在？若存在， 求其坐标； ②点P 在直线y=-x+2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y=- 3 3 x+23与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，解：（1）当⊙O 的半径为1时． ①点M （2，1）关于⊙O 的反称点不存在； N （2 3，0）关于⊙O 的反称点存在 反称点N ′（2 1 ，0）； T （1，3）关于⊙O 的反称点存在 反称点T ′（0，0）； ②∵OP ≤2r=2，OP 2 ≤4，设P （x ，-x+2）， ∴OP 2=x 2+（-x+2）2=2x 2 -4x+4≤4， ∴2x 2 -4x ≤0， x （x-2）≤0， ∴0≤x ≤2． 当x=2时，P （2，0），P ′（0，0）不符合题意； 当x=0时，P （0，2），P ′（0，0）不符合题意； ∴0＜x ＜2； （2）∵直线y=- 3 3 x+23与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴A （6，0），B （0，23）， ∴OB OA =3， ∴∠OBA=60°，∠OAB=30°． 设C （x ，0）． ①当C 在OA 上时，作CH ⊥AB 于H ，则CH ≤CP ≤2r=2， 所以AC ≤2， C 点横坐标x ≥2（当x=2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H ′（2，0）在圆的内部）； ②当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2， 所以C 点横坐标x ≤8． 综上所述，圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x ≤8． （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 考点2：圆 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 考点3：图形的相似 形状相同，大小不同的两个图形相似 9、如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ．当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离； （2）求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间． 解：（1）过点A 作AD ⊥ON 于点D ， ∵∠NOM=30°，AO=80m ，∴AD=40m ， 即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米； （2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点， AD ⊥BC ，BD=CD=2 1 BC ，OA=800m ， ∵在Rt △AOD 中，∠AOB=30°， ∴AD=21OA=2 1 ×800=400m ， 在Rt △ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=AD AB 22-=405022-=30m ， 故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响． ∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即60 18000 =30米/分钟， ∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷30=2（分钟）． 答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为2分钟． 点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A 为圆心，50米为半径的圆内行驶的BD 的弦长，求出对小学产生噪音的时间． 10、已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF ． （1）如图1，若AB 为⊙O （要求写出三种情况）；①∠CAE=∠B 、②AB ⊥EF 、③∠BAE=∠C ，并任意证明其中一种情况。 （2）如图2，如果AB 的弦，且∠CAE=∠B ，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断。 （ 1） 证明： （1）∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°． ∴∠BAC+∠ABC=90°． 若∠CAE=∠ABC． ∴∠BAC+∠CAE=90°， 即∠BAE=90°，OA⊥AE． ∴EF为⊙O的切线． （2）EF还是⊙O的切线． 证明：连接AO并延长交⊙O于点D，连 接CD，如图， ∴∠ADC=∠ABC． ∵AD为⊙O的直径， ∴∠DAC+∠ADC=90°． ∵∠CAE=∠ABC=∠ADC， ∴∠DAC+∠CAE=90°． ∴∠DAE=90°， 即OA⊥EF 所以EF为⊙O的切线． 11、如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，PO交⊙O于点E． （1）试判断∠APB与∠BAC的数量关系，并说明理由。 （2）若⊙O的半径为4，P是⊙O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并 判断点P的个数及其满足的条件；若不存 在，请说明理由． 解：（1）连接BA，如图1，∵PA、PB为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠APB+∠AOB=180°，而∠AOB+∠BOC=180°，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，而OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠BOC=2∠BAC，∠APB=2∠BAC。 （2）由PA、PB为⊙O的切线得∠OAP=∠OBP=90°，所以当OA⊥OB时，四边形PAOB为矩形，加上OA=OB，于是可判断四边形PAOB为正方形，根据正方形的性质得OP=2OA=42；由此得到这样的点P有无数个，当点P在以O 点为圆心，42为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形。 考点点评：本题考查了切线的性质；勾股定理；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的判定． 12、如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形A BCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON． （1）求图1中∠MON的度数； （2）图2中∠MON的度数是______，图3中∠MON的度数是______； （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）。 解：分别连接OB、OC， （1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵OC=OB，O是外接圆的圆心， ∴CO平分∠ACB ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∴∠OBM=∠OCN=30°， ∵BM=CN ，OC=OB ， ∴△OMB ≌△ONC ， ∴∠BOM=∠NOC ， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°； ∴∠MON=∠BOC=120°； （2）同（1）可得∠MON 的度数是90°，图3中∠MON 的度数是72°； （3）由（1）可知，∠MON=3360?=120°；在（2）中，∠MON=4360?=90°；在（3）中∠MON=5 360? =72°…， 故当n 时，∠MON=n ? 360 13、如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，OF ⊥AC 于F ，BE=OF 。 （1）求证：OF ∥BC ； （2）求证：△AFO ≌△CEB ； （3）若EB=5cm ，CD=103cm ，设OE=Xcm ，求X 的值及阴影部分的面积。 解：（1）∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC ⊥BC ， 又∵OF ⊥AC ， ∴OF ∥BC ； （2）∵AB ⊥CD ， ∴⌒BC=⌒BD ， ∴∠CAB=∠BCD ， 又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE ， ∴△AFO ≌△CEB （AAS ）； 主要考查扇形面积的计算，平行线的判定，三角形全等的判定，圆心角，圆周角，弧和弦等考点的理解。 （3）∵AB ⊥CD ， ∴CE=21CD=53， 在Rt △OCE 中，OC=OB=X+5， 根据勾股定理可得：(X ＋ 5)2=(53)2＋X 2 ， 解得：x=5 ∴tan ∠COE=535＝3， ∴∠COE=60°， ∴∠COD=120°， ∴扇形COD 的面积是：360 102120?π＝3100π， △COD 的面积是：21CD ×OE ＝21×103×5＝253， ∴阴影部分的面积是：(3100π -3)（cm2）。 14、如图所示，一个圆锥的高为33cm ，侧面展开图是半圆． 求：（1）圆锥的母线长与底面圆的半径之比； （2）∠BAC 的度数； （3）圆锥的侧面积（结果保留π）． 分析 （1）利用底面周长=展开图的半圆周长计算； （2）利用特殊角的三角函数圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60度； （3）利用特殊角的三角函数求出半径，再求侧面积． 解：（1）设此圆锥的底面半径为r ． ∵2πr=2 2 AC π=π?AC ， ∴r AC =2， ∴圆锥的母线长与底面半径之比为2：1； （2）∵r AC =2， ∴圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60度； （3）∵h=33cm ， ∴r=3cm ，AC=6cm ． 圆锥的侧面积=π/2AC 2=18πcm 2． 点评：一题的关键是利用底面周长=展开图的半圆周长可求．2、3题主要是利用特殊角的三角函数求值．
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