附录I 截面的几何性质
I - 1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称z c 0.3m
0.6 0.2 0.1 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.7
yc0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2
0.3 0.1 0.15 0.1 0.4 0.05
0.3 0.1 0.1 0.4
0.3 0.1 0.05 0.1 0.4 0.3
0.3 0.1 0.1 0.4
I - 2 试求平面图形的形心坐标。
解:
习题
⑻
(b)
(c)
0.357m
解：z c
y c
附录I
截面的几何性质
2
2r 3 3 ~2 r 2
-3试求图示截面的阴影线面积对 z 轴的静矩。（图中C 为截面形心）
S z A y c 40 20 30 24000mm 3
解: Z c
y c
I
z n zdz o
-| n
z dz
□l
i n
i n y ydy
i z n dz
由对称 z c r
i n
(d)
(b)
y c
4r 3
解:
y 2ydy
附录I 截面的几何性质
求以下截面对z 轴的惯性矩。（
z 轴通过截面形心）
1 1
z
i
C 1
a2
%
i
t
i
r a 1 2
r
a1
(b)
4 解: I z
生
12 I - 5 试求图示三角形截面对通过顶点
A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
1 - 6 试求图示r=1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行,
相距1m 。
解：S ；
A y c 65 20 32.5 42250mm 3
解: I z
d 4 64
d
；
64
d ： d ；
a 2
12 12
解:
h y
bdy 0
h '
bh
3
附录I
截面的几何性质
100
4
解:
z
1
1 d 4
2 ~64 由( I-2 )知 z i 、
24 64_
0.3927m 4 z o 之间的距离y c
4r 3
所以由1召I z 0 Ay c 2得I z o
2
I z 1 Ay c
0.3927
12
2
4 1 4
0.1098m
3
于是 I z I z o Aa 2 0.1098
3.30m 4 I - 7 在直径D = 8a 的圆截面中，开了一个2a X4a 的矩形孔，如图所示。试求截面对 其水平形心轴的和竖直形心轴的惯性矩 I z 和|y 。 I 2
解：令圆截面的惯性矩为11,
4a 2 0 8a 2 4a 2
8a 2
卫4
64
矩形孔的惯性矩为 y c
I z
I z1
I z2
0.18928a
4a 2
2
0.18928a
3
4a 2a
8a 2 a 0.18928a 2 188.9a 4
12
I y
I y1
y2
D 4
2a
64
曲 190.3a 4
12
正方形截面中开了一个直径 d = 100mm 的半圆形孔，如图所示。试确定截面的 形
心位置，并计算截面对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 I z 和I y 。
附录I 截面的几何性质
解：令正方形截面的惯性矩为11,半圆形孔的惯性矩为I2
I - 9 图示为由两个18a号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称轴的惯性矩相等，问两根槽钢的间距a应为多少?
y c
2
200 0
2
100 4 50
8 3
2
100
8
2.31mm
1 . 1 c 4
200 2 2
200 2 31
z1 1z2
12
1.307 108 4 mm
I z
2002
I y1 I y2
2004丄
12 2
1004
64
4
50
1002
8
4 50
3
2
2.31
8 4
1.309 10 mm
习题I - 9图
解：查型钢表可知
4
I z2 1270 2540cm
a
I y 2 98.6 25.699 1.88
2
由I z I y 得 a 9.76cm
I - 10求图示截面的形心主轴的位置和形心主惯性矩。
yc
；
80
i*
10
120
「°
z c
解:
z c
120 10 60 10 70 5
120 10 10 70
39.737mm
y c
120 10 5 10 70 45
120 10 10 70
19.737mm
6
I Z c
I y c
I y C z
C
由tan
1 Z c Z o
y
。
11
一对正交轴。 (1) (2) 解:
120 103
12 3
10 1203
12
120 10 120
120 60 2I y c Z c I z C I y C
I y c
2 6
4
3.21 10 mm
I
Z C
I
y C
2
10 14.737
2
10 20.2632
39.737 19.737 2 972630 10 703 12
3
70 103
12
10 10
10 70 1003200 2783200
2
70 25.263
2
70 34.737 2
39.737 1.093 得 2 0
1003200 2783200 1 -------------- 2
,2
一 1003200 2783200 2 2 *(1 z
c 1 y c )
41 y c z c
5
4
5.75 10 mm
图示为一正方形截面，
z 、y 为截面的两个对称轴,
6 4
1.0032 10 mm 45
227.6 , 2.7832 106mm 4
5
4
19.737 9.7263 105
mm 4
即 0
113.8
丄 J (1003200 2783200) 2
2 2
4 972630
1 ;
2 2
-.：'(1003200 2783200)
4 972630
Z 1、y 1
为与z 、y 轴成a 角的
求截面对Z 1和y 1轴的惯性矩|召和I y ,，并将1召、I y ,值与I z 、I y 值比较; Z 1、
I z
I Z 1
I y 1z 1
y 1轴是否为主轴？由此可得出什么结论? _____________
1
a
a
习题I- 11
a 4 12
I z I z I y
I z
12
I y
2
I yz
cos2
Ucos2 2
I yz s in 2 I yz si n2
I z I y
sin 2 I yz cos2 0
a 4 12 a 4 12
所以Z 1、y i 轴也是主轴，又由于 Z 1、y i 轴过形心，因此此两轴为形心主轴。
由此可见，如果一个平面图形对两个直角坐标轴的惯性矩相等，并且此两轴为主轴，则 转轴后的坐标轴也应该是主轴，并且惯性矩不变。
I - 12试证明：如果平面图形过一点有两对以上的主轴，则过该点的任一对正交轴都 是
主轴。
证明:
设两对主轴对应的转角分别为
a 、a,则有
I y 2z 2
z 2
y Sin2 2 l yz C0S2 2 0
因此，有 I z I y
2
I yz
即有I z I y 、I yz 0，由上题结论可知“如果平面图形过一点有两对以上的主
轴，则过该点的任一对正交轴都是主轴。
I z I y
si n2 I yz cos2 1
附录Ⅰ 截面的几何性质 §I ?1 截面的静矩与形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d (I ?1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式(I ?1),上式可写成 ? ??? ? ? ? ==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d (I ?2) 或 ? ? ? ==C y C z Az S Ay S (I ?3) ? ?????? == A S z A S y y C z C (I ?4) 如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。即: ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 (I ?5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。 将式(I ?5)代入式(I ?4),得到组合图形形心坐标的计算公式为 图I ?1
??? ? ??????? ??==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 (I ?6) 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。 解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m 323.008.0072.02 .008.046.0072.0II I II II I I 1 1 =+?+?= ++= = ∑∑==A A y A y A A y A y n i i n i ci i c §I ?2 惯性矩、惯性积与极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到 坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 与z 2 d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性 矩,ρ2 d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分 ? ??? ? ? ?===???A ρI A z I A y I A A y A z d d d 2 P 22 (I ?7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 由图(I ?2)可见,222z y +=ρ,所以有 ??+=+==A y z A I I A z y A ρI )d (d 222P (I ?8) 即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。 另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分 A zyd I A yz ?= (I ?9) 定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。 从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。惯性矩 00、 例题I ?1图 图I ?2
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =? ?=?= ； （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为： '
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x = --?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li — Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 ￥ 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ? 右 150 20 3000 75 225000 … 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai > (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci ( AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 … 8000 80 128000
附录Ⅰ截面的几何性质 I-1选择题 1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心。 B.图形两个对称轴的交点必为形心。 C.图形对对称轴的静矩为零。 D.使静矩为零的轴必为对称轴。 2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。 A.静矩和惯性矩。 B.极惯性矩和惯性矩。 C.惯性矩和惯性积。 D.静矩和惯性积。 3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。 A．2I B.4I C.8I D.16I
4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。 C．静矩和惯性矩均为零。D．静矩和惯性矩均不为零。 5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。 （A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。
A．截面对对称轴的静矩为零。 B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。 C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。 D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。 （A）形心轴B）主惯性轴 （C）形心主惯性轴（D）对称轴
8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。 （A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z （C ）22x y P I I I += （D ）2 22x y p I I I += 9 静矩的国际单位是 （ D ） 。 （A ） m 4。 （B ） m 。 （C ） m 2 。 （D ） m 3 10 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。
习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04 .01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c) (a) z (b)
l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++== ? ? () 2 c += - = ? ?n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c π ππ342 3 22 22 3 2 2 2 c r r r r ydy y r y r = = -= ? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c * * mm 24000302040=??==y A S z z O (d) (a) (b)
解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：()64 64 64 4 2 4 14 2 4 1 d d d d I z -= - =πππ 解：12 12 12 4 2 4 14 2 4 1 a a a a I z -=- = I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 43 2bh y bdy h y I h z = ?? ? ???= ? I ?6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C
附录I 截面的几何性质 I - 1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称z c 0.3m 0.6 0.2 0.1 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.7 yc0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.3 0.1 0.15 0.1 0.4 0.05 0.3 0.1 0.1 0.4 0.3 0.1 0.05 0.1 0.4 0.3 0.3 0.1 0.1 0.4 I - 2 试求平面图形的形心坐标。 解: 习题 ⑻ (b) (c) 0.357m 解：z c y c
附录I 截面的几何性质 2 2r 3 3 ~2 r 2 -3试求图示截面的阴影线面积对 z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） S z A y c 40 20 30 24000mm 3 解: Z c y c I z n zdz o -| n z dz □l i n i n y ydy i z n dz 由对称 z c r i n (d) (b) y c 4r 3 解: y 2ydy
附录I 截面的几何性质 求以下截面对z 轴的惯性矩。（ z 轴通过截面形心） 1 1 z i C 1 a2 % i t i r a 1 2 r a1 (b) 4 解: I z 生 12 I - 5 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 1 - 6 试求图示r=1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行, 相距1m 。 解：S ； A y c 65 20 32.5 42250mm 3 解: I z d 4 64 d ； 64 d ： d ； a 2 12 12 解: h y bdy 0 h ' bh 3
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为： 3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 1 160 5 8000 8 128
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai (c)