附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+??=?=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =??=?= （c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-??=?=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-??=?=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =--?=-?=?=??
πθθθπ
π
因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置
矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边
上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右
150 20 3000 75 225000
14000
1730000
123.6
46.4
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai
解：
习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置
矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左
90 10 900 55 49500 5 4500
2500
57500
23
132500
53
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai
(c)
解：
习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置
型钢号 Ai(cm2) Yci(cm)
AiYci(cm3
) Yc(cm )
Xci(cm)
AiXci(cm3
) Xc(cm ) 槽钢20 32.837 10 328.37 -1.95 -64.03 等边角钢80*10
15.126 2.35 35.546 2.35 35.546
47.963
363.92
7.6 -28.49 -0.6
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ??
?
-?==
2/0042
/0
2
3
2
2cos 1]4[sin ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02
/0
4θθθππd d r ??-?= }]2[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ?=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：
16
4
r
I
I
x
y
?
=
=
π
微分面积对x轴、y轴的惯性积为：
xydA
dI
xy
=
8
)
4
2
(
2
1
]
4
2
[
2
1
)
(
2
14
4
4
4
2
2
2
2
000
2
2r
r
r
x
x
r
dx
x
r
x
ydx
xdx
I r
r x
r r
xy
=
-
=
-
=
-
=
=???
-
[习题I-5] 图示直径为mm
d200
=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm
20
=
δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。
解：圆的方程为：
2
2
2r
y
x=
+
如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy
y
r
dA2
2
2-
=
切去δ2之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：
dy
y
r
y
I r
r
x
2
2
sin
sin
2
2-
=?-αα
α
α
sin
sin
4
2
2
2
2arcsin
8
)
2(
8
2
r
r
r
y
r
y
r
r
y
y
-
?
?
?
?
?
?
+
-
-
=
)
4
sin
4
1
(
2
4
α
α-
=
r
)
4
sin
4(
8
4
α
α-
=
r
2
2
2
1
100
)
20
100
(=
-
+
x
3600
2
1
=
x
)
(
60
1
mm
x=
3
4
60
20
100
tan=
-
=
α
)
(
927
.0
13
.
53
3
4
arctan0rad
=
=
=
α
)
(
10
963
.3
)
52
.
212
sin
927
.0
4(
8
100
4
7
4
mm
I
x
?
=
-
?
=
[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。
dy
y
dz
dy
y
dz
dA
y
I a a
z
a
z
a
z
a
z
a
A
z??
?
?
?+-
-
+
-
-
-
+
=
=2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
]
[
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
y
dz
dy
y
dz a a
z
a
z
a?
?
?
?+-
+
-
+
?
=
[][]]
[
3
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3?
?+-
-
+
+
?
=a a
z
a
a
z
dz
y
dz
y
])
2
2
(
)
2
2
(
)
2
2
(
)
2
2
(
[
3
2
2
2
3
2
2
3?
?+
-
+
-
-
+
+
?
=
-
a
a
a
z
d
a
z
a
z
d
a
z
a
a
a
z
a
z
2
2
4
2
2
4
4
)
2
2
(
3
2
4
)
2
2
(
3
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
-
-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
=
-
=??
?
?
?
?
+
16
16
3
24
4a
a
12
4
a
=
故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。
[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
(a) 解：)(21177368])175150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=απ (b)
)(904499991509012
1
210150121433mm I x =??-??=
[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形
心轴
的惯性矩
所以
再次应用平行轴定理，得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴
的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩
[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是
上面一个圆的圆心到
轴的距离是d 6
32。
利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：
[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是
。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩
)(657600002)101201151012012
1
(
104.34237
mm I z =???+??+?= （b ）等边角钢
的截面积是
，其形心距外边缘的距离是28.4
mm ，求得组合截面对轴
的惯性矩如下：
习题I-11（b ）图
图形 b h Ixc a A Ix
中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上L 形 1795100 271.6 1926 143869495 右上L 形 1795100 271.6 1926 143869495 左下L 形 1795100 271.6 1926 143869495 右下L 形
1795100
271.6
1926
143869495 A a I I xc x 2+=
1220644645
附录Ⅰ 截面的几何性质 §I ?1 截面的静矩与形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d (I ?1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式(I ?1),上式可写成 ? ??? ? ? ? ==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d (I ?2) 或 ? ? ? ==C y C z Az S Ay S (I ?3) ? ?????? == A S z A S y y C z C (I ?4) 如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。即: ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 (I ?5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。 将式(I ?5)代入式(I ?4),得到组合图形形心坐标的计算公式为 图I ?1
??? ? ??????? ??==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 (I ?6) 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。 解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m 323.008.0072.02 .008.046.0072.0II I II II I I 1 1 =+?+?= ++= = ∑∑==A A y A y A A y A y n i i n i ci i c §I ?2 惯性矩、惯性积与极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到 坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 与z 2 d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性 矩,ρ2 d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分 ? ??? ? ? ?===???A ρI A z I A y I A A y A z d d d 2 P 22 (I ?7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 由图(I ?2)可见,222z y +=ρ,所以有 ??+=+==A y z A I I A z y A ρI )d (d 222P (I ?8) 即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。 另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分 A zyd I A yz ?= (I ?9) 定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。 从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。惯性矩 00、 例题I ?1图 图I ?2
附录 截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（ √ ） ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。（ × ） ⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ √ ） ⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（ √ ） 二、填空题 ⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。 ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 。 ⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。 三、选择题 ⒈ 图形对于其对称轴的（ A ） A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零，惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =（ C ）。 A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =（ C ）。 A 123234dD D -π B 6323 4dD D -π C 126434dD D -π D 6643 4dD D -π z
四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。 232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+??= () 8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=??+??? ??-+?-?= 2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。 4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ?=??+?+??+?=+= 由于图形对称，4 51023.2mm I I Z Y ?=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 mm y C 7.56100 20201401010020902010=?+???+??= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020m m I I I II I Z ?=??+?+??+?=+=46331076.112 100201220140mm I Y ?=?+?= z z z
下面我们来讲一下预制梁的横向力分布系数计算 从上面我能看出常见的预制梁包括板梁、小箱梁、T梁 跨中横向力分布系数： 对于板梁和小箱梁由于横向联系比较薄弱，所以采用铰接板梁法 对于T梁有横隔板比较多，认为是刚接，所以采用刚接板梁法 梁端横向力分布系数： 通常采用杠杆法 下面就讲一下30米简支转连续T梁横向力分布系数计算： 主梁横断面见附件 桥博计算横向力分布系数计算需要输入的数据见附件 包括主梁宽、抗弯、抗扭、左板长、左板惯矩、右板长、右板惯矩、主梁跨度 G/E等 首先计算主梁的抗弯抗扭惯矩（中梁、边梁断面尺寸见附件，梁高200cm） 中梁： ==================================================== = MIDAS SPC TEXT OUTPUT FILE = = (Tue Jun 17 20:45:16 2008) = = - - = ==================================================== ==================================================== UNIT: KN . M ==================================================== ==================================================== * Section-P1 (PLANE) ==================================================== * A : * Asx : * Asy : * Ixx : 抗弯惯矩 * Iyy : 0. * Ixy : * J : 抗扭惯矩---------------------------------------------------- * (+)Cx : * (-)Cx : * (+)Cy :
常用材料性质参数 材料的性质与制造工艺、化学成份、内部缺陷、使用温度、受载历史、服役时间、试件尺寸等因素有关。本附录给出的材料性能参数只是典型范围值。用于实际工程分析或工程设计时,请咨询材料制造商或供应商。 除非特别说明,本附录给出的弹性模量、屈服强度均指拉伸时的值。 表 1 材料的弹性模量、泊松比、密度和热膨胀系数 材料名称弹性模量E GPa 泊松比V 密度 kg/m3 热膨胀系数a 1G6/C 铝合金-79 黄铜 青铜 铸铁 混凝土（压 普通增强轻质17-31 2300 2400 1100-1800
7-14 铜及其合金玻璃 镁合金镍合金( 蒙乃尔铜镍 塑料 尼龙聚乙烯 2.1-3.4 0.7-1.4 0.4 0.4 880-1100 960-1400 70-140 140-290 岩石(压 花岗岩、大理石、石英石石灰石、沙石40-100 20-70 0.2-0.3 0.2-0.3 2600-2900 2000-2900 5-9 橡胶130-200 沙、土壤、砂砾钢
高强钢不锈钢结构钢190-210 0.27-0.30 7850 10-18 14 17 12 钛合金钨木材（弯曲 杉木橡木松木11-13 11-12 11-14 480-560 640-720 560-640 1 表 2 材料的力学性能 材料名称/牌号屈服强度s CT MPa 抗拉强度b CT
MPa 伸长率 5 % 备注 铝合金LY12 35-500 274 100-550 412 1-45 19 硬铝 黄铜青铜 铸铁( 拉伸HT150 HT250 120-290 69-480 150 250 0-1 铸铁( 压缩混凝土(压缩铜及其合金 玻璃
Harbin Institute of Technology 材料力学电算大作业 课程名称：材料力学 设计题目：组合截面几何性质计算 作者院系： 作者班级： 作者姓名： 作者学号： 指导教师： 完成时间：
一、软件主要功能 X4，X5，X6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置X与面积的乘积 Y4，Y5，Y6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置Y与面积的乘积 Xc,Yc是总截面的形心坐标 Ix1,Ix2,Ix3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x轴平行的轴的惯性矩 Iy1,Iy2,Iy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与y轴平行的轴的惯性矩 Ixy1,Ixy2,Ixy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x,y轴平行的两轴的惯性积 a是通过形心的主轴与x轴的夹角 Imax,Imin分别是截面对形心主轴的主惯性矩 软件截图： 二、程序源代码 Dim n1 As Double Dim d1(10) As Double Dim X1(10) As Double Dim Y1(10) As Double Dim n2 As Double Dim d2(10) As Double
Dim d3(10) As Double Dim X2(10) As Double Dim Y2(10) As Double Dim n3 As Double Dim h(10) As Double Dim d(10) As Double Dim X3(10) As Double Dim Y3(10) As Double Dim S1 As Double, S2 As Double, S3 As Double Dim X4 As Double, Y4 As Double, X5 As Double, Y5 As Double, X6 As Double, Y6 As Double Dim Xc As Double, Yc As Double Dim Ix1 As Double, Iy1 As Double, Ix2 As Double, Iy2 As Double, Ix3 As Double, Iy3 As Double, Imax As Double, Imin As Double Dim Ixy1 As Double, Ixy2 As Double, Ixy3 As Double Dim a As Double Private Sub Text1_Change() n1 = Val(Text1.Text) For i = 1 To n1 d1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的直径")) X1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next i For i = 1 To n1 S1 = S1 + 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 X4 = X4 + X1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 Y4 = Y4 + Y1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 Next i End Sub Private Sub Text2_Change() n2 = Val(Text2.Text) For i = 1 To n2 d2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的外径")) d3(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的内径")) X2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next i For i = 1 To n2 S2 = S2 + 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 X5 = X5 + X2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 Y5 = Y5 + Y2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 Next i End Sub Private Sub Text3_Change()
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =? ?=?= ； （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为： '
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x = --?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li — Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 ￥ 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ? 右 150 20 3000 75 225000 … 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai > (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci ( AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 … 8000 80 128000
~ 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 ) 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 / 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： {
返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。 解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： ： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图 所示。惯性矩计算如下：
返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所 示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 和。 解：先求形心主轴的位置 ！ 即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少 （ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。
看大家对横向力分布系数计算疑惑颇多，特在这里做一期横向力分布系数计算教程（本教程讲的比较粗浅，适用于新手）。 总的来说，横向力分布系数计算归结为两大类（对于新手能够遇到的）： 1、预制梁（板梁、T梁、箱梁） 这一类也可分为简支梁和简支转连续 2、现浇梁（主要是箱梁） 首先我们来讲一下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了，所以先讲这个吧） 在计算之前，请大家先看一下截面 这是一个单箱三室跨径27+34+27米的连续梁，梁高1.55米，桥宽12.95米！！ 支点采用计算方法为为偏压法（刚性横梁法） mi=P/n±P×e×ai/(∑ai x ai) 跨中采用计算方法为修正偏压法（大家注意两者的公式，只不过多了一个β） mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai) β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2 Ii) 其中：∑It---全截面抗扭惯距 Ii ---主梁抗弯惯距Ii=K Ii` K为抗弯刚度修正系数，见后 L---计算跨径 G---剪切模量G=0.4E 旧规范为0.43E P---外荷载之合力 e---P对桥轴线的偏心距 ai--主梁I至桥轴线的距离 在计算β值的时候，用到了上次课程https://www.doczj.com/doc/f21149756.html,/thread-54712-1-1.html 我们讲到的计算截面几何性质中的抗弯惯矩和抗扭惯矩，可以采用midas计算抗弯和抗扭，也可以采用桥博计算抗弯， 或者采用简化截面计算界面的抗扭，下面就介绍一下这种大箱梁是如何简化截面的： 简化后箱梁高度按边肋中线处截面高度(1.55m)计算，悬臂比拟为等厚度板。 ①矩形部分(不计中肋): 计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2) 其中：t,t1,t2为各板厚度
附录截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（√ ） ⒉图形在任一点只有一对主惯性轴。（ ×） ⒊有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（√ ） ⒋图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（√ ） 二、填空题 ⒈组合图形对某一轴的静矩等于各组成图形对同一轴静矩的代数和。 ⒉图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对两轴交点的极惯性矩。 ⒊如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形主惯性轴。⒋过图形的形心且图形对其惯性积等于零的一对轴为图形的形心主惯性轴。 三、选择题 ⒈图形对于其对称轴的（ A ） A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零，惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉直径为d的圆形对其形心主轴的惯性半径i=（ C ）。 A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊图示截面图形中阴影部分对形心主轴z的惯性矩IZ=（ C ）。 D4dD3 D4dD3 A 32 12 B 32 6 D4dD3 D4dD3 C 64 12 D 64 6 z 四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z轴的静矩。 SZ b 0.4h (0.6h 0.2h) 0.32bh2
z z H h hH h hhBH2 h2bh2SZ B b 2 24 2488 2、求图示平面图形对z、y轴的惯性矩。 z 10 30340 1032IZ II III 40 10 25 40 10 521212 2.23 105mm 4 由于图形对称，IY IZ 2.23 10mm 54 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 yC 10 20 90 20 100 10 56.7mm 140 20 20 100
附录Ⅰ截面的几何性质 I-1选择题 1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心。 B.图形两个对称轴的交点必为形心。 C.图形对对称轴的静矩为零。 D.使静矩为零的轴必为对称轴。 2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。 A.静矩和惯性矩。 B.极惯性矩和惯性矩。 C.惯性矩和惯性积。 D.静矩和惯性积。 3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。 A．2I B.4I C.8I D.16I
4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。 C．静矩和惯性矩均为零。D．静矩和惯性矩均不为零。 5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。 （A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。
A．截面对对称轴的静矩为零。 B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。 C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。 D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。 （A）形心轴B）主惯性轴 （C）形心主惯性轴（D）对称轴
8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。 （A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z （C ）22x y P I I I += （D ）2 22x y p I I I += 9 静矩的国际单位是 （ D ） 。 （A ） m 4。 （B ） m 。 （C ） m 2 。 （D ） m 3 10 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。
截面几何性质计算 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介： 1、首先在CAD中画出如下图的图形； 2、用region命令将图形转化成内外两个区域； 3、用subtract命令求内外区域的差集； 4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米； 5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 2008-6-6 23:10
材料力学（金忠谋）第六版答案- 附录
2 ] 附录I 截面图形的几何性质 I-1求下列截面图形对 z 轴的静矩与形心的位 —置。 (b ) 解：（a ） S z bt(h 2) ht t(b(h 2)号) y c t(b(h 2) h) t(b b(h 2) b h
3D 2 {2 [( 〒 D 2 (7)] (2 邑 (3 (3 D)2 字金卫D 3 /D 、2 〃 192 (7) S z y c ~A H D 3 ________ 192 D D 3D 2 2( ) — [( )2 4 4 2 4 0.1367D (c) + h + S z (b t) t 2 ht h t[(b t) 2
s z _ (b-t)t + h2 7 - 2(/? + /,-/) 1-2试求(1)图示工字形截面对形心轴y及的惯性矩厶与厶。 (2)图示卩字形截面对形心轴的惯矩与厶。 _hh3 (h-t)(h-2t)3胡3_(—2川 一12 一\2 2tb3 (h - 2t)(t)y t(2b3 +(h-2t)t2) F --- =-------------- 12 12 12 252 X5+52X(15-5) 2(15x5 + 20x5) (b) =9.643c/?? 2]
4 1- 3 3 3 15 53 2 5 203 2 J z(9.643 2.5) 15 5 (25 10 9.643) 20 5 12 12 3 3 20 5 5 15 4 --------- ------------ 1615cm 10186cm J y 12 12 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径 与对形心的极惯 矩。解: y b sin , z cos dy bcos d J z b y2dA b :y2 2zdy J z b 2 2 2b sin a cos bcos d b 2ab32sin 2 cos2 d4ab3 i z ab3 4 ab J p J z J y(ab3a3b) ab(a2b2) 4 4
习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04 .01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c) (a) z (b)
l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++== ? ? () 2 c += - = ? ?n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c π ππ342 3 22 22 3 2 2 2 c r r r r ydy y r y r = = -= ? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c * * mm 24000302040=??==y A S z z O (d) (a) (b)
解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：()64 64 64 4 2 4 14 2 4 1 d d d d I z -= - =πππ 解：12 12 12 4 2 4 14 2 4 1 a a a a I z -=- = I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 43 2bh y bdy h y I h z = ?? ? ???= ? I ?6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C
附录I 截面图形的几何性质 I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。 解：（a ）)2 )2((2)2(2 h t h b t h ht t h bt s z ++=? ++= h b h t h b h b t h t h b t A s y z c +++=+++==2)2()()2)2((2 2 （b ） 3223 322192 11)}2)4 ()43()41 ()43(32(])4()43[(2{4442D D D D D D D D D D s z =--?-+??-=ππ D D D D D D A s y z c 1367.0])2 ()43[(2)44(219211223 =-?+?==π （c ） ]2 2)[(22)(2 h t t b t h ht t t t b s z + ?-=?+??-= ) (2)(2 t b h h t t b A s y z c -++-= = I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩z I 与I y 。 （2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩z I 与I y 。 t b
解(a) 12 )2)((12)2)((123 333t h t b bh t h t b bh J z ---=---= 12 ))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+= (b) cm y c 643.9) 520515(2) 515(552522=?+?-?+?= 4 3 34 232 3161512 1551252010186520)643.91025(12 205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =?+?==??--+?+??-+?= I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。 解： θθc o s ,s i n ?=?=a z b y θθd b dy cos = ??--?==∴ b b b b z z d y y dA y J 222 322 2 23 224 cos sin 2cos cos sin 2ab d ab d b a b J b b z π θθθθθθθπ π==?= ?? --
附 录 一、应力与强度条件 1、拉压 [] σ≤σmax max A N = 2、剪切 [] τ≤τmax A Q = 挤压 [] 挤压挤压挤压σ≤σA P = 3、圆轴扭转 [] τ≤τmax Wt T = 4、平面弯曲 ①[] σ≤σmax z max W M = ②[] max t max t max max σ≤σy I M z t = max c max max σy I M z c = [] cnax σ≤ ③[] τ≤τz * max z max max b I S Q = 5、斜弯曲 [] σ≤σmax y y z z max W M W M + = 6、拉（压）弯组合 [] σ≤σmax max z W M A N + = [] t max t z max t σ≤σy I M A N z + = [] c max c z z max c σ≤σA N y I M = 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 [] σ≤τ4σσz 2 n 2 w 2n 2w r3W M M += += ②第四强度理论 [] σ≤75.0τ3σσz 2 n 2 w 2n 2w r4W M M += += 二、变形及刚度条件
１、拉压 ∑ ∫d )(Δi i L EA x x N EA L N EA NL L === ２、扭转 () ∫Σ Φp p i i p GI dx x T GI L T GI TL === π 180Φυ0 p GI T L = = （m / ） ３、弯曲 (1) 积 分 法 : ) ()(' 'x M x EIy = C x x M x EI x EIy +==d )()(θ)(∫' D Cx x x x M x EIy ++=d ]d )([)(∫∫ (2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,θP P =()() ++21θθP P … (3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号) EI ML B = θ EI PL B 2θ2 = EI qL B 6θ3 = EI ML f B 22 = EI PL f B 33 = EI qL f B 84 = EI ML B 3θ= ,EI ML A 6θ= EI PL A B 16θθ2 = = EI qL A B 24θθ3 = = EI ML f c 162 = EI PL f c 483 = EI qL f c 3844 = P A B M A B A B q L L L L L
附录I 截面的几何性质 I - 1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称z c 0.3m 0.6 0.2 0.1 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.7 yc0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.3 0.1 0.15 0.1 0.4 0.05 0.3 0.1 0.1 0.4 0.3 0.1 0.05 0.1 0.4 0.3 0.3 0.1 0.1 0.4 I - 2 试求平面图形的形心坐标。 解: 习题 ⑻ (b) (c) 0.357m 解：z c y c
附录I 截面的几何性质 2 2r 3 3 ~2 r 2 -3试求图示截面的阴影线面积对 z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） S z A y c 40 20 30 24000mm 3 解: Z c y c I z n zdz o -| n z dz □l i n i n y ydy i z n dz 由对称 z c r i n (d) (b) y c 4r 3 解: y 2ydy
附录I 截面的几何性质 求以下截面对z 轴的惯性矩。（ z 轴通过截面形心） 1 1 z i C 1 a2 % i t i r a 1 2 r a1 (b) 4 解: I z 生 12 I - 5 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 1 - 6 试求图示r=1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行, 相距1m 。 解：S ； A y c 65 20 32.5 42250mm 3 解: I z d 4 64 d ； 64 d ： d ； a 2 12 12 解: h y bdy 0 h ' bh 3
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为： 3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 1 160 5 8000 8 128
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai (c)
截面几性质计算 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、长、质心、惯性矩 操作简介： 1、首先在CAD中画出如下图的图形； 2、用region命令将图形转化成外两个区域； 3、用subtract命令求外区域的差集； 4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米； 5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ----------------REGIONS---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（长）:13.7034 Bounding box（边缘）:X: -1.7000-- 1.7000 Y: 0.0000-- 1.6000 Centroid（质心）:X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia:X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia:XY: 0.0000 Radii of gyration:X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 2008-6-6 23:10