附录Ⅰ截面的几何性质
I-1选择题
1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心。
B.图形两个对称轴的交点必为形心。
C.图形对对称轴的静矩为零。
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。
A.静矩和惯性矩。
B.极惯性矩和惯性矩。
C.惯性矩和惯性积。
D.静矩和惯性积。
3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。
A．2I B.4I C.8I D.16I
4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。
C．静矩和惯性矩均为零。D．静矩和惯性矩均不为零。
5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。
（A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8
6 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。
A．截面对对称轴的静矩为零。
B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。
C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。
D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。
7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。
（A）形心轴B）主惯性轴
（C）形心主惯性轴（D）对称轴
8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。 （A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z
（C ）22x y P I I I += （D ）2
22x
y p I I I +=
9 静矩的国际单位是 （ D ） 。 （A ） m 4。 （B ） m 。 （C ） m 2 。 （D ） m 3
10 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。
题10图
3333选 项
对与错
原 因
A 错 计算错误
B 对
C 错 计算错误 D
错 计算错误
I-2 试求图示两平面图形形心C 的位置。图中尺寸单位为mm 。
题I-2图
【解】(a) (1) 将T 1、S 2，形心为C 1、C 2；
x
200
50
50
150
y
(a) y
x
80
120
10
10
(b)
x
200
50
50
150
y
C 2
C
S 2
(2) 在图示坐标系中，y 轴是图形对称轴，则有：x C =0 (3) 二个矩形的面积和形心；
2112
22501507500 mm 225 mm 5020010000 mm 100 mm
C C S y S y =?===?==
(4) T 形的形心；
0750022510000100
153.6 mm
750010000
C i i
C i
x S y y S
=?+?=
=
=+∑∑ (b) (1) 将L
C 1、C 2；
(3) 二个矩形的面积和形心；
21112
222101201200 mm 5 mm 60 mm 7010700 mm 45 mm 5 mm
C C C C S x y S x y =?====?===
(4) L 形的形心；
1200570045
19.74 mm
12007001200607005
39.74 mm
1200700
i i
C i i i
C
i
S x x S S y y S
?+?=
==+?+?=
=
=+∑∑∑∑
I-3mm 。
(b)
题I-3图
【解】(a) (1) 将图形看成大圆S 1减去小圆S 2，形心为C 1和C 2；
(2) 在图示坐标系中，x 轴是图形对称轴，则有：y C =0 (3) 二个图形的面积和形心；
22112
2
2220040000 mm 0806400 mm 100 mm
C C S x S x ππππ=?===?==
(4) 图形的形心；
6400100
19.05 mm
4000064000
i i
C i
C S x x S
y πππ-?=
=
=--=∑∑
(b) (1) 将图形看成大矩形
C 1和C 2；
S S
(2) 在图示坐标系中，y 轴是图形对称轴，则有：x C =0 (3) 二个图形的面积和形心；
2112
2216012019200 mm 60100606000 mm 50 mm
C C S y S y =?===?==
(4) 图形的形心；
1920060
600050
64.55 mm
192006000
C i i
C i
x S y y S
=?-?=
=
=-∑∑ I-4 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静矩。
题I-4图
【解】（a ）)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+??=?= （b ）)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =?
?=?= （c ）)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-??=?= （d ）)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-??=?=
I-5试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
题I-5图
【解】用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如题I-4图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为：
θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
R R x d dx x S R R
x =--?=-?=?=??
πθθθπ
π
因为c x y A S ?=，所以c y R R ??=232132π π
34R
y c = I-6 图（a ）所示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
（a ） (b)
题I-6图
【解】圆的方程为：
222r y x =+
如图（b ），作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin
22-=?
-αα
α
αsin sin 42
222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -??????+--=
)4sin 41
(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222
1100)20100(=-+x
36002
1=x )(601mm x =
34
6020100tan =-=
α )(927.013.5334
arctan 0rad ===α
)(10963.3)52.212sin 927.04(8
1004704
mm I x ?=-?=
I-7 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
题I-7图
【解】正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a
z a A
z ?
?
?
?
?+
--
+
---+==2
20
2
22
222
2222
2
22
][22
20
2
20
22
20
2
2
2dy y dz dy y dz a a z a z a ?
?
?
?
+
-+
-+?=
[]
[]
][322
20
2
20
3
222
20
3
?
?+
--+
+?=a a z a
a z dz y dz y
])22()22()22()22([3222
0302
23??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z
a a a z a z 2
2
40
2
244)22(324)22(32????????????+--????????????+?=-
=???
? ??+16163244a a 12
4a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。
I-8 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
题I-8图
【解】(a))(21177368])175150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=
απ (b))(9044999915090121
210150121433mm I x =??-??=
I-9 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的x 轴的惯性矩。
题I-9图
【解】已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是12
3
bh ，利用平行轴定理，可求
得截面对形心轴x 0的惯性矩
12
)3)(21(3
20bh h bh I x =+
所以 36
18123
330
bh bh bh I x =
-= 再次应用平行轴定理，得
4
36836)32)(21(3
3320bh bh bh h bh I I x x =+=+=
I-10 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少？
题I-10图
【解】20a 号槽钢截面对其自身的形心轴x 0、y 0的惯性矩是
I x 0=1.78×107mm 4，I y 0=1.28×106mm 4；横截面积为A 0=2883mm 2；槽钢背到其形心轴y 0的距离是mm x 1.200=。
根据惯性矩定义x 0和平行轴定理，组合截面对x ，y 轴的惯性矩分别是
02x x I I =； 2000)2
(22x a
A I I y y ++=
若 y x I I =
即 20000)2
(222x a
A I I y x ++=
等式两边同除以2，然后代入数据，得
267)1.202
(2881028.11078.1+?+?=?a
于是 6.75288310)28.178.1()1.202(6
=?-=+a
所以，两槽钢相距 a =2(75.6-20.1)=111mm 。
附录Ⅰ 截面的几何性质 §I ?1 截面的静矩与形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d (I ?1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式(I ?1),上式可写成 ? ??? ? ? ? ==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d (I ?2) 或 ? ? ? ==C y C z Az S Ay S (I ?3) ? ?????? == A S z A S y y C z C (I ?4) 如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。即: ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 (I ?5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。 将式(I ?5)代入式(I ?4),得到组合图形形心坐标的计算公式为 图I ?1
??? ? ??????? ??==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 (I ?6) 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。 解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m 323.008.0072.02 .008.046.0072.0II I II II I I 1 1 =+?+?= ++= = ∑∑==A A y A y A A y A y n i i n i ci i c §I ?2 惯性矩、惯性积与极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到 坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 与z 2 d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性 矩,ρ2 d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分 ? ??? ? ? ?===???A ρI A z I A y I A A y A z d d d 2 P 22 (I ?7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 由图(I ?2)可见,222z y +=ρ,所以有 ??+=+==A y z A I I A z y A ρI )d (d 222P (I ?8) 即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。 另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分 A zyd I A yz ?= (I ?9) 定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。 从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。惯性矩 00、 例题I ?1图 图I ?2
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =? ?=?= ； （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为： '
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x = --?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li — Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 ￥ 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ? 右 150 20 3000 75 225000 … 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai > (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci ( AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 … 8000 80 128000
附录Ⅰ截面的几何性质 I-1选择题 1 在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心。 B.图形两个对称轴的交点必为形心。 C.图形对对称轴的静矩为零。 D.使静矩为零的轴必为对称轴。 2 在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正，可负，也可为零。 A.静矩和惯性矩。 B.极惯性矩和惯性矩。 C.惯性矩和惯性积。 D.静矩和惯性积。 3 设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I, 则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为（B）。 A．2I B.4I C.8I D.16I
4 若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是（A）。A．静矩为零，惯性矩不为零B．静矩不为零，惯性矩为零。 C．静矩和惯性矩均为零。D．静矩和惯性矩均不为零。 5 直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=（ B ）。 （A）D/2 （B）D/4 （C）D/6 （D）D/8 6 若截面有一个对称轴，则下列说法中，（D）是错误的。
A．截面对对称轴的静矩为零。 B．对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。 C．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。 D．截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。 7 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的( B) 。 （A）形心轴B）主惯性轴 （C）形心主惯性轴（D）对称轴
8 在yoz 正交坐标系中，设图形对y , z 轴的惯性矩分别为I y 和I z ，则图形对坐标原点的极惯性矩 （ B ） 。 （A ） I p =0 （B ） I p = I y + I z （C ）22x y P I I I += （D ）2 22x y p I I I += 9 静矩的国际单位是 （ D ） 。 （A ） m 4。 （B ） m 。 （C ） m 2 。 （D ） m 3 10 图示矩形截面b×h 对y 轴的惯性矩为（B ）。
习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04 .01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c) (a) z (b)
l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++== ? ? () 2 c += - = ? ?n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c π ππ342 3 22 22 3 2 2 2 c r r r r ydy y r y r = = -= ? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c * * mm 24000302040=??==y A S z z O (d) (a) (b)
解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：()64 64 64 4 2 4 14 2 4 1 d d d d I z -= - =πππ 解：12 12 12 4 2 4 14 2 4 1 a a a a I z -=- = I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 43 2bh y bdy h y I h z = ?? ? ???= ? I ?6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C
附录I 截面的几何性质 I - 1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称z c 0.3m 0.6 0.2 0.1 0.2 0.4 0.4 0.4 0.2 0.7 yc0.6 0.2 0.2 0.4 0.4 0.2 0.3 0.1 0.15 0.1 0.4 0.05 0.3 0.1 0.1 0.4 0.3 0.1 0.05 0.1 0.4 0.3 0.3 0.1 0.1 0.4 I - 2 试求平面图形的形心坐标。 解: 习题 ⑻ (b) (c) 0.357m 解：z c y c
附录I 截面的几何性质 2 2r 3 3 ~2 r 2 -3试求图示截面的阴影线面积对 z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） S z A y c 40 20 30 24000mm 3 解: Z c y c I z n zdz o -| n z dz □l i n i n y ydy i z n dz 由对称 z c r i n (d) (b) y c 4r 3 解: y 2ydy
附录I 截面的几何性质 求以下截面对z 轴的惯性矩。（ z 轴通过截面形心） 1 1 z i C 1 a2 % i t i r a 1 2 r a1 (b) 4 解: I z 生 12 I - 5 试求图示三角形截面对通过顶点 A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 1 - 6 试求图示r=1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行, 相距1m 。 解：S ； A y c 65 20 32.5 42250mm 3 解: I z d 4 64 d ； 64 d ： d ； a 2 12 12 解: h y bdy 0 h ' bh 3
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为： 3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 1 160 5 8000 8 128
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai (c)