附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+??=?=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =?
?=?= ；
（c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-??=?=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-??=?=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为： '
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =
--?=-?=?=??
πθθθπ
π
因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置
矩形 Li —
Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边
上 400 20 8000 ￥
160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 ?
右
150 20 3000 75 225000 …
14000
1730000
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/∑Ai
>
(b)
解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置
矩形 Li Bi Ai Yci (
AiYci
Yc Xci AiXci Xc 下
160
10
1600
5
…
8000
80
128000
左 90 10 900 55 。
49500
5 4500
2500
，
57500
23
132500
53
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
<
解：
习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置
型钢号 Ai(cm2) Yci(cm) AiYci(cm3) Yc(cm) Xci(cm) AiXci(cm3) ）
Xc(cm) 槽钢20
10 等边角钢80*10
…
]
Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
…
dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ?=??=?==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ??
?
-?==
2/0042
/0
2
3
2
2cos 1]4[sin ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02/0
4θθθππd d r ??-?= }]2[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ?=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：
16
4
r I I x y ?=
=π
微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为： ，
xydA dI xy =
8
)42(21]42[21)(2144404222
20
2
2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r
x r r
xy =-=-=-==??
?
- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：
222r y x =+
如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin 22-=?
-α
α
~
α
αsin sin 42
222arcsin 8)2(
82r r r y r y r r y y -??????+--=
)4sin 41
(24αα-=r )4sin 4(84αα-=r 222
1100)20100(=-+x
360021=x )(601mm x =
34
6020100tan =-=
α )(927.013.533
4arctan 0
rad ===α
)(10963.3)52.212sin 927.04(8
1004704
mm I x ?=-?=
[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。 —
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z a
z a A
z ?
?
?
?
?+
--
+
---+==2
20
2
22
2222222
2
2
2
][22
20
2
20
22
20
2
2
2dy y dz dy y dz a a z a z a ?
?
?
?
+
-+
-+?=
[]
[]
][322
20
2
20
3
222
20
3
?
?+
--+
+?=a a z a
a z dz y dz y
])
2
2()22()22()22([3222
030223??+-+--++?=-a a a z d a z a z d a z a a a z a z 2
2
40
2
244)22(324)22(32????????????+--????????????+?=-
=???
? ??+16163244a a 12
4a = 故正方形对其的对角线的惯性矩为：12
4
a I z =。
)
[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。
(a) 解：)(21177368])175150
(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-??=-=απ (b)
)(904499991509012
1
210150121433mm I x =??-??=
[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩
、
所以
再次应用平行轴定理，得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴
的惯性矩
?
再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩
[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x 的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是
上面一个圆的圆心到
轴的距离是d 6
32。
利用平行轴定理，得组合截面对
轴的惯性矩如下：
&
[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是
。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩
)(657600002)101201151012012
1
(
104.34237
mm I z =???+??+?= （b ）等边角钢 的截面积是
，其形心距外边缘的距离是 mm ，
求得组合截面对轴 的惯性矩如下：
习题I-11（b ）图
图形 b '
h Ixc a A Ix 中间矩形 10 600 0 0 ;
6000 0 上矩形 250
10 20833 305 2500 3 下矩形 —
250 10 20833 305
2500 3 左上L 形 1795100 ;
1926 5 右上L 形
1795100 1926 5 #
左下L 形 1795100 1926 5 右下L 形
,
1795100
1926
5 A a I I xc x 2+=
45
[习题I-12] 试求习题I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利
用该题的结果。
解：形心轴
位置及几何尺寸如图所示。惯性矩 计算如下：
"
[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13(a)
图形bi hi Ai Yci AiYci Yc、
ai
Ixc Ix(mm4)
上矩形1000100100000650、
225
33
下矩形300600180000300&
125
00 00
全图2800000425?
习题I-13(c)
图形bi hi r，
Ai
Yci AiYci Yc Ixc(mm4)ai Ix(mm4)
习题I-13( b)
图形bi hi Ai Yci AiYci:
Yc
ai Ixc Ix(mm4)上图(3)2515037502751031250？148 7031250
中图(2)200150300001253750000【 2
下图(1)10050500025125000》102 1041667
全图387504906250"
127
矩形 2140 1150
!
2461000
575 00
8333 159 8275 半圆
|
790 -980333 335 -7
791
399 全图 @
1480667
33
734
(
半圆：
π3/4r y c =
半圆：π
π9/88/44r r I xc
-=
习题I-13(d)
图形
bi hi Ai Yci AiYci
~
Yc
ai Ixci
Ix(mm 4)
从下往上
220
16
3520
8
28160
-
374 75093
3
180
14
2520
23
57960
\
359 41160 0
16 674 10784 367 3957728
\
0 9 9
220
14
3080
711
2189880
&
329 50307 7
445
9
4005
2893613
[
341 27034 5
23909
9127341
\
382
14
[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42?的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。 解：先求形心主轴
的位置
截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：
（y 轴向下为正）
：
（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）
（组合图形对形心轴x 的惯性矩）
习题I-14
b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a)
AiYci
、
Yc(a)
Ixc
ai
Ix(a4)
矩形 4 2 1
-
-8 圆 4
`
0 0
<
-8
[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100 的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
[
解：
习题I-15
图形 bi hi r Ai Yci AiYci Yc
！
Ixci ai Ix 正方形 200 200 40000 100 4000000
—
3
2 1
半圆
50
-3927 79
"
-309365
685977 24 2860346
全图36073
(
3690635 102 5
π3
4
100
r
y
c
-
=
π
π
9
8
8
4
4r
r
I
xc
-
?
=A
a
I
I
xc
x
2
+
=
形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：4
130686455mm
I
x
=。对竖直形心轴的惯性矩：
。
)
(
130878966
8
50
14159
.3
12
200
8
12
4
4
4
4
4
mm
r
a
I
y
=
?
-
=
?
-
=
π
习题I-15
图形a r Iy（mm4）
正方形200
&
半圆
502454367
全图 6
8
12
4
4r
a
I
y
?
-
=
π
[习题I-16] 图示由两个a
20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩
x
I和y
I相等，则两槽钢的间距a应为多少
#
解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，
；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。
根据惯性矩定义 和平行轴定理，组合截面对 ， 轴的惯性矩分别是
；
若
即
等式两边同除以2，然后代入数据，得
于是
）
所以，两槽钢相距
[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I
解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则
由平行移轴公式得：
224
1
)2()2(0h b bh b h abA I I C C y x xy =??+=+=
故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 2
24
1h b I xy =
%
[习题I-18] 图示截面由两个的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。
解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。过C 点作水平线，向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的直线为c y 轴向上为正。把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转0
45
后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴
00,y x 。主惯性矩max 0I I x =，min 0I I y =
查型钢表得：号等边角钢的参数如下：
《
2373.24cm A = ，4'46.14900cm I I x y ==，4
'89.5730
0cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：
cm z a 295.3)5.045.3(212
2
20=+=?+
= )(1820]373.24)295.3(46.149[242max 0cm I I x =?+?==
)(114889.57324min 0cm I I y =?==
（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）
[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。
习题I-17
图形 (
b h Ixy 左矩形
10
100
250000
下矩形:
100 10 > 250000
重复加的矩形
10 10 2500 全图 上图+下图-重复图= 497500
解：12
4
a I x =
、
12
4
a I y =
0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）
1200212122sin 2cos 2244
41a a a I I I I I I xy y x y x x =-++=--++=αα
1200212122sin 2cos 2244
41
a a a I I I I I I xy y x y x y =--+=+--+=αα
0002cos 2sin 2
11=-=+-=
ααxy y
x y x I I I I
结论：
1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；
2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。
。
（a ）
解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。
)
(5.575146666)402400(201212]40200)2402400(40200121[4323mm I x =?-??+???-+??=)
(6.183146666203201212]40200)2202200(20040121[4323mm I y =??+???-+??=)(2592000002]40200)220
2200()2402400([4mm I xy -=???-?--=
3164.16
.1813466665.575146666)
259200000()2(22tan 0=--?-=
--=
y
x xy I I I α
'47523164.1arctan 200==α
'242600=α
Ix $
Iy Ixy
-0 Ix0= 7
$
-0
Iy0=
2
24)(2
12
0xy
y x y
x y x I I I I I I I +-±
+=
(b)
解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II 。则组合截面的形心计算如下：
习题I-20(b) 长度单位:cm
？
图形
Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc
I, 1064
II16·
-15
全图；
习题I-20（b）
图
形
Ai i a bi-
Ixci'
Iyci'Ixci Iyci Ixciyci'Ixciyci tan2a0a0Ix0Iy0）
I
19811650
、
II
—
全
图
`
22962490
@
[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的
x
I，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径mm
r100
=。
解：圆的方程为：
2
2
2100
=
+y
x
把y轴的半径10等分，即mm
10
=
δ。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块的中点的y坐标与x坐标如下表所示。
习题I-21
i y
i x
i a
δ
i i x a δ2
5 5 10 24969 15 15 10 222454 25 25 10 605154 35 35 10 1147518 45 45 10 1808383 55 55 10 2526373 65 65 10 3210722 75 75 10 3720588 85 85 10 3806005 95
95
10
2818055 近似解i
i i
x x a I δ∑==
10
1
2
精确解16
10014159.3164
4
?=
?=r I x π 误差(%)
[习题I-22] 试证明：直角边长度为a 的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为72
4
a I xy
=（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）
解: b
y b h z )
(-=
24
)(22
220220
0h b ydy y b b h ydy zdz dA yz I b b
z A
yz =-=??????==????
72
23324)3)(3(2
222h b bh h b h b A h b I I yz
z y C C -=??-=-= 令a h b ==得:72
||4
a I C C z y =.
下面我们来讲一下预制梁的横向力分布系数计算 从上面我能看出常见的预制梁包括板梁、小箱梁、T梁 跨中横向力分布系数： 对于板梁和小箱梁由于横向联系比较薄弱，所以采用铰接板梁法 对于T梁有横隔板比较多，认为是刚接，所以采用刚接板梁法 梁端横向力分布系数： 通常采用杠杆法 下面就讲一下30米简支转连续T梁横向力分布系数计算： 主梁横断面见附件 桥博计算横向力分布系数计算需要输入的数据见附件 包括主梁宽、抗弯、抗扭、左板长、左板惯矩、右板长、右板惯矩、主梁跨度 G/E等 首先计算主梁的抗弯抗扭惯矩（中梁、边梁断面尺寸见附件，梁高200cm） 中梁： ==================================================== = MIDAS SPC TEXT OUTPUT FILE = = (Tue Jun 17 20:45:16 2008) = = - - = ==================================================== ==================================================== UNIT: KN . M ==================================================== ==================================================== * Section-P1 (PLANE) ==================================================== * A : * Asx : * Asy : * Ixx : 抗弯惯矩 * Iyy : 0. * Ixy : * J : 抗扭惯矩---------------------------------------------------- * (+)Cx : * (-)Cx : * (+)Cy :
15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形 的底边平行，相距1 m。 解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图 所示。惯性矩计算如下： 返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示， 试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和 。
解：先求形心主轴的位置 即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。 根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对， 轴的惯性矩分别是 ； 若 即
Harbin Institute of Technology 材料力学电算大作业 课程名称：材料力学 设计题目：组合截面几何性质计算 作者院系： 作者班级： 作者姓名： 作者学号： 指导教师： 完成时间：
一、软件主要功能 X4，X5，X6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置X与面积的乘积 Y4，Y5，Y6分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面的形心位置Y与面积的乘积 Xc,Yc是总截面的形心坐标 Ix1,Ix2,Ix3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x轴平行的轴的惯性矩 Iy1,Iy2,Iy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与y轴平行的轴的惯性矩 Ixy1,Ixy2,Ixy3分别是n1个圆形截面，n2个圆环形截面，n3个矩形截面对通过形心且与x,y轴平行的两轴的惯性积 a是通过形心的主轴与x轴的夹角 Imax,Imin分别是截面对形心主轴的主惯性矩 软件截图： 二、程序源代码 Dim n1 As Double Dim d1(10) As Double Dim X1(10) As Double Dim Y1(10) As Double Dim n2 As Double Dim d2(10) As Double
Dim d3(10) As Double Dim X2(10) As Double Dim Y2(10) As Double Dim n3 As Double Dim h(10) As Double Dim d(10) As Double Dim X3(10) As Double Dim Y3(10) As Double Dim S1 As Double, S2 As Double, S3 As Double Dim X4 As Double, Y4 As Double, X5 As Double, Y5 As Double, X6 As Double, Y6 As Double Dim Xc As Double, Yc As Double Dim Ix1 As Double, Iy1 As Double, Ix2 As Double, Iy2 As Double, Ix3 As Double, Iy3 As Double, Imax As Double, Imin As Double Dim Ixy1 As Double, Ixy2 As Double, Ixy3 As Double Dim a As Double Private Sub Text1_Change() n1 = Val(Text1.Text) For i = 1 To n1 d1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的直径")) X1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y1(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next i For i = 1 To n1 S1 = S1 + 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 X4 = X4 + X1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 Y4 = Y4 + Y1(i) * 3.14159 * d1(i) * d1(i) / 4 Next i End Sub Private Sub Text2_Change() n2 = Val(Text2.Text) For i = 1 To n2 d2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的外径")) d3(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆环的内径")) X2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的x坐标值")) Y2(i) = Val(InputBox("输入第" & (i) & "个圆的圆心的y坐标值")) Next i For i = 1 To n2 S2 = S2 + 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 X5 = X5 + X2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 Y5 = Y5 + Y2(i) * 3.14159 * (d2(i) * d2(i) - d3(i) * d3(i)) / 4 Next i End Sub Private Sub Text3_Change()
~ 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 ) 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 / 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： {
返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。 解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： ： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图 所示。惯性矩计算如下：
返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所 示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 和。 解：先求形心主轴的位置 ！ 即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少 （ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。
看大家对横向力分布系数计算疑惑颇多，特在这里做一期横向力分布系数计算教程（本教程讲的比较粗浅，适用于新手）。 总的来说，横向力分布系数计算归结为两大类（对于新手能够遇到的）： 1、预制梁（板梁、T梁、箱梁） 这一类也可分为简支梁和简支转连续 2、现浇梁（主要是箱梁） 首先我们来讲一下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了，所以先讲这个吧） 在计算之前，请大家先看一下截面 这是一个单箱三室跨径27+34+27米的连续梁，梁高1.55米，桥宽12.95米！！ 支点采用计算方法为为偏压法（刚性横梁法） mi=P/n±P×e×ai/(∑ai x ai) 跨中采用计算方法为修正偏压法（大家注意两者的公式，只不过多了一个β） mi=P/n±P×e×ai×β/(∑ai x ai) β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2×G×∑It/(12×E×∑ai^2 Ii) 其中：∑It---全截面抗扭惯距 Ii ---主梁抗弯惯距Ii=K Ii` K为抗弯刚度修正系数，见后 L---计算跨径 G---剪切模量G=0.4E 旧规范为0.43E P---外荷载之合力 e---P对桥轴线的偏心距 ai--主梁I至桥轴线的距离 在计算β值的时候，用到了上次课程https://www.doczj.com/doc/1e16706683.html,/thread-54712-1-1.html 我们讲到的计算截面几何性质中的抗弯惯矩和抗扭惯矩，可以采用midas计算抗弯和抗扭，也可以采用桥博计算抗弯， 或者采用简化截面计算界面的抗扭，下面就介绍一下这种大箱梁是如何简化截面的： 简化后箱梁高度按边肋中线处截面高度(1.55m)计算，悬臂比拟为等厚度板。 ①矩形部分(不计中肋): 计算公式:It1=4×b^2×h1^2/(2×h/t+b/t1+b/t2) 其中：t,t1,t2为各板厚度
第七章 截面几何性质 基本要求与重点 1.形心与重心 （1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。 （2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。 （3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。 2.面积静矩（又称静矩或面矩） （1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。 （2）能熟练计算组合图形的静矩。 （3）熟知面积静矩的重要性质。 3.惯性矩与极惯性矩。 （1）理解惯性矩与极惯性矩 （2）了解惯性矩与极惯性矩的定义 （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系 （4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。 （5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩 （6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。 4.了解惯性积、形心主轴的概念 主要内容 1.形心与重心 （1）概念与性质 重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。 （2）计算 形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式： 11n n ic i ic i i i c c x A y A x y A A ==????==∑∑， 2.面积静矩（又称静矩或面矩） （1）定义：分为代数式和积分式两种形式 有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。 积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩；所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。 （2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心；反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 60 10 160 5 8000 8 128 000
截面几何性质计算 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介： 1、首先在CAD中画出如下图的图形； 2、用region命令将图形转化成内外两个区域； 3、用subtract命令求内外区域的差集； 4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米； 5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 2008-6-6 23:10
附录Ⅰ 截面的几何性质 §I ?1 截面的静矩和形心位置 如图I ?1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分 ? ??? ?==??A z S A y S A y A z d d （I ?1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得 ? ??? ??? == ??A A z z A A y y A C A C d d 利用公式（I ?1），上式可写成 ? ??? ? ? ?==== ??A S A A z z A S A A y y y A C z A C d d （I ?2） 或 ? ? ? ==C y C z Az S Ay S （I ?3） ? ??????== A S z A S y y C z C （I ?4） 如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即： ?? ??? ?? ==∑∑==n i ci i y n i ci i z z A S y A S 11 （I ?5） 式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。 将式（I ?5）代入式（I ?4），得到组合图形形心坐标的计算公式为 图I ?1
??? ? ?????????==∑∑∑∑====n i i n i ci i c n i i n i ci i c A z A z A y A y 111 1 （I ?6） 例题I ?1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。 解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则 A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m 323.008.0072.02 .008.046.0072.0II I II II I I 1 1 =+?+?= ++= = ∑∑==A A y A y A A y A y n i i n i ci i c §I ?2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 如图I ?2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现在图形内取微面积d A ，d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 和z ，到坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 和z 2d A 为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分 ? ??? ? ? ?===???A ρI A z I A y I A A y A z d d d 2 P 22 （I ?7） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 由图（I ?2）可见，222z y +=ρ，所以有 ??+=+==A y z A I I A z y A ρI )d (d 222P （I ?8） 即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。 另外，微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积，而积分 A zyd I A yz ?= （I ?9） 例题I ?1图 图I ?2
习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 [ 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04 .01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??= z 、 m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 " O (c) (a) z y — (b)
解： l n n dz z zdz z z l n l n 2 1 0c ++= = ?? ()2 c += -=??n l dz z ydy y l y n l n l n n · 解：由对称 r z =c πππ342 322223 20 2 2c r r r r ydy y r y r ==-= ? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） — 解：3 c **mm 24000302040=??==y A S z z O (d) (a)
解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z ( I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） ） 解：() 64 64 64 42414 24 1d d d d I z -= - = πππ 【 解：12 12124 2 414241a a a a I z -=-= I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： (a) [ (b) |
15-1(I-8)? 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 ????????????? 所以?????? ?????? 再次应用平行轴定理，得 ????????????? 返回 15-2(I-9)? 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距 1 m。 ? 解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩 ????????????? ??? 再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 ????????????? ???????????????????? 返回 15-3(I-10)? 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是
上面一个圆的圆心到轴的距离是。 ??? 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： ????????????? 返回 15-4(I-11)? 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。 解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 ?????? ?????? （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： ??????? 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下： ?????? 返回 15-6(I-14)? 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和。 解：先求形心主轴的位置 即 ?????? ??????
截面几性质计算 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、长、质心、惯性矩 操作简介： 1、首先在CAD中画出如下图的图形； 2、用region命令将图形转化成外两个区域； 3、用subtract命令求外区域的差集； 4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米； 5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ----------------REGIONS---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（长）:13.7034 Bounding box（边缘）:X: -1.7000-- 1.7000 Y: 0.0000-- 1.6000 Centroid（质心）:X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia:X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia:XY: 0.0000 Radii of gyration:X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 2008-6-6 23:10
习题 I ?1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =?+?+???+??+??=y 解：m 093.04.01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =?+???+??=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =?+???+??= y I ?2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c (a z y O (b
l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++==?? ()2 c += -=??n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c πππ342 322223 2 2 2c r r r r ydy y r y r ==-=? I ?3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c **mm 24000302040=??==y A S z z O (d (a) (b)
解：3 c **mm 422505.322065=??==y A S z I ?4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：() 64 64 64 42414 24 1d d d d I z -= - =πππ 解：12 12124 2 414241a a a a I z -=-= I ?5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 4302bh y bdy h y I h z =?? ? ???=? I ?6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C d
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：
3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc 离顶边 上 400 20 8000 160 1280000 左 150 20 3000 75 225000 右 150 20 3000 75 225000 14000 1730000 123.6 46.4 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 Li Bi Ai Yci AiYci Yc Xci AiXci Xc 下 160 10 1600 5 8000 80 128000 左 90 10 900 55 49500 5 4500 2500 57500 23 132500 53 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai (c)
附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为： 3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 1 160 5 8000 8 128