第3章电路的灵敏度分析
第三章 网络的灵敏度分析
§3.1网络的灵敏度
灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。
网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。
网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作：
p
T
S ∂∂=
(3.1a)
有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的定义是：
p
T
p T T p S ln ln 00∂∂=∂∂=
(3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的定义是：
p
T
p S ∂∂=0
(00=T 时)， p T T S ∂∂=01 (00=p 时) (3.1c)
式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。
当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。此时要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。
图3.1 为常用的电桥测量电路。以1U 为激励，2U 为响应的网络函数为 4
33211
12R R R R R R U U H +++-==
(3.2) 设1R 、4R 为热敏电阻，由式(3.2)并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H 对电阻1R 、
4R 的灵敏度分别为
22121)(R R R R H
+-=∂∂ 2
4334)(R R R R H
+=∂∂
只有简单电路才能求出网络函数或响应与电路参数的显式表达式，从而借助数学上求偏导数的方法求出灵敏度。为了对较大规模电路进行灵敏度分析，并且便于编写电路灵敏度分析通用程序，须建立系统的灵敏度分析方法。
§3.2增量网络法
当网络参数发生微小变化时，各元件电压、电流便随着产生增量。在增量网络法中，要根据原来网络构造一增量网络(incremental network)，用以表示电压、电流增量之间的关系。对增量网络进行分析，即可求得全部网络响应对网络元件参数的灵敏度。用增量网络法求灵敏度，关键是如何形成增量网络，又如何根据增量网络求得灵敏度。 2.1 增量网络的构成
构造增量网络要依据电压、电流增量所满足的结构约束和元件约束。 先分析结构约束。元件参数改变前，电路的基尔霍夫定律方程为
KCL ：0=AI (3.3a)
KVL ：n T U A U ＝ (3.3b)
其中I 、U 、n U 分别表示支路电流、支路电压列矢量与节点电压列矢量。在灵敏度分析中，一个二端元件对应一条支路，一个二端口元件对应两条支路，例如受控源的控制端口和被控端口分别对应两条支路。
当某(些)元件参数发生改变时，支路电流、支路电压以及节点电压列矢量也将发生变化，将其增量分别记作U I ∆∆、、n U ∆。在分析灵敏度时电路结构保持不变。因此参数变化后的基尔霍夫定律方程为
KCL ：0＝＝I A AI I I A ∆∆++)( (3.4a) KVL ：0＝＝)(n n T U U A U U ∆∆++ (3.4b)
对比式(3.3a)与(3.4a)、式(3.3b)与(3.4b)得出
KCL ：0＝I A ∆ (3.5a)
KVL ：n T U A U ∆∆＝ (3.5b) 式(3.5a)、(3.5b) 就是增量网络的结构约束。它们表明各支路电流、电压增量满足与原网络形式相同的KCL 、KVL 方程，所以增量网络与原网络具有相同的拓扑结构。
下面再讨论增量网络的元件约束，即在增量网络中各元件电压增量与电流增量之间的关系。 (1) 阻抗元件
在电路的相量模型中，阻抗可以作为元件，称为阻抗元件。类似还有导纳元件。原网络中的阻抗元件方程为
图3.1 灵敏度举例
R R
I Z U
= 阻抗参数改变之后的元件方程为
))(()(I I Z Z U U ∆∆∆++=+ 展开并略去二阶小量得
I Z I Z U
∆+∆=∆ (3.6) 这就是阻抗元件对应的电压、电流增量约束方程。其电路模型如图3.2所示。
图3.2 阻抗支路的增量网络模型
I
∆Y
图3.3 导纳支路的增量网络模型
(2)导纳元件
与阻抗元件类似，可以求得与导纳元件对应的电压、电流增量约束方程：
U Y U Y I
∆+∆=∆ (3.7) 其电路模型如图3.3所示。
(3)独立电源
对于独立电源，其值不变，即独立电流源S I 为常量；独立电压源S
U 为常量。则在增量网络中有
0=∆S I 0=S
U ∆ (3.8) 即对应原网络的独立电流源，在增量网络中用开路代替；而对应原网络的独立电压源，在增量网络中用短路代替。
(4)受控电源
以电压控制电流源(VCCS)为例，它在原网络N 中的元件方程为
j m k U g I = 0=j
I 其中k i 、分别表示控制支路和被控支路的编号。当元件参数发生变化时有
))(()(j j m m k k U U g g I I ∆+∆+=∆+ 0)(=∆+j
j I I 忽略高阶小量，在增量网络中有
=∆∆+∆=∆j m
j j m k I g U U g I (3.9)
其电路模型如图3.4。
同理可以得出其它受控电源或其它电路元件在增量网络中的元件方程及电路模型。在此不一一分析。
2.2 用增量网络计算灵敏度
将各元件的增量模型按照原来的互联关系联在一起，便得到电路的增量网络模型。在增量网络模型中，作为激励的各独立电源都与相应元件参数的增量成正比。根据叠加定理和齐性定理，增量网络的响应即电流、电压的增量必将是元件参数增量的线性组合，其系数便是待求的灵敏度。下面举例说明。 注：求谁的灵敏度才变谁。
【例】3.1电路如图3.5(a)所示。已知V 2=S U ,Z 1＝0.5Ω,Y 2=4S,S 13
=Y g m =2S 。求电压U
n1及2
n U 对1Z 、3Y 及m g 的灵敏度。
3 Y ①
②
(a)
(b)
图3.5 例题3.1电路
【解】 (1) 用节点法求原网络的解答。节点方程为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++--+0//11
21323331Z U U U Y Y g Y Y Y Z S n n m 代入已知数据求解得
25.11=n U V , 25.02
-=n U V , 有关支路电压电流为
5.1/)(111=-=Z U U I n S A, 5.12
13=-=n n U U U V (2) 根据各元件增量网络模型，构造图3.5(a)的增量网络如图3.5(b)所示。同样用节点法进行求解。增量网络的节点方程为
图3.4 受控源的增量网络模型
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∆∆∆∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+m n n n m g U Y U Y U Z Z I U U Y Y g
Y Y Y Z 1333
311121323
331//1 －－ 代入已知数据解得
m n m
n g Y Z U g Y Z U ∆∆∆∆∆∆∆∆64
158364564
5836425312
311-+=---=
由上式得所求各灵敏度为
64
15
,83,64
564
5,83,642523212
1
3111
-=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂-=∂∂-=∂∂m n n n m n n n g U Y U Z U g U Y U Z U
增量网络法也可表达成矩阵形式。矩阵形式的节点电压方程为
)(T S S e n e n n I U Y A U A AY U Y -==
其中e Y 表示支路导纳矩阵，A 是节点支路关联矩阵。利用矩阵对标量求导规则，将上式两端对参数i p 求偏导数得
S i
e i n e n i e p p p Y U Y
A U A AY U A A
∂∂=∂∂+∂∂T T 将支路电压与节点电压关系n U A U T =代入上式得增量网络方程的矩阵形式 )(T U U A U A A U A U Y -∂∂=∂∂-∂∂=∂∂S i
e n i e S i e i n n
p Y
p Y p Y p (3.10) 仍以图3.5(a)为例说明计算步骤。图3.5(a)的网络线图如图3.6所示，各矩
阵分别为
关联矩阵 ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=11100101A 支路导纳矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=00
000000
0000/1321m
e g Y Y Z Y 支路源电压列矢量 V ]0002[T =S
U
支路源电流列矢量 T ]0000[=S
I 图3.6 图3.5的网络线图
①
节点导纳矩阵 S 5113/132331
T ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡++--==Y Y g Y Y Z m
e n A AY Y (1) 节点源电流列矢量 A 040/)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-Z U
S S S e I U Y A (2)
由式(1)、(2)得节点电压法方程
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-04511321n n U U (3) 方程(3)的解为 T n n n U U ]25.025.1[][T 21-==U
支路电压列矢量为 V ]25.05.125.025.1[T T --==n U A U 根据式(3.10)分别得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡-=-∂∂=∂∂025.1][0000
00000000000/1)(211
1U U Z Z Z S S e
n n A U U Y A U Y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-∂∂=∂∂025.1][000001000000
0000)(3
3U U Y Y S S e
n n
A U U Y A U Y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-∂∂=∂∂25.10][0001
00000000
0000)(U U g g S S m
e
m n n
A U U Y A U Y 由以上各式求得灵敏度为
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂64564251211Z U
Z U n n , ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂83833231Y U Y U n n , ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂641564521m n m n g U g U
§3.3 伴随网络法
伴随网络法是计算灵敏度的又一常用方法。当计算网络函数对全部参数的
灵敏度时，宜采用此方法。在伴随网络法中，要依据原网络及其网络函数的定义构造一个伴随网络。对原网络和伴随网络分别进行分析，求得各元件电压、电流。然后由相关电压、电流之积便可求得网络函数对某参数的灵敏度。分以下几个方面说明伴随网络法的原理和计算步骤。 3.1 网络函数增量的一般形式
二端口网络的网络函数共有四种，均为元件参数的函数，用一般符号记作
),,,,,,,()(1
212
1212μβm m r g C L G R f I I U I I U U U H == 或或或 (3.11)
设元件参数有微小增量，则网络函数的增量与元件参数增量关系近似为
∑∑∑∑∑∑∑∑
∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂≈μβμμββi i
r mi
mi i i g mi mi C i i
L i i G i i R
i i H
r r H H g g H C C H
L L H G G H R R H H m m ∆∆∆∆∆∆∆∆∆ (3.12)
其中各偏导数即为网络函数对相关参数的灵敏度。在伴随网络分析法中，用网
络响应之积表示各灵敏度，因此并不需要求出网络函数的解析表达式。 3.2 特勒根定理在伴随网络法中应用
在伴随网络法中，首先要构造一个与待分析网络N 具有相同拓扑结构的伴
随网络，记为N ~
。设网络N 的元件参数发生微小变化，引起支路电压列矢量和支路电流列矢量分别变为U U ∆+和I I ∆+。根据特勒根定理2(即在增量网络与N ~
之间使用特勒根定理)得
0~
~)(~=+=+U I U I U U I ∆∆T T T ⇒0~=U I ∆T (3.13)
0~
~)(~=+=+I U I U I I U ∆∆T T T ⇒0~=I U ∆T (3.14)
由上两式又得
0~
~=-I U U I ∆∆T T (3.15)
其中I U ~
~， 表示伴随网络的支路电压和电流列矢量；I U ∆∆，表示原网络支路电压与电流的增量列矢量。各支路电压与电流均采用关联参考方向。否则，相应变量前面要改变符号。
当分析二端口网络函数的灵敏度时，将上式展开得 ......]
)~
~()~~()~~()~~([~~~~22221111∑∑∑∑+-+-+-+--=-+-C
Ci Ci Ci Ci L
Li Li Li Li G
Gi
Gi Gi Gi R Ri Ri Ri Ri I U U I I U U I I U U I I U U I I U U I I U U I ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
(3.16)
式中等号左边对应端口支路变量，右边对应网络内部各元件的变量。
3.3 伴随网络的构造及灵敏度计算公式
比较式(3.12)与(3.16)可以得出，构造伴随网络的原则是：(a)使式(3.16)式等号左边等于网络函数的增量H ∆；(b) 使式(3.16)右边具有与式(3.12)右边相似的表达式。这样就不难求得网络函数对各参数的灵敏度。故伴随网络的构造可分两步进行，即端口构造和内部构造。 (1) 伴随网络端口的构造
伴随网络端口的构造方法取决于网络函数的具体定义，共有4种情况。每种情况端口的构造结果见表3.1。下面仅对激励、响应均为电压的情况(即网络函数
为电压转移函数)进行详细分析。其它情况可照此进行。
网络函数定义为响应与激励之比。在线性网络中，该比值与激励的量值无关。
为求电压转移函数，令激励的量值为V 11
=U ，则对应的响应量值就等于网络函数的量值，响应的增量就是网络函数的增量，即
2
V 11
2
1
U U U H U === 2U H ∆∆= 根据电压转移函数的定义有01=U ∆，02
=I ∆。若伴随网络的端口满足 0~1=U ，A 1~2
=I (3.17) 则式(3.16)左边为
H U I U U I I U U I ∆∆∆∆∆∆==-+-222221111~
~~~ (3.18) 因此，式(3.17)就是电压转移函数对应的伴随网络端口的构造结果。
表3.1 网络函数的定义及伴随网络端口的构成
(表中以相量为例)
(2) 伴随网络内部的构造及灵敏度计算公式
伴随网络内部的构成与网络函数的具体定义形式无关。表3.2总结了常用网络元件的伴随模型及灵敏度计算公式。下面仅对电阻元件进行详细分析。对其它元件可循此思路来分析。
在式(3.16)中，对应第i 个电阻的求和项可以展开写成
Ri Ri Ri i i Ri Ri Ri Ri Ri i Ri i Ri Ri
Ri Ri i Ri Ri i i Ri Ri Ri Ri Ri I U I R R I I I U I R I R I I U I R I I R R I I U U I ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆)~
~(~~)(~~]))([(~)~~(---=++-≈+-++-=-- 由此可见，当伴随网络响应元件的构造使得
0~~=-Ri Ri i U I R (3.19) 则得 i Ri Ri Ri Ri Ri Ri R I I I U U I ∆≈∆-∆- ~)~~( (3.20)
此时式(3.20)的右边出现与式(3.12)右边相似的形式。因此得到网络函数对电阻的灵敏度为
Ri Ri i
I I R H ~-=∂∂ (3.21)
为满足式（3.19），原网络的电阻元件，对应伴随网络仍为同一电阻元件，即
i i R R =~
(3.22)
同理分析得
对电导：i i G G =~，i Gi Gi Gi Gi Gi Gi G U U I U U I ∆∆∆ ~)~~(≈--，灵敏度： Gi Gi i U U G H ~ =∂∂
对电感：i i L L =~，i Li Li Li Li Li Li L I I I U U I ∆∆∆ ~j )~~(ω-≈--，灵敏度： Li
Li i I I L H ~j ω-=∂∂ 对电容：i i C C =~，i Ci Ci Ci Ci Ci Ci C U U I U U I ∆∆∆ ~j )~~(ω≈--，灵敏度： Ci
Ci i
U U C H ~j ω=∂∂
即二端RGLC元件在伴随网络中保持不变。
类似地也可求出受控电源等其它元件的伴随模型。结果见表3.2。
表3.2 伴随网络内部构成及灵敏度计算公式(表
中以相量为例)
(1) 用某种方法(例如节点法、回路法等)求解原网络方程 W TX =，得到原网络的支路电压和支路电流的解答。
(2) 根据网络函数的定义，由表3.1构造相应伴随网络的端口。 (3) 由表3.2构造伴随网络的内部元件模型。
(4) 求解伴随网络，得到伴随网络支路电压和支路电流的解答。 (5) 由表3.2的相应公式计算网络函数对所有参数的灵敏度。
【例】3.2 网络如图 3.7(a)所示。定义网络函数i
o U U H /=。用伴随网络法求H 对m g C L R 、、、的灵敏度。
(a) (b)
o
~
~
~
图3.7 例题3.2电路
【解】 (1) 令1=i
U ，求解原网络得： L
R I I ωj 12
1+== , 03=I , L R R g I I m ωj 5
4+=-= L R L U ωωj j 1
+= , L
R R U U ωj 3
2+== , )j (j 54L R C R g U U U m o ωω+-=== (2) 由表3.1和表3.2构造伴随网络，结果如图3.7(b)。
(3) 求解伴随网络得：
)j (j ~1
L R C R g I m ωω+-= , )j (j j ~2L R C Lg I m ωωω+= , C
g I m
ωj ~3-= ,
)j (j j ~~3
21L R C R Lg U U U m ωωω+-=-=-= , C
U U ωj 1~~5
4-== (4) 由表3.2计算各灵敏度
C L R L g I I R H m 222)j (~ω+-=-=∂∂ , C L R R g I I L H m 2
11)j (~j ωω+=-=∂∂ )
j (j ~j 255L R C R g U U C H m ωωω+==∂∂ , )j (j ~43L R C R U U g H m ωω+-==∂∂
§3.3 响应对激励的灵敏度
一 定义
U S
I S S I B U A U +=o A U U =∂∂S
o
B I U =∂∂S
o
图3.8 响应对激励的灵敏度
上述偏导数称为响应对激励的灵敏度。其实
0S o
==
S I U U A 0
o ==S S U I U B
二 互易定理
图3.9 互易定理
三 灵敏度的计算
U S
I
I A
-=ˆ
-
+
I A
-=ˆ
U ˆ
-
+
图 3.10 响应对激励的灵敏度计算原理
例题: 求相应对激励的灵敏度
o o
S S
,
u u u i ∂∂∂∂。 S
u o u +-
2
R u β+-
-+u 2u
1
=例题电路
伴随网络
解 画出伴随网络如图。2
2211
1
,
u
R u R i R R ββ==-
=
o 2o
122S 1S
,u R
u i u R u R i β∂∂=-=-==∂∂ 练习1 求节点电压12,n n U U 对2R 和m g 的灵敏度。设
123S 10,20,25,0.5S,3A m R R R g I =Ω=Ω=Ω==。
U +-1U +-
2+
2
Z 3
Z 1
I
练习1电路 练习2电路 练习2 设网络函数21U T U =
，求灵敏度1,m
T T Z r ∂∂∂∂。2211212
1
(
,)()m m T Z r
T Z Z Z r Z Z ∂+∂=-=∂+∂+ 练习3 求I 对S U 和S I 的灵敏度。
U +-
5U
（0.2 1.6S
S I U
I =-+）
第三章 网络的灵敏度分析 §3.1网络的灵敏度 灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。 网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。 网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作： p T S ??= (3.1a) 有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的定义是： p T p T T p S ln ln 00??=??= (3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的定义是： p T p S ??=0 (00=T 时)， p T T S ??=01 (00=p 时) (3.1c) 式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。 当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。此时要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。 图3.1 为常用的电桥测量电路。以1U 为激励，2U 为响应的网络函数为 4 3321112R R R R R R U U H +++-== (3.2) 设1R 、4R 为热敏电阻，由式(3.2)并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H 对电阻1R 、
第三章 电力系统运行的灵敏度分析及应用 第一节 灵敏度分析 分析在给定的电力系统运行状态下，某些量发生变化时，会引起其他变量发生多大变化的问题。这一问题当然可通过潮流计算来解决，但计算工作量大。采用灵敏度分析法，计算量小，并可揭示各量之间的关系。但变化量大时，灵敏度分析法的精度不能保证。 一、灵敏度分析的基本方法 1、常规计算方法 电力系统稳态运行的潮流方程一般性描述为： ? ? ?==),(0 ),(u x y y u x f （3-1） x 为状态变量，如节点电压和相角；u 为控制变量，如发电机输出功率或电 压；y 为依从变量，如线路上的功率。实际上，（3-1）中0),(=u x f 就是节点功率约束方程，),(u x y y =是支路功率与节点电压的关系式。 设系统稳态运行点为),(00u x ，受到扰动后系统的稳态运行点变为 ),(00u u x x ?+?+。为了求出控制量变化量与状态量变化量之间的关系，在) ,(00u x 处将（3-1）按泰勒展开并取一次项，得： ??? ???? ???+???+=?+=???+???+=?+?+u u y x x y u x y y y u u f x x f u x f u u x x f ),(0),(),(0000000 （3-2） 将???==),(0 ),(000 00u x y y u x f 代入，有： ??? ???????+???=?=???+???u u y x x y y u u f x x f 0 （3-3）
??? ?? ? ??=???? ????+??=???+???=??=?????? ????-=?-u S u u y S x y u u y x x y y u S u u f x f x yu xu xu 1 （3-4） 其中 ??? ??? ???? ????+??=??? ?? ????-=-u y S x y S u f x f S xu yu xu 1 （3-5） 为u 的变化量分别引起x 和y 变化量的灵敏度矩阵。 如果控制变量为各节点的有功、无功设定量，则 []1...11diag u f =??，所以， xu S 就是潮流方程的雅可比矩阵的逆。x u ??,为两个不同状态间的变化量。 2、准稳态灵敏度计算方法 考虑到电力系统运行的实际： （1） 初始控制变量的改变量，与到达新稳态的最终改变量不同； （2） 一个控制量的变化可能使另一些控制量也发生变化。 所以控制变量的初始改变量与最终改变量不同，表示为： )0(u F u ?=?u （3-6） 由此得到准稳态的灵敏度关系： ?? ????=?=?=??=?=?=?) 0()0() 0()0(u S u F S u S y u S u F S u S x R yu u yu yu R xu u xu xu （3-7） 第二节 潮流灵敏度矩阵 1、发电机母线电压改变量G V ?与负荷母线电压改变量D V ?之间的灵敏度关系 节点注入无功的平衡量方程 Q )cos sin (Q i i =+≈--∑∑∈∈i j ij j i j ij ij ij ij j i B V B G V V θθ （3-8）
第3章单相正弦交流电路的基本知识 前面两章所接触到的电量，都是大小和方向不随时间变化的稳恒直流电。本章介绍的单相正弦交流电，其电量的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化，是交流电中的一种。这里随不随时间变化是交流电与直流电之间的本质区别。 在日常生产和生活中，广泛使用的都是本章所介绍的正弦交流电，这是因为正弦交流电在传输、变换和控制上有着直流电不可替代的优点，单相正弦交流电路的基本知识则是分析和计算正弦交流电路的基础，深刻理解和掌握本章内容，十分有利于后面相量分析法的掌握。 本章的学习重点： ●正弦交流电路的基本概念； ●正弦量有效值的概念和定义，有效值与最大值之间的数量关系； ●三大基本电路元件在正弦交流电路中的伏安关系及功率和能量问题。 3．1 正弦交流电路的基本概念 1、学习指导 （1）正弦量的三要素 正弦量随时间变化、对应每一时刻的数值称为瞬时值，正弦量的瞬时值表示形式一般为解析式或波形图。正弦量的最大值反映了正弦量振荡的正向最高点，也称为振幅。 正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的作功能力，因此引入有效值的概念：与一个交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。正弦交流电的有效值与它的最大值之间具有确定的数量关系，即I 。 I2 m 周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间；频率指正弦量一秒钟内所变化的周数；角频率则指正弦量一秒钟经历的弧度数，周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题：正弦量随时间变化的快慢程度。 相位是正弦量随时间变化的电角度，是时间的函数；初相则是对应t=0时刻的相位，初相确定了正弦计时始的位置。 正弦量的最大值（或有效值）称为它的第一要素，第一要素反映了正弦量的作功能力；角频率（或频率、周期）为正弦量的第二要素，第二要素指出了正弦量随时间变化的快慢程度；初相是正弦量的第三要素，瞎经确定了正弦量计时始的位置。 一个正弦量，只要明确了它的三要素，则这个正弦量就是唯一地、确定的。因此，表达一
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度分析；（线性规划中就 是指）建立数学模型和求得最优解后，研究线性规划的一个或多个参数（系数）c j , a ij , b j 变化时，对最优解产生的影响。 2、影子价格：当约束条件常数项增加一个单位时，最优目标函数值增加的数量。 3、约束条件常数项中增加一个单位而使得目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条 件的对偶价格。 4、图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。 5、在引入了目标值和正、负偏差变量后，可以将原目标函数加上负偏差变量，减去正 偏差变量，并其等于目标值，这样形成一个新的函数方程，把它作为一个新的约束条件，加入到原问题中去，称这种新的约束条件为目标约束。 6、实现值和目标值之间会有一定的差异，这种差异称为偏差变量(事先无法确定的未知 量)。 7、在一个通信系统中,在收到某个消息之后,接收端所了解到的该消息发送的概率称为后 验概率. 8、在一个具有几个顶点的连通图G中，如果存在子图G'包含G中所有顶点和一部分 边，且不形成回路，则称G'为图G的生成树，代价最小生成树则称为最小生成树。 9、当某个基被选定之后，如果计算出该基的基解≥0, 即其中每个基变量的值都是≥0, 则此基解被称为基本可行解。 10、各阶段开始时的客观条件或自然条件叫做状态，描述各阶段状态的变量称为状态变量 11、样本信息指我们抽取的一个或多个样本的具体信息。 12、所谓的定量分析就是基于能够刻画问题的本质的数据和数量的关系，建立能描述问题的目标、约束及其关系的数学模型，通过一种或多种数量方法，找到最好的解决方案。 13、0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个整数的整数线性规划； 14、（1）分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。（2）分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝），再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下界的距离，最后得整数规划的最优解。
第三章 电路的暂态分析 含有电感或电容储能元件的电路，在换路时会出现暂态过程。本章研究了暂态过程中电压与电流的变化规律。 主要内容： 1．暂态过程的基本概念。 2．换路定则：在换路瞬间，电容电流和电感电压为有限值的情况下，电容电压 和电感电流在换路前后的瞬间保持不变。 3．RC 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。 4．RL 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。 5．一阶线性电路暂态分析的三要素法：一阶线性电路在直流激励下的全响应零、 输入响应和零状态响应都可以用三要素法τt e f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(来求出。 6．暂态过程的应用：对于RC 串联电路，当输入矩形脉冲，若适当的选择参数 和输出，可构成微分电路或积分电路。 [练习与思考]解答 3-1-1什么是稳态？什么是暂态？ 解：当电路的结构、元件参数及激励一定时，电路的工作状态也就一定，且电流 和电压为某一稳定的值，此时电路所处的工作状态就称为稳定状态，简称为稳态。 在含有储能元件的电路中，当电路的发生换路时，由于储能元件储的能量的变化，电路将从原来的稳定状态经历一定时间变换到新的稳定状态，这一变换过程称为过渡过程，电路的过渡过程通常是很短的，所以又称暂态过程。 3-1-2什么是暂态过程？产生暂态过程的原因是什么？ 解：含有储能元件的电路从一个稳态转变到另一个稳态的所需的中间过程称为电 路的暂态过程（过渡过程）。暂态过程产生的内因是电路中含有储能元件，外因是电路发生换 路。 3-2-1 初始值和稳态值分别是暂态过程的什么时刻的值？ 解：初始值是暂态过程的+=0t 时刻的值，稳态值是暂态过程的∞=t 时刻的值。 3-2-2 如何求暂态过程的初始值？
第三章敏感度和风险分析 第二节敏感性分析 研究内容：1、什么叫敏感、敏感性和敏感性分析？ 2、什么叫敏感系数？ 3、敏感性分析的步骤 4、例题 5、敏感性分析的局限性 一、概述 1.敏感：由于某种因素的作用，给项目经济效益指标带来牵一发而动全身的变化 2.敏感性：经济评价指标对其影响因素的变化的反应。用敏感程度可说明各影响因素发生变化单位时引起评价指标变化多大，并以此确定关键因素。用敏感方向反应影响因素的变化会引起评价指标同向变化还是反向变化，并以此确定影响因素的变化给项目带来有利影响还是有害影响 3.敏感性分析：预测分析项目不确定因素发生变动而导致经济指标发生变动的灵敏度，从中找出敏感因素，并确定其影响程度与影响的正负方向，进而制定控制负敏感因素的对策，确保项目的经济评价总体评价的安全性 4.敏感系数（敏感度）：为影响因素的单位变化△X K引起的评价指标的变化△V K，记作S 其表达式为：S＝△V k/△X k=评价指标变动的幅度/因素变动的幅度 5.对敏感性分析应注意的问题： 1)敏感性分析是针对某一个(或几个)效益指标而言来找其对应的敏感因素，即具有针对性 2)必须有一个定性(定量)的指标来反映敏感因素对效益指标的影响程度 3)作出因这些因素变动对投资方案承受能力的判断 不确定性因素｛产品生产成本、产量(生产负荷)、主要原材料价格、燃料或动力价格、、可变成本、、固定资源投资、建设周期、外汇汇率｝等 6. 敏感性分析的作用：提高决策的准确定、可靠性 特点：方法简单、易掌握 7.敏感性分析方法分类 经济敏感性分析:据国民经济评价指标所做的敏感性分析 财务敏感性分析:据项目财务评价指标所做的敏感性分析 单因素敏感性分析:每次只变动一个参数而其他参数不变 多因素敏感性分析:考虑各种因素可能发生的不同变动幅度的多种组合，分析其对方案经济效果的影响程度 二、单因素敏感性分析 1.步骤和注意要点 (1)确定敏感性分析的经济效益指标(一般选择一个主要指标即可) (2)选择对评价指标有影响的不确定因素：对项目效益指标影响较大(或可能性较大)的现金流入和现金流出。而且应尽可能选择基本的又彼此独立的不确定因素。 (3)确定不确定因素变化率(变动幅度):实践中不确定因素变化程度主要以变化率表示，通常取±10%的变化率。 (4)计算各不确定因素变动后评价指标值 (5)分析指标变动的幅度 A.敏感度系数：项目评价指标变化的百分率与不确定因素变化的百分率之比 某不确定因素敏感度系数=评价指标相对基本方案的变化率/该不确定因素变化
第 3 章电路的一般分析方法与常用定理 重点 1．KCL和KVL独立方程数的概念； 2．支路法、网孔法、节点法等复杂电路的方程法； 3．叠加定理； 4．戴维宁定理和诺顿定理； 5．最大功率传输定理。 难点 1．独立回路的确定； 2．含独立电源的结点电压方程和回路电流方程的列写； 3．各电路定理的应用条件； 4、正确作出戴维南定理的等效电路。 3.1 支路电流法 电路的一般分析方法是指在给定电路结构和元件参数的条件下，不需要改变电路结构，而是通过选择电路变量（未知量），根据KCL 和KVL 以及支路的VCR 建立关于电路变量的方程组，从而求解电路的方法。 一、支路电流法 支路电流法是以支路电流为未知量，根据KCL建立独立节点电流方程，根据KVL 建立独立回路电压方程，然后解联立方程组求出各支路电流。 上图中选定各支路电流参考方向，并设各支路电压与支路电流为关联参考方向。根据KCL 列出的节点电流方程分别为
在上图所示的平面电路中含有3个网孔，若选择网孔作为回路，并取顺时针为回路绕行方向，根据KVL 列出含VCR 的回路电压方程分别为 上面这3个回路电压方程也是相互独立的，对应于独立方程的回路称为独立回路。 由此可见，上图所示的电路共设有6条支路电流为未知量，分别列出了3个独立节点电流方程和3个独立回路电压方程，恰好等于6条未知的支路电流数，因此可以解出各支路电流。 二、支路电流法的应用 应用支路电流法分析电路的关键在于确定独立节点和独立回路。 可以证明，对于具有n 个节点，b 条支路的电路，其独立节点数为（n -1 ) ，独立回路数为L ＝ b -（n -1）。对于平面电路，由于网孔数等于独立回路数， 综上所述，应用支路电流法求解电路的一般步骤是： (1) 选定支路电流的参考方向，确定独立节点、独立回路及其绕行方向。 （2）根据 KCL 列出（n-1）个独立节点电流方程。 （3）根据 KVL 列出L ＝ b-（n-1）个独立回路电压方程。 （4）解方程组求出各支路电流。 （5）根据题意要求计算支路电压和功率等。 3.2 网孔电流法 一、网孔电流法 网孔电流法是以假想沿着网孔边界连续流动的网孔电流为未知量，根据 KVL 对全部网孔列出电路方程，从而求解网孔电流，进而求得支路电流和电压的方法。 下图中网孔电流分别为1m i ，2m i 和3m i ，电路中各支路的电流都可以用网孔电流来表示，即
电力系统灵敏度分析及其应用 电力系统是现代工业社会重要的基础设施之一，其运行稳定性 尤其重要。然而，现实中电力系统存在着复杂、动态、非线性、 不确定性等多种问题，这些问题使得系统的运行非常复杂和困难。电力系统灵敏度分析作为一种重要的研究方法，可以帮助人们更 好地理解电力系统的运行机理和规律，从而更好地管理和控制电 力系统。 一、灵敏度分析的基本原理 灵敏度是指某个系统特性随着系统参数的微小变化而发生的变 化的程度。在电力系统中，灵敏度分析指系统各项指标对电力系 统参数的微小变化所产生的反应程度。在灵敏度分析中，常用的 参数包括电气量（如电压、电流等）、系统状态（如电阻、电容、电感等）、系统控制量（如潮流、功率等）等。 灵敏度分析的基本原理可以概括为以下三个步骤：首先，确定 要分析的系统特性和系统参数；其次，确定分析的方案和方法； 最后，对选定的参数进行变化，求出相应的特性响应，并计算特 性与参数之间的相对灵敏度。 二、灵敏度分析的应用 灵敏度分析在电力系统中有广泛应用。以下介绍其中几种应用：
1、电力系统规划与设计 电力系统规划和设计是制定电力系统建设方案的过程，灵敏度分析在这个过程中有着非常重要的作用。灵敏度分析可以帮助工程师确定各个参数的设计标准，并可以进一步确定建设方案和系统运行的可行性。 2、系统辨识 系统辨识是电力系统中一种重要的方法，它可以用来建立电力系统的数学模型。在这个过程中，灵敏度分析可以帮助工程师确定参数的最优值，并可以进一步优化系统结构和参数。 3、异常分析 当电力系统中出现故障或异常时，灵敏度分析可以帮助工程师确定问题所在，进一步确定问题的性质和位置，并可以采取相应的措施来解决问题。 4、控制系统设计和优化 控制系统设计和优化是提高电力系统运行效率和稳定性的重要途径。灵敏度分析可以帮助工程师确定关键参数，以使系统更加稳定和高效。 5、市场运营和发电计划制定
电力系统灵敏度分析及控制 电力系统是国家重要的基础设施之一，其运行状况直接关系到国家的经济和社 会发展。电力系统灵敏度是指在电力系统的运行中，对于各种因素的变化，系统本身所产生的响应程度。因此，灵敏度分析可以发现电力系统的弱点和实际运行中可能面临的风险，进而有针对性地采取措施，提高电力系统的可靠性和安全性。 电力系统灵敏度的分析方法有很多种，其中比较常用的方法是状态灵敏度和潮 流灵敏度方法。 状态灵敏度方法是指在电力系统状态求解的过程中，计算各节点电压和相角等 状况，据此分析系统对各种状态参数的响应程度。例如，在考虑节点电压变化的情况下，可以通过计算状态灵敏度来确定节点电压变化的影响程度和相关的电流变化。 潮流灵敏度方法是指在电力系统潮流方程求解的过程中，计算各节点电流、有 功功率、无功功率等方面的变化，据此分析系统对各种潮流参数的响应程度。例如，在考虑线路故障的情况下，可以通过计算潮流灵敏度来确定线路故障的影响程度和可能造成的电压跌落。 除了灵敏度分析，控制也是提高电力系统可靠性和安全性的重要手段之一。电 力系统的控制可以分为两类：静态控制和动态控制。 静态控制主要是通过调节电力系统的稳态参数，如发电机出力、负荷电流等， 来实现电力系统的稳定性控制。通过精细的调节，可以在保证电力系统的稳态参数的同时，实现功率的平衡和电压的稳定。 动态控制则主要是在电力系统出现故障时，对系统进行保护和控制，使其能够 尽快恢复正常状态。例如，在电力系统短路故障的情况下，可以采取断路器的动作来切断故障部分，保护电力系统设备并防止故障的扩散。
总的来说，电力系统灵敏度分析和控制是电力系统运行中非常重要的工作。通 过灵敏度分析，可以及早发现电力系统的问题，采取有效的措施来提高电力系统的可靠性和安全性；通过控制手段，可以快速响应电力系统的故障，并及时采取措施，使得电力系统尽快恢复正常状态。
各元器件对电压灵敏度的分析 随着社会的发展，科学技术的进步，家用电器已经越来越普及了。家庭电路也更加复杂多样化，而这些都离不开元件——导体与半导体。下面我们就针对几个常见元件的特性来研究一下它们对电压灵敏度 的影响。 首先从电压来说，导体、半导体元件有两种：金属和绝缘体。根据他们对外界电场变化产生感应的大小可以把它分为高、中、低三类。 1.金属导体导体导电的主要原因在于它们带负电或者正电荷（金属电极）。当电压加到导体上时，若电流相等则形成电流回路，此现象称 为欧姆定律。由于金属对电子具有较强的束缚能力所以形成导电能力比其他材料好得多。一般情况下，当金属受到正电压时，所吸收的电子数远超过失去的电子数；反之亦然。2.半导体材料半导体又叫做导电体，因为它的内部电阻很小，而且自身可以存储大量电子，当外加电压作用于半导体上时，由于其自身的电子运动，使得电子从低电势区域向高电势区域转移，而产生电流。3.绝缘体材料绝缘体顾名思义就是指除导体以外的任何物质，在所有的物质里面绝缘体对于各项性能都最差，它的优点只在于电阻率极低。同时对于磁场有很好的抗拒效果。综合上述所讲，导体元件相比较起来是容易接触并直观的，但若想深入了解便需要一定专业知识才行，而且需要更加仔细认真。总的来说，每种导体均具有高或中、低三级灵敏度。再看半导体，半导体的缺点在于他自己本身存在缺陷，若将其制造得足够精确的话可以提升导电能力，减少损耗。所以人们通过掺杂的方式来改善它的导电
性，虽然最终结果是一样的，但无论如何他始终还是受到某种限制的。 当然不是，如果这个材料被氧化了呢？那么高级别灵敏度会消失。即使电压小到一定程度仍然没事。这是因为此处有两层电势差，第一层为-3v-5V 电势差，第二层为0-+6v 电势差。在后期中还有功率扩散，稳态扩散和热扩散等工艺，完全没问题！实际上，利用半导体制作成的半导体集成电路是具备非常优秀的抗干扰能力的。当电压加载至少，瞬间达到3v 以上，基本都可以保持平衡状态。在前端输出的信号中，将电压降低至5v以下，将整个芯片彻底烧毁。
3第三讲灵敏度方法 灵敏度分析方法是指通过改变系统模型中的各种参数或变量，来观察 模型响应的变化情况，从而评估这些参数或变量对系统性能指标的敏感程 度的一种分析方法。 灵敏度方法可以用在多个领域中，如经济学、工程学、环境科学和生 物医学等。在各个领域中，灵敏度方法的目的通常是评估各种参数对系统 模型输出的影响，以帮助决策者做出更准确的决策。灵敏度方法的主要目 标是确定系统中哪些参数最为重要，以及调整这些参数对系统性能的改进 程度。在灵敏度分析中，通常会使用一些统计和数学方法，例如敏感性系 数和相关系数等，来量化参数对性能指标的影响程度。 灵敏度分析方法通常可以分为两类：一是局部灵敏度分析方法，二是 全局灵敏度分析方法。局部灵敏度分析方法基于一定的模型假设，通过改 变参数的固定范围内的值，观察模型输出的变化程度来评估参数的重要性。这种方法的优点是计算简单，并且可以在较短的时间内给出结果。然而， 局部灵敏度分析方法只能给出在一定范围内的参数改变情况下的影响程度，不能反映出参数的整体作用。全局灵敏度分析方法则可以考虑系统中参数 之间的相互作用，从而给出更全面和准确的结果。全局灵敏度分析方法的 缺点是计算复杂度较高，需要更多的计算资源和时间。 在具体应用中，灵敏度分析方法可以帮助决策者识别关键的控制参数，优化系统性能；帮助预测未来状态，制定合理的控制策略；评估模型的可 靠性和稳定性；提供系统优化的指导等。例如，在经济学中，灵敏度分析 方法可以帮助分析人们的投资行为对经济发展的影响；在环境科学中，灵 敏度分析方法可以评估污染物浓度对生态系统的影响，帮助制定相应的环 境政策。
在实际应用中，灵敏度分析方法需要基于准确的数学模型和合理的参数设定进行。同时，对于大规模的复杂系统，灵敏度分析方法的计算复杂度往往较高，需要借助计算机模拟和优化算法来求解。此外，灵敏度分析方法也需要考虑不确定因素对结果的影响，以及参数之间的非线性关系，以提供更准确和可靠的结果。 总之，灵敏度分析方法是一种评估参数对系统性能指标敏感程度的重要分析方法。通过灵敏度分析，可以帮助决策者识别关键参数，优化系统性能，制定合理的控制策略，从而提高决策的准确性和效果。在实际应用中，需要基于准确的数学模型和合理的参数设定进行，并结合计算机模拟和优化算法进行求解，以得到准确、可靠的结果。
电路实验报告误差分析 电路实验报告误差分析 在进行电路实验时，我们常常会遇到各种误差，这些误差可能来自于测量仪器 的精度、电路元件的质量、环境因素等。准确地分析和处理这些误差对于实验 结果的可靠性和准确性至关重要。本文将围绕电路实验报告误差分析展开讨论。 一、误差来源及分类 1. 仪器误差：测量仪器的精度是影响实验结果准确性的重要因素。仪器误差可 以分为系统误差和随机误差两类。系统误差是由于仪器固有的缺陷或校准不准 确导致的，通常是恒定的偏差。随机误差则是由于测量过程中的不确定性导致的，通常呈正态分布。 2. 元件误差：电路元件的质量和精度也会对实验结果产生影响。元件误差包括 电阻、电容、电感等元件的额定值与实际值之间的差异。这些误差可能是由于 制造工艺、材料质量差异等原因引起的。 3. 环境误差：在实验过程中，环境因素也会对实验结果产生一定的影响。例如 温度变化会导致电阻值的变化，湿度变化会影响电容器的性能等。 二、误差分析方法 1. 误差传递法：误差传递法是一种常用的误差分析方法，它通过计算各个误差 源对最终结果的贡献来评估实验结果的准确性。该方法适用于线性系统，可以 将各个误差源的误差传递到最终结果上，并进行相应的计算。 2. 统计方法：统计方法是一种较为客观和全面的误差分析方法。通过多次实验 重复测量，可以得到一系列测量值，然后利用统计学方法计算平均值、标准差 等统计指标，从而评估实验结果的准确性和可靠性。
3. 灵敏度分析：灵敏度分析是一种通过改变电路参数来评估实验结果对参数变 化的敏感程度的方法。通过计算实验结果对参数变化的导数，可以得到实验结 果对参数变化的灵敏度，从而判断参数误差对实验结果的影响程度。 三、误差处理和减小 1. 仪器校准：定期对测量仪器进行校准，可以减小仪器误差。校准可以通过标 准参考器件或其他精密仪器进行，校准结果可以用于修正测量结果。 2. 实验设计：合理的实验设计可以减小误差的影响。例如，在测量电阻时，可 以选择合适的测量范围和精度，避免过大或过小的测量范围导致的误差。 3. 数据处理：对实验数据进行合理的处理和分析也可以减小误差。例如，使用 加权平均值代替简单平均值，可以根据测量误差的大小给予不同的权重。 四、误差分析案例 以测量电路中的电阻为例，假设理论值为100Ω，测量值为98Ω。通过统计方法，我们进行多次测量并得到了一系列测量值，计算平均值为98.5Ω，标准差 为0.5Ω。通过误差传递法，我们可以计算出测量误差对最终结果的贡献为0.5Ω。通过灵敏度分析，我们可以得到电阻值对测量误差的灵敏度为0.5Ω/Ω。综合考 虑这些分析结果，我们可以得出结论：测量误差是由于仪器精度和环境因素导 致的，对实验结果的影响较小。 总结： 电路实验报告误差分析是保证实验结果准确性和可靠性的重要环节。通过对误 差来源的分析和分类，选择合适的分析方法，合理处理和减小误差，可以提高 实验结果的准确性。在实际实验中，我们应该注重对误差的分析和处理，以确 保实验结果的可靠性。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案《运筹学》期末考试试卷习题库答案 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn k 0，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn k的检验数求最小值），其经济意义是什么？ n k 0（标准形为 ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 a,c,b 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计 划中，第i种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计 划中，第i种资源一定还有剩余。 ji来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 8．对于ij 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 a,c,b 9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 k。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi 0，且xi所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。三、写出下列线性规划的对偶问题 （1）maxZ 3x1 2x2 x3 （2）maxz 2x1 2x2 3x3 x4 x1 x2 2x3 5 4x1 2x2 x3 7 3x1 2x2 x3 9 x,x,x3 0 12 ； x1 x2 x3 x4 12 2x1 x2 3x3 1 x3 x4 3 x1 x1,x2 0,x3,x4无约束； （3）minz x1 2x2 3x3 （4）minz x1 x2 2x 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第八章灵敏度分析 目的：介绍灵敏度分析的用法，研究过程变量之间的关系。 （1）灵敏度分析 ●可使用户研究输入变量的变化对过程输出的影响 ●在灵敏度模块文件夹的Results表上能够查看结果 ●可以把结果绘制成曲线，使不同变量之间的关系更加形象化 ●在灵敏度模块中对流程输入量所做的改变不会影响模拟，灵敏度研究独立于基础工 况模拟而运行 ●位于/Data/Model Analysis Tools/Sensitivity下 （2）灵敏度分析的用法 ●研究输入变量的变化对过程（模型）的影响 ●用图表表示输入变量的影响 ●核实设计规定的解是否可行 ●初步优化 ●用准稳态方法研究时间变化变量 （3）灵敏度分析应用步骤 a）定义被测量（采集）变量 -它们是在模拟中计算的参量，在第4步将要用到（Sensitivity Input Define页）b）定义被操作（改变的）变量 -它们是要改变的流程变量（Sensitivity Input Vary页） c）定义被操作（改变的）变量范围 -被操作变量的变化可以按在一个间隔内等距点或变量值列表来规定（Sensitivity Input Vary页） d）规定要计算的或要制成表的参量 -制表参量可以是任何合法的Fortran表达式，表达式含有步骤1中定义的变量(Sensitivity Input Tabulate页) （4）绘图 a）选择包括X轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择X-Axis变量 b）选择包括Y轴变量的列，然后选择从Plot菜单下选择Y-Axis变量 c）（可选的）选择含有参数变量的列，然后从Plot菜单下选择参数变量 d）从Plot菜单下选择Display Plot
第15章灵敏度分析（Sensitivity）工具的使用15.1电路原理图设计及电路模拟仿真 1、电路原理图设计 以射频放大器为例，其图如15-1所示。 图15-1射频放大器的电路图 将PSpice-AA参数库的电阻R调出，将其符号连击2次
2 第15章灵敏度分析（Sensitivity）工具的使用 就可以调出它的属性如图15-2所示。 图15-2采用虚拟变量名设置电阻的AA参数 图中，负容差（NEGTOL）：虚拟变量（RTOL%）=10（见设计变量表）；正容差（POSTOL）：虚拟变量也用（RTOL%）=（也是）10。 2、电路模拟仿真 调用PSpice对射频放大器电路进行交流分析。
第2篇Cadence OrCAD EE 简明教程 3 图15-3交流分析参数设置 交流分析结果及电路输出波形如图15-4所示。从图中可以看出增益、带宽均为适宜，对标称值设计已经理想。下一步是灵敏度分析。
4 第15章灵敏度分析（Sensitivity）工具的使用 图15-4交流分析结果 15.2确定电路特性参数 为进行灵敏度分析将电路特性参数（带宽、增益）细化，在交流分析结果输出时，可在显示模拟分析结果的Probe窗口中，选择菜单Trace/Evaluate Measurement子命令，如图15-5所示。
第2篇Cadence OrCAD EE 简明教程 5 图15-5 Trace/Evaluate Measurement子命令在出现的Evaluate Measurement (跟踪测量) 对话框中，选择电路特性函数3dB的带宽，具体设置如图15-6所示。
灵敏度结果的分析 Sensitivity工具运行后，可以在如图4-20所示的Sensitivity工具窗口查看相关的显示信息。分析Sensitivity工具运行结果。在此基础上，修改元器件参数设置，改进电路设计，并把生成的灵敏度信息结果传送给其他优化工具。 1.修改最灵敏的元器件参数 在Sensitivity工具窗口的Parameter表格区选中一个元器件名称，单击右键在出现的快捷菜单中，执行FindinDesign子命令，将使电路图中该元器件处于选中状态，同时窗口切换为电路图绘制软件Capture窗口。在电路图中查找最灵敏的元器件，并修改它们的参数值大小，更好的适应电路设计要求。如图4-23所示。 注解说明：在Sensitivity工具窗口还可以执行Analysis/Sensitivity/FindinDesign子命令，其功能作用与执行快捷菜单中的FindinDesign子命令相同。 2.设置好的灵敏度信息结果传送给其他优化工具 在Sensitivity工具窗口的Parameter表格区选中要进行优化设计的元器件名称，单击右键在出现的快捷菜单中，执行SendtoOptimizer把元器件参数发送给Optimizer工具，进行元器件参数的优化设计分析。如图4-24a所示。
同样,在Sensitivity工具窗口的Specification表格区选中要进行优化设计的电路特性函数名称，单击右键在出现的快捷菜单中，执行Sendto子命令把元器件参数发送给Optimizer/MonteCarlo工具。如图4-24b所示。
若要查看灵敏度原始数据只要按如图4-25所示，在灵敏度分析窗口按下如图4-22所示命令即可调出Sensitivity分析结果清单。 调出的原始数据如图4-26所示，图中显示最后第18次运行结果。 4.7本章小结 本章在介绍灵敏度分析基本概念（定义、重要性等）的基础上重点介绍了如何使用Sensitivity工具对电路进行灵敏度分析。OrCAD10.3版本PSpice–AA中的Sensitivity工具可以对多种电路特性进行直流、交流和瞬态灵敏度分析。解决了早先版本中只局限于作直流灵敏度分析的问题。针对电路中不同的元器件特性可以透过Sensitivity分析找出最关键的元器件。这些最关键的元器件既指出容差类型及其参数值的大小又可作为Optimizer/MonteCarlo的候选角色。同时也可以指出影响较小的关键元器件，在不影响设计的效率或品质率的前提下，做出较好选择，减少成本。 在Sensitivity工具窗口的Parameters及Specifications表格区可以查看相应的分析结果。 1.1.Parameter表格区每个列的内容会随Specification表格区里所指到的特性值，去显示对应的结果。Parameter表格区行的内容显示组件的参数，在列里显示参数值及原始数据值等内容，并在Parameter表格区里用长条图显示，可以很容易的对比哪个组件对电路特性最敏感，并对此字段可做最大、小排序。 2.2.Specification表格区能够显示并启动Measurements(特性值)、仿真类型及最坏情况下的最大与最小值。在Specification表格区所指到的特性值，相应的会显示最坏情况下计算出来的最大值与最小值和随着Parameter表格区里的组件参数所计算相对或绝对灵敏度。 综上所述，清晰可见灵敏度分析既是参数优化设计的前提和基础，又是容差分析的基础 在灵敏度分析工作流程图中： 1.调用Capture绘制电路； 2.调用PSpice进行电路特性模拟； 3.确定电路特性函数； 4.检验电路特性函数模拟结果；
第三章 网络的灵敏度分析 §网络的灵敏度 灵敏度用来表征网络特性对元件参数转变的敏感程度。它在肯定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。 网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。当将一个如此的电阻接入电路时，它的真正值可能是9九、100、101等值，不必然恰好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使历时刻的增加、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的转变，元件参数值也不免要发生不同程度的转变而偏离标称值，何况有的元件本身就是作为敏感元件利用的。这些元件参数的转变必将致使网络函数或网络响应的转变，严峻时网络无法正常工作。研究元件参数转变对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析仍是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情形分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。 网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 能够是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)转变率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作： p T S ∂∂= (3.1a)
有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的概念是： p T p T T p S ln ln 00∂∂=∂∂= 相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的概念是： p T p S ∂∂=0 (00=T 时)， p T T S ∂∂=01 (00=p 时) (3.1c) 式中0p 和0T 别离是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。 当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。现在要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的概念式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。 图 为常常利用的电桥测量电路。以1U 为鼓励，2U 为响应的网络函数为 4 33211 12R R R R R R U U H +++-== 设1R 、4R 为热敏电阻，由式并按照灵敏度的概念式(3.1a)求得H 对电阻1R 、4R 的 灵敏度别离为 22121) (R R R R H +-=∂∂ 2 4334)(R R R R H +=∂∂ 只有简单电路才能求出网络函数或响应与电路参数的显式表达式，从而借助数学上求偏导数的方式求出灵敏度。为了对较大规模电路进行灵敏度分析，而且便于编写电路灵敏度分析通用程序，须成立系统的灵敏度分析方式。 §增量网络法 当网络参数发生微小转变时，各元件电压、电流便随着产生增量。在增量网络法中，要按照原来网络构造一增量网络(incremental network)，用以表示电压、电流增量之间的关系。对增量网络进行分析，即可求得全数网络响应对网络元件参数的灵敏度。用增量网络法求灵敏度，关键是如何形成增量网络，又如何按照增量网络求得灵敏度。 增量网络的组成 构造增量网络要依据电压、电流增量所知足的结构约束和元件约束。 先分析结构约束。元件参数改变前，电路的基尔霍夫定律方程为 KCL ：0=AI (3.3a) KVL ：n T U A U ＝ 其中I 、U 、n U 别离表示支路电流、支路电压列矢量与节点电压列矢量。在灵敏 图3.1 灵敏度举例 R R
第三章电阻电路的一般分析 电路的一般分析是指方程分析法，它是以电路元件的约束特性(VCR)和电路的拓扑约束特性(KCL,KVL)为依据，建立以支路电流或回路电流，或结点电压为变量的回路方程组，从中解出所要求的电流、电压、功率等。方程分析法的特点是：（1）具有普遍适用性，即无论线性和非线性电路都适用；（2）具有系统性，表现在不改变电路结构，应用KCL，KVL,元件的VCR建立电路变量方程，方程的建立有一套固定不变的步骤和格式，便于编程和用计算机计算。 本章的重点是会用观察电路的方法，熟练运用支路法、回路法和结点电压法的“方程通式”写出支路电流方程、回路方程和结点电压方程，并加以求解。 3-1 在一下两种情况下，画出图示电路的图，并说明其节点数和支路数(1)每个元件作为一条支路处理；(2)电压源(独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理。 解:(1)每个元件作为一条支路处理时，图(a)和(b)所示电路的图分别为题解3-1图(a1)和(b1)。 图(a1)中节点数6 b = = n，支路数11 图(b1)中节点数7 = b n，支路数12 = (2)电压源和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为一条支路处理时，图(a)和图(b)所示电路的图分别为题解图(a2)和(b2)。 图(a2)中节点数4 b = n，支路数8 = 图(b2)中节点数15 b = n，支路数9 =
3-2指出题3-1中两种情况下，KCL,KVL独立方程数各为多少？ 解：题3－1中的图(a)电路，在两种情况下，独立的KCL方程数分别为 (1)5 1= = 4 n 1 - - 1= 6 - 1 - = n (2)3 独立的KVL方程数分别为 (1)6 1= 8 4 + - -n + = 1 b 1= 11 1 b (2)5 + 6 + - -n = 图(b)电路在两种情况下，独立的KCL方程数为 (1)6 1= 5 - = 1 n - 7 n (2)4 1= 1 - = - 独立的KVL方程数分别为 (1)6 + 1= 9 5 b 1 -n + = - = 12 7 1 b (2)5 1= -n + + - 3-3对题图(a)和(b)所示G，各画出4个不同的树，树支数各为多少？