包络和奇解

包络和奇解

李健

【摘 要】给出了包络和奇解的定义及定理，可以用各种不同方法求解一阶隐式微分方程的奇解，包络.关键词：微分方程；通解；奇解；包络

【期刊名称】赤峰学院学报（自然科学版）

【年(卷),期】2012(000)018

【总页数】3

【关键词】微分方程;通解;奇解;包络

1 奇解

例1求方程的解.

解 令=p，则

两端对x求导数，并以p代替，得到：

从=0得到p=c，将它代入（1.1）得到原方程的通解：

从x+2 p-3=0解得x=-2 p-3，以此代入（1.1）又得原方程的一个特解：

此解称为奇解.

定义1设一阶微分方程有一特解，Γ:y=覬(x)，(x∈J)，如果对每一点Q∈Γ，在Q点的任何领域内方程（1.4）有一个不同于Γ的解在Q点与Γ相切，则称Γ是微分方程（1.4）的奇解.

定理1设函数F(x,y,p)对(x,y,p)∈G是连续的，而且对y和p有连续的偏微商F'p和F'y，若函数y=覬(x)，(x∈J)是微分方程（1.4）的一个奇解，并且(x,覬(x)覬'(x))∈G,(x∈J)，则奇解y=覬(x)满足一个称之为p-判别式的联立方程F(x,y,p)=0,F'p，（设从（1.5）中消去p得到方程△(x, y)=0（1.6），则称此所决定曲线为方程（1.4）的p-判别曲线，因此，微分方程（1.4）的奇解是一条p-判别曲线）.证明 因为y=覬(x)是微分方程（1.4）的解，所以它自然满足上述p-判别式（1.5）的第一式.

现在证明它也满足第二式.

假设不然，则存在x0∈J，使得F'p(x0,y0,p0)≠0，其中y0=覬(x0),p0=覬'(x0)注意

Fp(x0,y0,p0)=0和(x0,y0,p0)∈G，因此我们可以用隐函数定理推出，由方程（1.4）在(x0,y0)附近唯一的确定了=f(x,y（)1.7）其中函数f(x,y)满足f(x0,y0)=p0，这就证明了微

分方程（1.4）所有满足y(x0)=y0,y'(x0)=p0的解必定是微分方程（1.7）的解.