第三讲 奇解与包络（4课时）
目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。 重点：包络和奇解的求法。 难点：奇解及其求法。
教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程：
本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。
2.4.1奇解
在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程2
33dy
y dx
=的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.
例1 求方程
dy
dx
= 的所有解.
解 该方程的通解是
sin()y x C =+
此外还有两个特解1y =和1y =-。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，
图 2-13
显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 本节主要讨论一阶隐式方程
(,,)0F x y y '= (1.8)
和一阶显式方程
(,)dy
f x y dx
= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。
对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用f
y
??无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程
(,),1,2,,i dy
f x y i k dx
== 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。
其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在
000
(,,)x y y '的邻域内有 000
000
(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=??''≠? 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得
(,)y f x y '=
其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有
y y F f
y F '
'?=-
'? 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们
可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程2
33dy
y dx
=的奇解，而例1中的解1y =和1y =-
是方程
dy
dx
=的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法
假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ?上有定义，如果(,)f x y 在D 上连续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。
如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只
能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。
例2 判断下列方程
(1)
22dy x y dx =+ (2)2dy dx
=
是否存在奇解。
解 (1)方程右端函数22(,),2y f x y x y f y '=+=，均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解。
(2) 方程右端函数(,)2f x y =
在区域y x ≥上有定义且连续，
y f '=
y x >上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解。 2.4.3 包络线及奇解的求法
下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分(,,)0x y C Φ=求它奇解的方法。
当任意常数C 变化时，通积分(,,)0x y C Φ=给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线。 定义2.4 设给定单参数曲线族
():(,,)0C x y C Φ
= (2.10) 其中C 为参数，对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )
中某一曲线与L 相切，且在L 上不同点，L 与(C )中不同曲线相切，那么称此曲线L 为曲线族(C )的包络线或简称包络。见图2-14
图 2-14
定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C )的包络线L 是(1.9)的奇积分曲线。 证明 只须证明(C )的包络线L 是方程(1.9)的积分曲线即可。
设p (x ,y )为L 上任一点，由包络线定义，必有(C )中一曲线l 过p 点，且与L 相切，即l 与L 在p 点有公共切线。由于l 是积分曲线，它在p 点的切线应与方程(1.9)所定义的线素场在该点的方向一致，所以L 在p 点的切线也就与方程(1.9)在该点的方向一致了。这就表明L 在其上任一点的切线与方程(1.9)的线素场的方向一致，从而L 是(1.9)的积分曲线。证毕。
有了这个定理之后，求方程(1.9)的奇解问题就化为求(1.9)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法。
定理2.7 若L 是曲线族(2.10)的包络线，则它满足如下的C -判别式
(,,)0(,,)0C
x y C x y C Φ=
??'Φ=? (2.11)
反之，若从(2.11)解得连续可微曲线
:(),()x C y C ?ψΓ==
且满足：22()()0C C ?ψ''+≠和2
2((),(),)((),(),)0x y C C C C C C ?ψ?ψ''Φ+Φ≠,（称
为非退化条件），则Γ是曲线族的包络线.
证明 对L 上任取一点p (x ,y )，由包络线定义，有(C )中一条曲线l 在p 点与L 相切，
设l 所对应的参数为C ，故L 上的点坐标x 和y 均是C 的连续可微函数，设为
(),()x x C y y C ==
又因为p (x ,y )在l 上，故有恒等式
((),(
),)x C y C C Φ= (2.12) L 在p 点的切线斜率为
()()
L y C k x C '=
' l 在p 点的切线斜率为
((),(),)
((),(),)
x l y x C y C C k x C y C C 'Φ=-
'Φ
因为l 与L 在p 点相切，故有l L k k =，即有关系式
((),(),)()((),(),)x y x C y C C x C x C y C C y C ''''Φ+Φ= (2.13) 另一方面，在(2.12)式两端对C 求导得
((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C x C y C C x C x C y C C y C x C y C C '''''Φ+Φ+Φ= 此式与(2.13)比较，无论是在(),()x C y C ''和,x y ''ΦΦ同时为零，
或不同时为零的情况下均有下式
((),(),)C x C y C C 'Φ= (2.14) 成立。即包络线满足C -判别式(2.11).
反之，在Γ上任取一点q (C )=(Φ(C ),ψ(C )),则有
((
),(),)0((),(),)0C
C C C C C C ?ψ?ψΦ=??'Φ=? (2.15)
成立.
因为,x y ''ΦΦ不同时为零，所以对(2.10)在q 点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线
:()y h x γ=（或()x k y =）
，它在q 点的斜率为 ((),(),)
((),(),)
x y C C C k C C C γ?ψ?ψ'Φ=-'Φ (2.16)
另一方面，Γ在q 点的斜率为
()
()
C k C ψ?Γ'=' (2.17) 现在，由(2.15)的第一式对C 求导得
((),(),)()((),(),)()((),(),)0x y C C C C C C C C C C C C ?ψ??ψψ?ψ'''''Φ+Φ+Φ=
再利用(2.15)的第二式推出
((),(),)()((),(),)x y C C C C C C C
C ?ψ??ψψ''''Φ+Φ= (2.18) 因为(),()C C ?ψ''和,x y ''ΦΦ分别不同时为零，
所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,
即曲线族(2.10)中有曲线γ在q 点与曲线Γ相切.因此，Γ是曲线族(2.10)的包络线。
例3 求2
33dy
y dx
=的奇解. 解 在本章2.2节已解得方程通解为3()y x C =+由C -判别式
3
2
()03()
y x C x C ?=+?=+? 解得0y =. 由于10,()10y C ?''Φ=≠=-≠，所以0y =为原方程的奇解. 例4 求方程
dy
dx
= 的奇解。
解 由上面的例1，该方程的通解为sin()y x C =+，由C -判别式
s i n ()0c o s ()y x
C x C =+??=+?
(2.19)
的第二式解出
,0,1,2,2
x C k k π
π=-++
=±±
代入第一式，得到1y =±。因为10,()10y C ?''Φ=≠=-≠，故1y =±为方程的奇解。
例5 求克莱洛方程
()y xy y ''=+ψ
的奇解，其中ψ是二次可微函数且0''ψ≠。
解 由第1章1.6节的例2可知该方程的通解为
()y Cx C =+ψ
C -判别式为
()
0()
y Cx C x C =+ψ??
'=+ψ? (2.19) 因为10,()()0y C C ?ψ''''Φ=≠=-≠,故由(2.19)所确定的曲线必定是克莱洛方程的奇解.即克莱洛方程总有奇解。
本节要点：
1.奇解的定义。
2.不存在奇解的判别方法。
（1）全平面上解唯一不存在奇解。
（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解无奇解。 3.求奇解的包络线求法。
包络线满足C —判别式。
在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线包络线。 作业： 练习2.4 1., 2., 3，。 作业：
练习2.4
1．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．
（1）
dy dx
= （2）
dy dx
= （3）
dy
x dx
=-± 2．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在,x y 轴上的截距之和为1． 3．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数 a ．
包络解调法及其诊断 包络解调法是故障诊断中较常用的一种方法，它可非常有效地识别某些冲击振动。从而找到该冲击振动的振源。例如，当轴承或齿轮表面因疲劳或应力集中而产生剥落和损伤时，会产生周期性的冲击振动信号，如图4—25所示。 从图4—25个可以看出，信号包括两部分：—部分是载频信号，即系统的自由振荡信号及各种随机干扰信号的频率，是图形中频率成分较高的信号；第二部分是调制信号，即包络线所包围的信号。它的频率较低，多为故障信号。 因此．若要对故障源进行分析，就必须把低频信号(或调制信号)从高频信号(或载频信号)中分离出来。这一信号分离、提取过程，被称为信号的包络解调。对分离提取出来的包络信号进行特征频率和幅度分析，就能准确可靠地诊断出如轴承和齿轮的疲劳、切齿、剥落等故障。
目前分析高频冲击的有效方法之一是共振解调(包络处理)，即取振动时域波形的包络线，然后对包络线进行频谱分析。由于包络线处理可找出反复发生振动的规律，根据轴承的特征频率，就可诊断出轴承或齿轮故障的部位。研究表明，当轴承或齿轮无故障时，在共振解调频谱中没有高阶谱线;有故障时，共振解调频谱中出现高阶谱线。 当齿轮发生疲劳裂纹时，齿轮刚度的变化会引起齿轮振动噪声信号瞬时频率(相位)和幅值的变化。但裂纹由于只影响齿轮刚度，齿形无大变化，故振动噪声信号在频域中无明显征兆，因此频谱分析对裂纹诊断基本无效。可采用时域平均法分析。如果齿轮同时存在其它类型的故障，则时域平均法的可靠性不高。此时可试用希尔伯特变换或自适应滤波技术提取相位信息，也可试用共振解调分析技术即包络谱分析法。 一、包络分析法进行故障诊断的原理 当轴承或齿轮某一元件表面出现局部损伤时，在受载运行过程中
什么是包络频谱？ 假设旁边的时间信号是由啮合齿轮的振动引起的。 这个信号是传送力引起的。它从一个齿轮牙传到另一个齿轮牙。 如果牙与牙的传送力是一样，那么整个周期的振动值就是想同的。 正常振动的频谱只会有一种频率，那就是啮合频率 啮合频率(F)=转频(T)X 牙数(N) 如果齿轮节径和轴的中心不在同一位置。那么牙与牙之间的距离就会改变，相应的传送力也会改变。 齿轮啮合频率 F 该谱显示两种频率，一是啮合频率，二是轴的转频 它会产生啮合频率的幅值波动
什么是包络分析 该信号包含一个稳定的啮合频率， 还有一个由轴转速引起的波动信号 如果我们使用只测量波动信号的仪器，那么就会产生旁 边的信号 这个频谱强调了波动信号，使稳定信号 影响最小。在新的频谱中轴的波动是支配信号，而不是在正常振动的啮合频率 信号。 这就是包络频谱 。 我们要看到高频振动的波动最好使用加 速度，单位是 “g”,当频率增加，加速度的信号值就会增加。 包络信号由自己的单位 “gE” (包络加速度). 包络信号值是由多少个产生原始信号的波动故障决定的，而不是由故障的严重程度决定。所以不同测点进行比较就会很困难，而同一测点的包络频谱可以进行比较。 齿轮啮合 轴转速波动 轴转速波动 轴转速波动 F
“包络” 谱图的术语不是对信号处理过程的确切描述，但仍是我们为了简化时所用的术语。 包络谱和传统的频谱在外观上(振幅和频率)并没有区别只是表示不同的信息 包络谱图对正弦运动不敏感–而不象FFT图能用位移，速度和加速度参数确定简单正弦运动产生的复杂信号。 包络谱对与冲击力相关的事件敏感。 量化冲击频率和强度对振动分析是非常有帮助的。尽管有些机器会产生冲击能量(如往复设备), 但大多数机器不会。冲击力是破坏性的，通常表明会发生故障。最典型的包络谱图应用是检测轴承缺陷。 什么是包络信号，如何得到? （1）测量的振幅单位是加速度但信号的处理区别于传统的加速度信号。 （2）振幅单位由厂商自己定–每一个都有自己的名字，或是单位的首写字母。 例如: CSI (Emerson) 使用峰值；Entek (Rockwell Automation)使用gSE (脉冲能–缩略为IRD) ；SKF 使用HFD (高频域) 和ESP (包络信号处理–缩略为DI) （3）使用滤波器处理信号，强调可能发生的每一种冲击力。 滤波器有两个等级： 包络滤波器–这种类型的滤波器设置包络的频率，包括了高频(Fmax)和低频(Fmin)。发生的任一振动超出此范围都会被过滤掉。 高通滤波器–这种类型的滤波器取消了高频Fmax限制，但仍有Fmin限制，过滤低于它的振动频率。 每一个厂商设置自己的信号处理和滤波器。因此, 尽管它们都提供类似的信息, 但在振幅范围内是不能直接相比的。 （4）信号处理集中在短时冲击信号上(时域信号的脉冲)，在这种情况下FFT处理往往“失效” (更准确的说是“更难发现”) 因为它适合处理平稳信号。
食品酶学重点 1、酶活概念 定义：在一定条件下，一定时间内将一定量的底物转化为产物所需要的酶量。可以用每克酶制剂或每毫升酶制剂含有多少酶单位来表示（U/g或U/ml）。 2、生长因子概念功能 生长因子是指某些微生物不能用普通的碳源、氮源物质进行合成，而必须另外加入少量的生长需求的有机物质。 分类：化学结构分成维生素、氨基酸、嘌呤（或嘧啶）及其衍生物和类脂等四类 功能：以辅酶与辅基的形式参与代谢中的酶促反应 3、酶活性部位 活性部位：酶分子中直接与底物结合，并和酶催化作用直接有关的部位。 4、酶有几种诱导物 诱导物一般可以分为3类： 酶的作用底物如纤维素酶、淀粉酶、蛋白酶等 酶的催化反应产物如纤维二糖诱导纤维素酶 作用底物的类似物蔗糖甘油单棕榈酸诱导蔗糖酶 5、PAGE电泳几类 PAGE根据其有无浓缩效应，分为： 连续电泳:采用相同孔径的凝胶和相同的缓冲系统 不连续电泳:采用不同孔径的凝胶和不同缓冲体系 不连续PAGE分为：电荷效应、分子筛效应、浓缩效应 6、果胶酶几种 （1）聚半乳糖醛酸酶（PG）：a.内切PG b.外切（exo-PG） （2）聚甲基半乳糖醛酸裂解酶（PMGL）：即果胶裂解酶。 （3）聚半乳糖醛酸裂解酶（PGL） （4）果胶酯酶（PE） 7、几类酶包埋法 (1)凝胶包埋法 天然凝胶：条件温和，操作简便，对酶活影响小，强度较差。 合成凝胶：强度高，耐温度、pH值变化强，因需聚合反应而使部分酶变性失活。 适用性：不适用于底物或产物分子很大的酶类的固定化。 (2)半透膜（微胶囊）包埋法 将酶包埋在由各种高分子聚合物制成的小球内。 半透膜：聚酰胺膜、火棉膜等，孔径几埃至几十埃，比酶分子直径小。 适用性：底物和产物都是小分子物质的酶。 微胶囊：直径一般只有几微米至几百微米。 8、单体酶、寡聚酶、多酶复合体
包络谱分析?什么是“包络”谱图??如何区别对待? ?轴承缺陷模拟放大器?“冲击能”是这样产生的??冲击能如何影响FFT ??包络谱能提供什么信息??轴承缺陷之外“冲击源" ??警语
什么是“包络谱”图? Y-轴单位: 振幅 X-轴单位: 频率(cpm or Hz)
“包络”谱图的术语不是对信号处理过程的确切描述，但仍是我们为了简化时所用的术语。 包络谱和传统的频谱在外观上(振幅和频率)并没有区别-只是表示不同的信息 包络谱图对正弦运动不敏感–而不象FFT图能用位移，速度和加速度参数确定简单正弦运动产生的复杂信号。 包络谱对与冲击力相关的事件敏感。 量化冲击频率和强度对振动分析是非常有帮助的。尽管有些机器会产生冲击能量(如往复设备), 但大多数机器不会。冲击力是破坏性的，通常表明会发生故障。最典型的包络谱图应用是检测轴承缺陷。
包络谱图的处理过程? 什么是包络信号，如何得到? （1）测量的振幅单位是加速度但信号的处理区别于传统的加速度信号。 （2）振幅单位由厂商自己定–每一个都有自己的名字，或是单位的首写字母。 例如: CSI (Emerson) 使用峰值；Entek(Rockwell Automation)使用gSE(脉冲能– 缩略为IRD)；SKF 使用HFD (高频域) 和ESP (包络信号处理–缩略为DI)（3）使用滤波器处理信号，强调可能发生的每一种冲击力。 滤波器有两个等级： 包络滤波器–这种类型的滤波器设置包络的频率，包括了高频(Fmax)和低频(Fmin)。发生的任一振动超出此范围都会被过滤掉。 高通滤波器–这种类型的滤波器取消了高频Fmax限制，但仍有Fmin限制， 过滤低于它的振动频率。 每一个厂商设置自己的信号处理和滤波器。因此, 尽管它们都提供类似的信息, 但在振幅范围内是不能直接相比的。 （4）信号处理集中在短时冲击信号上(时域信号的脉冲)，在这种情况下FFT处理往往“失效”(更准确的说是“更难发现”) 因为它适合处理平稳信号。 （5）如果冲击间隔一致(如冲击力有规律地发生), 那么这段时间间隔就会转化 成理想的频率单位(Hz or cpm)。 （6）可以估算冲击强度，这与冲击脉冲信号和背景噪声之比有关。 （7）相应频率的振幅峰值显示在频谱上。 包络谱提供给我们一种位移、速度和加速度谱不可能比是的有价值的信息，它为分析专家提供了另一种有力工具。
食品酶学复习题 第一章 ?1、怎样理解酶的概念？ ?2、国际酶学委员会推荐的酶的分类和命名规则的主要依据是什么？ ?3、食品酶学的主要研究内容是什么？ 第二章 ?一、什么叫酶的发酵生产？酶发酵生产的一般工艺流程是什么？ ?二、为什么酶制剂的生产主要以微生物为材料？常用的酶源微生物有哪 些？ ?三、培养基组分的基本类别有哪些？各有何主要作用？酶的发酵生产中， 碳源的选择主要考虑哪些方面？氮源选择的最基本原则是什么？ 第三章 ?一、酶提取的主要提取剂有哪几种？怎样选择？ ?二、在酶的分离纯化中，根据溶解度、分子大小、带电性和吸附性不同， 能够采用的分离方法各有哪些？其中效率最高的方法是什么？在方法的选择和顺序的安排上有何依据？ ?三、常用的沉淀分离法有哪几种？其主要操作要领是什么？ ?四、根据过滤介质截留物质颗粒的大小，可将过滤分为哪几类？其过滤介 质和截留特性分别是怎样的？ ?五、什么是层析分离法？分为哪几类？基本原理分别是什么？ ?六、凝胶过滤层析的分配系数Kd是什么？有什么意义？怎样计算？ ?七、什么是凝胶电泳？按凝胶组成系统分，凝胶电泳可分为哪几类？其基 本原理和主要用途分别是什么？ ?八、什么叫等电聚焦电泳？其分离原理是什么？ ?九、什么叫酶的结晶过程？酶结晶的条件和主要方法是什么？ ?十、什么是真空浓缩？其主要影响因素有哪些？ 第四章 ?一、什么叫固定化酶？酶的固定化方法有哪些？其基本概念分别是什么？ ?二、酶固定化后，其性质是否有变化？都有哪些规律性变化？
第五章 ?一、淀粉糖酶主要有哪几种类型？其作用特性分别是怎样的？ ?二、什么是液化（型淀粉）酶？什么是淀粉的酶法液化？其有何优越性？ ?三、什么是果胶物质和果胶酶？果胶酶是如何分类的？ ?四、根据活性中心进行分类，蛋白酶可分为哪几类？其一般性质分别是什 么？ ?五、酶活性中心中常见的功能基团有哪些？简述你对活性中心的理解。 ?六、你熟悉的蛋白酶有那些？其特异性分别是怎样的？ ?七、什么是多酚氧化酶？简述酶促褐变的机理及其控制措施。 ?八、什么是脂肪氧合酶？它对食品质量有哪些主要的影响？如何控制？ ?八、什么是葡萄糖氧化酶？它在食品工业有哪些主要应用？ 第六章 ?1、酶在淀粉糖的生产中有哪些应用？主要的机理是什么？ ?2、何为低聚果糖？其酶法合成原理如何？ ?3、在焙烤食品和面条生产中，哪些酶制剂得到了应用？举例说明其用途 和作用机理。 第七章 ?1、果蔬加工中常用的酶制剂有哪些？其用途和原理是什么？ 第八章 ?1、什么是ELISA？其基本原理是什么？酶在其中起了什么作用？在食品 分析中有哪些应用？ ?2、举例说明什么是酶生物传感器？ ?3、举例说明酶抑制率法的基本原理和在食品分析中的主要应用。
第2章基本原理和定理 2.1亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。 定理指出，由于闭合面S 保卫的体积V 中任一点R 处的矢量场Fr 可分为用一标量函数的梯度小时的无旋场和用另一个适量函数的旋度表示的无散场两部分，即为 F A Φ=-?+?? 而式中的变量函数和适量函数分别于体积V 中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面S 上矢量场的法向分量和切向分量。 1()1()d d 44V S V Φπ π''''???''= -''--??F r n F r S r r r r 1()1()d d 44V S V π π''''???''= -''--??F r n F r A S r r r r 2.2唯一性定理 惟一性定理：给定区域V 内的源（ρ、J ）分布的和场的初始条件以及区域V 的边界 S 上场的边界条件，则区域V 内的场分布是惟一的。 场、源；范围 —— 时间间隔、空间区域； 条件 —— 初始条件、边界条件。 有惟一解的条件： （1）区域内源分布是确定的（有源或无源），与区域外的 源分布无关； （2）初始时刻区域内的场分布是确定的； （3）边界面上或是确定的。
重要意义： （1）指出了获得惟一解所需给定的条件； （2）为各种求解场分布的方法提供了理论依据。 2.3镜像原理 镜像原理：等效源（镜像源）替代边界面的影响边值问题转换为无界空间问题；理论基础：惟一性定理 2.4等效原理 等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。考察某一有界区域，如果该去云内的源分布不变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上同时满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该规定区域内产生同样的场分布。也就是说，在该区域外的这两种源的另一种源是另一种源的等效源。 基本思想：等效源替代真实源； 理论基础：惟一性定理。 1. 拉芙（Love）等效原理 将区域V1内的源和用分界面S上的等效源和来替代，且将区域V1内的场设为零，则区域V2内的场不会改变。 2Schelknoff 等效原理 （1）电壁＋磁流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则 J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2m S （2）磁壁＋电流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则m J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2 S
EMD 分解后的原始信号及频谱 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 010002000 3000 4000 5000 6000 0.050.1 0.15 0.2 原始信号频谱 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.4 -0.200.20.4原始信号时域波形 0.02 0.04 0.06原始信号频谱 从时域图中可以看到较为明显的周期性冲击，但是故障特征不明显。在频谱当中，亦存在较为明显的边频带以及很多共振频率，这些冲击大都是电机转数的倍频。
原始信号的包络 1000 2000 3000 4000 5000 6000 00.010.020.03 0.04原始信号包络谱 100 200 300 400 500 600 求信号的包络谱，明显看出转速及其二倍频。 EMD 分解 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 -0.200.2IMF1时域波形图 00.10.20.30.4 0.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF2时域波形图00.10.20.30.4 0.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF3时域波形图00.10.20.3 0.40.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF4时域波形图00.10.20.3 0.40.50.60.70.80.9 -0.100.1IMF5时域波形图00.10.2 0.30.4 0.5 0.60.70.80.9 -0.05 00.05IMF6时域波形图
IMF 分量的频谱 00.05 IMF1频谱 00.01 0.02IMF2频谱 0100020003000400050006000 00.005 0.01IMF3频谱 00.01 0.02IMF4频谱 00.005 0.01IMF5频谱 0100020003000 400050006000 0.005 0.01IMF6频谱 IMF 分量的包络 100 200 300 400500600700 800 900 1000 00.05IMF1包络谱 01002003004005006007008009001000 00.010.02IMF2包络谱 01002003004005006007008009001000 00.005 0.01IMF3包络谱 01002003004005006007008009001000 00.010.02IMF4包络谱 0100 2003004005006007008009001000 0.005 0.01IMF5包络谱 100 200300400 500 600 7008009001000 05-3IMF6包络谱 从上图可以看出，也有电机转速的及其倍频处的冲击。
第2章 动力学基本定律 习 题 2.1 用力F 推水平地面上一质量为M 的木箱，如图所示。设力F 与水平面的夹角为α，木箱与地面间的滑动摩擦系数和静摩擦系数分别为μk 和μs 。求： （1）要推动木箱，F 至少应多大?此后维持木箱匀速前进的力F 要多大? （2）证明当α角大于某一定值α0时，无论用多大的力F ，也不能使木箱前进，α0是多大? 2.2 设质量m =10kg 的小球挂在倾 角α=30°的光滑斜面上， 如图所示。求： （1）当斜面以加速度 g a 31= 沿图 所示的方向运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力各是多大? （2）当斜面的加速度至少为多大 时，小球对斜面的正压力为零? 2.3 如图所示，A 为定滑轮，B 为动滑轮，三个物体的质量分别为： m 1=200g ，m 2=100g ，m 3=50g 。求： （1）每个物体的加速度； （2）两根绳中的张力T 1和T 2，假定滑轮和绳的质量以及绳的伸长和摩擦力均忽略。 2.4 如图所示，物体A 和B 的质量分别为10kg 和5kg ，A 与桌面间摩擦系数为0.20，为防止A 移动，C 的最小质量是多少？如果撤去C ，试求此时系统 的加速度。滑轮的质量及摩擦不计。 2.5 如图所示，卡车从静止开始作匀加速直线运动。 在10s 内速率达到20m/s 。车上一质量为5kg 的木箱离卡车后缘S =3m ，当t =0 时，木箱开始滑动，木箱与车厢的摩擦系数为 0.15。求： （1）木箱相对地面的加速度； （2）木箱到达卡车后缘所经历的时间； （3）木箱落地时速度的水平分量。 2.6 质量为M 的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m 的方木块放在斜面上，如图所示。如果两木块间的摩擦可忽略不计，求m 相对于M 的加速度。 2.7 在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a=-0.2v 。求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半。 2.8 光滑的桌面上放置一固定的圆环带，半径为R 。一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦系数为μk 。设在某一时刻物体经过A 点时的速率为v 0。求此后t 时刻物体的速率和从A 点开始所经历的路程。 2.9 跳伞员与装备的质量共为m ，从伞塔上起跳时立即张伞，可粗略地认为张伞时速度为零，此后空气阻力与速率平方成正比，
第一章绪论 酶是生物细胞产生的、具有催化能力的生物催化剂。 定义：酶是生物体内进行新陈代谢不可缺少的受多种因素调节控制的具有催化能力的生物催化剂。 酶的重要两大类： 主要由蛋白质组成——蛋白类酶（P酶） 主要由核糖核酸组成——核酸类酶（R酶） 酶与其他化学催化剂的区别、特点： （1）酶的催化高效性通常要高出非生物催化剂催化活性的106~1013倍 （2）高度专一性 （3）温和的作用条件常温常压和温和的酸碱度条件 （4）容易控制酶的反应 （5）酶的来源广泛 第二章酶学基础 酶的活性中心：是它结合底物和将底物转化为产物的区域，通常是整个酶分子相当小的部分，它是由在线性多肽中可能相隔很远的氨基酸残基形成的三维实体。 必需基团：活性中心的一些化学基团为酶发挥作用所必需 活性中心外的必需基团－－结构残基； 非贡献残基（非必需残基）：是除了酶的必须基团之外，酶蛋白的其余部分中的氨基酸残基。 8种频率最高的氨基酸残基：丝氨酸、组氨酸、胱氨酸、酪氨酸、色氨酸、天冬氨酸、谷氨酸和赖氨酸。 酶的结构; 1、酶的一级结构：是催化基础，是把蛋白质肽链中氨基酸的排列顺序。二硫键的断裂将使酶变性而丧失其催化能力。 2、酶的二级结构：是肽链主链不同肽段通过自身的相互作用，形成氢键，延一条主轴盘旋折叠而形成的局部空间结构。 3、酶的三级结构：是多肽在二级结构基础上，通过侧链基团的相互作用进一步卷曲折叠，形成的特定构象。 4、酶的四级结构：是指由不同或相同的亚基按照一定排布方式聚合而成的蛋白质结构。具有四级结构的酶按其功能分，一类与催化作用有关，另一类与代谢调节关系密切。（亚基虽然具有三级结构，但单独存在时通常没有生物学活性或活性低，只有缔合形成特定的四级结构时才具有生理功能。） 活性中心空间构象的维持则依赖于酶蛋白的二、三级结构的完整性。 酶分子的结构域：是指蛋白质肽链中一段独立的具有完整、致密的立体结构区域，一般由40—400个氨基酸残基组成。 酶的催化原理：（中间产物理论）在酶浓度固定的条件下，要达到最大初速率必须增加底物浓度，这是大多数酶的特征。酶先与底物结合，形成酶—底物络合物，进一步发生分解，形成酶和底物.。酶（E）与底物（S）结合生成不稳定的中间物（ES），再分解成产物（P）并释放出酶，使反应沿一个低活化能的途径进行，降低反应所需活化能，所以能加快反应速度。 形成复合物的作用力：离子键、氢键、范德华力 酶与底物的结合模型 a．锁和钥匙模型课用于解释酶的专一性。
第二讲 解的延拓（3学时） 教学目的：讨论解的延拓定理。 教学要求：理解解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解 教学重点：解的延拓定理条件及其证明 教学难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间。 教学方法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程： 解的存在唯一性定理的优点是:在相当广泛的条件下,给定方程:),(y x f dx dy =有满足初值条件00)(y x y =的唯一解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的一个区间), min(,||0m b a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+???=? 当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯一区间.21}21 ,1min{||= =≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯一区间.4 1}41 ,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此区间. 1． 局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每一点P,有以P 为中心完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满足Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的大小和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满足局部Lipschitz 条件. 2. 解的延拓定理. 如果方程( 3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过G 内任何一点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增大的一方延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/6711381167.html, 基于LabVIEW的包络谱分析在齿轮箱故障诊断中的研究 作者：李旗朱成俊 来源：《中国科技博览》2017年第25期 [摘要]齿轮箱在运行时的故障振动信号往往表现出非线性与非平稳性并且以调制的形式存在，基于此本文结合LabVIEW强大的信号处理功能和包络谱分析在处理调制信号的优点，将其应用到齿轮箱的故障诊断中，通过实验结果表明：基于LabVIEW的包络谱分析能够有效的辨别出齿轮箱的故障信息。 [关键词]故障诊断；包络谱；LabVIEW；齿轮箱 中图分类号：TH165.3 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）25-0127-01 齿轮箱是机械设备的重要组成部件，如果发生故障，往往会产生不可逆转的破坏，因此对其进行故障监测具有重要的价值。但是由于齿轮箱在运行时环境的复杂性，其振动信号往往表现出非线性和非平稳性，很难对其进行直接分析判断，而传统的傅里叶变换只适合应用于处理平稳信号，已经不适合用于对齿轮箱进行监测。因此需要找到其它的适合处理非平稳信号的算法，基于此刘自然提出了先用EMD将信号进行分解后，提取出表示齿轮箱故障特征的IMF，然后进行倒频谱分析，该方法准确的判断出了齿轮箱的故障信息。本文以LabVIEW为开发环境，设计了包络谱分析的齿轮箱故障诊断系统，将其应用到齿轮箱的故障诊断中。 1 包络谱分析基本原理 包络谱分析是针对非平稳调制信号的处理算法。对比传统的傅里叶变换，包络谱分析算法不仅改进在处理信号方式的算法，而且在处理的过程中有所加强。在包络谱分析之前对所需处理的信号进行带通滤波可以消除低频成分对信号分析时候的影响，有利于提取出所需的低频调制信号。对经过包络谱分析变换处理后得到的包络谱分析图进行分析可以诊断机械的故障类别。对信号进行包络谱分析时需先对进行Hilbert变换，其公式为 包络谱分析是诊断机械设备零件损伤的一种有效方法，经常把它应用到对轴承故障检测，现将其应用到齿轮箱诊断中。先通过数据采集卡采集齿轮箱振动信号，对其进行高通或带通滤波处理，对处理后信号进行包络谱分析，判断齿轮箱故障（图1）。 2 包络谱分解的LabVIEW实现 LabVIEW是NI公司开发的图形化编程语言，包含很多信号处理工具包，为信号处理提供了很大帮助。LabVIEW在工程上的应用越来越突出，本文结合LabVIEW编写关于包络谱分析
第2章 动力学基本定律题目无答案 一、选择题 1．牛顿第一定律告诉我们, [ ] (A) 物体受力后才能运动 (B) 物体不受力也能保持本身的运动状态 (C) 物体的运动状态不变, 则一定不受力 (D) 物体的运动方向必定和受力方向一致 2. 下列说法中正确的是 [ ] (A) 运动的物体有惯性, 静止的物体没有惯性 (B) 物体不受外力作用时, 必定静止 (C) 物体作圆周运动时, 合外力不可能是恒量 (D) 牛顿运动定律只适用于低速、微观物体 3. 下列诸说法中, 正确的是 [ ] (A) 物体的运动速度等于零时, 合外力一定等于零 (B) 物体的速度愈大, 则所受合外力也愈大 (C) 物体所受合外力的方向必定与物体运动速度方向一致 (D) 以上三种说法都不对 4. 一个物体受到几个力的作用, 则 [ ] (A) 运动状态一定改变 (B) 运动速率一定改变 (C) 必定产生加速度 (D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A 、B 两质点m A ＞m B , 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等 6. 物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 [ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 T2-1-6图
%一个求包络线和包络谱的程序 %现代希尔伯特变换解调分析： %带通滤波；希尔伯特变换获得信号时域的包络线；用fft变换获得包络谱 %如何获得包络线？ %信号经希尔伯特变换不能直接得到包络，设信号x的希尔伯特变换为y，则平方和 %x.^2+y.^2(或者再开根号，直接取平方和的效果为好)才是信号x的包络。 %构造实验数据 clear all;close all; t=0:0.005:1*pi; fs=10000; s=4*sin(2*200*pi*t).*(sin(2*4500*pi*t))+25*(sin(2*4500*pi*t)); figure(1); subplot(211);plot(t,s);title('原始信号'); %运用小波方法滤波 [c,l]=wavedec(s,1,'db10'); d1=wrcoef('d',c,l,'db10'); a1=0; subplot(212);plot(d1);title('滤波后重构的高频信号'); %希尔伯特变换求包络线 y=hilbert(d1); y1=abs(d1+y*j); %这是取得包络线的三种方程。看一看哪种效果好。 %y1=abs(y); %或者z=x.^2+y.^2; 有的取得是abs(y),但是不推荐用。%y1=d1.^2+y.^2; %通过分析，该方程在包络谱中的效果最好，即取二者平方和。 figure(2); subplot(211); hold on plot(t,s); plot(t,y1,'r');title('包络线'); hold off %FFT求包络谱 N=1024; p=abs(fft(y1,N)); subplot(212); plot((0:N/2-1)/N*fs,p(1:N/2));%只需取到半频，即fs/2 %f=(0:N-1)*fs/N; plot(f,p); %横坐标是在fs上，其中以fs/2为轴中心对称。 title('包络谱');xlabel('频率');ylabel('功率谱'); %对比信号直接的傅里叶变换功率谱与包络谱
都是沟通的基本原理 考试得分 100 课程考试已完成，现在进入下一步制订改进计划！本次考试你获得1.0学分！ 单选题 正确 1.下列关于人际沟通、工作沟通、商务沟通三者关系的说法，正确的是： 1. A 人际沟通的范围一定包含工作沟通、商务沟通 2. B 工作沟通的范围一定包含人际沟通、商务沟通 3. C 商务沟通的范围一定包含人际沟通、工作沟通 4. D 三者无包含关系 正确 2.工作沟通的核心不包括： 1. A 准确 2. B 关系 3. C 简单 4. D 高效 正确 3.良好人际沟通关系的核心不包括：
1. A 关系 2. B 态度 3. C 感受 4. D 语言 正确 4.下列选项中，不易引起沟通障碍的行为表现是： 1. A 讲话模糊 2. B 学术表现 3. C 言简意赅 4. D 信息不对称 正确 5.下列关于信息沟通的行为口号，说法错误的是： 1. A 扩大开放区 2. B 隐藏盲点区 3. C 缩小隐藏区 4. D 由专业人士探索未知区 正确 6.中国人反馈行为存在的三大问题不包括： 1. A 不全面
2. B 不主动 3. C 不习惯 4. D 不要求 正确 7.下列关于沟通的四大媒介的说法，不正确的是： 1. A 有声音的语言——口头语言 2. B 没有声音的语言——书面语言 3. C 没有声音的非语言——体态语言 4. D 有声音的语言——内语言 正确 8.沟通的四个步骤依次是： 1. A 引起对方的注意、对方理解信息内容、对方接收信息、按照信息内容行动 2. B 对方接收信息、引起对方的注意、对方理解信息内容、按照信息内容行动 3. C 对方接收信息、对方理解信息内容、引起对方的注意、按照信息内容行动 4. D 引起对方的注意、对方接收信息、对方理解信息内容、按照信息内容行动 正确 9.沟通的三大基本原则不包括： 1. A 准确完整 2. B 迅速高效
第2章动力学基本定律题目无答案 一、选择题 1．牛顿第一定律告诉我们, [ ] (A) 物体受力后才能运动 (B) 物体不受力也能保持本身的运动状态 (C) 物体的运动状态不变, 则一定不受力 (D) 物体的运动方向必定和受力方向一致 2. 下列说法中正确的是 [ ] (A) 运动的物体有惯性, 静止的物体没有惯性 (B) 物体不受外力作用时, 必定静止 (C) 物体作圆周运动时, 合外力不可能是恒量 (D) 牛顿运动定律只适用于低速、微观物体 3. 下列诸说法中, 正确的是 [ ] (A) 物体的运动速度等于零时, 合外力一定等于零 (B) 物体的速度愈大, 则所受合外力也愈大 (C) 物体所受合外力的方向必定与物体运动速度方向一致 (D) 以上三种说法都不对 4. 一个物体受到几个力的作用, 则 [ ] (A) 运动状态一定改变 (B) 运动速率一定改变 (C) 必定产生加速度
(D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A 、B 两质点m A ＞m B , 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等 6. 物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 [ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 8. 一物体作匀速率曲线运动, 则 [ ] (A) 其所受合外力一定总为零 (B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零 (D) 其切向加速度一定总为零 9. 牛顿第二定律的动量表示式为t m F d )d(v =, 即有t m t m F d d d d v v +=．物体作怎样 的运动才能使上式中右边的两项都不等于零, 而且方向不在一直线上? [ ] (A) 定质量的加速直线运动 (B) 定质量的加速曲线运动 (C) 变质量的直线运动 (D) 变质量的曲线运动 10. 质量相同的物块A 、B 用轻质弹簧连结后, 再用细绳悬吊着, 当系统平衡后, 突然将细绳剪断, 则剪断后瞬间 [ ] (A) A 、B 的加速度大小均为g (B) A 、B 的加速度均为零 (C) A 的加速度为零, B 的加速度大小为2g (D) A 的加速度大小为2g , B 的加速度为零 11. 用细绳系一小球使之在竖直平面内作圆周运动, 小球在任意位置 [ ] (A) 都有切向加速度 F T2-1-6图 T2-1-10图
基于EMD的包络功率谱滚动轴承故障诊断
摘要 本文简要介绍了滚动轴承的故障特征及判定方法，并基于经验模态分解EMD(Empirical Mode Decomposition)与功率谱相结合的方法。将原始信号分解成不同尺度的固有模态函数IMF(Intrinsic Mode Function),求取IMF分量的包络,计算其包络功率谱,得到轴承的故障特征频率，进行诊断。 关键词：滚动轴承；故障诊断；EMD；包络功率谱
Abstract This paper briefly introduces the method of judging and fault features of rolling bearing, and based on empirical mode decomposition EMD (Empirical Mode Decomposition) method combined with power spectrum. The original signal is decomposed into different scales of intrinsic mode function IMF (Intrinsic Mode Function), the envelop take IMF components, calculate the envelope power spectrum, get the fault characteristic frequency of bearing, diagnosis. Keywords: rolling bearing; fault diagnosis; EMD; envelope power spectrum
第二章酶学练习题 一、填空题 1.酶促反应的特点为_____________ 、 _____________ _、________ ____、_______ ______。 条件温和高效率高专一性可调节 2.酶活性的快速调节方式包括_________ 和_________ 。 酶原激活共价修饰调节 3.全酶包括______________ 和______________ 。 酶蛋白辅助因子 4.酶的结合部位决定酶_____________ ，而催化部位决定酶的______________ 。 专一性催化反应性质 5.酶活性中心往往处于酶分子表面的______________ 中，形成区，从而使酶与底物之间的作用加强。 孔穴凹陷疏水 6.在酶蛋白中既能作为质子供体又能作为质子受体的、最有效又最活泼的催化基团是。 组氨酸的咪唑基 7.在胰凝乳蛋白酶的催化过程中，有质子从酶到底物的转移，此质子的供体是。 水 8.胰凝乳蛋白酶活性中心的电荷转接系统是由、和三个氨基酸残基依赖氢键产生的。 Asp102、His57及Ser195 氢 9.同一种酶有几种底物，就有个Km值，其中Km值最的底物，便为该酶的底物。
几小最适宜 10．加入竞争性抑制剂，酶的最大反应速度会，Km值会。 不变减小 11.一般别构酶分子结构中都包括部位和 部位，其反应速度对底物浓度的曲线是曲线。活性部位别构部位 S形 12.测定酶活力时，底物浓度应，反应温度应选在， 反应PH选在，反应时间应在反应的期进行。 过量适宜范围适宜的范围初 13.表示酶量的多少常用表示。 酶活力单位 14.在标准条件下，1mg酶在1min内转化了2umol底物，那么 mg酶代表1个酶活力单位。0.5 15.酶原激活的本质是的形成和暴露的过程。 活性中心 16.丙二酸是酶的抑制剂。 琥珀酸脱氢酶竞争性 17.延胡索酸酶只对反丁烯二酸(延胡索酸)起催化作用，而对顺丁烯二酸则无作用，因而此酶具有专一性。 几何异构 18.米氏方程为。V= Vmax[S]/(Km+[S]) 19.酶能加速化学反应的主要原因是和结合形成了，使呈活化状态，从而了反应的活化能。 酶底物 ES中间复合物底物降低 20.酶实现高效率催化的主要因素、、 、。 邻近效应定位效应底物分子敏感键形变多功能催化
第三讲 奇解与包络（4课时） 目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。 重点：包络和奇解的求法。 难点：奇解及其求法。 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程： 本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。 2.4.1奇解 在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程2 33dy y dx =的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在. 例1 求方程 dy dx = 的所有解. 解 该方程的通解是 sin()y x C =+ 此外还有两个特解1y =和1y =-。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示， 图 2-13 显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 本节主要讨论一阶隐式方程 (,,)0F x y y '= (1.8)
和一阶显式方程 (,)dy f x y dx = (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。 对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用f y ??无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程 (,),1,2,,i dy f x y i k dx == 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。 其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在 000 (,,)x y y '的邻域内有 000 000 (,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=??''≠? 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得 (,)y f x y '= 其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有 y y F f y F ' '?=- '? 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们 可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。 由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程2 33dy y dx =的奇解，而例1中的解1y =和1y =- 是方程 dy dx =的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ?上有定义，如果(,)f x y 在D 上连续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只
基于EMD 的包络谱进行故障诊断 故障频率介绍： 轴承故障的频率f=a*fr(a 是上表系数，fr 是电机转数) 正常信号 对正常信号分别观察原始信号和频谱，原始信号的包络，EMD 分解，EMD 分解后的IMF 分频谱和包络。 原始信号及频谱 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -2-1012 原始信号时域波形 010002000 3000 4000 5000 6000 0.05 0.1 0.15 0.2 原始信号频谱 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 -0.4 -0.200.20.4原始信号时域波形 0100020003000400050006000 0.02 0.04 0.06X: 358.9Y: 0.01467 原始信号频谱 X: 164.8 Y: 0.01828 X: 1036Y: 0.0564 X: 2102Y: 0.02123
从时域图中可以看到较为明显的周期性冲击，但是故障特征不明显。在频谱当中，亦存在较为明显的边频带以及很多共振频率，这些冲击大都是电机转数的倍频。 原始信号的包络 1000 2000 3000 4000 5000 6000 00.010.020.03 0.04原始信号包络谱 100 200 300 400 500 600 求信号的包络谱，明显看出转速及其二倍频。
EMD 分解 0.1 0.2 0.3 0.40.50.6 0.7 0.8 0.9 -0.200.2IMF1时域波形图 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF2时域波形图 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF3时域波形图 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 -0.200.2IMF4时域波形图 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 -0.100.1IMF5时域波形图 00.10.20.30.4 0.5 0.60.70.80.9 -0.05 00.05IMF6时域波形图 IMF 分量的频谱 00.05 IMF1频谱 00.01 0.02IMF2频谱 0100020003000400050006000 00.005 0.01IMF3频谱 00.01 0.02IMF4频谱 00.005 0.01IMF5频谱 0100020003000 400050006000 0.005 0.01IMF6频谱 IMF 分量的包络