第三讲 奇解与包络（4课时）
目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。重点：包络和奇解的求法。
难点：奇解及其求法。
教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。
教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
教学过程：
本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。
2.4.1奇解
在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一233dy y dx
=3()y x C +解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上的点0y =0y =0y =的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.
例1 求方程
dy dx
=的所有解.
解 该方程的通解是
sin()
y x C =+此外还有两个特解和。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积1y =1y =-分曲线如图2-13所示，
图 2-13
显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。
1y =1y =- 本节主要讨论一阶隐式方程
(1.8)(,,)0F x y y '=
和一阶显式方程
(1.9)(,)dy f x y dx =的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。
对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用
无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，f y
??一般来说，若能解出几个显式方程(,),1,2,,i dy f x y i k dx
==L 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。
其次对于方程(1.8)，如果函数对所有变量连续且有连续偏导数，并且在
(,,)F x y y '的邻域内有000
(,,)x y y '000000
(,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=??''≠?成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得
(,)
y f x y '=其中函数是连续的且有连续偏导数，特别有
(,)f x y y y F f y F '
'?=-'?这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。
由上述定义，可见2.2节例2中的解是方程的奇解，而例1中的解0y =233dy y dx
=和是方程的奇解。1y =
1y =-dy dx
=2.4.2 不存在奇解的判别法
假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D 上连(,)f x y 2D R ?(,)f x y 续且在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从(,)y f x y '而在D 内一定不存在奇解。
如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D 内成立，那么奇解只(,)f x y