一[收稿日期]２０１８Ｇ０１Ｇ２５;一[修改日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１９一[作者简介]刘姗姗(１９９５－),女,硕士在读,应用数学专业．E m a i l :s h s h l i u ６３３＠１６３．c o m 一[通讯作者]韩茂安(１９６１－),男,教授,从事常微分方程与动力系统研究．E m a i l :m a h a n ＠s h n u ．e d u ．c n 第３４卷第３期大一学一数一学V o l ．３４,?．３２０１８年６月C O L L E G E MA T H E MA T I C S J u n ．２０１８
关于克莱罗方程的奇解与包络概念之拓展
刘姗姗,一韩茂安(上海师范大学数理学院,上海２００２３４
)一一[摘一要]如所周知,克莱罗方程y ＝x y ?＋f (y ?)有一个特解,在f ?(y
?)?０条件下该特解就是一个奇解,并对应一个包络．本文假设这一条件不成立,在其他一些条件之下讨论特解的性质,我们特别给出了广义包络的概念,并研究其存在条件．[关键词]克莱罗方程;奇解;特解;广义包络[中图分类号]O １７５．１一一[文献标识码]A一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０３Ｇ００１７Ｇ０９
１一克莱罗方程与奇解的定义
在微分方程中,有一类形如y ＝x y ?＋f (y ?)(１)的方程叫做克莱罗方程,其中f (p )是连续可微函数,p ?(a ,b )．由[１]可知其通解为y ＝c x ＋f (c ),c 是任意常数,另有一个带有参数p 的特解
x ＝－f ?(p ),y ＝－p f ?(p )＋f (p ),{一p ?(a ,b )．(２
)下面引入奇解的概念．
定义１一微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在．也就是说奇解是这样一个解,在它上面的每一点唯一性都不成立．上述定义见[２]等．文献[３]给出了奇解定义的另一种说法,即定义２一设一阶微分方程F x ,y ,d y d x ?è
???÷＝０有一特解Γ:y ＝φ(x )(x ?J )．如果对每一点Q ?Γ,在Q 点的任何邻域内方程有一个不同于Γ的解在Q 点与Γ相切,
则称Γ是微分方程的奇解．比较上述两个定义可知,定义１更加一般一些,而定义２的条件更强一些．例如,微分方程
y ＝x y ?＋１/y
?的特解为y ２＝４x ,特解不能写成y ＝φ(x )的形式,但在特解的每一点上还有方程的另外一个解存在．因此本文将采用定义１．由定义１可知成立:
命题１一对于克莱罗方程y ＝x y ?＋f (y ?),如果f ?(y ?)?０,y ??(a ,b ),那么方程的特解是奇解．应用隐函数定理可以证明命题１,文献[１]采用了另一种证明方法:在特解对应的曲线(记为L )上任取一点(x ０,y ０),则由前面所给出的特解的参数表达式,存在p ０?(a ,b ),使得x ０＝－f ?(p ０),一y ０＝－p ０f ?(p ０)＋f (p ０)．考察直线l :y ＝p ０x ＋f (p ０),直接验证可知,该直线通过点(x ０,y
０),并且是克莱罗方程的解,它可通过
3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family ) [教学内容] 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程. [教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解 [教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标] 1.微分方程奇解的概念; 2. 知道曲线族包络的概念; 3. 求解微分方程奇解的方法; 4. 知道寻找曲线族包络的方法; 5. 认识克莱罗方程并会求解. 1.微分方程奇解和曲线族包络的概念 2.包络和奇解的寻找
例45. 求曲线族03)y(y C)(x 2 2 =---的包络. 解：由C 判别式得到，0C)2(x 0,C)y(y C)(x 2 2 =-=---. 得到两条直线???==?? ?==3 y C x ,0y C x . 42024 1 1 2 3 4 由上图知道，直线y=0是原曲线族的包络. 例46. 求曲线族0C)(x 3 2 C)(y 32 =-- -的包络. 解：由C 判别法知，0C)-2(x C)-2(y 0,C)(x 3 2C)(y 2 32=+=---. 2112 2 1 1
解得?? ?? ? +=+=???==94 C y 32C x ,C y C x ，即直线92x y x,y -==. 由上图知，直线9 2 x y -=是曲线族的包络. 作业38. 求曲线族4c y c)(x 2 2 =+-的包络，其中c 为参数. 例47. 求方程2 )dx dy (dx dy 2x y -=的奇解. 解：记dx dy p = ，则方程为2p 2x p y -=，运用p 判别法知，02p 2x ,p 2x p y 2 =--=. 解得2 x y =. 易验证可知，2 x y =不是原方程的解，因此，原方程没有奇解. 例48. 求方程01y )dx dy (22 =-+的奇解. 解：记01y p ,dx dy p 22=-+= ，由p 判别法知，02p 0,1y p 22==-+，解得1y ±=. 令?????==sin t dx dy t cos y ，当0dx dy ≠时，1sin t sin t dx dy /dt dy dt dx -=-==，即C t x +-=. 故所求的通解为C)cos(x y -=. 4224 1.0 0.5 0.5 1.0 容易验证1y ±=为原方程的奇解.
试论常微分方程的奇解 摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法. 关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法. Discussing Singular Solution about First Order Differential Equation ZHU Yong-wang (Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples． Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method. 1．引言 一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
二元一次方程 一、二元一次方程的概念： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x -5＝y ； (2)x -1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x -4y ＝7； (6)102x + =；(7)2 51x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y +=． 【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ） A .71xy -= B .2131x y -=+ C .4535x y x y -=- D . 2 31x y - = 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2, 5. x y =?? =?． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 如：10x y +=的解可以是241 ,,869x x x y y y ===?????? ===??? 等等 练习2：二元一次方程x -2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( ) A ．0 12 x y =?? ?=-?? B ．11x y =??=? C ．10x y =??=? D ．11x y =-?? =-? 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是2 1 x y =?? =?，则a= . 三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如? ??=-=+520 13y x x 也是二元一次方 程组. 练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
精品文档 精品文档 第三章 一元一次方程 第一节 一元一次方程的基本性质 1、方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数，例1 （3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 2、一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） A 、只含有一个未知数（系数不为0）. B 、未知数的最高次数为1. C 、方程是整式方程. 3、等式的概念和性质 （1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 （2）等式的性质 等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。 （3）等式的其他性质 A 、对称性：若a=b ，则b=a B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c 例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 （1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x （4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12 5=-x x 练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 1、3+x 2、1432+=+ 3、x x +=+44 4、21=x 5、312=++x x 6、32=x 7、x x -=-44 8、3)2(2++=+x x x x
第四章奇解 §1 一阶隐式微分方程 一[内容简介] 本节通过引入参数将隐式微分方程化为导数以解出的方程类型,并讨论了几种可求解的类型。 二[关键词] 隐式微分方程参数法克莱洛方程 三[目的与要求] 会用微分法和参数法求解一阶隐式微分方程，掌握克莱洛方程的解法。 四[教学过程] §2 奇解 一[内容简介] 本节介绍了一阶微分方程奇解的概念，给出了从P－判别式求奇解的方法。 二[关键词] 奇解P－判别式 三[目的与要求] 了解奇解的意义，掌握用P－判别式求奇解的方法。 四[教学过程] §3 包络 一[内容简介] 本节采用微分几何学中有关曲线族的包络的概念来阐明奇解与通解之间的联系，并给出了从C－判别式求奇解的方法。 二[关键词] 包络C－判别式 三[目的与要求] 了解奇解是积分曲线族的包络这一几何解释，掌握用C－判别式求奇解的方法。 四[教学过程]
教学过程 §4.1 一阶隐式微分方程 在第二章中我们介绍的是y '已经解出的显式方程()y ,x f y ='的求解方法。本节我们来讨论一下y '未解出的一阶隐式微分方程 0=?? ? ?? dx dy ,y ,x F （1.1） 若从方程（1.1）中可将y '解出，那么就得到一个或几个显式微分方程，求解这些方程就得到了微分方程（1.1）的解。 例1 求解微分方程 ()02=++-?? ? ??xy dx dy y x dx dy （1.2） 解：方程（1.2）的左端可以分解因式，得 0=?? ? ??-??? ??-y dx dy x dx dy 从而得到了两个微分方程 y dx dy ,x dx dy == 解这两个微分方程得 x e c y ,c x y 2122 1=+= 故原方程（1.2）的通解可以表示为 () 021212=-??? ??--x e c y c x y 但一般说来，从（1.1）解出y '并不容易，或者，即使能解出y '来，也不一定是可积分的微分方程。因此，本节介绍几种不解出y '，而直接求y 的方程类型及其求解方法。 一. 可解出y 或x 的方程与微分法 1）.若能从方程（1.1）解出y ，得到 ()y ,x f y '= （1.3） 这里设()y ,x f '关于变元x ，y '有连续的偏导数。 引进参数y p '=，则方程（1.3）变为 ()p ,x f y = （1.4）
求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念 下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处 的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解 由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y
我们知道式③表示一族曲线， 曲线族中的每一条曲线的函数 代入式①中都成为恒等式， 而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.
（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.
第三讲 奇解与包络（4课时） 目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。 重点：包络和奇解的求法。 难点：奇解及其求法。 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程： 本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。 2.4.1奇解 在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程2 33dy y dx =的通解是3()y x C +，还有一解0y =，除解0y =外，其余解都满足唯一性，只有解0y =所对应的积分曲线上的点的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在. 例1 求方程 dy dx = 的所有解. 解 该方程的通解是 sin()y x C =+ 此外还有两个特解1y =和1y =-。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示， 图 2-13 显然解1y =和1y =-所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 本节主要讨论一阶隐式方程 (,,)0F x y y '= (1.8)
和一阶显式方程 (,)dy f x y dx = (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。 对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用f y ??无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程 (,),1,2,,i dy f x y i k dx == 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。 其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在 000 (,,)x y y '的邻域内有 000 000 (,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=??''≠? 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得 (,)y f x y '= 其中函数(,)f x y 是连续的且有连续偏导数，特别有 y y F f y F ' '?=- '? 这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们 可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。 由上述定义，可见2.2节例2中的解0y =是方程2 33dy y dx =的奇解，而例1中的解1y =和1y =- 是方程 dy dx =的奇解。 2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数(,)f x y 在区域2D R ?上有定义，如果(,)f x y 在D 上连续且(,)y f x y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个(,)f x y 有定义的区域D 内成立，那么奇解只
一元一次方程 一、主要概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 二、等式的性质 等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 三、解一元一次方程的一般步骤及根据 1、去分母-------------------等式的性质2 2、去括号-------------------分配律 3、移项----------------------等式的性质1 4、合并----------------------分配律 5、系数化为1--------------等式的性质2 6、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 四、解一元一次方程的注意事项 1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数； 2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号； 3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号； 4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项； 5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。 五、列方程解应用题的一般步骤
3x-2=2x+1 3-x=2-5(x-1) 3x=5(32-x) 2+3(8-x)=2(2x-15) 5-3x=8x+1 2x+5=3x+12 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1 (5x+1)+ (1-x)= (9x+1)+ (1-3x) 2(x-2)+2=x+1 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 12-2(2x-4)=x-5 5x-2(x-1)=17 5x+15-2x-2=10
第三章 一元一次方程 第一节 一元一次方程的基本性质 1、方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数，例1 （3）方程的解：使方程左、右两边的式子相等的未知数的值叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 2、一元一次方程的定义 （1）一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 （2）一元一次方程的形式 标准形式：ax+b=0（其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 最简形式：ax=b （其中a 不等于0，a ，b 是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） A 、只含有一个未知数（系数不为0）. B 、未知数的最高次数为1. C 、方程是整式方程. 3、等式的概念和性质 （1）等式的概念：用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 （2）等式的性质 等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式 等式性质2：等式两边同时乘以或者除以同一个数或者同一个式子（除数不能是0），所得结果仍是等式。 （3）等式的其他性质 A 、对称性：若a=b ，则b=a B 、传递性：若a=b ，b=c 则a=c 例1、判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 （1）x x =-95 （2）x y 322=- （3）1152+x （4）211-=-- （5）x x -=-24 （6）12 5=-x x 练习题： 判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数 1、3+x 2、1432+=+ 3、x x +=+44 4、21=x 5、312=++x x 6、32=x 7、x x -=-44 8、3)2(2++=+x x x x
第三讲 奇解与包络（4课时） 目的要求：了解包络和奇解的定义，掌握包络和奇解的之间的关系，掌握奇解的求法。重点：包络和奇解的求法。 难点：奇解及其求法。 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 教学过程： 本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法。 2.4.1奇解 在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程的通解是，还有一233dy y dx =3()y x C +解，除解外，其余解都满足唯一性，只有解所对应的积分曲线上的点0y =0y =0y =的唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在. 例1 求方程 dy dx =的所有解. 解 该方程的通解是 sin() y x C =+此外还有两个特解和。由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积1y =1y =-分曲线如图2-13所示， 图 2-13 显然解和所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏。 1y =1y =- 本节主要讨论一阶隐式方程 (1.8)(,,)0F x y y '=
和一阶显式方程 (1.9)(,)dy f x y dx =的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内。 对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用 无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，f y ??一般来说，若能解出几个显式方程(,),1,2,,i dy f x y i k dx ==L 那么对每一个方程，应用定理2.2即可。 其次对于方程(1.8)，如果函数对所有变量连续且有连续偏导数，并且在 (,,)F x y y '的邻域内有000 (,,)x y y '000000 (,,)0(,,)0y F x y y F x y y ''=??''≠?成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得 (,) y f x y '=其中函数是连续的且有连续偏导数，特别有 (,)f x y y y F f y F ' '?=-'?这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了。 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义。 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线。 由上述定义，可见2.2节例2中的解是方程的奇解，而例1中的解0y =233dy y dx =和是方程的奇解。1y = 1y =-dy dx =2.4.2 不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数在区域上有定义，如果在D 上连(,)f x y 2D R ?(,)f x y 续且在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从(,)y f x y '而在D 内一定不存在奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D 内成立，那么奇解只(,)f x y
第一节 一元一次方程的基本概念 一、课标导航 二、核心纲要 1.方程的相关概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （2）方程的已知数和未知数。 已知数：一般是具体的数值，如05=+x 中（x 的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用n m c b a 、、、、等表示。 未知数：是指要求的数，未知数通常用z y x 、、等字母表示，如：关于y x 、的方程c by ax =-2中，c b a 、2-是已知数y x 、是未知数。 （3）方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （5）方程解的检验 要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两
边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。
2.一元一次方程的定义 (1)一元一次方程的概念 只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 (2)一元一次方程的形式 标准形式：0=+b ax （其中b a a ,,0≠是已知数）。 最简形式：b ax =（其中b a a ,,0≠是已知数）。 注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式） ①只含有一个未知数（系数不为零）． ②未知数的最高次数是1． ③方程是整式方程． 3.等式的概念和性质 (1)等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式。若b a =，则m b m a ±=±。 等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是O ），所得结果仍是等式．若b a =则bm am =，)0(≠=m m b m a 。 (3)等式的其他性质 ①对称性：若b a =则a b =。 ②传递性：若c b b a ==,则c a =。 本节重点讲解：一个性质，两个形式，五个概念（方程、方程的解、解方程、一元一次方程、
方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。 基本概念 未知数：通常设x为未知数，也可以设别的字母，全部字母都可以。一道题中设两个方程未知数不能一样！ “元”的概念 宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。后人们又设立了地元、人元、泰元来表示未知数，有几元便称为几元方程。这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》（1248），书中所说的“立天元一”相当于现在的“设未知数x。”所以现在在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未知数的方程叫“一元方程”。而两个以上的未知数，在古代又称为“天元”、“地元”、“人元”。 “次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，所有未知数指数的总和。而次数最高的项，就是方程的次数。 “解”：方程的解，也叫方程的根。指使等式成立的未知数的值。一般表示为“x=a”，其中x表示未知数，a是一个常数。 解方程：是指求出方程的解的过程。 方程史话 1. 大约3600年前，古代埃及人写在纸草上的数学问题中，就涉及了含有未知数的等式。 2. 公元825年左右，中亚细亚的数学家阿尔－花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法。 3. 九章算术之一。 《后汉书·马严传》“善《九章筭术》”唐李贤注：“ 刘徽《九章算术》曰《方田》第一，《粟米》第二，《差分》第三，《少广》第四，《商功》第五，《均输》第六，《盈不足》第七，《方程》第八，《句股》(又作《勾股》）第九。”
第十三章 常微分方程简介 本章介绍微分方程的有关概念及某些简单微分方程的解法。 微分方程是包含未知函数及其导数的方程。由微分方程能够求出未知函数的解析表达式，从而掌握所研究的客观现象的变化规律和发展趋势。因此，掌握这方面的知识，用之分析解决问题是非常重要的。 由于在大多数情况下，微分方程很难求出初等解（即解的形式是初等函数）。那么，就需要研究解的存在理论，借助计算机求出微分方程的数值解。 本章的内容，仅仅包含常微分方程的一些最初步的知识，特殊的一阶和部分二阶微分方程的初等解法；最后一节讨论微分方程的简单应用。 §1 常微分方程的基本概念 像过去我们研究其他许多问题一样，首先通过具体实际例子来引入微分方程的概念。 1.1 两个实例 例1.1 设某一平面曲线上任意一点),(y x 处的切线斜率等于该点处横坐标x 的2倍，且曲线通过点)2,1(，求该曲线的方程。 解 平面上的曲线可由一元函数来表示 设所求的曲线方程为)(x f y =，根据导数的几何意义，由题意得 x dx dy 2=（这是一个含未知函数)(x f y =的导数的方程）。 另外，由题意，曲线通过点)2,1(，所以，所求函数)(x f y =还满足2|1==x y 。 从而得到 12 (1.1)|2(1.2) x dy x dx y =ì??=?í??=??，。 为了解出)(x f y =，我们只要将(1.1)的两端积分，得 ?+=+==C x C x xdx y 22 2 22， 我们说 C x y +=2对于任意常数C 都满足方程(1.1)。 再由条件(1.2)，将2|1==x y 代入C x y +=2，即
一元一次方程的基本概念及练习 等式的概念： 用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 观察下面的式子，哪些是等式？哪些不是？ ①m +n =n +m ②x +2x ③3×3+1=2×5 ④3x +1>5y ⑤2+3=5+4 方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。 要点：1、含有未知数；2、是等式。这是判断一个式子是不是方程的两个必要条件，缺一不可。 判断下列各式是不是方程： （1）5x -9=2x （2）x y 322=- （3）1152+x （4）-1-1=-2 （5）4x -2=-x （6） 12 5=-x x 方程的解的概念： 能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如，在方程5x -9=2x 中，当x =3时，方程左边=5×3-9=6，方程右边=2×3=6，左边=右边，所以x =3是方程5x -9=2x 的解。 当x =2时，左边=5×2-9=1，右边=2×2=4，左边≠右边，所以x =2不是方程5x -9=2x 的解。 解方程的概念： 求方程的解的过程，叫做解方程。 例1：已知2是关于x 的方程x +a =4的解，求a 的值。 解：因为2是关于x 的方程x +a =4的解，所以2+a =4，所以a =2 例2：求方程x +2=3的解 解：移项得x =3-2，所以x =1 上面这个过程，就叫做解方程。 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程叫做一元一次方程。 方程中的未知数叫做“元”。 只有一个未知数→“一元”，所有含未知数的项都是一次→“一次” 一元一次
要点：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0，期中x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0； （2）一元一次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的次数是1次，三是未知数的系数不为0. 例3：031=+-m x 是关于x 的一元一次方程，求m 的值。 解：11=-m ，m -1=±1，所以m =2或m =0 例4：031=+-m mx 是关于x 的一元一次方程，求m 的值。 解：11=-m ，m -1=±1，所以m =2或m =0，但由于m 是未知数的系数，所以m 不能为0，所以m =2。 练习： 1、勾选出下列各题中的一元一次方程 （1）A 、x 2-4x =3 B 、x =0 C 、x +2y =1 D 、x x 11= - （2）A 、322=+x B 、342 13=+-x C 、y 2+3y =0 D 、9x -y =2 （3）A 、3x +2y =5 B 、y 2-6y +5=0 C 、x x 1331=- D 、3x -2=4x -7 （4）A 、x -3 B 、x 2 -1=0 C 、2x -3=0 D 、x -y =3 （5）A 、211=-x B 、x 2-1=0 C 、2x -y =3 D 、213=-x 2、若方程61312=+-m x 是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 。 3、已知等式0352=++m x 是关于x 的一元一次方程，则m = 。 4、已知方程53)2(1-=+--m x m m 是关于x 的一元一次方程，则m = 。 5、关于x 的方程12)2(1=-+-a x a 是一元一次方程，则a = 。 6、若方程05334=+-n x 是一元一次方程，则n = 。 7、已知0421=+-m x 是一元一次方程，则m = 。 8、若0241=--m x 是一元一次方程，则m = 。 9、已知08)1()1(22=++--x m x m 是关于x 的一元一次方程，求代数式199（m +x ）（x -2m ）+m 的值。 10、若关于x 的方程3（x -1）+a =b （x +1）是一元一次方程，则（ ）
一[收稿日期]２０１８Ｇ０１Ｇ２５;一[修改日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１９一[作者简介]刘姗姗(１９９５－),女,硕士在读,应用数学专业．E m a i l :s h s h l i u ６３３＠１６３．c o m 一[通讯作者]韩茂安(１９６１－),男,教授,从事常微分方程与动力系统研究．E m a i l :m a h a n ＠s h n u ．e d u ．c n 第３４卷第３期大一学一数一学V o l ．３４,?．３２０１８年６月C O L L E G E MA T H E MA T I C S J u n ．２０１８ 关于克莱罗方程的奇解与包络概念之拓展 刘姗姗,一韩茂安(上海师范大学数理学院,上海２００２３４ )一一[摘一要]如所周知,克莱罗方程y ＝x y ?＋f (y ?)有一个特解,在f ?(y ?)?０条件下该特解就是一个奇解,并对应一个包络．本文假设这一条件不成立,在其他一些条件之下讨论特解的性质,我们特别给出了广义包络的概念,并研究其存在条件．[关键词]克莱罗方程;奇解;特解;广义包络[中图分类号]O １７５．１一一[文献标识码]A一一[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０３Ｇ００１７Ｇ０９ １一克莱罗方程与奇解的定义 在微分方程中,有一类形如y ＝x y ?＋f (y ?)(１)的方程叫做克莱罗方程,其中f (p )是连续可微函数,p ?(a ,b )．由[１]可知其通解为y ＝c x ＋f (c ),c 是任意常数,另有一个带有参数p 的特解 x ＝－f ?(p ),y ＝－p f ?(p )＋f (p ),{一p ?(a ,b )．(２ )下面引入奇解的概念． 定义１一微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在．也就是说奇解是这样一个解,在它上面的每一点唯一性都不成立．上述定义见[２]等．文献[３]给出了奇解定义的另一种说法,即定义２一设一阶微分方程F x ,y ,d y d x ?è ???÷＝０有一特解Γ:y ＝φ(x )(x ?J )．如果对每一点Q ?Γ,在Q 点的任何邻域内方程有一个不同于Γ的解在Q 点与Γ相切, 则称Γ是微分方程的奇解．比较上述两个定义可知,定义１更加一般一些,而定义２的条件更强一些．例如,微分方程 y ＝x y ?＋１/y ?的特解为y ２＝４x ,特解不能写成y ＝φ(x )的形式,但在特解的每一点上还有方程的另外一个解存在．因此本文将采用定义１．由定义１可知成立: 命题１一对于克莱罗方程y ＝x y ?＋f (y ?),如果f ?(y ?)?０,y ??(a ,b ),那么方程的特解是奇解．应用隐函数定理可以证明命题１,文献[１]采用了另一种证明方法:在特解对应的曲线(记为L )上任取一点(x ０,y ０),则由前面所给出的特解的参数表达式,存在p ０?(a ,b ),使得x ０＝－f ?(p ０),一y ０＝－p ０f ?(p ０)＋f (p ０)．考察直线l :y ＝p ０x ＋f (p ０),直接验证可知,该直线通过点(x ０,y ０),并且是克莱罗方程的解,它可通过
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
一节微分方程的基本 概念
第八章常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念 分布图示 ★引言
★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 例4 ★ 微分方程解的概念 ★ 例5★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: ,0),,,,()(='''n y y y y x F Λ (1.5) 其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程 ).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y Λ (1.6) 以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续. 如果方程(1.6)可表为如下形式: )()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++--Λ (1.7) 则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a ,Λ)(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.