初四数学导学案
初四数学课题:对函数的再认识（2）备课时间:2019-09-25 课堂寄语:每一个成功者都有一个开始，勇于开始，才能找到成功的路。
2、课本65页“做一做”
二、【自主学习探究新知】
知识点一：函数的表示方法
（1）解析法：用来表示的数学式子叫做函数的表
达式（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法。
（2）列表法：用来表示函数的方法称为列表法。
（3）图象法：用来表示函数的方法称为图象法。
点拨：函数的三种表示方法各有优缺点，解析法准确、简单明
了，但抽象，求对应值时需要计算；列表法可明显看出自变量
和函数的对应关系，但有一定的局限性；图象法直观，但所画
图象是近似的、局部的，不准确。
例题：如图所示是某市某一天内的气温变化图，根据图中提供
的信息，下列说法中错误的是（）
A.这一天中最高气温是24℃
B. 这一天中最高气温与最低气
温的差为16℃
C. 这一天中2时至14时之间的
气温在逐渐升高
D. 这一天中只有14时至24时之
跟踪训练：
1、一段导线，在0℃的电阻为2Ω（电阻单位），温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R（Ω）表示为温度t(℃)的关系式是（）
A.R=0.008t
B.R=2+0.008t
C.R=2.008t
D.R=2t+0.008
2、(2011·綦江县)小明从家中出发，到离家1.2km的早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1km的学校上课，在下列图象中，能反应这一过程的大致图象是（）
3、（2008·潍坊）某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（）
知识点二：自变量的取值范围
例题：求下列函数的自变量x的取值范围：
（1）y=2x-4 （2）y=
(3)y= (4)y=
点拨：函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义。
①表达式为整式，自变量的取值范围为
②表达式为分式，要考虑分母
③表达式为二次根式，要考虑被开方数为
④表达式是指数式且指数为0或负数时，要考虑底数
⑤当表达式是两个或两个以上代数式的复合式子时，应先分别
三、【课堂达标】
1、（2010·绍兴）一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示所示，则下列结论错误的是（）
A．摩托车比汽车晚到1h B．A，B两地的路程为20km C．摩托车的速度为45km/h D．汽车的速度为60km/h
2、（2013?齐齐哈尔）如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（）
3、（2013·资阳）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A.x≤1
B.x≥1
C.x＜1
D.x＞1
4、（2013·泸州）函数y=中自变量x的取值范围是（）
A.x≥1且x≠3
B.x≥1
C.x≠3
D.x＞1且x≠3
4、（2014?衡阳）小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是（）
A．小明看报用时8分钟
B．公共阅报栏距小明家200米
C．小明离家最远的距离为400米
D．小明从出发到回家共用时16分钟
5、（2010?漳州）一个汽车零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．
（1）请写出此车间每天所获利润y（元）与x（名）之间的函数关系式；
（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
章节测试题 1.【答题】下列y与x的关系式中，y不是x的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 【解答】D项中，对于x在它允许范围内的每一个值，y有一个或两个值与它对应，所以y不是x的函数． 2.【题文】（2018浙江舟山中考）小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆时间t（s）之间的关系如图3-1-1所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是不是关于t的函数； （2）结合图象回答： ①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②千秋摆动第一个来回需要多长时间？ 【答案】 【分析】
【解答】（1）∵对于每一个摆时间t，h，都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数． （2）①当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度为 0.5m． ②由题图可知，秋千摆动第一个来回需2.8s． 3.【答题】已知函数，当x=m时，函数值y为1，则m的值为（） A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 【答案】B 【分析】 【解答】将x=m，y=1代入，得，解得m=3，经检验，m=3是分式方程的根． 4.【答题】（2018重庆中考B卷）根据如图3-1-2所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（） A. 9 B. 7 C. -9 D. -7 【答案】C
【分析】 【解答】由题意得，解得b=-9．选C． 5.【答题】当x=______时，与的函数值相等． 【答案】-11 【分析】 【解答】由题意，得2x+6=x-5，解得x=-11． 6.【答题】已知函数，当y＜0时，x______． 【答案】＞2 【分析】 【解答】由题意，得，解得x＞2． 7.【答题】（2019广西柳州中考）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B 地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是______ A. B. C. D. 【答案】D 【分析】
2.1 函数概念 1．了解生活中的变量关系． 2．理解函数的概念． 3．会求出简单函数的定义域、值域． 1．生活中的变量关系 (1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系． (2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系． 函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数 关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作 物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入， 具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系． 【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )． A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数 【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？ 2．函数的概念 给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数． (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x
备课时间：9.23 上课时间：10.7 课型：新授课课时：1课时 2.1《对函数的再认识》学案 学习目标： 1．复习并进一步认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系 2.了解表示函数的方法。． 学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。 学习过程： 一、学前准备 (一)一起想一想 （1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？ （2）你学过哪些函数？请你写出它们的表达式，它们的图象各是什么? （3）函数的定义是什么，你还记得吗? (二)自己做一做： 课本P37 “做一做”（作到书上） 二、探究活动 (一)独立思考：在上面三个例子中 : （1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的范围是什么 ? （2）对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值与它对应? （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。 函数的定义：
（二）探究交流 例1：某种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠售出，试写出该商品每件的利润y(元)与每件的进价x(元)之间的关系式. 思考：对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y 有惟一确定的对应值 , 这个对应值叫做 . 如对于例 2(1) 中的函数y =3x+7,16就是当x =3 时的函数值 . （三）应用探究 A、课本P38随堂练习1、2做到练习本上 B、课本P39习题1、2做到练习本上 C、课本P39试一试
练习中你出现过什么问题？还有什么需要格外．． 注意的？ 四、回顾思考：通过本节课的学习,你有什么体会和收获? 五、自我测试 1、x 取什么值时，函数y=x+2与函数2 3-=x x y 的值相等 2、x 取什么值时，函数y=x+2的值小于0. 3、x 取什么值时，函数y=x+2的值大于函数y=5-3x 的值.
3.1 对函数的再认识 序号1 主备人:陈云英 审核:初四数学备课组 一、选择题 1、函数2 y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 2．下列变量之间的关系：①正方体体积V 与它的边长a ；②x-y=3中的x 与y ；③y=23x - 中的y 与x ；④圆的面积S 与圆的半径r ，其中成函数关系的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、函数y=-2x+4当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 4、根据图4中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 图4 5、夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T ℃随时间t 变化的关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 二、填空题 7、圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______． 8、x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 输入x 1x ≥ 1 52 y x = + 1 5 2 y x =-+输入y 是 否
9、已知函数y=2213---x ，则x 的取值范围是________ 10、函数y= 1 -x x 中自变量x 的取值范围是______________ 11.A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式____________． 12.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x 的取值范围是______. 三、解答题 13、已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ 14、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P 在BC 上，点P 从点C 以1单位/秒的速度从点C 向点B 运动（点P 不与点B ，C 重合），设运动时间为x ，△APB 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围．
课题：函数的初步认识 [教学目标] 1、初步了解函数的概念，在具体情景中分清哪个变量是自变量，谁是谁的函数， 会由自变量的值求出函数值。 2、经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维能力，感悟运动变化的 观点。 3、通过具体情景中对函数关系式的建立。提高认识变化规律、预测发展趋势的 能力。 重点：1、函数的概念 2、会由自变量的值求出函数值 难点：1、哪个变量是自变量，谁是谁的函数。 2、从具体实例中抽象出函数 [教学过程] 一、想一想： 1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？15英寸呢？ （注：1英寸=2.54厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换算为公制是y厘米，试写出 y与x之间的关系式？ 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？y的值是由哪个变量 的取值确定的？ 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ 二、填一填，学一学： 1、如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为6厘米，那末这个三角形
的面积y= 平方厘米；当x =4厘米时，y= 平方厘米；当x =8厘米时，y= 平方厘米. 2、在同一个变化过程中，有两个变量 和 ，变量 的取值是由变量 的取值惟一确定的，我们把 叫做 的函数，其中 叫自变量。 3、8是关于字母x 的代数式2x 当x=4时的值，也叫做函数y=2x 当x=4时对应的 。 三、试一试： 人行道有小正方形水泥地砖铺设而成，下图是小正方形水泥地砖的一种铺设方式 ① ② ③ …… （1）按图①②③的次序这样铺下去，第④个图形中有多少块小正方形水泥地砖？ （2）如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图形中小正方形水泥地砖的块数，写出S 与n 之间的关系式。指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数。 （3）在序号为100的图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？ 四、求一求： 当x 分别取-1，0，2时，求下列函数对应的函数值：
对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理
5.5 函数的初步认识 一、选择题 1.下列变量之间的关系中，具有函数关系的有（ ） ①三角形的面积与底边 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径 ④y=12-x 中的y 与x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.对于圆的面积公式S=πR 2,下列说法中，正确的为（ ） A.π是自变量 B.R 2是自变量 C.R 是自变量 D.πR 2是自变量 3.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 4.已知函数y= 21 2+-x x ,当x=a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3 B.－1 C.－3 D.1 5.某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x （分）之间的函数关系正确的是（ ）
二、填空题 6.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t（分）之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量. 7.计划花500元购买篮球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的函数关系式为______，其中______是自变量，______是因变量. 8.某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y（元）与所存月数x之间的关系式为______. 9.已知矩形的周长为24，设它的一边长为x,那么它的面积y与x之间的函数关系式为______. 10.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y（cm）与底边x（cm）的函数关系式为______，其中自变量x的取值范围是______. 三、解答题 11.如图所示堆放钢管. （1）填表 层数 1 2 3 (x) 钢管总 数 （2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？ 12.如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： （1）____时气温最高，______时气温最低，最高气温是______，最低气温是_____；
第二章 函数 2.2 函数的表示法 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为……… ( ) A.f(x)＝－x B.f(x)＝x －1 C.f(x)＝x ＋1 D.f(x)＝－x ＋1 【答案】 D 2.已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为…………………………………( ) A.－2 B.6 C.1 D.0 【解析】 方法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f(t)＝(t ＋1)2－3， ∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二：f(x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2， ∴f(x)＝x 2＋2x －2， ∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三：令x －1＝2， ∴x ＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B. 【答案】 B 3.已知f(x)＝1 x 2－1，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是…………………… ( ) A.1 x 2＋2x B.x 2 x 2－1 C.x 2 x 2＋2x D. 1 x 2－1 【解析】 f(g(x))＝1(x ＋1)2－1＝1 x 2＋2x . 【答案】 A 4.已知函数y ＝??? f(1)＝0 f(n ＋1)＝f(n)＋3，n ∈N * ，则f(3)等于…………………… ( ) A.0 B. 3
C. 6 D.9 【解析】 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3， ∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 【解析】 由图象可看出-3≤x ≤3，-2≤y ≤2. 【答案】 ［-3,3］［-2,2］ 6.已知f(x)与g(x)分别由下表给出 那 么 f(g(3)) ＝ . 【解析】 由表可 得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 【答案】 1 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.解答下列问题： (1)若f(x ＋1)＝2x 2＋1，求f(x)； (2)若函数f(x)＝x ax ＋b ，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，求f(x). 【解析】 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f(t)＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3.∴f(x)＝2x 2－4x ＋3. (2)由f(2)＝1得2 2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x 变形得x(1 ax ＋b －1)＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方 程有唯一解，所以1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f(x)＝2x x ＋2 . 8.作下列各函数的图象： (1)y ＝2x 2－4x －3(0≤x ＜3)； (2)y ＝|x －1|； 【解析】 (1)∵0≤x ＜3，∴这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x ＜3之间的一段弧(如图(1)). x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 1 4 2
第二章函数 2.3映射 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对应不是从A到B的映射的是…() 【解析】A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应.故选C. 【答案】 C 2.下列对应为A到B的函数的是…………………………………() A.A＝R，B＝{x|x＞1}，f：x→y＝|x| B.A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2 C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x D.A＝［－1,1］，B＝{0}，f：x→y＝0 【解析】由函数的定义可知，对于A，0∈R，且|0|＝0B，故A不是A到B 的函数； 对于B，0∈Z，且02＝0N＋，故B不是A到B的函数； 对于C，当x＜0时，如－2∈Z，但－2无意义，故C不是A到B的函数； 对于D，是多对一的情形， 符合函数的定义，是A到B的函数. 【答案】D 3.下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是……………………………………………………………………() A.f：x→x2－x B.f：x→x＋(x－1)2 C.f：x→x2＋1 D.f：x→x2－1 【解析】因为集合B中的每个元素都可以写成n2－1的形式. 【答案】D 4.设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列的对应不表示从P到Q的映射的是……………………………………………………………………()
A.f ：x→y ＝12x B.f ：x→y ＝13 x C.f ：x→y ＝23 x D.f ：x→y ＝x 【解析】 根据映射的概念，对于集合P 中的每一个元素在对应法则f 的作用下，集合Q 中有唯一的元素和它对应.选项A 、B 、D 均满足这些特点，所以可构成映射.选项C 中f ： x→y ＝23x ，P 中的元素4按照对应法则有23×4＝83>2，即83 Q ，所以P 中元素4在Q 中无对应元素.故选C. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 . 【解析】 ∵f(x)的图象是由两条线段组成， ∴由一次函数解析式求法可得 f(x)＝??? x ＋1－x －1≤x ＜0，0≤x≤1. 【答案】 1()x f x x +?=?-? [)[] 1,00,1x x ∈-∈ 6.如果映射f ：A→B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对应任意a ∈A ，在B 中都不惟一确定的|a|和它对应，则映射的值域为 . 【解析】 根据题意，可以发现映射为f ：x→|x|，故值域为{1,2,3,4}. 【答案】 {1,2,3,4} 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.已知集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，集合B ＝{－1,1,3,5,7,9}，集合C ＝{－8，－2,4,10,16,22}，对应关系f 为“乘2减3”，对应关系g 为“乘3减5”，分别求下列映射所对应的函数表达式. (1)映射f ：A→B ； (2)映射g ：B→C ； (3)映射h ：A→C. 【解析】 (1)∵y ＝f(x)，∴函数表达式为y ＝2x －3； (2)∵y ＝g(x)，∴函数表达式为y ＝3x －5； (3)由题意得y ＝h(x)＝g(f(x))， ∵g(f(x))＝3f(x)－5＝3(2x －3)－5＝6x －14.
对函数的再认识（1） 贺新春 一、教材分析 （一）教材的地位和作用： 《对函数的再认识》第一节课的第一课时，在学生已有的函数知识的基础上首次正式出现了“函数”概念，它既是对前面所学的正比例函数、一次函数、反比例函数的一个回顾和延伸，又是后面学习函数表示方法的基础，也为学习二次函数打下扎实的认知、探究思路指明了学习方向；通过对函数概念的教学，更进一步的培养了学生的语言表达能力，另外，通过小组合作学习，力争创建“和谐高效”的课堂，使学生的分析能力、思维能力、合作能力等综合能力得到发展和提高。 （二）教育教学目标 1、知识和能力目标 （1）使学生了解对应观点下的函数意义，会求简单的自变量取值范围和函数值。 （2）了解函数与函数值的区别，会根据实际问题求出函数关系式。 2、过程与方法目标 （1）经历对数学问题的探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． （2）使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，进一步体会数学知识是来源于生活又应用于生活的。 3、情感态度与价值观目标 （1）注意展示学生思维的闪光点，努力激发学生思维的创造点，培养他们的语言表达能力和合作能力。（2）让学生体会学习函数的乐趣，进一步体会数学是与实际生活紧密相连的。 （三）教学重点和难点 教学重点：函数概念的理解,能够表示简单变量之间的函数关系。 教学难点：理解函数的意义，深入认识函数关系中两个变量之间的对应关系。 二、教学策略 （一）教学方法 因“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者，教师的作用是要发现强化这种探索精神，所以 1、本节课的教学方法是“问题解决法”，通过创设问题情景——设置问题——归纳与分析，引导学生探索本节课的知识。 2、通过小组合作学习，以优生带困难生全面提高课堂效率。 （二）学法指导 鼓励学生将所学的知识应用到生活实际中，学会归纳总结，逐步掌握主动获取知识的本领。 三、教学准备：三角板、多媒体课件 四、教学过程：
谈谈对函数性质教学的认识 1抓住函数概念核心，加强概念形成的教学 理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。 函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。 2、加强研究函数的一般方法的引导 概念教学的几个基本环节： 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入） 概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性） 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延） 概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色） 概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。 再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题： 研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等； 研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质； 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。 这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，
7,2 认识函数(2) 我预学 1. (1) 若分式有意义，则x 的取值范围是 ________________________ .要使分 2x _4 式有意义，必须满足条件___________________________ . (2) 要使形如算术平方根( 二次根式) 的代数式的意义，则 x 的取值范围是_______________ .要使算术平方根( 二次根式) 有意义， 必须满足条件 ______________________ . 2?阅读教材中的本节内容后回答： (1) 例1 中求x 的取值范围时，为什么要满足X>0 ，y>0 ，2x>y ” 请说出你的理由； ⑵例2 中的自变量t 的取范围又是怎样求出来的( 即满足哪些条件？). (3) 结合例1、例2, 请说说求实际问题中自变量的取值范围时，可从哪几个方面去考虑？
我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处 我梳理 个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处： 我达标 1 .在函数y -中，自变量x的取值范围是 ____________________________________ x +5 2 .有一个面积为30的梯形，其下底长是上底长的3倍.若设上 底长为x,高为y,贝S y关于x的函数解析式是___________________________ . 3.等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式 为 ____________________ , x的取值范围是___________________________
4.现有一根金属棒，在0C时的长度是200cm,温度每升高1C,
浙教版八上《7.2 认识函数》同步练习2 ◆基础训练 1．函数y=2x+1中自变量x 的取值范围是________． 2．x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 3．函数y=x 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≤1且x ≠0 B ．x>1且x ≠0 C ．x ≠0 D ．x<1且x ≠0 4．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，?国家决定对某药品的价格分两次降价，若 设平均每次降价的百分率均为x ，该药品的原价是m 元，?两次降价后的价格是y 元，则y 与x 之间的函数关系是（ ） A ．y=2m （1-x ） B ．y=2m （1+x ） C ．y=m （1-x ）2 D ．y=m （1+x ）2 5．求下列函数中自变量x 的取值范围： （1）y=1x ； （2）y=x-1； （3）y=x 2-2x+1； （4）21 (5)(6)1y y x ==-． 6．如图表示函数y 与x 之间的关系． （1）写出x ，y 的取值范围; （2）写出x=1时y 的值，y=2时x 的值． 7．A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为 y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式． 8．已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ ◆提高训练 9．如图所示是小思所设计的函数值计算程序，若输入x 的值为3，则输出的值为（ ）
章节测试题 1.【题文】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m． （1）如图，若设垂直于墙的一面墙长为xm，建成的饲养室总面积为Sm2，求S与x的函数关系式； （2）当饲养室的总面积为75m2时，求x的值． 【答案】解：（1）∵垂直于墙的一面墙长为，则平行于墙的墙长为 ， ∴总面积． （2）当时，则有，解得． ∴当饲养室的总面积为时，的值为． 【分析】 【解答】 2.【题文】根据下面的运算程序，回答问题：
（1）若输入，请计算输出的结果y的值； （2）若输入一个正数x时，输出y的值为12，请问输入的x值可能是多少? 【答案】解：（1）∵， ∴． （2）若时，则， 解得； 若时，则，解得． 综上所述，输入的的值可能是或3． 【分析】 【解答】 3.【题文】已知函数，求．【答案】解：由函数，可得
当时，， ∴，由此可得： ． 【分析】 【解答】 4.【答题】九年级（6）班一同学感冒发烧住院治疗，护士为；了较直观地了解这位同学这一天24h的体温和时间的关系，可选择的比较好的方法是（） A. 列表法 B. 图象法 C. 解析式法 D. 以上三种方法均可 【答案】B 【分析】 【解答】
5.【答题】下表列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度a（cm）与弹跳高度b（cm）的关系，则能表示变量a与b之间的函数关系的表达式为（） a（cm）50 80 100 150 … b（cm）30 45 55 80 … A. B. C. D. 【答案】А 【分析】 【解答】 6.【答题】函数的自变量x的取值范围是（） A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】С 【分析】 【解答】 7.【答题】在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】x≠2 【分析】 【解答】
对高中数学新教材第二章《函数》的认识 广州市教育局教研室赵荻帆 一、映射与函数 函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习得更好一些。 函数这一章的内容可分为三个单元。 第一单元：映射与函数，主要介绍映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。这部分是学习本章内容的基础。 第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数 本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。 2.1 映射 1.映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一，它的定义为：设A与B是两个集合，如果按照某种对应法则f，使得对于集合A 中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则称这
一对应(三个要素：集合A、B以及A到B的对应法则f )为集合A 到集合B的映射，记作f：A→B. 2.如果有映射f：A→B，使得a∈A和b∈B对应，则称b为a(在f下)的象，a称为b的原象. 3.对于映射这一概念，应使学生明确以下几点： (1)映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等。集合与对应是两个基本数学概念，只按字面来了解，不作数学定义。 (2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射。 (3)映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它的象，并且这个象是唯一确定的。这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。 (4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象。也就是由象组成的集合(象集)C B. (5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”。 例1 己知映射f：A→B，集合A =｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A 中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是∣a∣，则集合B中的元素
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，使相应的底数不为零； 其次，当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 例7、求出下列函数中自变量x的取值范围 课堂练习 1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，设CP＝x．y 表示△APB的面积． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围． 2、小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形．请你写出底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围． 3、晚饭后，小红从家里出去散步，如图，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依图回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有___米，小红从家走到公共阅报栏用了___分； （2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了___分； （3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了___分； （4）小红从邮亭走回家用了______分，平均速度是______米／秒． 4、如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1 cm/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止。设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 5、某工厂现在年产值25万元，计划今后每年增加2万元. （1）写出年产值y(万元)与年数x的函数关系； （2）画出函数图象； （3）求计划7年后的年产值.
第二章 函数 第一节 对函数的进一步认识 A 组 1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4 x 的定义域为________． 解析：? ???? －x 2－3x ＋4≥0， x ≠0，?x ∈[－4,0)∪(0,1] 答案：[－4,0)∪(0,1] 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ， 其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1 f (3) )的值等于 ________． 解析：由图象知f (3)＝1，f (1 f (3) )＝f (1)＝2.答案：2 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝? ???? 3x ，x ≤1， －x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满 足f [f (x )]>1 的这样的函数个数有________个． 解析：如图．答案：1 5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋ b 2(x ＋1)＋ b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________. 解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3； 再令x ＝0与x ＝1得????? －1＝1＋b 1＋b 2＋b 3 3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3 ， 解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1) 6．已知函数f (x )＝???? ? 1＋1 x (x >1)， x 2 ＋1 (－1≤x ≤1)， 2x ＋3 (x <－1). (1)求f (1－ 1 2－1 )，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝3 2 ， 求a . 解：f (x )为分段函数，应分段求解． (1)∵1－1 2－1 ＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3， 又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3 2 .
7.2认识函数(2) 我预学 1. (1)若分式 1 24 x- 有意义，则x的取值范围是 . 要使分式有意义，必须满 足条件 . (2)要使形如算术平方根（二次根式）的代数式的意义，则x的取值范围 是 . 要使算术平方根（二次根式）有意义，必须满足条件 . 2. 阅读教材中的本节内容后回答： (1)例1中求x的取值范围时，为什么要满足“x>0，y>0，2x>y”？请说出你的理由； (2)例2中的自变量t的取范围又是怎样求出来的（即满足哪些条件？）. (3)结合例1、例2，请说说求实际问题中自变量的取值范围时，可从哪几个方面去考虑？ 我求助：预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处： 我梳理 个性反思：通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标 1．在函数 1 5 y x =- + 中，自变量x的取值范围是 . 2．有一个面积为30的梯形，其下底长是上底长的3倍. 若设上底长为x，高为y，则y关于x的函数解析式是 . 3．等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式为，x 的取值范围是 . 4．现有一根金属棒，在0℃时的长度是200cm，温度每升高1℃，它就伸长0.002cm.则求这根金属棒的长度l与温度t的函数关系式为，当温度为100℃时，
这根金属棒的长度为 cm. 5．两个变量y与x之间的函数图象如图所示，则自变量x的取 值范围是__ _. 6．商店在出售某商品时，在进价的基础上增加一定的利润，其 数量x(千 克) 1 2 3 4 … 售价y（元）8+0.4 16+0.8 24+1.2 32+1.6 … (1) 请根据表中提供的信息，写出与的函数关系式； (2) 当x取何值时，售价为126 元？ 7．已知三角形的三边长分别为10cm，7cm，x cm，它的周长为y cm. (1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； (2)当x=6cm时，求三角形的周长； (3) 当x=18cm时，能求出三角形的周长吗?为什么? 我挑战 8．在函数 3 x y + =中，自变量x的取值范围是 . 9．某中学环保兴趣小组对公园中正在清除湖泊中淤泥的工人进行调查，并从调查中收集到下列数据： 湖泊面积（单位：米2）淤泥平均厚度（单位：米）每天清淤泥量（单位：米3）150 0.7 5 的函数关系为，若为了使湖泊中的生物链不遭破坏，仍需保留约30米3的淤泥. 若需保留的淤泥量，则除淤泥需天才能完工. 10．小明家于2009年2月份买了一套房，当时（即2月份）在银行借了54万元住房贷款，贷款期限为15年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%，每月还款数额=平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率. (1)求小明家借款后第一个月应还款数额； (2)假设贷款月利率不变，请写出张老师借款后第n（n是正整数）个月还款数额p与n 之间的函数关系式； (3)在(2)的条件下，求小明家2011年12月份应还款数额.