浅谈概率论论文

浅谈概率论

【摘要】:概率论与数理统计课程是工科大学的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，本文将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明，并附加了几个实例。

【关键词】：二项分布；泊松分布；正态分布；类比；级数；广义积分

1 概率论的起源和发展

概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”然而, 饶有趣味的是, 这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索: 人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏, 如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明, 它几乎出现在世界各地的许多地方, 如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著《历史》中写道: 早在公元前1500年, 埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,

根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。[1]

二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段--古典概率论的成熟。概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 2二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 2.1 二项分布、泊松分布之间的关系

定理1 泊松定理:在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中发生的概率为p n ,它与试验次数有关,如果n lim 0n np λ→∞

=>，则对任意给定的k, 有

lim (1)

!

k

k

k n k

n n

n n C p p e k λλ--→∞

-=

k=0,1,2…

泊松定理的证明见文献（课本）。由该定理知，当二项分布B （n,p ）的参数n 很大，p 很小，而λ=np 大小适中时，二项分布可用参数为np 的泊松分布来近似, 即

(1)

!

k

k k n k

n

C p p e k λλ---≈

这就是二项分布的泊松逼近。当然应尽可能地大, 否则近似效果往往不佳。 二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件即每次试验中事件出现的概率p 很小, 当伯努利试验的次数n 很大时,事件发生的频数的分布。实际表明, 在一般情况下, 当p<0.1时, 这种近似是很好的, 甚至n 不必很大都可以。 2.2 二项分布和正态分布之间的关系

定理2 设在n 重伯努利试验中，成功的次数为Y n ,而在每次试验中成功的概率为p(0

22

lim )()t x

n p x dt x -

→∞

≤==Φ⎰

.

定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理, 它的证明见文献[2]。该定理表明, 当充分大时, 二项分布可用正态分布来近似, 即二项分布的正态逼近。

2.3 泊松分布与正态分布之间的关系

由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似,也可以用正态分布近似。显然, 泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系, 下面的定理说明泊松分布的正态逼近。

定理3 对任意的a

22

lim

!

t k b

a

k e

e dx k λ

λαβ

λ--

→∞

<<

=

∑⎰

其中

a =

，b =。 定理3的证明见文献[3]

如前文所述, 二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当p 很小时, 即使n 不是很大, 用泊松分布近似二项分布, 已经相当吻合。但是在这

种情形下, 用正态分布去近似二项分布, 却会产生较大的误差。直观上也可以想象得到, p 很小, n 又不大, 则λ=np 一定不会很大。由定理3可知, 正态分布就不能很好地近似泊松分布, 因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项分布。

在n 充分大, p 既不接近于0也不接近于1时实际上最好满足(0.1≤p ≤0.9)用正态分布去近似二项分布, 效果就较好。 3 类比法在概率论中的运用 3.1事件和集合的类比

事件是概率论的一个基本概念，事件的关系与运算可以和集合的关系与运算作类比学习。如在事件中，A B ⊂表示A 出现则B 一定出现，在集合中，A B ⊂表示A 是B 的子集。

需要注意的是，事件的相等和集合的相等有不一样的性质，即由两个集合相等可以得出它们含有完全相同的元素，而两个事件相等则并不意味着它们是同一个事件。这种不同点要加以区分，以免混淆。此外，事件运算的性质和集合运算的性质, 如:交换律，结合律，分配律，对偶律等，也可以类比学习。 3.2某些数字特征与有关向量的概念的类比 3.2.1方差与向量长度平方的类比 随机变量X 的方差定义如下:

D （X ）=E[X-

E （X ）]2，其中E （X ）表示X 的数学期望。

方差可以和向量长度的平方类比，设α为n 维向量，α=（x1，x2，…，xn ），

则|α|2=（2222

123n x x x x +++…+）。

3.2.2 协方差，相关系数和向量的积，夹角余弦的类比

随机变量X ，Y 的协方差定义如下:

cov （X ，Y ）=E ［X-E （X ）］［Y-E （Y ）］=E （XY ）-E （X ）E （Y ）。 特别地，cov （X ，X ）=E ［X-E （X ）］2=D （X ）

协方差可以和向量积作类比。设α，β为向量，用α·β表示它们的积，则有α·α= |α|2。 4 概率论方法的几点应用 4.1 数列求极限

数学分析中的数列极限问题的证明和计算有的比较烦琐, 若用概率论的方法去解决, 可达到事半功倍的效果。

例1 求 n 5lim !

n n →∞

解设X 服从λ= 5 的泊松分布, 即

5

5()!n p x n e n -==

则5

k 151!

n e n ∞

-==∑， 所以 515!

n

k e n ∞

==∑

由级数收敛的必要性可知: n 5lim !

n

n →∞=0

实际上,这种形式的极限求值均可构造λ=a 的泊松分布来求值, 再用级数收敛的必要性去判断即可。

4.2 级数求和

例2 求∑∞

=1

2

n n ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-311

n

解：构造随机变量ξ服从P =

2

3

的几何分布 即)(n P =ξ=

2

3

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-311

n

则 ()ξξξD E E +=

2

2

=34

349=+ 又因为 2

E ξ=∑∞

=1

2

n n

3

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛-311

n =3

2∑∞

=1

2

n n ⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-311

n

所以∑∞

=1

2

n n

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-311

n =

2

9 4.3 求广义积分

例3 求⎰

∞

--0

2

2

e

x

解：因为被积函数是偶函数

所以 原式=

1

2

⎰∞

+∞

--

e

x

2

2

d x

由正态分布的性质得：dx x

e 2

2

21

-∞

+∞

-⎰π

=1

所以

⎰∞

+∞

--

e

x

2

2

dx =π2

又 ⎰∞

+∞

--e

x

2

2

dx =2⎰

∞

--0

2

2

e

x

dx

所以

⎰∞

--0

2

2

e

x

dx =

2

2π

推广：对形如⎰

∞

-0

)(dx x f 这样的积分问题我们可以利用正态分布的密度函数可以

解决，实际求解的时候，我们可以把它推广到一般的情形⎰∞

-x

dt t f )(，解法如下：

比如F （x ）=dt u t x

e ⎰

∞

--

-σσ

π22)

(212

解:设 dt t

dt t x e x

x

2

2

21

)()(-∞

-∞

-⎰⎰

==π

φϕ

令 σ

u

t v -=

则有 dv dt σ= 所以F （x ）=dt u t x

e ⎰

∞

--

-σσ

π22)(212

=)(

21

2

2

σ

σσ

πσ

u

x dv v

u

x e -Φ=⎰-∞

--

当给出具体u x ,,σ值，我们通过查表就可算出结果。

例4求dx x x e

x x )322

()322(2

++-

+∞

∞-++⎰

解：直接计算是很麻烦的。现在利用随机变量的数学期望与方差公式以及密度函数的性质进行计算。 因为

)

2

1()1(2

2

2

2232⋅+=

+++x x x 所以 e e e x x x )

2

1()1(2

2

2

22)32(⋅--++-+⋅=

从而可以利用正态分布随机变量X ～)2

1

,1(-N 求积分。

dx x x e

x x )322()322(2

++-

+∞

∞

-++⎰

=dx x x e

x e )1()322(2

2

2

+++-

+∞

∞

--⎰ππ

=)322(2

2

++-x E x e

π

=)]3()(2)(2[2

2

E x E E x e

++-π

又因为 2

3

2)()(,1)(,3)3()(2

2

=+=-==X E X

X D E X E E

dx x x e x

x )

322

()322(2

++-

+∞

∞

-++⎰

=e

2

4-π

用概率论的方法证明数学分析中的问题，主要是引入随机变量、恰当的构造模型把分析的语言转化为概率论语言，然后利用概论密度函数、期望、方差等相关概率论的知识去解。由以上解题可知概率论在数学分析某些问题的求解确实有 一定的优点。[4]

[参考文献]

[1]概率起源于玩骰子游戏的数学理论 东东 课余揽胜·数学史话 2007年4月 [2] 概率论与数理统计 王勇 高等教育

[3] 概率论与数理统计 梁之舜, 邓集赞 高等教育

[4] 概率论方法的几点应用 方永锋,徐顼,邱泽阳 联合大学学报( 自然科学版) 2006年9月 第5期

概率论论文

概率论论文

概率论论文 摘要：概率论起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化， 最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。本文将简单介绍概率论的自实际应用的起源，并应用概率论解决实际生活中的几个问题。 关键词：概率；运用；日常生活 一、个人体会 对于概率论的学习已经过了大半个学期了，虽然我们没有研究特别高深的内容，但是通过老师深入浅出的讲解，我们不仅学会了课本上的知识，也学会了我们许多课本上所没有的知识。我想学校给我开这门课的意义有两个，学会从概率与数理统计的角度去思考，有该学科的思维方法，并能将概率与数理统计应用到今后的学习生活中。 经过自己平时的学习和在网上查阅资料，我了解到了许关于概率论的知识，认识到概率在我们生活中随处可见。 概率论严格意义上来说就是研究随即现象数量规律的数学分支。 随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。随机现象的实现和对它的观察称为随即试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。 虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。 在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道

浅谈概率论论文

浅谈概率论 【摘要】:概率论与数理统计课程是工科大学的一门应用性很强的必修基础课程。通过近一个学期的学习，我对概率论也有了一些粗浅的认识，本文将从概率论的历史和发展讲起，接着对二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系进行一个简单的论述，然后将概率论的一些概念与以往学过的概念进行类比，最后对概率论在工科数学分析中的几个巧用进行说明，并附加了几个实例。 【关键词】：二项分布；泊松分布；正态分布；类比；级数；广义积分 1 概率论的起源和发展 概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分, 最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的, 只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身, 归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此,整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”然而, 饶有趣味的是, 这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索: 人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏, 如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明, 它几乎出现在世界各地的许多地方, 如埃及、印度、中国等。著名的希腊历史学家希罗多德在他的巨著《历史》中写道: 早在公元前1500年, 埃及人为了忘却饥饿的困扰, 经常聚集在一起掷骰子和紫云英,这是一种叫做“猎犬与胡狼”的游戏, 照一定规则,

根据掷出各种不同的紫云英而移动筹码。大约从公元前1200年起, 人们把纯天然的骨骼(如脚上的距骨) 改进成了立方体的骰子。[1] 二十世纪以来, 概率论逐渐渗入到自然科学、社会科学、以及人们的日常生活等几乎无所不在的领域中去.无论在研究领域, 还是教育领域, 它愈来愈成为一门当今最重要的学科之一。于是, 对于概率论历史的研究也日益引起科学史学家们的重视。在概率论发展历史上, 十八、十九世纪之交法国最伟大的科学家之一拉普拉斯具有特殊的地位, 1812年拉普拉斯首次出版的《分析概率论》标志着概率论历史上的一个重要阶段--古典概率论的成熟。概率论发展到1901年, 中心极限定理终于被严格的证明了, 以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代, 人们开始研究随机过程, 著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。到了近代, 出现了理论概率及应用概率的分支, 及将概率论应用到不同筹, 从而产生了不同学科。因此, 现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。 2二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 2.1 二项分布、泊松分布之间的关系 定理1 泊松定理:在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中发生的概率为p n ,它与试验次数有关,如果n lim 0n np λ→∞ =>，则对任意给定的k, 有 lim (1) ! k k k n k n n n n C p p e k λλ--→∞ -= k=0,1,2… 泊松定理的证明见文献（课本）。由该定理知，当二项分布B （n,p ）的参数n 很大，p 很小，而λ=np 大小适中时，二项分布可用参数为np 的泊松分布来近似, 即

浅谈概率论在生活中的应用---毕业论文

【标题】浅谈概率论在生活中的应用 【作者】秦挺 【关键词】起源和发展运用总结 【指导老师】宋安超 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 概率论是通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，因此，概率论有着极其广泛的应用。 概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。根据概率论中用投针试验估计值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法。借助于电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。 2 预备知识 2.1概率论的起源 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现点至点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为与点数之和为，哪种情况出现的可能性较大？ 世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德?梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢？后人称此为著名的德?梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得局便算赢家。如果在一个人赢局，另一人赢局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。数学家们“参与”赌博参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建

浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一)

浅析概率论在生活中的应用毕业论文(一) 概率论作为一门研究随机事件概率规律的学科，不仅在理论研究中有着广泛的应用，也逐渐渗透到我们的日常生活中，无论是从商业、医疗、技术等方面，都得到了广泛应用。本文就从以下几个方面简要探讨概率论在生活中的应用。 1. 保险行业 保险行业一直是概率统计学的应用领域之一。在保险业中，保险公司要根据统计数据和概率论的知识对客户进行风险分析并制定相应的保险方案。比如，在车险中，保险公司会根据客户的性别、年龄、车型等信息计算出客户的出险概率，从而制定出相应的保险费用。这种保险费用制定方式不仅使保险公司能够更加科学地进行风险评估，降低了客户的保险成本，也使得保险公司更加准确地控制保险赔付率，保证了公司的盈利能力。 2. 医学 概率论在医学领域中应用广泛。例如在病人诊断中，一系列试验和检查结果需要根据概率理论进行分析和判断。医学研究还涉及到新药的测试。在这种情况下，概率统计学的方法被用来评估患者使用新药的风险，以及新药的作用和副作用。此外，在流行病学中，概率统计学方法被用来分析疾病的传播和预测未来的疫情。 3. 投资 股票交易也是概率论的应用领域之一。投资者需要了解股票价格变动的概率规律，并且基于概率统计学方法进行分析和预测未来股票价格的趋势。这需要投资者利用历史数据和统计模型来模拟和预测股票价格。这种预测方法具有一定的误差，但也给投资者提供了一定的参考信息。

4. 体育竞技 体育竞技也是概率论的应用领域。在足球比赛中，根据球队近期表现、场地、天气等因素，可以利用概率理论来预测哪个球队有更大的获胜 概率。此外，在比赛中，也需要根据概率理论来决定是否采用进攻或 者防守策略等。 总结而言，概率论在我们的生活中扮演着重要的角色。可以帮助我们 做出明智的决策，减少我们所面临的风险，并提升我们的成功概率。 因此，概率论的知识对于每个人来说都是十分必要的。

概率论论文-浅谈中心极限定理

浅谈中心极限定理 摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。 引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹 射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。 目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理： 林德伯格-莱维中心极限定理：设 {}n X 是独立同分布的随机变量序列，且 )(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}⎰ ∞ --∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 2 2 这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们， 对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n 充分大时, n Y 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种 近似不能保证。也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n Y 有关事件的概率，而 n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当 ) 1,0(~N Y n 时，则有 ) , (~),,(~2 2 1 n N X n n N X n i i σμσμ∑=。 现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。 例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经

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数列在高中数学的各大知识点中属于难点，有着极强的逻辑性与规律性。在学习数列知识的过程中，学生不仅要善于观察，还要有清晰的逻辑思维。概率在近些年的高考试题中大量出现，将概率与数列知识点进行交汇教学，能够促进学生数学综合能力的整体提升。 比如，有这样的典型例题：小明与小红两人玩“闭眼跳格子”的游戏。小明跳的格子上分别标记着1、4、7、10、13……小红跳的格子上分别标记着2、6、10、14、18……游戏规则是先让小明闭眼在小红随意打乱顺序的格子上任意一跳，如果小明所踩到的格子号码正好自己这边也有，那么则获胜，否则是小红获胜。请问：在该游戏中，小明的获胜概率多大？ 二、概率与不等式的交汇 不等式属于高中数学中的重难点。将概率与不等式知识进行交汇，能够为概率学习与不等式学习带来全新思路，从而有效盘活学生的学习思维。同时，从概率的角度去审视不等式问题，很多时候能够帮助学生对复杂不等式进行理解，关键点就在于能够发散学生的思维。 例：某家蛋糕店的布丁制作成本为每个1元，出售价格为每个3元。但是，当天制作的布丁如无法售出，则会由于过期而无法继续出售。为了实现利润最大化，也为了避免浪费，蛋糕店决定每天制作30个布丁，进行为期一个月的试运营，同时对这一个月的布丁每日需求量进行统计。数据如下表。

概率论毕业论文：概率论起源_毕业论文范文_

概率论毕业论文：概率论起源 概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上,它的产生是以帕斯卡和费马在1654 年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与赌博有关的点数问题,因此人们总是把概率论的产生归功于赌博这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们,赌博游戏早在文明初期就已经存在了,迄今已有几千年的历史,而概率论从诞生至今不过三百余年,这说明赌博并不是概率论产生的决定性条件。在从赌博出现到概率论产生之间的这段“空白”期,必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么? 换句话说,需要具备哪些先决条件,概率论才能得以形成? 一独立随机过程的出现 对概率论而言,两个最主要的概念就是独立性和随机性[1 ] 。概率论是从研究古典概型开始的,它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决,概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件,我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。 事实上,这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了,那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具,将一个或多个趾骨投掷出去,趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性,而每次投掷的结果也互不影响,这与我们今天投掷骰子的基本原理相当,因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差,各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性) ,所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能轻易使用,这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。 随着社会的进步和文明的发展,骰子变得越来越普遍,不仅数量增多,规则性也日益精良,此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看,只要一枚骰子是质地均匀的,它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机

概率论与数理统计论文(优秀3篇)

概率论与数理统计论文（优秀3篇） 【摘要】针对近年来医学院校招生规模不断扩大，学生基础知识和学 习能力参差不齐的实际状况，探讨了概率论与数理统计分层次教学的必要性，提出了医学院校概率论与数理统计课程分层教学模式，总结了在概率 与统计教学中利用现代化信息技术进行分层次教学的实践经验。 【关键词】因材施教；素质教育；概率论与数理统计；分层次教学 早在2500年以前，儒家代表人物孔子把教育内容分为德行、言语、 政事、文学四科，其中以德行为根本。而德育方法由不同层次的方法构成的，特别是方法论层次上的德育方法，如因材施教法。既然不同的学生自 身的特点不同，那么在教学中就应采用不同的教育，我们所提出的分层次 教学思想，就源于孔子的因材施教。 近年来，随着教育的深入，本科教育从精英化向大众化进行转变，高 等院校招生规模大幅度地增加，医科院校入校学生的数学基础和学习能力 参差不齐。而大学生由于其专业对概率与数理统计知识的要求不同，其学 习目标和态度不尽相同，这就使得大学生对该课程的需求有了进一步的分化；同时由于不同学生的数学基础和对数学的兴趣爱好也不尽相同，对数 学学习的重视程度和投入有很大差别。在长期的教学实践中我们深刻地体 会到，为了在有限的课堂教学时间内尽可能地满足各层次学生学习的需要，满足各专业后续课程学习的前提下，最大程度地调动学生的学习积极性， 必须推行分层次教学，提高数学教学的质量[1，2]。 1概率论与数理统计分层次教学研究的背景 自1995年国家教委立项研究“面向21世纪非数学类专业数学课程教 学内容与课程体系”以来，对于数学教育在大学教育中应有的作用，国内

数学教育界逐渐认识到，我国高等院校的规模水平、专业设置、地区差异、师资力量、生源优劣都相去甚远。而随着我国高等教育大众化趋势的步伐 加快，这些差距到21世纪更加凸显，分层次教学法的提出必然是大学数 学教学的规律。这也是我们在进行大学数学分层次教学研究时的一个基本 出发点。我校在概率论与数理统计的教学实践中提出分层次教学，是在原 有的师资力量和学生水平的条件下，通过分层次教学，充分满足各专业各 水平不同层次学生的数学素质的要求，最大限度地挖掘学生的潜能，引导 学生发挥其优势，使每个学生都能获得所需的概率统计知识，同时能够充 分实现学校的教育功能和服务功能，达到教书、育人的和谐统一[3]。 2概率论与数理统计分层次教学中考虑的问题 我校是一所医学院校，早期的概率统计教学常常采取“一刀切”、 “齐步走”的教学方法，统一教学大纲、教学实施计划、教学方法、考核 要求，并未针对数学基础的不同采取不同方法，这造成基础好的学生“吃”不够，基础差的学生“吃”不了，课程结束后并未达到理想的教学效果。 概率论与数理统计有别于其他学科，理论性和应用性都很强，这就决 定了教师在教学中的参与和学生的自主学习都必不可少。因此，课堂教学 中一方面要以学生为主体，以学为中心，另一方面要发挥教师的主导作用，积极组织、引导学生，促进学生更好地学习。 高等教育具有大众化、多样化，本质上讲应该是个性化的。而素质教 育的最大特点之一是要面向全体学生，挖掘每个学生的潜力，发挥每个学 生的个性特长，提高全体学生的素质和能力[4]。但是由于扩招，新生素 质呈下降趋势，即使在我校，在校学生由于受遗传、家庭、学校、社会环 境等因素的影响，其水平差异、层次差异也很明显，即具有层次性。而分 层次教学则承认学生的个体差异，在教学过程中针对不同层次学生的不同

概率论研究方法毕业论文

概率论研究方法毕业论文 概论： 概率论作为数学的一个分支，研究的是随机现象的规律性和统计规律。概率论研究方法是概率论研究过程中所运用的方法，旨在帮助研究者进行科学地、系统地研究和分析概率论问题。 一、概率论研究方法的基本原理 1.随机试验与样本空间：概率论研究方法首先要建立合适的数学模型，用来描述相应随机现象。随机试验是概率论研究的基本方法之一，通过随机试验来研究事件的概率。样本空间是随机试验中所有可能的结果的集合，对于每个结果都可以进行概率分析。 2.事件与概率：事件是样本空间的子集，是随机试验中我们关心的某些结果的集合。事件的概率是衡量这个事件发生可能性大小的数值，它是从样本空间到实数集合的映射，满足一些基本性质，如非负性、规范化等。 3.概率公理与概率计算：概率公理是概率论的基础，包括可数可加性、非负性、规范性等。通过概率计算方法，我们可以根据已知信息计算出事件的概率。 二、概率论研究方法的具体应用 1.概率分布：概率分布是描述随机变量取值的概率规律的函数。常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。

概率分布的研究方法包括概率密度函数、累积分布函数、期望、方差等统计性质的计算和分析。 2.随机变量的分类与性质：随机变量是在一次随机试验中依赖于试验结果而取不同值的变量。根据随机变量的性质和取值范围的不同，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。对不同类型的随机变量进行分类和性质的研究是概率论研究方法的重要内容。 3.多维概率分析：多维概率分析研究的是多个随机变量之间的相互关系。通过多维概率分析可以研究多个随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布等。多维概率分析在金融、统计建模等领域有广泛应用。 三、概率论研究方法的实例 以投掷硬币为例，说明概率论研究方法的应用过程： 1.确定样本空间：投掷硬币一次的结果可能为正面或反面，所以样本空间为S={正,反}。 2.确定事件与概率：事件可以是“出现正面”和“出现反面”，对应的概率分别为P(正)=0.5和P(反)=0.5。 3.计算概率：根据概率公理，我们可以计算出其他事件的概率，如P(出现正面且1/4)=P(正)*P(出现1/4|正)=0.5*0.25=0.125。 4.分析概率分布：对于投掷硬币的结果，可以构造离散型随机变量X，用来表示出现正面的次数。通过计算概率分布，我们可以得到X的概率质量函数，进而分析X的统计性质，如期望和方差。

概率论课程小论文

概率论与数理统计课程设计 关于正态分布的几点讨论 经过一个学期的学习，我对概率论有了更为深刻地理解，高中阶段的概率只是简单的古典概型和几何概型，而这个学期，我们对概率论有了进一步的认识，接触了泊松分布、贝努力分布、超几何分布、正态分布等等。纵观全书，我感觉

到正态分布在概率论这门课程中有很高的地位，而且正态分布在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用，进而我也对正态分布产生了浓厚的兴趣。所以在课程设计中，我想讨论一下正态分布的有关问题。 一、正太分布的由来、发展及重要性 正态分布是最重要的一种概率分布。 正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫佛于1733年首次提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。 在随机变量的各种分布中，正态分布占有特殊重要的地位，在高斯以后，人们又发现在实际问题中，许多随机变量都近似服从正态分布。20世纪前半期，概率论研究的中心课题之一就是寻求独立随机变量和的极限分布式正态分布的条件。因此，把这一方面的定理统称为中心极限定理。较一般的中心极限定理表明：若被研究的随机变量是大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可以认为这个随机变量近似于正态分布。这就揭示了正太分布的重要性。因为现实中许多随机变量都具有上述性质，例如测量误差、射击弹着点的横坐标、人的身高等都是由大量随机因素综合影响的结果，因而是近似服从正态分布的。 数理统计中有常用的三大分布占有极重要的地位，分别是2 χ分布，t 分布和F 分布，这三大分布都与正态分布有着密切的关系，由此更能看出正态分布的重要性。 二、正态分布的含义 正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N (μ，σ2)。 服从正态分布的随机变量的概率规律为：取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大分布越分散。 正态分布的概率密度函数为()e x x f σμσπ22221）（-- =，x ∈）（+∞∞,-，并称X 服

概率论论文

概率论与数理统计论文 ——随机变量的数字特征 概率论与我们的日常生活密切联系且相互渗透，如理财问题，工作问题，保险问题彩票中奖等。概率论作为高等学校的一门重要的数学基础课，它应用于各个学科，如天文学、经济学、金融学以及其他一些交叉学科。概率论思维是从属一般思维的，它是人脑和概率论研究交互作用并按照一般思维规律认识概率论内容的内在理性活动。概率论思维品质是主体的思维活动对概率论内容理解和掌握的程度或水平，是衡量主题的概率论思维发展水平的重要标志。下面我要讨论是概率论与数理统计中的随机变量的数字特征。

在学习中我们知道：随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律性，但在许多实际问题中，要精确确定一个随机变量的分布往往很困难；另一个方面，有些问题也无需知道随机变量的精确分布，只要知道该随机变量的某些特征即可。随机变量的数字特征是与随机变量有关的某些数值，这些数值能够描述该随机变量在某些方面的特征；并且，很多重要分布中的参数都与数字特征有关。因此，随机变量的数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位。 在实际生活中，我们都存在着随机变量的数字特征。就说说在高中时我们要考的英语，分析某班学生的期末成绩英语水平时，只要计算该班的平均成绩和计算我们专业每位同学的考试成绩与月考成绩偏离大小，便可以对该班学生英语水平做出比较客观的判断，这种能表示随机变量某些方面特征的数就是随机变量的数字特征。另外我们还注意到许多的重要分布东苑会含1到3个参数，而这些参数都与数字特征重合或关系密切，因此只要知道分布的类型，通过数字特征就能完全确定分布函数。由此可见，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。 在第一节中我们学习了，随机变量的数学期望。 数学期望的定义：设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变量X的数学期望，记为 。即

概率论论文-用概率论知识解决实际问题 -

用概率论知识解决实际问题 概率论是一门与生活联系紧密的学科， 它的起源与赌博有关，随着科学的发展，人们注意到社会科学与自然科学中许多随机现象与机会游戏之间十分相似，如人口统计、误差分析、产品检验、质量控制等，从而机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中。 下面看两个用概率论解决实际问题的例子： 一、合理配置维修工人问题 设有同类型仪器300台，他们的工作是相互独立的，且发生故障的概率均为0.01.一台仪器发生了故障，一个工人可以排除。 （1）问至少配置多少个维修工人，才能保证仪器发生故障但不能及时排除的概率小于0.01？ 解：仪器发生故障不能及时排除事件用A 表示，设配置x 个维修工人，则A 等价于事件“同时发生故障的仪器数>x ”由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成是300重的伯努利试验，成功（发生故障）的概率p=0.01，故 (A P = )(3001300k x k P ∑+==k k x k k C -+=∑3003001300)99.0()01.0(, 因为n 很大，p 很小，且λ=np=300×0.01=3,超几何分布可近似为泊松分布， )(A P ≈∑∑∞+=-+=-≈1 3 30013!3!3x k k x k k k e k e 由次式应有 ∑∞ +=-13 !3x k k k e < 0.01 查表知 ∑∞=-83 !3k k k e =0.01191 ， ∑∞ =-93!3k k k e =0.00380 于是 x+1=9, x=8 故只需配8个维修工人就可达到要求 （2）若一个人包干20台仪器，求仪器发生故障而不能及时排除的概率。 解：设仪器发生故障而不能及时排除的事件为B,则B 等价于事件“在20台仪器中，同一时间发生故障的仪器数>1”。由于20台仪器在同一时间内是否发生故障可看成是20重的伯努利试验，成功（发生故障）的概率p=0.01.故

概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文 •相关推荐 概率论与数理统计论文（精选16篇） 在学习、工作生活中，大家最不陌生的就是论文了吧，借助论文可以有效训练我们运用理论和技能解决实际问题的的能力。那么，怎么去写论文呢？下面是小编为大家收集的概率论与数理统计论文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 概率论与数理统计论文篇1 摘要： 在现实世界中，随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，无处不在。而概率统作为数学的一个重要分支，同样也在发挥着越来越广泛的用处。概率统计正广泛地应用到各行各业：买保险、排队问题、患遗传病、天气预报、经济预测、交通管理、医疗诊断等问题，成为我们认识世界、了解世界和改造世界的工具，它与我们的实际生活更是息息相关，密不可分。 关键词： 概率论,概率论的发展与应用正文 一、概率论的起源 说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。 那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。于是他写信给的好友费马，

两人讨论结果，取得了一致的意见：赌友应得64金币的。 通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。 二、概率论的发展 概率论的应用在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。不过，首先将概率论建立在坚固的数学基础上的是拉普拉斯。从1771年起，拉普拉斯发表了一系列重要著述，特别是1812年出版的《概率的解析理论》，对古典概率论作出了强有力的数学综合，叙述并证明了许多重要定理，这是一部继往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科。 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。 三、概率论在生活中的应用 （1）概率论在保险中的应用

概率与统计论文

概率与统计论文 概率与统计是大学数学专业和某些非数学专业的基础课程。下文是店铺为大家整理的关于概率与统计论文的范文，欢迎大家阅读参考! 概率与统计论文篇1 概率论与数理统计教学探索 摘要:在概率统计教学过程中注意培养同学们数学建模意识。多举实例,教他们学会对实际生产生活问题建立概率统计模型,并力争独立解决。提高学习兴趣,引导自主学习并真正做到学以致用。 关键词:数学建模概率统计自主学习 概率论与数理统计是所有高等院校的理工、经济管理、金融类专业本科阶段开设的一门必修数学课程,同时有不少人文社科类专业也在开设这门课程。它是与实际生产生活联系最为密切的一门课程。由于它在自然科学、社会科学、工农业生产、金融经济等各方面的广泛应用,本课程在高等学校教育中的重要地位日益凸现。因此,作为本门课程的授课教师,不仅要给同学们讲解它的基本理论知识,更重要的是引导学生学会运用概率统计的思想方法,来解决实际问题。这是每位授课老师义不容辞的职责,也是同学们学习的动力源泉和最终归宿。 为了使同学们更好地运用概率统计,这种数学方法解决实际问题,在课堂上可以花少量时间向同学们介绍数学建模的思想,树立他们运用数学方法,解决实际问题的意识和全局观。当然,在我们概率统计的教学课堂上,主要是教学生如何建立概率统计模型去解决实际问题,告诉他们概率统计模型是在处理随机性问题时非常有力有效的模型。一旦同学们体会到了这一层,就会变被动学习为主动学习,学习效果当然也会大为提高。作为老师,大约可以从以下几方面来做。 一、告诉大家什么是“数学建模” “数学建模”是指根据生产、生活中遇到的实际问题的特点和规律,抽象和提炼出一个数学问题,用数学的工具,包括计算机、信息查询等手段来求解,并将结果经解释验证后用于解决实际问题,指导生产生活的过程。作为数学研究与实际的社会生产生活交叉组合,而产生的一个新

概率论论文-概率论在生活中的应用

概率论论文 --概率论在生活中的应用 概率论在生活中的应用 【摘要】概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让我们用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。

【关键词】 概率论 经济 生活 保险 彩票 1. 在求解最大经济利润问题中的应用 如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。 例 1 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x (单位:吨) 服从()300500， 上的均匀分布,每售出1 吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5 千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大? 分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案. 解 设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300a 500≤≤,又记y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即()y g x = ,由题设条件知: 当x a ≥时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ； 当x a <时,则售出x 吨(获利1.5x ) 且还有a x -吨积压(获利()0.5a x --) ,所以共获利1.5x ()0.5a x --，由此得 (){ 1.52 0.5a X a X a X a x Y g ≥-<== 从而得 ()()()()500 3001200 x y g x p x dx g x dx E +∞-∞==⎰⎰ ()5003001120.5 1.5200200 a a x a dx a dx -+=⎰⎰ ()221900300200a -+-= 上述计算表明()y E 是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a =吨时,能够使得期望的利润达到最大。 2.大数定律在保险业的应用 保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会

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概率论毕业论文

;引 言 概率论是一门与现实生活紧密相连的学科，不过大多数人对这门学科的理解还是很平凡的：投一枚硬币，0.5的概率正面朝上，0.5的概率反面朝上，这就是概率论嘛．学过概率论的人又多以为这门课较为理论化，特别是像母函数，极限定理等内容与现实脱节很大，专业性很强．其实如果我们用概率论的方法对日常生活中的一些看起来比较平凡的内容做些分析，常常会得到深刻的结果． 在谈及应用之前，先澄清一下多数人在概率方面的一个误解．大部分人认为一件事概率为0，即为不可能事件．这是不对的，比如甲乙玩一个游戏，甲随机地写出一个大于0小于1的数，乙来猜．①乙一次猜中这个数②乙每秒猜一次，一直猜下去，“最终”猜中这个数．这两件事发生的概率都是0，但显然它们都有可能发生，甚至可以“直观”的讲②发生的可能性大些．这说明概率为0的事也是有可能发生的．不过在我看来，这样的可能性实在是太小了，在实际的操作中认为不可能也是有道理的，但不管怎么说，它们确是可能事件． 来看一个应用：[1]在12只金属球中，混有一只假球，并且不知道它是比真球重或轻，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要多少次称量才能找出这个假球，并确定它是比真球轻或重为了讲清概率论在这个问题中的应用，先讲一下熵的概念．熵是概率论的分支学科--信息论中的概念，它是一个实验不确定程度的量度，熵越大，说明该实验的不确定性越高．比方说，扔一枚硬币是一个实验，扔一枚色子也是一个实验，直观地讲，我们说前者的不确定性要小些；计算结果，前者的熵为lg 2，后者的熵为lg 6，与直观吻合．同样，判断12个球的真假和轻重也是一个实验，它的熵为lg 24，我们要在若干次称量后将其不确定性降为0，也就是要其熵降为0．每用天平称量一次（随便怎样称），天平都有3种结果，于是最多获得lg 3的信息，所以k 次称量最多可得lg 3k ⨯,也就是lg 3k 的信息．令2lg 3lg 24lg 3k k -<<得3k =，至少进行3次实验才能完成要求．当然，这是理论上最少的结果，我们还要找到一个现实可行的方案，实际上，这样的方案也是有的，所以说得到的解是正确的结果．这种方法将看似是智力测验的题目用数学方法解决了．其实用这种方法还可解决4次使用天平，能判断最多多少个球的真假轻重情况的问题．关于这点，可以这样考虑：第一次称量时，所有的球只有两种可能：要么在天平上，要么没有在天平上，且在天平上的球数须是偶数，否则进行的称量是得不到有用的信息的．设在天平上的球数为2u ，不在天平上的球数为v ，若天平平衡，下面要3次使用天平在个球中找到假球并判其轻重，由前面的结果知的最大值为12；若天平不平，

概率论论文-概率论课程的一些认识

概率论课程的一些认识 进过这么久对概率论的学习，在基础知识的积累之上，在高等数学工具的应用之下， 我对这门课程有了更为深入的认识。 一、概率论定义的变迁与意义 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。和数理统计一起，是研究随机现象及其规律的一门数学学科。传统概率(拉普拉斯概率)的定义是由法国数学家拉普拉斯(Laplace)提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。 传统概率在实践中被广泛应用于确定事件的概率值， 其理论根据是：如果没有足够的论据来证明一个事件的概率大于另一个事件的概率， 那么可以认为这两个事件的概率值相等。 如果仔细观察这个定义会发现拉普拉斯用概率解释了概率，定义中用了"相同的可能性" 一词，其实指的就是"相同的概率"。这个定义也并没有说出，到底什么是概 率，以及如何用数字来确定概率。 因此，如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难 所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒

贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定 义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用. 由上述定义的有关说明可以发现，概率论的研究方法大致可分为两个方面。 概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论的，因此概率论的研究方法本质上是演绎式的；而统计学的方法是归纳式的，从所研究对象的全体当中随机抽取一部分进行试验以获得数据，依据数据对整体作出判断，从而“归纳”得到结论。随着数学的不断发展，概率的定义也越来越实际化，越来越与生活密切相关。同时，越来越丰富的学科发展，为概率论本身的研究和在日常生活中的广泛应用提供了更深入的条件. 进入大学以来，有关概率论与数理统计的学习更加的系统化和深入化。由于大一时期学习了高等数学（工科数学分析）和线性代数等高等数学的普遍知识，我们对极限思想和微积分思想有了一个更加深刻的认识，在这些数学思想和数学工具的帮助下，我们能够学习更多的概率论和数理统计的系统化的知识，也能够用这些知识更加有效的解决实际生活中的问题，使得课程学习与实际问题的解决相结合，学以

数学毕业生论文—浅谈概率统计与生活

第一章 古典概型在博彩领域的应用 1.1古典概型的定义及其应用 对于古典概型，我们有下面的定义 定义1 设E 是等可能试验，n 是其样本空间Ω包含的样本点数（或基本事件个数），A 是E 的包含有k 个样本点（或基本事件）的随机事件，则随机事件A 的概率为n k A P =)(该公式称为古典概型的概率计算公式。 例1 一位赌主在街头设摊摸奖，其手中有一布袋，内装有6个黑球与6个白球，除颜色不同外，球的形状，大小，质量等都相同，每次让顾客在袋中摸出6个球，规则如下 6个黑球――――得10元 5个黑球，1个白球――――得5元 4个黑球，2个白球――――得2元 3个黑球，3个白球――――得－10元 2个黑球，4个白球――――得2元 1个黑球，5个白球――――得5元 6个白球――――得10元 如果顾客摸出3个黑球，3个白球，根据规则输给赌主10元，其他情况下可分文不花按规则得不同的奖，假设顾客共计摸了1000次。试分析赌主是否会输钱？ 解 分析 基本事件总数为C 612＝924，摸到k 个黑球，6-k 个白球的基本 事件为k k C C -⋅66 6 （k ＝0,1,2,……，6），其概率分布如下 表中7中情况的概率和为1，设连续摸1000次，将大约433次会输10元，2次赢10元，78次赢5元，487次赢2元，即共计顾客输4330元，赢2×10+78×5+487×2=1384元，因此，赌主显然不会输，输的是顾客。 1.2 古典概型在博彩领域的发展

纵观概率发展的历史长河 ,可窥见概率和博彩已经鱼水相融。早在 15世纪上半叶 ,就已有数学家试图从理论上思考赌博问题。从最初的意大利数学家帕乔利 （L. pacioli ）1494年出版的《算术》一书中提出赌注分配问题 ,到后来的卡丹（ Cardan Jerome,1501 - 1576 ）重新就帕利赌注分配问题进行系列的理论探讨;从自然科学创始人之一的 ———伽利略(Galileo,1564 - 1642 )解决掷骰子问题 ,到帕斯卡和费马用各自用不同的方法解决 1654年 7月 29日法国骑士梅累向帕斯卡提出的赌博问题 ,再到 1657年荷兰数学家惠更斯 （G. Huygens,1629 – 1695） 一书《论赌博中的计算》的问世 ,都在探索赌博中的概率问题 ,并且也相应的使得概率论概念和定理得到延拓和发展。 如今,博彩业如雨后春笋般涌起, 巨额奖金的诱惑,使得一些“有识之士”为实现自己的致富梦想,不得不借助概率这个工具审时度势。 下面一道例题作为对博采理论分析具有很好的指导作用: 例2 在考察时间跨度内,引起人们注意的偏号码或偏和值共有10个,体彩“排列三 ”与“和 14”相邻两个开出期间隔甚至长达 96期 ,理论计算这些情况是否合理,在研究最初用到的就是古典概型和概率的有关性质。首先考虑各个位置号码,在 k （k ≥10 ）期中,至少有某一位置的某一个数字没有被开出的概率为2101))9.01(1(1k p ---=。 此问题抽象为概率问题,其实质是求“由 0～9十个数字组成的k 个位置的排列中,其中至少有一个数字在k 个位置都不出现的概率。 解 首先我们可以考虑: k 个位置中某一个位置有一个数字不出现的概率为 9/10, k 个位置都不出现该数字的概率则为k )10/9(（数字可以重复排列),而 k 个位置至少有一个位置出现该数字的概率为k 9.01-,数字是 0 ～9中的任意一个,每个数字在该位置出现又是等可能的,所以 10个数字在此位置全出现过的概率为10)9.01(k -, 根据概率性质,至少有一个数字在这个位置从未出现的概率为10)9.01(1k --,这样的位置有三个,所以至少有某一位置的某一个数字没有被开出的概率为210))9.01(1(k --。此问题的探讨反复利用概率的性质, 最终使问题得到解决。 古典概型是概率里边最早的概型,也是应用较为广泛的概型，它是概率论中最基本的内容之一, 在概率论中占有相当重要的地位。同时,古典概型与全概率公式相结合,对于实际问题中考虑整个系统的概率问题,或者得知整个系统的概率查找原因等问题,其作用也是不可磨灭的。下面例述全概率公式的作用。