概率论与数理统计(经管类)学习方法浅谈04183

概率论与数理统计(经管类)学习方法浅谈

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，是统计管理类各专

业的一门重要的基础课程.教材前五章属于概率论部分，它是本课程的理论基础，给出了

许多重要的概念，是后面数理统计部分学习的基础.教材后四章属于数理统计部分，着重

研究处理随机性数据，建立有效的统计分析方法，进行统计推断.

具体到自学考试，为了保证一次性通过，除了需要对课本的基础知识熟练掌握外，

其中尤以各种概念最为重要.对于概念，除了准确理解含义外，还要注意其彼此间的联系

及区别(具体到各章会有注解)，此外，还需要掌握一些常见的解题方法.现介绍如下：

(一)如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则宜用概率加法公式；

当事件组相互独立时可用对立事件的概率公式P (A )=1－P (A ).

例：袋内装有4个白球，5个黑球，从中任取两个球，求至少有一个白球的概率.

解：A 表示任取的两个球中至少有一个是白球的事件.

∵P (A )=2925C C =18

5 ∴P (A )=1－P (A )=18

13. (二)若给出的试验可分解成(0－1)的n 重独立重复试验，则宜用贝努利试验的概率计

算公式P {X =k }=C k n

P k (1－P )n －k .如2008年10月第12题： 某射手对一目标独立射击4次.每次射击的命中率为0.5，则4次射击恰好命中3次

的概率为 .

解：P {X =3}=C 34

(0.5)3(0.5)1=0.25 (三)若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则宜用全概率公式计算.其中

的关键之处就是寻找完备事件组.如2008年10月26题：

设工厂甲、乙、丙三个车间生产一种产品，产量依次占全厂产量的45%、35%、20%，

且各车间的次品率分别为4%、2%、5%.求：(1)从该厂生产的产品中任取1件，它是次

品的概率；(2)该件次品是甲车间生产的概率.

解：以A 1、A 2、A 3依次表示任取一件产品，它是由甲、乙、丙车间所生产的事件.B

表示事件“任取一件产品，它是次品”.

（1） P (B )=∑=⨯+⨯+⨯=

31100

510020100210035100410045)|()(i i i A B P A P =0.035 （2） P (A i |B )=5143.0035

.004.045.0)()|()(11≈⨯=B P A B P A P . (四)若题设中给出随机变量X ~N (μ,2σ)，则宜将其标准化

σμ-X ~N (0,1)来处理相关

问题.如2008年4月16题： 设随机变量X ~N (1，4)，Φ(x )为标准正态分布函数，已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，

则P {|X |＜3}= .

解：令Z =2

1-=-X X σμ

~N (0,1) P {|X |＜3}=P {－3＜x ＜3}=P {－2＜z ＜1}=Φ(1)－Φ(2)

=Φ(1)－[1－Φ(2)]=Φ(1)+Φ(2)－1=0.8185

(五)求二维随机变量(X ,Y )的边缘分布密度f x (x )，f Y (y )的问题，宜画图分析，即先画

出使联合分布密度f (x ,y )≠0的区域，然后定出x 的变化区间，再在该区间内画一条平行

于y 轴的直线，先与区域边界相交的为y 的下限，后者为上限，则：

f X (x )=,0,),()()

(21⎪⎩⎪⎨⎧<<⎰其他

，b x a dy y x f x y x y 而f Y (y )的求法类似. 如2008年10月27题第(1)问：

设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤-其他,0,0,10,212y x e y 求(X ,Y )关于X 、Y 的

边缘概率密度f X (x ),f Y (y ).

解：f X (x )=⎰+∞

∞-f (x ,y )dy ⎰∞+-⎩⎨⎧≤≤==02,010,121其他

x dy e y F Y (y )=⎰+∞

∞-f (x ,y )dy ⎰⎪⎩⎪⎨⎧>==--1022

,00,2121其他y e dx e y y (六)若X 1、X 2，……，X n 为总体X 的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量

g (X 1,X 2,…,X n )的分布问题宜用χ2分布，t 分布和F 分布的定义法讨论，如2007年4月

20题：

设总体X ~N (0,1),X 1,X 2，…,X n 为来自总体的样本，则统计量∑=n

i i x 12的抽样分布为 .

解：由χ2分布的定义立即可知本题答案为χ2(n ).

以上仅为一些常见题型的常用解题方法，也是可以立即在脑海中形成条件反射的方

法，不妨称之为定势思维，这些常见的定势思维有助于快速反应解题.当然，本门课内容

博大精深，远非几种定势思维所能涵盖其解法，下面将分章分模块介绍相关内容及题目

解法.

第一篇 随机事件和概率

本部分的经常性考点包括三个：事件的关系及其运算、条件概率及事件的独立性、

各种概型的计算，尤其是贝努利概型，同时也是本部分的重点，全概率公式和贝叶斯公

式的运用为本部分的难点.

(一)事件的关系和运算

对于这部分内容，应在准确理解概念的基础上识记计算公式，尤其是事件的运算律

(对偶律和减法运算尤为重要)，能依此判断事件的关系和简单的计算.注意以下几点：

(1)对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.

(2)事件的运算律非常重要，一定要熟练掌握，而在今后的概率计算中，经常将一些

事件用另一些事件运算来表示.

(3)经常用图示方法(文氏图)帮助分析和理解事件的运算，尤其是两个事件的运算更

是如此.教材中引入事件关系及其表示依文氏图表示，以后的计算中经常遇到.

(二)条件概率和事件的独立性

条件概率和事件的独立性是本部分的重点，同时也是后续章节学习的基础，主要以

计算题的形式出现在试卷中，对于条件概率，理解其概念并掌握常见的计算公式，即概

率的乘法公式.对于事件的独立性，除了掌握独立性的定义外，还应理解有关独立性质和

结论并能熟练运用于计算.

(三)各种概型的计算

各种概型的计算，掌握古典概型和贝努利概型的计算：

(1)对于古典概型，由定义，P (A )=中基本事件总数

中基本事件数ΩA (2)贝努利概型：若P (A )=p ，则n 次试验中事件A 发生k 次的概率为：

P n (k )=C k n

P k (1－P )n －k ,k =0，1,…n . (四)全概率公式与贝叶斯公式

首先要正确理解两个公式的含义：前者是计算复杂事件概率的一个有效公式，而复

杂事件是由若干“原因”引起的；后者是用来计算复杂事件已发生的条件下，某一种“原

因”发生的条件概率，其次要正确判断公式的适用条件.

(1)若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一个阶段的试验结果是不确定的，需求的是第二阶段的结果发生的概率，则肯定用全概率公式；

(2)若随机试验可以看出分两个阶段进行，且第一阶段的试验结果是不确定的，但第二阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一结果所引起的概率，则肯定用贝叶斯公式.最后，公式中完备事件组可以为任意一个，另外，对于具体问题，正确找出完备事件组是求解的关键.

注：乘法公式主要用来计算没有相互独立性的若干个事件之积的概率.

(五)解题方法探讨

(1)与事件的关系及概率的性质有关的命题

充分利用事件的关系，运算律和概率的基本性质很容易求解.

(2)与古典概型有关的命题

首先要正确判断概型，其次弄清样本空间与有利事件的结构，再按相应的概率公式计算.

(3)条件概率与事件概率的计算

正确理解两种概率是求解的关键.对于具体问题，可以以如下两点考虑：

①从样本空间上讲，积事件概率是与原样本空间考虑，而条件概率则是在一个缩小的样本空间来考虑；

②积事件概率P(AB)是指事件A与B同时发生的概率，而条件概率P(B|A)指已知A 发生的条件下B发生的概率，故此时A、B在时间上有一定的“先后”关系或逻辑上的“主从”关系.

(4)有关贝努利概型的命题

若试验可以看成或分解成独立重复进行的试验，且每次试验的结果只需考虑两个：

A 发生与A 不发生，则该试验就是一个贝努利试验，其概率由P n (k )=C k n

p k (1－p )n －k 计算.

第二篇 随机变量及其分布

(一)一维随机变量与分布函数

(1)一维随机变量X 的分布及其性质

①分布函数F (x )=P {X ≤x }(－∞

②性质：a.有界性；

b.单调非减；

c.-∞→x lim F (x )=0,+∞

→x lim F (x )=1； d.右连续，即F (x +0)=F (x )

对于性质，要会应用，试题中多以选择的形式出现，例如2007年4月第3题，利

用此性质可快速得出答案.性质是一个经常性考点，应予以在理解的基础上掌握.

(2)一维离散型随机变量的分布及分布律

①定义和性质，尤其是11=∑∞

=k k P ，经常用于求参数及其他题型.

②常见的重要一维分布：(0－1)分布、二项分布(即n 重贝努利试验)、泊松分布.

注：a.(0－1)分布意指事件发生与否，发生则为1，概率为p ，不发生为0，概率为1－p .

要正确理解其含义.

b.二项分布可视为n 重(0－1)分布，这样理解更直观和直接.

(3)一维连续型随机变量的分布及概率密度

①定义和性质应能熟练应用于计算，经常性考点为利用⎰+∞

∞-=1)(dx x f ，然后求参数，

进而求其他相关问题，此外，注意分布函数与概率密度函数的关系：积分与求导.即分布

函数F (x )=⎰∞-x

dx x f )(，概率密度函数f (x )=F '(x ). ②常见的重要一维分布：正态分布、均匀分布，指数分布，对于正态分布，有标准

正态分布(N (0,1))和非标准正态分布(N (μ,σ2))，两者之间可以相互转化：令Y =σμ

-X 则

Y ~N (0,1)，它经常运用于填空题中，注意以下几个常用的计算公式：若X ~N (0,1)，则 Φ(0)=π

21，Φ(0)=21，Φ(－a )=1－Φ(a ),P {|X |≤a }=2Φ(a )－1，其中Φ(x )为随机变量X 的概率密度函数，Φ(x )为X 的分布函数.

注：对于常见的重要分布一定要熟练记住其形式并掌握性质，以及以后的数字特征.

(4)一维随机变量函数的分布

①离散型，注意y i =f (x i )的值有两种情况：互不相等和有重复值，对于前者，y i 的取

值概率取决于x i 的值；后者，y i 的取值概率决定于重复值的加总，当然不重复的依然取

决于x i 的单值，即对于相等的值要合并.

②连续型，对于给出具体函数的宜用公式法，即课本52页定理中的公式，应用公

式法时，一定要注意其适用条件：区间单调，对于某些时候，函数在整个区间并不单调，

但它可以分解成若干个单调区间，此时，公式法依然适用于各个单调区间，然后再将所

求的各段值加总即得最后结果.

(二)二维随机变量与分布函数

二维随机变量及其分布函数与一维很相似，是一维在空间维数上的延伸，从而两者

亦具有很多相似之处，有许多共通之处，如两者在定义方法及性质上都相同，只不过是

维数增加了.此外，一维二维随机变量函数的分布求解方法也很类似，离散型的求法可以

说是完全相同.此外，本部分的重要知识点还包括边缘分布，独立性及其两者的关系.

(1) 二维随机变量的边缘分布

对离散型而言，其边缘分布就是简单地对x 和y 取值概率的加总，但要保证P {X=x i }+P {Y =y i }=1，这是由概率本身的性质决定.

对连续型而言，求x (y )的边缘分布就是对y (x )积分，即最后所得分布函数一定是一个关于x (y )的式子，否则错误，由此可验证所求是否正确.

(2)二维随机变量独立性及其与概率密度函数的关系

随机变量的独立性与上一篇事件之间的独立意同，可结合两者加深理解，掌握并应用二维随机变量独立与边缘分布的关系：二维随机变量的概率密度函数(分布律)等于其边缘分布函数(分布律)的乘积，当随机变量彼此独立时.这是很重要的一个考点，务必掌握.

(3)常见的二维重要分布：均匀分布和正态分布，其性质与运算同一维时完全相同，结合两者掌握之.

(三)解题方法探讨

(1)随机变量及其分布的概念、性质的命题

利用分布函数的定义，性质及常见分布不难求解.

(2)求一维随机变量的分布律与分布函数

求分布首先确定随机变量的可能取值，然后求出取值的概率，因此求分布本质上就是计算概率，一定要综合运用前一篇中计算概率的各种方法.

(3)求一维随机变量函数的分布

对于离散型随机变量，其函数的分布一般直接用定义计算，对于连续的情形常用以下方法：

①公式法：若X ~ϕX (x )，Y =g (X )，y =g (x )严格单调，其反函数x =h (y )有一阶连续导数，

则：ϕY (y )=⎩

⎨⎧∈'⋅，x g y y h y h X 0)(|,)(|))((ϕ 其他 的值域

此种方法一般适用于各种具体的函数或单调函数，此外，对于非单调函数也可区间应用之，而后加总.

②定义法：先求F Y (y )=P {Y ≤y }=P {g (x )≤y }=⎰≤y )()(x g X dx x ϕ，于是ϕY (y)=)(y F Y '

一般说来，对于非单调函数或抽象函数宜用定义法，由引可见，求解问题的方法不是唯一的，两者相权取其宜者.

(4)求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论

①对于由试验给出的二维随机变量的分布，首先确定其可能取值，然后综合计算； ②对于由已知事件或随机变量给出的二维随机变量的分布，关键是将新的随机变量的取值转化为已知事件随机变量的取值；

③对于由联合分布求边缘分布，一般均直接利用公式计算；

④随机变量的独立性，主要是离散型和连续型的情形，一般均按定义判断.

第三篇 随机变量的数字特征

学好本章最主要的一点就是记住常用分布的数字特征，并且会灵活运用，由于本部分计算题偏多，从而记住结果并灵活运用尤为重要.

(一)一维随机变量的数字特征

本部分涉及的数字特征主要指随机变量的数学期望和方差.通常情况下，严格依据定义计算，无论是离散型的还是连续型的.注意两种情况，即随机变量和随机变量函数，但其计算方法都是一样的，直接套公式即可.此外，记住以下常见的分布的期望和方差：(0－1)分布、二项分布、泊松分布，正态分布、均匀分布、指数分布.最后，熟练掌握期望和方差的性质，尤其是涉及独立性时的结论.

(二)二维随机变量的数字特征

较之于一维，本部分内容多了协方差和相关系数的相关知识，其余诸如期望、方差的计算与一维时完全相同，计算方差，一般常用公式：D(X)=E(X2)－(EX)2.这样比单一地套用公式要富有可操作性，也简单一些，协方差和相关系数的计算，严格按照计算公式，一步步求解.除此之外，还要掌握协方差和相关系数的性质.

(三)重要公式和结论

(1)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)

特别是当X、Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)

(2)Cov(X,Y)=0⇔ρ(X,Y)=0⇔E(XY)=E(X)E(Y)⇔D(X+Y)=D(X)+D(Y)

(3)X与Y独立⇒ρ(X,Y)=0，即X、Y不相关，但反之未必成立.

(4)若(X,Y)服从二维正态分布，则X、Y独立⇔X、Y不相关.

(四)解题方法探讨

这类题型主要是求期望和方差，常用的方法有如下几种：

(1)求一维随机变量的数字特征

①对于分布或密度已知的情形，直接按定义计算，对由试验给出的随机变量，先求分布，再按定义计算；

②利用期望，方差的性质及常见分布的期望和方差进行计算；

③对于比较复杂的随机变量，将其分解为简单随机变量进行计算.

注：方法虽多，取其宜者或适合者.

(2)求一维随机变量函数的数学期望或逆问题

求随机变量函数的数学期望一般不需要求出随机变量函数的分布，再按定义计算，

而是直接用函数期望公式E(Y)=∑

i

i

i

p

x

g)

(或E(Y)=⎰+∞∞-dx

x

x

g

X

)

(

)

(ϕ，此处，Y=g(X).另外

要注意求随机变量函数的方差实质上就是求函数的期望.

(3)求二维随机变量及其函数的数字特征

二维随机变量的数字特征主要指E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，Cov(X,Y)，ρ(X,Y).故只要已知(X,Y)的联合分布律或联合密度，均可按相应的公式来出；其函数的数字特征主要是期望E[g(X,Y)]，其他的数字特征，均可能转化为函数的期望，故重点还在于函数期望的计算：

E[g(X,Y)]=∑∑

i j

ij

i

i

p

y

x

g)

,

(，(P{X=x i,y=y i}=p ij)

或E[g(X,Y)]=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy

y

x

f

y

x

g)

,

(

)

,

(,((X,Y)~f(X,Y))

(4)有关数字特征与独立性及相关性的关系的命题

记住前面的重要方式和结论，不难判断.

第四篇大数定律和中心极限定理

本部分内容考试涉及很少，而且主要是小题，只要理解教材基本概念和内容不难过关.

（一）切比雪夫不等式与大数定律

(1)切比雪夫不等式，注意切比雪夫不等式成立的条件：随机变量的方差有限，此外，记准公式即可.

(2)大数定律，重点掌握切比雪夫大数定律和贝努利大数定律，注意两者的条件，尤其是切比雪夫大数定律：

①独立同分布的随机变量序列；

②方差有限，期望存在，此外，记准结果.

注：切比雪夫不等式主要用来对期望，方差已知的随机变量取值的概率作粗略估计，

而大数定律则是参数估计中矩估计的理论依据.

(二)中心极限定理

本部分如果考试命题，一定会涉及独立同分布序列的中心极限定理，记住定理内容，计算时代入相应的数值即可，对号入座.中心极限定理告诉我们，无论随机变量独立同何种分布，当n 充分大时，其近似服从正态分布，从而正态分布的所有结论及性质都适用于此处，这也正是中心极限定理的精髓.一句话，加强对课本内容的理解.

本部分的命题若有，就是涉及切比雪夫不等式与大数定律的题目.对于这类题目，直接利用切比雪夫不等式，特别注意不等式中期望和方差的位置不要弄错，即记准公式.

第五篇 数理统计

本部分做为一个整体，也是很重要的一块内容，显然命题数量不多，分值也不是太大，但它却是实际应用中很重要的一种方法.因此我们有必要从思想上重新认识数理统计.本部分主要包括四个方面的内容：数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、回归分析等.

(一)数理统计的基本概念

(1)样本.通常情况下的样本都是指简单随机样本，即X i (i =1,2…,n )相互独立且与总体X 同分布.

(2)统计量.首先，统计量是一个函数；其次，它不含总体分布中的任何未知参数，从这两个方面容易理解统计量的概念.常用统计量有两个： ①样本均值：X =∑=n

i i X n 1

1；

②样本方差：S 2=∑=-n

i i X X n 1)(1. (3)样本(X 1,X 2,…,X n )的联合分布，由于X i 相互独立且同分布，从而样本的联合分布密度函数为每个样本X i 密度函数的连乘积，即f (x 1,x 2,…,x n )=∏=n

i i X x f 1)(，无论离散型的

还是连续型的均如此.

注：①统计量是随机变量，本身不含总体分布中的未知参数，但它的分布可能含总体分布中的未知数.

②样本(X 1,X 2,…,X n )取自总体X 即表示X i 相互独立且同分布.

③无论总体X 是否为正态分布，只要有(X 1,X 2,…,X n )来自X ，且E (X )=μ,D (X )=2σ，

则E (X )=μ，D (X )=n

2

σ. (4)三大抽样分布

①定义.一定要牢记定义的条件：2χ分布要求X i 相互独立且同服从正态分布N (0,1)，此时定义随机变量2

χ=∑=n

i i X 1，则2χ服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为2χ(n ); t 分布要求有两个随机变量X 和Y ，其中X ~N (0,1)、Y ~2χ(n )，定义随机变量T =n Y

X .

则T 服从的分布称为自由度为n 的t 分布，记为t (n );F 分布亦要求有两个随机变量X 和Y ，其中X ~2χ(m )，Y ~2χ(n )，定义F =

n

Y m X //为一个随机变量，则其服从的分布称为自由度为(m ,n )的F 分布，记为F (m ,n ).

注：a.t 分布的密度函数关于y 轴对称，且其极限分布为标准正态分布；

b.若F ~F (m ,n )，则F 1~F (n ,m ). ②单正态总体下常用统计量的性质(重点)

设(X 1,X 2,…X n )为来自正态总体N (μ,2σ)的样本，则

a.X ~N (μ,n

2σ)，σμ-X n ~N (0,1)； b.22

)1(σ

S n -=∑=--n i i n X X 1222)1(~)(1χσ; c.∑=-n i i n X 1222)(~)(1χμσ; d.X 与S 2相互独立； e.S

X n μ-~t (n －1). 掌握并能熟练应用这些性质.

(二)参数估计

(1)点估计，区别估计量和估计值：对于总体X 的一个样本(X 1,X 2,…,X n )，未知参数的θ的某个函数θˆ(X 1,X 2,…,X n )称为θ的点估计量，而θˆ(x 1,x 2,…,x n )称为θ的点估计值，前者是一个变量，而后者是一个数值.

(2)矩估计和极大似然估计，所谓矩估计主要是指k 阶原点矩，这里只需掌握一阶和二阶的情况，对应于期望和方差两种情况，对于极大似然估计，其本质即关于未知参数求偏导，但其前提是正确写出似然函数.

(3)估计量的评选标准，此处主要指无偏性、有效性，相合性(一致性)，对于它们的判断，严格根据定义，其中无偏性和有效性是考试的要点.

(4)重要结论：

①E (X )=E (X )，E (S 2)=D (X )，即样本均值X 和样本方差S 2分别是总体X 的期望E (X )和方差D (X )的无偏估计量；

②样本的任意k 阶原点矩均是对应的总体k 阶原点矩的相合估计；

③若θˆ为θ的无偏估计，且D (θˆ)→0(n →∞+)，则θˆ为θ的相合估计.

(5)区间估计，首先，要理解置信区间的概念，其本质即区间以多大的概率包含未知

σ的区间估计的计算，其中的关键是记准公式.此处参数；其次，有关单正态总体μ和2

一共有四种情况：

σ已知；

①待估μ，2

σ未知；

②待估μ，2

σ，μ未知；

③等估2

σ，μ已知.

④待估2

四种情况对应的统计量不同，从而置信区间也不同，切记，勿混淆.

(三)假设检验

(1)假设检验的有关概念，此部分教材已经叙述得很明了，这里就不再一一言明了.其中的重点是两类错误：要深刻理解两类错误的含义.

(2)假设检验的有关计算：

①双侧检验，顾名思义，此时求出的拒绝域一定是两个区间之并，也可依此检验所求结果是否准确，双侧检验的假设都是H0：两者相等，H1：两者不等的固定模式.而其统计量的选取标准同区间估计处统计量的选取完全相同.而拒绝域则与置信区间是互补的，因为置信区间对应的是接受域，注意两者之间联系；

②单侧检验：a.拒绝域只有一个，毕竟是单侧；b.建立假设有两种情况，其对应的拒绝域是不同的，而统计量的选取是相同的，其实，仔细观察之下，单边假设检验的两种情况拒绝域之并刚好是双侧检验时的拒绝域，其实这并非偶然，而是有必然的联系；

c.在理解的基础上准确记忆公式，这样才能快速准确解题.

(四)回归分析

本部分考试内容是涉及最小二乘法的相关知识，首先，要理解最小二乘法的含义及

基本思想：选择合适的参数使得总的误差平方和达到最小，而这些参数正是线性回归方程中的待求参数；其次，会用最小二乘法求回归方程，当然，最简单的方法就是记住公式，代入数据，从而求解.

对于回归方程的显著性检验，考试涉及不多，把握住检验统计量的选取及拒绝域，其他一切工作均和(三)中假设检验如出一辙.一句话，记准公式万般皆可求.

(五)解题方法探讨

(1)求统计量的分布

弄清楚三个重要分布：χ2分布，t 分布，F 分布所对应的随机变量的结构是求解这类问题的关键.

(2)求矩估计和极大似然估计 ①对于矩估计，一个未知参数时，令X =E (X )；两个未知参数时，例如：

X ~N (μ,2σ),μ,2σ未知，则μ，2σ的矩估计量分别为：μˆ=X ，^2σ=∑=-n

i i X X 1

)(2. ②对于极大似然估计，一般依如下步骤求解：

a.写出似然函数L (x 1,x 2,…,x n ;θ1,θ2…,θm )=∏=⋯n

i m i x f 121);,,,;(θθθ

b.取对数ln L ;

c.求偏导i

L θ∂∂ln ，i =1,2,…,m ; d.判断方程组

i L θ∂∂ln =0是否有解，若有解，则其解即为所求极大似然估计；若无解，则极大似然估计常在θi 的边界点在达到.

(3)评价估计量的优劣

无偏性，有效性一般按定义判断，而相合性常用大数定律或重要结论来判断.

(4)区间估计或置信区间的命题

区间估计可分为两类问题，一种是直接求未知参数的置信区间，即正问题，这类问题，只需按相应的公式计算；另一种是已知置信区间或其长度反求置信区间中的未知量，例如样本容量等.

(5)正态总体的均值和方差的假设检验

涉及假设检验的问题一般按如下步骤进行：

①根据具体问题作出假设；

②选取相应的检验统计量；

③写出拒绝域或接受域；

④将已知数据代入统计量进行计算；

⑤作出判断.

(6)有关两类错误的命题

正确理解两类错误的含义是求解的关键.

04183概率论与数理统计(经管类)答案

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 ？ 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.41 B.3 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X ! 则下列概率计算结果正确的是D A ．P (X =3)= B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b = 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D

则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D | A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 。

概率论与数理统计(经管类)学习方法浅谈04183

概率论与数理统计(经管类)学习方法浅谈 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，是统计管理类各专 业的一门重要的基础课程.教材前五章属于概率论部分，它是本课程的理论基础，给出了 许多重要的概念，是后面数理统计部分学习的基础.教材后四章属于数理统计部分，着重 研究处理随机性数据，建立有效的统计分析方法，进行统计推断. 具体到自学考试，为了保证一次性通过，除了需要对课本的基础知识熟练掌握外， 其中尤以各种概念最为重要.对于概念，除了准确理解含义外，还要注意其彼此间的联系 及区别(具体到各章会有注解)，此外，还需要掌握一些常见的解题方法.现介绍如下： (一)如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则宜用概率加法公式； 当事件组相互独立时可用对立事件的概率公式P (A )=1－P (A ). 例：袋内装有4个白球，5个黑球，从中任取两个球，求至少有一个白球的概率. 解：A 表示任取的两个球中至少有一个是白球的事件. ∵P (A )=2925C C =18 5 ∴P (A )=1－P (A )=18 13. (二)若给出的试验可分解成(0－1)的n 重独立重复试验，则宜用贝努利试验的概率计 算公式P {X =k }=C k n P k (1－P )n －k .如2008年10月第12题： 某射手对一目标独立射击4次.每次射击的命中率为0.5，则4次射击恰好命中3次 的概率为 . 解：P {X =3}=C 34 (0.5)3(0.5)1=0.25 (三)若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则宜用全概率公式计算.其中

的关键之处就是寻找完备事件组.如2008年10月26题： 设工厂甲、乙、丙三个车间生产一种产品，产量依次占全厂产量的45%、35%、20%， 且各车间的次品率分别为4%、2%、5%.求：(1)从该厂生产的产品中任取1件，它是次 品的概率；(2)该件次品是甲车间生产的概率. 解：以A 1、A 2、A 3依次表示任取一件产品，它是由甲、乙、丙车间所生产的事件.B 表示事件“任取一件产品，它是次品”. （1） P (B )=∑=?+?+?= 31100 510020100210035100410045)|()(i i i A B P A P =0.035 （2） P (A i |B )=5143.0035 .004.045.0)()|()(11≈?=B P A B P A P . (四)若题设中给出随机变量X ~N (μ,2σ)，则宜将其标准化 σμ-X ~N (0,1)来处理相关 问题.如2008年4月16题： 设随机变量X ~N (1，4)，Φ(x )为标准正态分布函数，已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772， 则P {|X |＜3}= . 解：令Z =2 1-=-X X σμ ~N (0,1) P {|X |＜3}=P {－3＜x ＜3}=P {－2＜z ＜1}=Φ(1)－Φ(2) =Φ(1)－[1－Φ(2)]=Φ(1)+Φ(2)－1=0.8185 (五)求二维随机变量(X ,Y )的边缘分布密度f x (x )，f Y (y )的问题，宜画图分析，即先画 出使联合分布密度f (x ,y )≠0的区域，然后定出x 的变化区间，再在该区间内画一条平行 于y 轴的直线，先与区域边界相交的为y 的下限，后者为上限，则： f X (x )=,0,),()() (21?????<

自考概率论与数理统计(经管类)教学大纲

自考《概率论与数理统计》（经管类）课程教学大纲 课程代码：04183 总学时：33学时 一、课程性质与目标 概率论与数理统计是高等院校经济和管理类学生必修的一门基础理论课。概率论与数理统计是研究不确定性现象的数量规律性的一门学科，是对随机现象进行定量分析的重要工具，它具有广泛的实用性和应用性。通过本课程的学习，使学生比较系统地了解概率论和数理统计等方面的基本知识，掌握概率论和数理统计的基本概念，了解它的基本理论和基本方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生独特的概率论与数理统计思维模式和分析解决实际问题的能力，同时使学生了解概率论与数理统计在经济方面的简单应用，并为学生学习后继专业课程奠定必要的数学基础。 二、课程基本要求 本课程分两个部分：概率论和数理统计。概率论部分包括随机事件与概率、随机变量与概率分布、多维随机变量与概率分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理初步等内容。数理统计部分包括统计量与抽样分布、参数估计、假设检验以及回归分析等内容。 三．教学内容 第一章随机事件的概率 【教学目的与要求】 1、理解事件，概率等概念 2、了解事件的基本运算规则 3、掌握概率基本运算，条件概率及独立性 【教学重点和难点】 重点：概率运算，条件概率 难点：全概率公式，贝叶斯公式 【教学学时】7学时 【教学内容】 第一节随机事件 1、随机现象 2、随机实验和样本空间 3、随机事件的概念 4、随机事件的关系和运算 第二节概率 1、频率与概率 2、古典概率 3、概率的定义与性质 第三节条件概率 1、条件概率与乘法公式 2、全概率公式与贝叶斯公式 第四节事件的独立性 1、事件的独立性

自考《概率论与数理统计（经管类）》04183试题及答案

自考《概率论与数理统计（经管类）》04183试题及答案 全国2008年10月高等教育自学考试 概率论与数理统计（经管类）试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为随机事件，则下列命题中错误．． 的是（） A ．A 与A 互为对立事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=?A A D ．A A = 2．设A 与B 相互独立，2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A P （） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 3．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数记为)(x F ，则=)3 1(F （） A ．e 31 B ．3 e C ．11--e D ．1311--e 4．设随机变量X 的概率密度为? ≤≤=,,0,10,)(3其他x ax x f 则常数=a （） A ．41 B ．3 1 C ．3 D ．4 5．设随机变量X 与Y 独立同分布，它们取-1，1两个值的概率分别为41，4 3，则{}=-=1XY P （） A ． 161 B ．163 C ．41 D ．8 3 6．设三维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （） A ．0

B ．)(x F X C ．)(y F Y D ．1 7．设随机变量X 和Y 相互独立，且)4,3(~N X ，)9,2(~N Y ，则~3Y X Z -=（） A ．)21,7(N B ．)27,7(N C ．)45,7(N D ．)45,11(N 8．设总体X 的分布律为{}p X P ==1，{}p X P -==10，其中10<

高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类04183)复习资料

概率论与数理统计(经管类04183) 第一章 随机事件与概率 复习要点： 一、事件的关系和运算 1.常用表示公式 A ， B ， C .至少发生一个；都发生；都不发生；恰好发生一个；至多发生一个. 2.互不相容与对立 3.差的不同表示法 4.特殊关系事件间的运算 (1),B A ⊂则.,,,不相容与B A ,A B B A B B A A AB ⊂=-=+=Φ (2)A ，B 互不相容，则.,,,,B A B A B A B A B A AB ⊂=+=-=-=ΩΦ 5.对偶律 画图. 二、概率的性质 1.基本性质 2.推论 (1)有限可加性 (2))(1)(A P A P -=； (3))()()(,A P B P A B P B A -=-⊂； (4))()()()(AB P B P A P B A P -+=+， )()()(AB P A P B A P -=-， )()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++ 三、古典概型 注意： 1.上下一致； 2.不重复，不遗漏； 3. 事件复杂时考虑对立事件. 四、条件概率 1.条件概率 ) () ()|(A P AB P A B P = 2.乘法公式 )()()()(),|()()(AB |C P A |B P A P ABC P A B P A P AB P == 3.全概率公式和贝叶斯公式 n A A ,,1 —原因，在先，B —结果，在后.时间上的先后，逻辑上的先后. 五、事件的独立性 1.定义 2.等价条件 3.n 个事件 4.性质

04183概率论与数理统计

4183《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率 一.随机事件关系与运算 1!0,)! (!!!,)!(!0===-==-= C C C A A n n n r n n n r n r n r n ：，n r n n 组合排列 二.概率P(A) 1.P(A)概率特征 ) ()31 )(,0)()21 )(0)11 1 ∑∞ =∞===Ω=≤≤K K K k A A P ，P（ P P A P 事件互不相容时φ 2. 古典概型 3.概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 事件的独立性: 定义:P(AB)=P(A)P(B) 性质:.P(A)>0,,则P(B)=P(B/A); P(B)>0则P(A)=P(A/B) P(B —A)=P(B)--P(AB) P （A--B ）==P （AB ）=P （A--AB ）=P （A ）--P （AB ） P(A+B+C)=1--P(A+B+C)=1--P(A)P(B)P(C) P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-(P(A)+P(B)) P(A)=1-P(A 4.条件概率公式 5.概率的乘法公式 6.全概率公式：从原因计算结果 7.Bayes 公式：从结果找原因 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1 ) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(基本事件总数 所包含的基本事件数A A P = )()()()|(A P AB P A B P =) /()/()()(AB C P A B P A P ABC P =

10月全国自考概率论与数理统计答案详解—答案04183概率论与数理统计(经管)历年试题资料文

全国2021年10月高等教育自学考试 《概率论与数理统计》(经管类)真题及答案详解 课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知事件A ，B ，B A 的概率分别为5.0，4.0，6.0，则=)(B A P （ B ） A ．1.0 B ．2.0 C ．3.0 D ．5.0 A ．0)(=-∞F ，0)(=+∞F B ．1)(=-∞F ，0)(=+∞F C ．0)(=-∞F ，1)(=+∞F D ．1)(=-∞F ，1)(=+∞F 3．设),(Y X 服从区域1:22≤+y x D 上的均匀分布，则),(Y X 的概率密度为（ D ） A ．1),(=y x f B ．⎩⎨⎧∈=其他,0),(,1),(D y x y x f C ．π 1 ),(= y x f D ．⎪⎩ ⎪⎨⎧∈=其他, 0),(,1 ),(D y x y x f π 4．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则=-)12(X E （ A ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．4 5．设二维随机变量),(Y X 的分布律为 则=)3(X D （ B ） A ． 9 2 B ．2 C ．4 D ．6

21n 11=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧≤∑=→∞ 0lim 1n i i n X P （ C ） A ．0 B ．25.0 C ．5.0 D ．1 7．设n x x x ,,,21 为来自总体),(σμN 的样本，,σμ是未知参数，则下列样本函数为统计量的是（ D ） A ．μ-∑=n i i x 1 B ． ∑=n i i x 1 2 1 σ C ．∑=-n i i x n 12)(1μ D ．∑=n i i x n 1 2 1 A ．置信度越大，置信区间越长 B ．置信度越大，置信区间越短 C ．置信度越小，置信区间越长 D ．置信度大小与置信区间长度无关 01A ．1H 成立，拒绝0H B ．0H 成立，拒绝H 0 C ．1H 成立，拒绝1H D ．0H 成立，拒绝1H 10．设一元线性回归模型：i i i x y εββ++=10，i ε～),0(σN （n i ,,2,1 =），且各i ε相互 独立．依据样本),(i i y x （n i ,,2,1 =），得到一元线性回归方程x y 1 0ˆˆˆββ+=，由此得i x 对

04183概率论与数理统计(经管类)答案

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概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ⊂，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．8 1 B ． 14 C ．38 D ．12 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.4 1 B.3 1 C.21 4．已知离散型随机变量X 表所示： 则下列概率计算结果正确的是D A ．P (X =3)= B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所 示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b = 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D

则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1s ，检验 假设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A A.214σ B.213 σ C.212 σ D.2σ 11．设A 、B 为两事件，已知P (B )=2 1，P (B A )=3 2，若事件A ，B 相互独立，则P (A )C A ．9 1 B ．61 C ．31 D ．2 1 12．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 D

自考04183概率论与数理统计经管类总结2数理统计部份

高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》 第二部份数理统计部份 专题一统计量及抽样的散布 近几年试题的考点散布和分数散布 最高分数分布最低分数分布 平均分数分布样本的分布 2 1 样本矩 2 1 合计4/100 0/100 2/100 一、整体与样本 ：所考察对象的全部称为整体；组成整体的每一个大体元素称为个体。 ：从整体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为整体的一个样本，个数n称为样本容量。 若是整体X的样本x1,x2…,x n知足：（1）x1与X有相同散布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n彼此独立，那么称该样本为简单随机样本，简称样本。取得简单随机样本的方式称为简单随机抽样方式。 （1）联合散布函数：设整体X的散布函数为F（x），x1,x2…,x n为该整体的一个样本，那么联合散布函数为 二、统计量及其散布

1.统计量、抽样散布：设x1,x2…,x n为取自某整体的样本，假设样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，那么称T为统计量；统计量的散布称为抽样散布。 ：设x1,x2…,x n为取自某整体X的样本， （2）样本均值的性质： ①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即 ②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩

（7）正态分布的抽样分布 A.应用于小样本的三种统计量的分布 的为自由度为n的X2散布的α分位点.求法：反查X 2散布表.

[答疑编号1]答案：D [答疑编号2]答案：

[答疑编号3] 答案：B [答疑编号4] 答案：1 [答疑编号5] 答案：B [答疑编号6]

04183概率论与数理统计(经管类)答案

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ⊂，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 ？ 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.41 B.3 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X ! 则下列概率计算结果正确的是D A ．P (X =3)= B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b = 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D

则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D | A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2 σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 。

04183-概率论与数理统计(经管类)

1 / 12 04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E(XY)=E(X) )(Y E ⋅,则必：D(X+Y)=D(X)+D(Y) 2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0.1 。 3．设随机变量X 的分布函数为 )(x F ，下列结论错误的是：)(x F 连续 4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= k n k k n q p C - 5．设 X 服从正态分布 )4,2(N ，Y 服从参数为 2 1的指数分布，且 X 与 Y 相互独立，则 (23)D X Y ++= 20 6．设 n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得 ()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数 的近似值为 1-Φ 7．设二维随机变量 ),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为 则 (0,1)F = 0.6 。 8．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（2 χ分布 ） 分布 9．设两个相互独立的随机变量 X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则：21)1(=≤+Y X P 10．设总体X~N ( 2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量： n s x t /0μ-= 12．设A 、B 表示三个事件，则 AB 表示 ：A 、B 都不发生；

13．设随机变量X的概率密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = - ,0 ,0 ;0 , e ) (5 x x c x f x 则常数c等于（0.2 ） 14.设随机变量X的概率密度为 其他 1 , , ) ( 3≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = x ax x f ，则常数a= ( 4 )。 15.设 2 1 ) (= A P ， 3 1 ) (= B P ， 6 1 ) (= A B P ，则 = ) (AB P112 16. 随机变量F~F(n1 ，n2）,则F 1 ~ ( F(n2，n1) ) 18．设 () ~0,2 X N ， () ~0,1 Y N ，且 X与Y相互独立，则随机变量~ Z X Y =-(0,3) N 19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为 3 2 ，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是： 81 8 20、设 C B A, , 为三事件，则 = ⋃B C A) (B C A⋃ ) ( 21．已知 ) (A P =0.7， ) (B P =0.6， 3.0 ) (= -B A P ，则 = ) (B A P 0.1 。 22．设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则随σ的增大,概率P {}σ μ≤ - X ( 保持不变)。 23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H0：μ=μ0，那么在0.01的显著水平下，(必拒绝H0 )。 24．设 () F x 和 () f x 分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( ()0 F-∞= ) 25．设X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计 ≤ ≥ -)2 (EX X P 0.5 。 26．设二维随机变量 ) , (Y X 的联合分布律为 则 (1) P X Y +≤ = 0.8。 27.已知随机变量X的概率密度为 ) (x f X，令Y= -2X，则Y的概率密度 ) (y f Y为： ) 2 ( 2 1y f X - - 28．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且 )1 (+ X E =3，则 λ=0.5。 2 / 12

04183概率论与数理统计(经管类)_第2章课后答案

习题2.1 1.设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1, 2,N,求常数a. 解:由分布律的性质=1得 P(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1 N*=1,即a=1 2.设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,,求常数c. 解: C= 3.将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分 布律. 注: 可知X为从2到12的所有整数值． 可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故 P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1) P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1)) P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)) P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)) P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)) P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧) P(X=8)=5*(1/36)＝5/36 P(X=9)=4*(1/36)＝1/9 P(X=10)=3*(1/36)＝1/12 P(X=11)=2*(1/36)＝1/18 P(X=12)=1*(1/36)＝1/36 以上是X的分布律 投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了. P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值 P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值 P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值 P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值 P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值 P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6 以上是Y的分布律了.

04183 概率论与数理统计(经管类)

课程名称：概率论与数理统计（经管类） 课程代码：04183 第一章随机事件及其概率 一、单项选择题 1．设当A和B同时发生时，事件C必发生，则（）。 A. B. C. D. 2．设 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 3．设A、B、C为三个随机事件，且 A.0.15 B.0.25 C.0.35 D.0.45 4．设对于事件A、B、C有 则A、B、C至少发生一个的概率为（）。 A.3/8 B.5/8 C.7/8 D.1/2 5．设两个相互独立的事件A与B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=() A.2/9 B.5/9 C.2/3 D.1/3

6．若 A.0.7 B.0.8 C.0.9 D.0.1 7．设A，B为随机事件，则（）。 A.A B.B C.AB D.φ 8．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 A.样本空间 B.必然事件 C.不可能事件 D.随机事件 9．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A-B)=（）。 A.0.28 B.0.42 C.0.88 D.0.18 10．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.2，P(A-B)=（）。 A.0.46 B.0.42 C.0.56 D.0.14 11．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。 A.P(A∪B)>P(A) B.P(A∪B)>P(B) C.P(A∪B)=P(A) D.P(A∪B)=P(B) 12．设A，B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 A.P(A∪B)=P(B) B.P(AB)=P(B) C.P(B|A)=P(B) D.P(B-A)=P(B)-P(A) 13．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。 A.取到2只红球 B.取到1只红球 C.没有取到白球

最新04183概率论与数理统计(经管类)答案

04183概率论与数理统计(经管类)答案

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ⊂，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．8 1 B ． 14 C ．38 D ．12 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.4 1 B.3 1 C.21 D.4 3 4．已知离散型随机变量X 的概率分布如右表所示： 则下列概率计算结果正确的是 A ．P (X =3)=0.2 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所 示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =0.2，b =0.6 B ．a =-0.1，b =0.9 C ．a =0.4，b =0.4 D ．a =0.6， b =0.2

6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D 则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2 σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验 假设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A

(完整版)自考作业答案概率论与数理统计04183

概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在 题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1•下列选项正确的是 C. (A- B)+B=A 2.设 P(A) 0,P(B) 则下列各式中 A. P(A- B)=P(A)-P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) D. P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) C. P(B| A) P(B) D. P(AB) P(A) A. A B A B B.(A B) B A B 3. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 A 1 1 A. B.— 8 6 4. 一套五卷选集随机地放到书架上， 1 2 则从左到右或从右到左卷号恰为 D. (D ). 1, 2, 3, 4，5顺序的概率为 A.— 120 ). C. 1 5 5.设随机事件A ，B 满足B A ，贝U 下列选项正确的是 B.— 60 D. ). A. P(A B) P(A) P(B) B. P(A B) P(B) 6.设随机变量X 的概率密度函数为f （x ），则f （x ）一定满足 ). A. 0 f(x) 1 B. f (x)连续 C. f (x)dx 1 D. f() 7.设离散型随机变量 X 的分布律为 b (D ). A. 1 2 K P(X k)尹k 值 1,2,...，且 b 0，则参数 C.- 5 D. 1 ). D. AB AB C. P(A+B)=P(A)+P(B)

,x 8.设随机变量X, 丫都服从［0, 1］上的均匀分布，则E(X Y)= A.1 B.2 9.设总体X 服从正态分布，EX C.1.5 2 1,E(X ) D.O (D ). A . N( 1,1) B. N(1O,1) C .N ( (A ). 2,X 1,X 2,...,X 1O 为样本，则样本 秸ii Xi 10,2) 10.设总体X : N(, 2 ),(X I ,X 2,X 3)是来自 X 的样本，又？ 1 D. N( 1,) 10 1 1 -X 1 aX 2 - X 3 4 2 是参数的无偏估计，则 ). A. 1 B . D.- 3 二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1 2 11.已知 P(A) -,P(B) -,P(C) C 至少有一个事件发生的概率为— 请在每小题的空 1,且事件A,B,C 相互独立，则事件A, B ， 5 6— 12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有 一个白球一个黑球的概率是 0.6 13.设随机变量X 的概率分布为 F(x)为X 的分布函数，贝U F(2) ______ 0.6 14.设X 服从泊松分布，且EX 3 ，则其概率分布律为 P(X k) k 3 3 e ,k k! 0,1,2,… 15.设随机变量X 的密度函数为f(x) 2e 0, x ，则 E(2X+3) = 4 ___ 16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为f(x,y)

自考04183概率论与数理统计串讲1

第一章 随机事件及其概率 1． 事件的关系与运算 必然事件：Ω—随机试验全部结果构成的集合。 不可能事件：φ 一般事件A ：A φ⊂⊂Ω 若A 、B 为两事件 若B A ⊂，则其蕴含：“A 发生导致B 发生”。 若φ=⋂=B A AB ，这表示A 发生时，B 必不发生，反之亦然。 若 A-B=A ，则AB=φ； 若 AB=A ，则B A ⊂； 若A ∪B ＝A ，则B ⊂A 。 若n A A A ,,21为n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如 1 1 1 1, , n n n i i i i i i i i A A A A ∞ ===== 等等。 例1 事件 n i i A 1 =发生等于“n A A A ,,21至少有1个发生”。 2．常用概率公式 （1）1)(≤≤A P O ，1)(=ΩP ，0)(=φP （2）若B A ⊂，则)()(B P A P ≤ （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃；当φ=AB ，则)()()(B P A P B A P +=⋃ （4）)(1)(A P A P -= （5）)()()(AB P A P B A P -=- （6）若n A A A ,,21两两互不相容，则∑===n i i n i i A P A P 1 1 )()( （7）若n A A A ,,21相互独立，则

例2 设1.0)(,4.0)(,2.0)(===AB P B P A P 则5.0)()()(1)(1)(=+--=⋃-=⋃AB P B P A P B A P B A P 3．古典概型 古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A 的概率为 例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A ：取到两个白球；B ：一白一红球，求)(),(B P A P （1）无放回抽样： （2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次 ［注］：若设X 为两次有放回取球中取到白球数，则X ～)5 2 ,2(B ，从而 12122)5 21()52 ()2()(--===C X P A P 4．条件概率 （1）若0)(>B P ，则) () ()(B P AB P B A P = ，其中A 为任一事件。 （2）乘法公式：)()()(A B P A P AB P = )()()()(AB C P A B P A P ABC P = （其中0)(>AB P ） 例4 箱中有两白球、三红球，i A 表第i 次取到白球，则 P （“前两次取到白球”）10 14 1 52)()()(12121= ⋅===A A P A P A A P P （“第一次取到白球，第二次取到红球”）10 34 352)()()(12121= ⋅===A A P A P A A P （3）全概率公式：设n B B B ,,21是一完备事件组（或Ω的一个划分），即：φ=j i B B ， n j i j i ,,2,1,, =≠（即诸i B 互不相容）且 n i i B 1 =Ω=，则对任一事件A 有)()()(1 i n i i B P B A P A P ∑==

自考04183概率论与数理统计(经管类) 自考核心考点笔记 自考重点资料

《概率论与数理统计（经管类）》柳金甫、王义东主编，武汉大学出版社新版 第一章随机事件与概率 第二章随机变量及其概率分布 第三章多维随机变量及其概率分布 第四章随机变量的数字特征 第五章大数定律及中心极限定理 第六章统计量及其抽样分布 第七章参数估计 第八章假设检验 第九章回归分析 前言 本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至 第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分： 第六章至第九章。 第一章随机事件与概率 本章概述 . 内容简介 本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率 展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概 率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。 本章内容 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白 球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知 性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为 随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个 样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记 作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2， 3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称 事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子 集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运 算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集 合的文氏图来直观描述。 （1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则 称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作， 或。 性质： 例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则 。 … … (中间部分略) 完整版21.5页请—— QQ：1273114568 索取 注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件A 与事件B相等， 记作A＝B。 （2）和事件 概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件 B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或 A＋B。 解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A 不发生，但B发生，③A与B都发生。 性质：①，；②若； 则。 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作 和 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点 数大于4”则A∪B{1，2，5 ，6} （3）积事件 概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B 的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。 解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。 性质：①，；② 若，则AB ＝A。 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作 和。 举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点 数大于2”则AB＝{3, 4} （4）差事件 概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件 B的差事件，记作A－B. 性质：① A－；② 若，则A－B＝。 举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点 数大于2”则A－B＝{1，2} （5）互不相容事件 概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则 称事件A与事件B互不相容。 推广：n个事件A1，A2，…，A n两两互不相容，即A i A j＝， i≠j，i，j＝1，2，…n。 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点 数大于5”则A与B互不相容。 （6）对立事件： 概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做. 解释：事件A与B互为对立事件，满足：①A B＝ф；②A∪B ＝Ω 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点 数大于2”则A与B相互对立 性质：①； ②，； ③A－B＝＝A－AB； 注意：教材第5页的第三条性质有误。 ④A与B相互对立A与B互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质 ①（和、积）交换律A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； ②（和、积）结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B） ∩C＝A∩（B∩C）； ③（和、积）分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）； A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） ④对偶律；. 例1 习题1.1，5（1）（2） 设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明： 证明： 证明： 例2.习题1.1，6 请用语言描述下列事件的对立事件： （1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。 （2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。 答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。 §1.2概率 1.频率与概率 （1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A 发生n A次，则称n A为事件A发生的频数；而比值n A/n称 为事件A发生的频率，记作f n（A）. （2）f n（A）的试验特性：随n的增大，f n（A）稳定地趋 于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）. （3）由频率的性质推出概率的性质 ①推出① ②，推出②P（ф）＝0，P（Ω） ＝1 ③A，B互不相容，推出③P （A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可 列多个. 2.古典概型 概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古 典概型： ①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本 点； ②每个基本事件发生的可能性相同。 计算公式： 例3.P9 例1－8。 抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”， B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正 面”，试求P（A），P（B），P（C）。 解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则 样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}， 样本点总数n=8，又因为 A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}， 所以A，B，C中样本点数分别为 r A=3，r B=1，r c=7， 则 解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包 含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反 面”，i＝1，2，3，而且r A=3。 显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数r B=1 它包含的基本事件数r C=n-r B=23-1=7， 故 例4.P10 例1－12。 一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接 连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取 一件； （2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽 取一件。 … … (中间部分略) 完整版21.5页请—— QQ：1273114568 索取 试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品， 第二次抽到次品”的概率。 解：（1） （2） 3.概率的定义与性质 （1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每 一个事件A赋予一个实数，记为 P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0； ②P（Ω）＝1； ③设，，…，，…是一列互不相容的事件， 则有 . （2）性质 ①，； ②对于任意事件A，B有 ； ③； ④. 例5.习题1.2 11 设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求 解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB） ∴P（AB）＝P（A）－P（A－B） ＝0.7－0.3＝0.4 例6. 习题1.2 13 设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C） ＝，P（AB）＝P（BC）＝，P（AC）＝0。求： （1）A，B，C中至少有一个发生的概率； （2）A，B，C全不发生的概率。 解： （1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所 求概率为 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC） －P（BC）+P（ABC） §1.3条件概率 1.条件概率与乘法公式 条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生 的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事 件A发生的条件概率，记做P（A|B）. 例7 P13例1－17. 某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工 中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工， 试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？ （2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？ 解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的 职工为男职工”。按古典概型的计算方法得： （1） （2） 计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则 。 乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）； 当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）. 推广： ①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB） ②设，则 例8 P15例1－22.