浅谈《概率论》教学中的一些问题
概率论是研究随机现象的数量规律性的学科。由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。鉴于概率论在教与学中的一些问题，本文进行了相关论述。
概率论教学概率模型知识结构
概率论是研究随机现象的数量规律性的学科，由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。如今，概率统计已被高等院校的众多专业列为一门必修的基础课。可是，对于刚刚接触这门新课的大学生来说，这是一门全新的课程，与以前学过的知识有着本质的区别。因此，学生在概率论的学习过程中容易出现畏难情绪；另一方面，教师授课也难以达到好的教学效果。
一、注意培养和激发学生学习该门课程的兴趣
兴趣是最好的老师，因此在教学中如何激发学生的兴趣是每一位教师都要面临的问题。在这一点上，概率论的教学具有得天独厚的优势，因为概率论具有很强的实际背景，而且，在概率论的发展过程中，出现过很多引人入胜的典故。因而在教学过程中要尽量避免照本宣科，可以利用这些资源来激发学生的兴趣。
例如，第一堂课可简单讲讲概率论的发展史，让学生了解到这门学科与生活紧密相关，还可结合学生所学专业讲讲概率论知识的用途。讲到数学期望这个概念时，可举例说明购买一张彩票的期望所得，保险公司的赢利情况等。讲到小概率事件时，可联系生活实际：尽管某些事件发生的概率很小，但一旦发生，便会被引起广泛关注，如买彩票中头等奖、发生重大交通事故（如空难）、出现特大自然灾害等，这样学生便会对小概率事件留下深刻印象，小概率事件不容忽视。
二、帮助学生将概率知识融入到已有的知识结构中去，做到前后知识的连贯
1.帮助学生找到新知识和旧知识的联系
新旧知识的结合点，往往是教学的重点，有时也是教学的启发点．对于实例做精辟而深刻的分析，这是促进新旧知识相互作用，使新知识“同化”在已有的知识结构中。例如，事件的关系及运算与集合的关系及运算的形式完全是一致的，只不过有不同的含义。连续型随机变量的概率密度函数这个概念，学生一般不好理解，可打个比方，与物理知识联系起来。若将区间上的概率看成“物体的质量”，区间的长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是密度，只不过是线密度，这正好是密度函数名称的由来。因此密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小。而连续型随机变量落在某区间（或区域）上的概率可转化为其密度函数在该区间（或区域）上的积分，完全转化为已学过的数学问题。随机变量的概率、期望等的计算往往借助的是高等数学中的积分运算；概率分布与密度函数的关系就是积分与求导的关系。因此，概率密度反映的是分布函数累加的快慢程度。如此类的问题很多，都可以帮助学生建立起联系。这样，学生就不会
感到陌生。
2.对于概率论中一些易于混淆的概念要帮助学生区分
如随机事件“相互独立”与“互不相容”，随机变量“相互独立”与“不相关”，这两组概念，学生容易混淆。而这些概念又分别在不同的章节中出现，如果教师不有意识的提出来加以区分，学生很容易出错。因此，在教学的过程中，要不停的将新知识和旧知识加以比较、区分、归类，这样往往能够取得很好的教学效果。
三、在教学过程中，注重培养学生“概率的思维方式”
概率问题与生活实际密切相连，而生活中的问题，其条件和背景千差万别，一般没有固定的法则和套路，因此解决概率问题也没有现成的模式或方案。一般首先要从实际问题抽象出概率模型，再进行求解。
例如，概率论中两类重要模型——古典概率模型与重复独立试验模型的讲解：古典概型的教学重点不是放在“如何计数”上，而是通过实际生活中的事例理解古典概型的特征，即试验结果的有限性和每一个结果出现的等可能性。应教会学生把一些实际问题归结为古典概型，不同问题归结为同一个概率模型的转化思想。概率中很多问题可看成分球入盒模型，下面就是一个例子：
5个人在第一层进入11层楼的电梯，假如每个人以相同的概率走出任一层（从第二层开始），求此5个人在不同楼层走出的概率。
若把楼层看成盒子，人看成球，则此题可看成5个球向10个盒子中放，且每个盒子可放多个球的分球入盒模型。类似的还有生日问题，分房子问题等。
也可把一些纯数学问题转化为概率模型.
用概率论方法证明：
可设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a个是不合格品，b 个合格品。从中随机取出n个，n=min（a，b）。则问题可转化为n个产品中不合格品数的概率分布问题，即超几何分布。
独立重复试验的教学重点是正确领会“重复”与“相互独立”两个方面，不可将古典概型中的不重复抽取当作重复，更不可将非“独立”的事件当作“独立”的事件来解决。正确区分二项分布与超几何分布的背景。很多看起来千差万别的问题都可归结为独立重复试验模型及其与之有关的二项分布，问题便迎刃而解。
四、一些重要公式的讲解可结合实例，加深学生的印象
概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes公式正好起到了这样的作用。对一个较复
杂的事件A，如果能找到一伴随A发生的完备事件组，而计算各个的概率与条件概率相对要容易些，这时为了计算与事件A有关的概率，可能需要使用全概率公式或Bayes公式。
而全概率公式与贝叶斯公式的运用以及区别，学生一般难以掌握，这时可讲解几个给人留下深刻印象的实例，可用全概率公式分析“敏感性”问题。
在医疗诊断中，为了诊断出现症状的患者，到底患了疾病中的哪一种，可用Bayes公式算出在症状的情况下，起因于疾病的概率，而后按各个后验概率的大小来推断患者患哪种病的可能性最大。
还可用贝叶斯公式来分析伊索寓言（孩子与狼）中村民对这个小孩的可信程度是如何降低的。
从而结合上面这样典型而又令人难忘的例子讲清全概率公式与贝叶斯公式的联系与区别，学生一般较有兴趣，易留下深刻印象。
总之，只有在教学的过程中不断地总结经验，结合学生的特点和学习规律，调整教学方法和教学手段，才能取得更好的教学效果。
参考文献：
[1]茆诗松等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]杨振明.概率论[M].北京：科学出版社，1999.
[3]林正炎.概率统计课程改革的若干建议[J].高等数学研究，2001，4（1）.
[4]伍度志，汪益川，胡爱平.概率论教学方法初探.训练与科技，2009，（3）.
资助。
浅谈有关概率论的几个有趣的 随机偶然问题 摘要概率论是数学中的一门基础学科，不仅可以研究古老难题，解决应试的需求，更广泛应用于现实生活中的各个方面。尤其在解决带有偶然性的问题时，其独特的思维方法使得问题浅显易懂，从而变的简单易解。现实生活中那些趣味性的随机问题更离不开概率论的思想。 关键词概率论偶然性趣味性随机 On probability on the several interesting random chance problem Abstract Probability thoery is a basic study in mathematics.Not only can be studied old problem, should try to solve the demand, the more widely used in real life in all aspects.Especially in solving the problem with contingency, its unique thinking methods make simple problem, thus become simple easy solution.Real life those interesting problems more from probability theory of random thoughts. Keywords probability thoery；contingency；interesting；random 2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM2002）期间，陈省身大师为儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。也许这会让很多学生不解，数学如何好玩？更有学生会坦言在所有学科里面最让人头疼的就是数学，它怎么可能会好玩？陈省身先生之所以说它好玩是因为他是数学大师，他乐于其中。然而我们这种出于对应试需求的一种学习当然会认为它枯燥、难理解等等。其实不然，陈省身大师在他十几岁的时候就觉得数学好玩，他是因为觉得好玩才专研其中，并不是因为专研其中才觉得数学好玩的。这就如同世间上的很多事情，只有感受体验才能食髓知味。就比方酒，“酒仙”李白写到“但得此中味，勿为醒着传”，不体会是不能理解诗人所传达的意境与乐趣的。 概率论是研究随机现象的数量规律学科。17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，至此数学领域里出现了众多崭新的生长点。概率论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干重大成就之一。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已经开始从数学角度研究赌博问题。他们的研究不仅包含赌博还涉及到当时的人口、保险业等，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明
初中生概率统计存在问题及教学思考统计学已有2000 多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学包括描述统计和推断统计。描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。初中阶段的概率与统计分三学段进行，第一学段：对数据统计过程有所体验，掌握一些简单的收集、整理和描述方法，初中感受事件发生的不确定性和可能性。第二学段：经历简单数据统计过程，会根据数据分析的结果做出判断与预测，能计算一些简单事件发生的可能性。第三学段：从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性，以及用样本估计总体的思想，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。 在多年的教学中，我发现初中学生在统计与概率学习中出现的错误大体如下： 1、初中学生在数据收集与表示、平均数、中位数与众数的掌握还是不错的；但不能利用它们做出决策。例如：分析某次考试成绩然后提出合理建议，一部分学生总是认为平均数越高越好，觉得中位数与众数没有作用。在利用收集到的数据进行分析做出决策时也充分暴露出学生语言表达的贫乏，往往一句话结束，很不到位。 2、在概率的学习中，绝大部分学生都能区分必然事件，可能性事件和不可能事件；但是，有的学生以为“不太可能”就是“不可能”，“很可能”就是“必然”，以及“有可能发生”与“必然发生”之间的混淆是普遍存在的错误。 例：判断下列事件中，哪些是必然事件，可能事件，不可能事件？ （1）买一张体育彩票中二等奖； （2）马上要下雨了，中间那块红地砖会最早滴到雨点。 就这道题的回答，有一些学生认为必然事件与可能事件没什么区别，都意味着某事将要发生；另外一些学生认为可能性很大的就是必然事件，不太可能发生的就是不可能事件。 3、误认概率是一个似近似值，由于中学介绍的概率统计内容只是初步的知识基础，再加之受到传统确定性数学思维的影响，所以很多问题在道理上是难以说清的，容易产生一些误解，如以抛硬币出现“正面”朝上的概率为例，按照统计定义，随着抛硬币次数的增加，出现“正面”朝上的频率越来越稳定于1/2附近(但总不能稳定地等于1/2)，教材上也说“抛100次硬币，差不多50次正面朝上，50次反面朝上”，于是就误以为1/2是“正面”出现频率的近似值，是通过四舍五人得来的，按照古典定义，每次抛硬币时，各面出现的可能性假定是相等的，由于所出现的情况只有两种，所以“正面”出现的概率是1/2，但由于硬币两面质量形状不可能完全均匀对称，所以各面出现的可能性也不可能是绝对相等的，因此这个1/2也易被误认为是近似值，事实上，受确定性数学思维习惯和经验的影响，以及原有认知基础的限制，中学生学习时要完全把握概率概念的本质，需要一个较长的认识过程，教学中应明确概率是一个客观存在的定值(准确值)，而不是个近似值。 4、受生活经验和直觉误区的影响，学生对随机现象问题经常反应迟钝甚至误解，例如，某彩票每周开奖一次，每次提供万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，连续坚持十年获奖的可能性有多大?按题设，每次中奖的可能性是1/104，于是每次不中奖的可能性是1-1/104，十年(每年以52周计)中共买彩票520次，每次开奖都是相互独立的，由此得十年中你从未中奖的可能性是P(A)=(1-1/104)*520=0.9493，这个概率表明十年中你少有中奖是很正常的，与人们的直觉有很大的差异，概率规律反映的是客观存在的必然性规律，或许这个规律与我们日常生活经验或直觉相反，但是经过长期实践与认识，思维结构达到质的飞跃时就会上升为对概率思维规律的把握，学生的随机思维能力也得到相应的提高。
浅谈《概率论》教学中的一些问题 概率论是研究随机现象的数量规律性的学科。由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。鉴于概率论在教与学中的一些问题，本文进行了相关论述。 概率论教学概率模型知识结构 概率论是研究随机现象的数量规律性的学科，由于随机现象的普遍性决定了该学科应用的广泛性。如今，概率统计已被高等院校的众多专业列为一门必修的基础课。可是，对于刚刚接触这门新课的大学生来说，这是一门全新的课程，与以前学过的知识有着本质的区别。因此，学生在概率论的学习过程中容易出现畏难情绪；另一方面，教师授课也难以达到好的教学效果。 一、注意培养和激发学生学习该门课程的兴趣 兴趣是最好的老师，因此在教学中如何激发学生的兴趣是每一位教师都要面临的问题。在这一点上，概率论的教学具有得天独厚的优势，因为概率论具有很强的实际背景，而且，在概率论的发展过程中，出现过很多引人入胜的典故。因而在教学过程中要尽量避免照本宣科，可以利用这些资源来激发学生的兴趣。 例如，第一堂课可简单讲讲概率论的发展史，让学生了解到这门学科与生活紧密相关，还可结合学生所学专业讲讲概率论知识的用途。讲到数学期望这个概念时，可举例说明购买一张彩票的期望所得，保险公司的赢利情况等。讲到小概率事件时，可联系生活实际：尽管某些事件发生的概率很小，但一旦发生，便会被引起广泛关注，如买彩票中头等奖、发生重大交通事故（如空难）、出现特大自然灾害等，这样学生便会对小概率事件留下深刻印象，小概率事件不容忽视。 二、帮助学生将概率知识融入到已有的知识结构中去，做到前后知识的连贯 1.帮助学生找到新知识和旧知识的联系 新旧知识的结合点，往往是教学的重点，有时也是教学的启发点．对于实例做精辟而深刻的分析，这是促进新旧知识相互作用，使新知识“同化”在已有的知识结构中。例如，事件的关系及运算与集合的关系及运算的形式完全是一致的，只不过有不同的含义。连续型随机变量的概率密度函数这个概念，学生一般不好理解，可打个比方，与物理知识联系起来。若将区间上的概率看成“物体的质量”，区间的长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是密度，只不过是线密度，这正好是密度函数名称的由来。因此密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小。而连续型随机变量落在某区间（或区域）上的概率可转化为其密度函数在该区间（或区域）上的积分，完全转化为已学过的数学问题。随机变量的概率、期望等的计算往往借助的是高等数学中的积分运算；概率分布与密度函数的关系就是积分与求导的关系。因此，概率密度反映的是分布函数累加的快慢程度。如此类的问题很多，都可以帮助学生建立起联系。这样，学生就不会
数学概率论收获心得体会及期望障碍担忧困难及教学 改进 有人说：“数学来源于生活，应用于生活。数学是有信息的，信息是可以提取的，而信息又是为人们服务的。”那么概率肯定是其中最为重要的一部分。巴特勒主教说，对我们未来说，可能性就是我们生活最好的指南，而概率即可能。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。应用统计学方法的产生主要来源于实质性学科的研究活动中，例如，最小二乘法与正态分布理论源于天文观察误差分析，相关与回归分析源于生物学研究，主成分分析与因子分析源于教育学与心理学的研究，抽样调查方法源于政府统计调查资料的搜集等等。本研究方向在学习概率论、统计学、随机过程论等基本理论的基础上，致力于概率统计理论和方法同其它学科交叉领域的研究，以及统计学同计算机科学相结合而产生的数据挖掘的研究。此外，金融数学也是本专业的一个主要研究方向。它主要
是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25%，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33%，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50%，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50%，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100%——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25%、33%和50%这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25%的机率同样能中奖，50%的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，
概率论与统计教课商讨 在概率的问题中，当有2个或2个以上的事情同时作用的时候，我们就一定注意这些事情相互之间的关系。比如，2个事情中，当考虑此中1个事情发生的概率时，也一定考虑2个事情同时发生的状况。别的， 当检查知足两个条件的事情的概率时，还需要考虑此中的一个条件能 否会对知足另一个条件的事情的概率产生影响。比如，男性与女性在 扔掷硬币时，正面向上的概率应当是相等的，由于硬币正面向上与否 与性别没关；可是，随机选择的男性与女性化妆的概率则是不一样 的，由于随机选择的人的化妆的概率是与性别有着密切联系的。 二、选择风趣例题，激发学生学习兴趣 美国心理学家布鲁纳说：“学习最好的刺激是对所学学科的兴趣。”学 生一旦对数学产生兴趣，就会乐此不疲、甚至忘餐废寝，他们会战胜全 部困难，充满信心地学习数学、学好数学，变“要我学”为“我要 学”。选择与现实生活密切相连的、生动直观的现实生活例子，可以让 学生更简单参加进来，激发他们的学习兴趣，同时，也利用了概率知识 解决了现实生活问题，最后达到学习的目的。比如，这样一道例题：在 美国，有一档由名为蒙提霍尔的主持人主持的问答比赛节目。 参加比赛的贵宾中间能坚持到最后的那一位将有时机翻开3扇门中的一扇，此中一扇门后边摆着一辆轿车，此外两扇门后边则是山羊。嘉 宾选中哪扇门，哪扇门后边的东西就归贵宾全部（自然，人都喜爱轿 车赛过山羊）。主持人先请贵宾猜一扇门，而后主持人翻开剩下两扇 门中的此中一扇后边是山羊的门，并问贵宾能否要改变选择。 能否改变选择，取决于改变选择料中轿车的概率高仍是不改变最先的 选择料中轿车的概率高，抑或是两种状况概率相同。在美国的杂志上 曾有好多半学家对此问题争辩不休。假如做一下实验便能获取如表1中的结果。不改变最先的选择料中轿车的概率为1/3，相同可得出改变最先的选择料中轿车的概率为2/3。
统计与概率教学应注意的问题 随着社会经验的积累和认知的进一步发展，初中阶段的学生对现实社会的兴趣不断扩展，要引导他们把对统计与概率的探索从日常生活领域拓展到现实社会和科学技术中感兴趣的领域，以认识统计与概率在现实社会和科学技术中的广泛应用，新标准把统计与概率从代数中分离出来，作为一个独立的内容领域，并提出总目标，从事数据的收集整理描述的全过程，体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。特别强调学生经历统计的全过程，并做出合理的推断和恰当的决策。 为了突出统计与概率的思想，避免把这部分内容处理成纯计算的内容，在教学中要注意以下几个方面。 1、让学生经历统计与概率思想产生和发展的全过程 突出统计与概率的基本思想和方法，使学生形成统计特有的观念，最有效的方法是让他们真正投入到产生和发展统计与概率思想的全过程：发现并提出问题，考虑是否需要抽样，如何收集和整理数据，如何运用统计图表，频率分布以及平均数和方差等统计量等来展示数据，分析数据，做出决策，进行交流，评价与改进。能主动的探索现实生活与科学领域中的随机事件，选择运用实验，模拟，推理等方法得出事件发生的可能性大小，体会概率论的基本思想 要让学生真正投入到产生和发展统计与概率思想的全过程，需要把握两个要点，首先，要把学生学习的内容和实际情景联系起来，让他们在现实情景中解决问题。其次，要鼓励他们独立思考，自己制定指标并设计调查统计表，提倡与其他同学的交流，以提高他们活动的积极性和主动性。 2、让学生感受抽样的重要性，体会用样本估计总体的思想 抽样是第三学段的重要内容，这部分内容的重点是通过丰富的实例，体会抽样的必要性和随机抽样的重要性，经历抽样的过程，并根据样本的平均数，方差等统计量估计总体的特征，体会用样本估计总体的思想。 3、让他们体会随机思想的特征 概率中的数学方法和其他确定性的数学方法一样是一种科学的方法，它能够有效的解决现实世界中的众多问题，能够认识到概率的思维方式与确定性思维的差异就是随机感念。这一观念是初中这一学段的学生学习概率统计知识的重要目标。例如：通过学习，学生应该知道某个活动的中奖率为]/1000，买1000张奖券也不一定会中。如果天气预报说明天下雨的概率为10/100，后天是90/IO0，而明天下雨了后天没有下，他们能够理解这是为什么，而且也知道即使是这样，明天不带伞，后天带伞仍然是一个明智的举动。
小学概率知识的教学误区与思考 现代教育的发展需要更多的科学知识，而概率论在科学领域中起着至关重要的作用，尤其是在统计学中。但是，在小学阶段，概率知识的教学仍然存在误区，这不仅限于存在普遍的误解，而且也存在一定的实践挑战。本文结合教学实践对这些误区和挑战进行了探讨，提出了一些相应解决思路。 一、小学概率知识在教学中存在的误区 1、概率是“0”或“1”的误解 概率是一种数字或比例的描述，但在小学阶段，很多学生仍然将概率理解为“0”或“1”，当遇到有大事件发生的可能性时，他们只能说“0”或“1”，对概率概念缺乏认知。 2、概率与偶然事件之间的误解 很多学生将概率与偶然事件等同起来，比如说抛硬币，他们会觉得抛硬币落在正反面永远是“偶然”的，因此取消了概率概念，没有对概率做出更深入的思考。 3、数学概念和实际情境之间的断层 概率是一种数学描述的方式，但概率的概念应该是会连接实际的情境的。从学生的角度出发，他们缺乏理解概率论的实用性，所以在解决实际问题的过程中难以运用概率知识。 二、解决误区的思路与方式 1、从实际出发，建立学生的认知 从实际出发，把概率理解成一种类比比率，比如：抛硬币可以认
为两面有百分之五十，帮助学生明确概率的数值，以便更好地理解概率知识。 2、丰富练习，培养学生的根据能力 在教学过程中，丰富多样的练习，让学生对概率知识进行深入活用，加深理解，培养学生的分析问题解决问题的能力。 3、拓展实际，让学生用概率知识解决实际问题 在教学中，除了练习，一些拓展实战也可以使用概率知识来解决一些实际问题，比如判断摇骰子有没有概率偏差，这样可以让学生明白，概率知识是可以应用到实际中的。 三、小结 概率知识在小学阶段的教学中还存在许多的误区，解决这些误区的关键是结合实际来拓展教学，让学生体验到概率知识的实际应用，从而形成自身的观念，拓宽他们的思维，进行有意义的探究。
关于提高概率论与数理统计课程教学效果的几点思考 概率论与数理统计是现代数学中的两个重要分支，也是自然科学、社会科学、工程技 术等领域必修的基础课程。然而，由于其抽象性、理论性和计算难度大，很多学生在学习 中会感到困难和枯燥，教学效果难以达到预期目标。因此，提高概率论与数理统计课程教 学效果已经成为广大教育工作者共同探讨的问题。 一、培养抽象思维能力 概率论与数理统计是一门抽象的数学课程，许多理论和方法几乎不可见，因此学生在 学习过程中要具备比较强的抽象思维能力。在课程的教学过程中，老师可以结合实际案例，利用丰富的教学实例引导学生做相应的类比，使学生更易于理解和掌握各种概念和定理。 同时，还可以开展一些练习和训练，如同学之间开展小组探讨、课外自主阅读等活动，帮 助学生全面了解概率论和数理统计的应用领域，从而增强学生的抽象思维能力。 二、注重数学基础建设 数学是一门累积性很强的学科，学生在学概率论与数理统计之前应该具备扎实的数学 理论基础，否则就会成为概率论与数理统计学习中的一大障碍。因此，在教学中应该注重 数学基础建设，如在选修概率论与数理统计课程时，应根据学生的数学水平安排不同的教 学计划和教学课程，对基础薄弱的学生要进行补充和加强基础知识的讲解，从而确保能够 进行更高质量的概率统计学习。 三、注重实验教学 在概率论与数理统计课程中，实验教学是一种非常有效的教学手段。实验教学可以帮 助学生更好地理解理论知识、理解课本知识的具体应用、锻炼分析问题和解决问题的能力。因此，教师可以采取一些实验方法，如随机抽样、调查、实验测试等实验手段，使学生在 实践中掌握概率统计学的基本理论和方法，同时也增强学生对数学的兴趣和学习兴趣，进 一步提高概率论和数理统计课程的教学效果。 四、创新教材内容和教学方式 教材内容和教学方式是影响概率论与数理统计课程教学效果的关键因素之一。随着教 学方式的多元化和教材内容的不断创新，学生在学习概率论和数理统计时也可以更加轻松、有趣、快乐。此外，教师在教学时还可以通过多媒体技术、互动式课堂、动手操作等方式 来激发学生学习热情，提高授课质量，取得显著的教学效果。 总之，提高概率论与数理统计课程教学效果需要注重抽象思维能力的培养，重视数学 基础建设，注重实验教学，创新教材内容和教学方式等方面的探索和实践。只有这样，我
《概率论与数理统计》教学中一些问题的探讨 甘胜进 【期刊名称】《《湘南学院学报》》 【年(卷),期】2019(040)005 【总页数】4页(P65-68) 【关键词】关联规则; 概率论; 数理统计; R软件 【作者】甘胜进 【作者单位】福建师范大学福清分校福建福清 350300 【正文语种】中文 【中图分类】G642 2011 年2 月，国务院学位委员会新修订的《学位授予和人才培养目录》中，统计学从数学和经济学中独立出来，上升为一级学科，这对从事统计研究和教学的教育工作者来讲，具有重要的意义．随着各个学科，尤其是社会科学如体育学、心理学、语言学、管理学等学科量化方法的不断应用，伴随着SPSS、SAS、R 等高效简便 统计软件出现，统计学受重视程度越来越高，大学本科阶段《概率论与数理统计》是理工科学生必修课程，也是统计学的基础课程，其重要性不言而喻，其大致可分成两部分，第一部分是概率论，第二部分是数理统计，概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论的应用，因此统计学既有坚实的理论基础，又有广泛的应用，这是数学学科不能比拟的．笔者从事概率统计教育科研十余年，就概率统计教学中
一些问题作一些探讨，主要对盛骤、谢式千、潘成毅编写的《概率论与数理统计》［1］教材中的案例进行讨论，并结合R 软件进行统计模拟． 1 案例探讨 1．1 条件概率与关联规则关系 考虑两事件A、B 之间的关系一般用条件概率来刻画，即p( B| A) ，也就是事件A 发生对事件B 发生的影响，也可以当做事件B 后验概率，此时与B 的先验概率 p( B) 进行比较，一般来讲有以下三种关系:①p( B| A)= p( B) ，②p( B| A) ＞ p( B) ，③p( B| A) ＜p( B) ①式表明事件A 发生对事件B 发生的概率没任何影响，也就是事件A、B 相互独立，此种情况在预测控制方面毫无意义，因为事件A 的信息与事件B 没有任何关联，②式表明事件A 的发生对事件B 的发生有促进作用，③式表明事件A 的发生对事件B 的发生有排斥影响，即A、B 之间有较大的互斥性． 下面详细说明条件概率是数据挖掘中“关联规则”［2］理论背后的原理．简单而言，关联规则模型可如下概述:设有m 个基本事项I1，I2…，Im ，事项A、B 是 m 个基本事项中某些基本事项的集合，并且A ∩B = ，设有n条记录，其中，出 现事项A、B 的记录分别有nA、nB 条，同时出现事项A、B 的记录有nAB 条， 一般来讲，n 较大，比方说大型连锁超市一天的购物记录，I1，I2…，Im 是商品 目录，每个顾客形成一条消费记录，不难想象n 之巨大．称为事项A、B 的支持度，也就是概率论中的频率，可作为事项A、B 的先验概率，一般较小，不足2%，这不难解释，如果较大，说明该超市以销售某类商品为主，这样超市变为专卖店，不尽合理．令p( A) 、 p( B) p( AB) ，称p( AB) /p( A) 为关联规则A→B 的置信度，在概率论中就是事件B 对事件A 的条 件概率，置信度一般较大，比如0．9，其含义是购买商品A 情况下，有90%概率购买商品B，因此通常将A、B 放在一起增加销量，这就是有价值的信息．评价一
高中数学概率教学方面的探讨 概率论是数学分析学科中非常重要的分支之一，应用范围广泛，涉及多个领域。高中 数学概率教学作为学生数学学习的重要内容之一，能够帮助学生掌握概率论的基本概念、 理论模型、方法技巧等知识，提高学生的数学素养和应用能力。本文将就高中数学概率教 学方面的问题进行探讨。 一、概率论的基本概念和理论模型 在高中数学概率教学中，第一项任务就是让学生了解概率论的基本概念和理论模型。 概率是描述随机试验结果不确定性程度的数值，是事件发生可能性大小的度量。在教学中，可以采用具体实例的方式，让学生了解概率的含义和计算方法。例如，当骰子点数为1、2、3、4、5、6，每个数字的机会均等时，每个数字的概率均为1/6。 在概率论的理论模型方面，常见的有经典概率、几何概率、条件概率、贝叶斯概率等。经典概率是指在有限个等可能性的事件中，某一事件发生的可能性与其他事件发生的可能 性相等。几何概率是指将随机试验结果与其可能结果的比例表示为概率。条件概率是指在 至少存在一个事件发生的条件下，另一事件发生的可能性。贝叶斯概率是指在先验概率和 新证据的基础上，更新目标事件的概率。 高中数学概率教学涉及到许多方法和技巧。首先，重点是培养学生初步的概率思维， 培养学生在认识随机现象、事件、样本空间等多个层面上的初步了解。学生需要了解随机 事件与概率的概念、概率的计算方法、各种概率分布的特点、概率与统计的关系等基本知识。 其次，教师需要将概率论与实际生活、自然和社会现象结合起来，切实使学生体验和 掌握知识。可以采用相关问题、数学模型等来进行教学。例如，让学生通过观察实验，了 解硬币的正反表面、骰子的点数等随机性，并进行相关数学问题的解答。还可以让学生通 过统计实践来分析社会事件、环境变化等问题。 最后，重点是给学生提供多样性的练习题目，以帮助他们对概率加深理解。多余的试 题练习可以涉及到古典概率、概率分布、条件概率、概率组合等方面，以让学生理解数量、形式和计算方法的概念。此外，可以设计一些情境题来帮助他们巩固所学知识，如无人机 任务规划、电商营销风险评估等实际应用题。 三、概率论对学生日常生活的启迪 日常生活中，概率论的应用很普遍。学习了概率论，不但有利于提高学生的评估风险 的能力，更可以帮助他们更好地理解许多日常问题，如保险、股票市场、健康险等。 例如，一个代表性的例子是考虑到发生车祸风险的概率。这一概率涉及到许多因素， 例如驾驶文化、车辆使用状况、交通安全法规、天气等，许多情因素都与统计学和概率论
概率知识教学问答 问：小学阶段为什么要教学概率知识? 答：概率论是研究大量偶然现象中必然规律的一种理论。统计学吸收了概率论的理论，形成了以概率论为基础的现代统计学，称为概率统计。概率统计的重点是了解大量随机现象的总体变化趋势，从而得出随机现象的统计规律，进而可以获得社会发展或科学发现的统计性预期。概率统计在各个领域有着广泛的应用，概率现象随时可见，故有数学家夸张地称：“概率与上帝同在，无处无时不在。”随着概率统计在各个领域越来越广泛地应用，作为21世纪的公民来说，掌握一些概率和统计的知识是完全必要的。《数学课程标准》在小学阶段补充了简单的概率知识，并将统计和概率作为一个独立的内容来进行教学，这样的安排正是顺应了社会发展的需要。 问：小学阶段概率知识教学涉及哪些内容?要达到什么要求? 答：按苏教版教材的编排体系来看，小学阶段在二年级上册教学“可能性”，是让学生初步认识某些事件发生的不确定性，知道有些事情一定会发生，有些事情不一定会发生，有些事情一定不会发生，初步学会用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来解释生活中的现象。在三年级上册教学“等可能性”和“可能性大小”，使 学生知道随机事件发生的可能性有大有小，也可能相等，能判断 1/ 7
简单事件发生的可能性，并会用“经常”、“偶尔”、“差不多”等词语来描述一些事件发生的可能性大小。在四年级上册教学“游戏规则的公平性”，使学生通过进一步体验事件发生的等可能性来辨别简单游戏规则的公平性，并能按“等可能性”的原理来设计和修改简单的游戏规则。《数学课程标准》明确提出了“应注重对不确定性和可能性的直观感受”与“应注重对可能性的体验”的要求，所以在教学中应注重对不确定性和可能性的体验与感受。 问：什么叫随机现象?随机现象有什么特点? 答：现实世界的自然现象和社会现象，可以分成两类。一类是有着明确的因果关系，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称为确定性现象。例如，小学数学所教学的“一定”、“不可能”就是指这种确定性现象。从严格的意义上来说，确定性现象不属于概率的范畴。另一类因果关系不明显或根本没有什么因果关系，即在一定条件下可能发生，也可能不发生，具有多种可能发生结果的现象。这类现象可能发生什么结果是事先无法确切预测的，是“随机而遇”的，因而成为随机现象。小学数学所教学的“可能性大小”和“等可能性”现象以及“游戏规则的公平性”，研究的就是这些随机现象。随机现象有两个特点：一是有偶然性的一面，在一次实验或观测中，某现象可能发生，也可能不发生，即结果呈现不确定性；二是又有其必然性的一面，在大量重复的实验或观测中，其结果会呈现某种规律，即具有统计规律性。概率论就 2/ 7
高中数学概率统计的教学现状分析及对 策探究 摘要：在新的高考教育改革框架下，高中数学教学的目标发生改变，从以往 的重视成绩发展为更加注重学生的核心素质教育、学生的自主教育和知识学习。 然而，按照传统的教学方式，高中数学概率统计的教学效果并不乐观。本文主要 从高中概率与统计学教学现状入手，梳理教学中存在的问题，提出有针对性的有 效措施，为其他研究者的研究提供参考。 关键词：高中数学；概率统计；对策 随着新课改进程的实施，国家开始加强高中数学改革，“概率与统计”成为 高中数学的主要教学领域。概率统计是中学数学教学中应用的一门学科。统计学 更侧重于数据的收集、组织和分析。“概率论”是一门研究与我们日常生活息息 相关的随机现象的科学，学习“概率与统计”可以帮助我们更好地处理生活中的 各种问题[1]。学生不仅需要一些理论知识，还需要大量的思考和计算，所以高中 的统计概率部分是学生学习难度较大的部分。因此，在教学过程中，教师要明确 教学目标，了解当前教学情况，走出现状，培养学生对自学的理解，加强课堂合作，使学生从被动学习走向主动学习，提高学生学习的效率。 一、高中数学概率统计教学现状 （一）学生自学意识差 概率和统计是复杂、合乎逻辑、富有洞察力和挑战性的学科。学习问题不能 单靠教师来解决。很多学生在课堂上学得很好，但是在课后做练习时，很难将理 论知识与实践结合起来，尤其是在学习概率和统计问题时。题目长，且数据量大，许多同学无法正确评估样本。此外，学生非常依赖课堂上的老师。他们习惯于在 课堂上学习，而不是思考。不能从一个案例中得出结论，不知道如何提问，不会 自主学习。例如，在讲解随机选择过程中，教师向学生介绍随机选择类型的概念、
小学数学统计与概率教学中存在的问题及对策探讨 一、小学数学统计与概率教学中存在的问题 虽然小学数学统计与概率教学已经受到学校及教师的重视，但是在教学的过程中仍旧存在着很多的问题。 （一）教师很难准确把握各段概率教学的的深浅度 统计与概率是小学数学新增的内容，很多教师之前没有教过这门课程，没有经验，有些教师是自身概率知识水平不高，导致教师在对统计与概率这门课进行备课时，存在一定的难度。由于对教材的了解不够深入，使得教师很难准确把握各段概率教学的深浅度。例如在对“众数”、“中位数”这些内容的教学中，不能很好的把握其层次性，使得学生对这些内容的掌握不是很牢固。 （二）教师在课堂教学中不组织或简化实验活动 在概率与统计教学中，由于统计与概率的授课内容都安排在教材的最后一个单元，在教学进度上又恰好是接近学期期末的时间，所以教师为了节约课上的时间，很少在课堂上组织实验活动，只注重对知识技能的教授。这主要因为大多数实验活动都需要用很长的时间才能够完成，而且在实验活动中几乎每个学生都需要教师的指导，教师为节约时间，完成自己的教学任务，就简化或者不组织实验活动。基于这种原因，很多教师都是通过课堂练习本的练习代替新授，以作业的完成来表示授课的完成。
（三）统计与概率的教材安排不合理 教材有些内容在编排上安排的步子太小，有些知识点出现了简单的重复现象，教材对逻辑顺序太过于看重，不注重贴近生活，这样学生对统计与概率这门课不感兴趣，教师教起来也就会更加的困难。 二、小学数学统计与概率教学对策 （一）加强对小学统计与概率教学目标的具体化 为了让教师对统计与概率这门课有一个更好的认识以及提 高小学数学教学水平，可以加大对教师的培训力度，让教师对教材中的内容有一个全面的了解。教师应对编写教材的人的意图有一定的了解，继而深入的钻研、分析教材，以使得教学目标更加的具体。在刚开始教授统计与概率时，教师不应急于将课本中的概念及抽象的知识讲给学生听，而是先让学生对统计与概率这门课有一个大体的了解。例如在学习《中学生数理化(七年级数学)(北师大版)》时，教师可以与学生做一些简单的交流，调动在学生的脑海中有他们原有的对于统计与概率的观念及意识，他们知道一些描述概率的词语，如：可能性，运气等。这些词语是师生在教学开始阶段进行交流的基础。教师可以随机的问学生：“我们周末上课的可能性是多少？”教师给出选项：0，100%。学生肯定会选择0。这是在培养学生最初的对概率的一个了解。之后的教学目标就应该逐渐的细化了，在教学的过程中，由浅入深，不断的增加知识的深度。每个学段的目标细化之后，教师应
在统计与概率教学中出现的问题及解决策略 统计与概率知识在小学已经初步学习过，学生大体上了解这方面的知识，还做过简单的收集数据，整理数据的工作。而进入初中阶段，统计与概率知识是新课程改革中新增加的一个知识点，它贯穿于整个初中三年的教学，并且以螺旋上升的形式呈现，它源于生活，深刻体现新课标的精神，着眼培养学生在实际问题中的数学应用意识和决策能力。 统计与概率知识在小学已经初步学习过，学生大体上了解这方面的知识，还做过简单的收集数据，整理数据的工作。而进入初中阶段，统计与概率知识是新课程改革中新增加的一个知识点，它贯穿于整个初中三年的教学，并且以螺旋上升的形式呈现，它源于生活，深刻体现新课标的精神，着眼培养学生在实际问题中的数学应用意识和决策能力，概率所研究的对象具有抽象和不确定性等特点，学生很难用已获得的知识解决确定性数学问题的思维方法，去求得“活”的概率问题的解，这就决定了概率教学中教师的教学方式和学生的学习方式的转变，学生不能沿用传统的记忆加形成性训练的机械学习方法去学习，教师不能给予加示范性的灌输式教学方法去教学，教师必须引导学生经历概率模型的构建过程和模型的应用过程，从中获得问题情境性的情境体验和感悟，才能面对“活”的概率问题。但学生在学习的过程中，总会出现这样或那样的问题。一般学生容易出现这些问题： 1统计知识中，对于收集数据是一件困难的事情 学生只限于课本知识的学习，则知识点难以真正掌握。缺乏实践，理论与实践未能充分结合。 2学生理解“总体”、“个体”和“样本”概念的理解中出现的错误 由于学生平时学习，很少接触实际生活中，没有结合实际，理解这三者之间的关系，所以遇到问题时就不知道如何是好，我们老师在平时的教学中，教师应多结合实例，引导学生去分析、去感悟、领会。比如要了解九年级学生数学期末考试成绩，九年级每个学生的数学成绩是个体，所抽取的部分学生的数学成绩是样本，所有九年级学生的数学成绩是总体。这样结合实例，学生容易理解。 3学生理解“概率”概念的基本含义和“概率值”大小有错误 例如：(1)摸球4次，4次都是红球，摸到红球的概率是100%，即为1； (2)摸球10次，5次都是红球，摸到红球的概率是5／10； (3)摸到红球的概率是1／2，那么摸球10次，一定有5次摸到的是红球； 学生出现如上的错误，主要是把学习的对象当作是数字处理，注重对这些事
大学经管类《概率论与数理统计》教学难点分析 与总结 《概率论与数理统计》是普通全日制本科大学经管类专业一门重要的专业基础课也是后续《统计学》乃至《计量经济学》的理论基础。随着统计学方法在经济管理理论和实践中的广泛应用学好这门课对于经管类专业学生未来的工作、学习和生活将有极大的帮助和裨益。然而在教学过程中学生普遍感觉到这门课程内容抽象方法独特思想深奥不易掌握。因此将一些难点问题集中起来加以总结和归纳然后有意识地给学生讲解不失为一种提高学生的学习兴趣和课堂教学质量的好办法。 难点一：随机事件的表示。在求解随机事件的概率时总是先将这个事件用数学符号表示出来然后再用公式计算。有些事件表示起来可能比较简单但有些事件属于复合事件表示起来相对复杂。初学者由于对事件之间的关系以及运算规律不甚了解而感到无从下手。 例：设袋中有大小相同的个球个红球个黑球个白球从中无放回地任取两次每次取一个以Ak，Bk，Ck，分别表示第K次取到红、黑、白球（k=1，2），试表示下列事件：（1）仅取到一个黑球；（2）第二次取到黑球；（3）没取到黑球；（4）最多只取到一个黑球。 对这个题大多数同学只知道按照可能的几种情况硬性地去拼凑也就是答案里的第一种形式却不知道还有更简单的表示方法而且各种方法之间是等价的。从计算的角度看我们当然希望表示的形式越简单越好。所以学会
尽可能简单地表示事件是概率运算的基本功这一关非过不可。老师除了耐心讲解和悉心指导之外还应布置一定数量的习题供学生练习以达到举一反三的效果。 难点二：频率与概率的区别与联系。频率是事件发生次数与试验次数的比值必须通过试验或观察才能知晓即使是在同一条件下也具有随机波动性是不稳定的。而概率却是客观存在的、唯一的不以人的意志为转移也不因人的主观喜好而改变。任何一个随机事件都有一个概率与之相对应只不过我们不知道它只能通过大量的试验和观察利用频率去推断可见频率只是概率的外在表现形式。但是随着试验次数的增加（趋于无穷大）频率会逐渐稳定在某个常数的左右摆动而这个常数就是所谓的概率。大数定律用严格的数学方法证明了两者之间的关系即 难点三：古典概型的一题多解。求等可能事件概率的公式是非常简单的然而当求法不止一种的时候初学者往往吃不准哪一种方法是正确的看起来每一种方法都有道理都是对的。究其原因一是样本空间模糊不清二是没有保持分子分母样本空间的一致性。 例如：袋中装有a 个黑球b 个白球从中逐一将它们取出求第次取出的球恰为黑球的概率。 这个题的解法有好几种学生在做的时候答案也是五花八门有些看似正确却经不起推敲原因都出在上述两个方面。正确的解法是： 解法一：将a+b 个球看作是彼此可辨的则P（A）= 解法二：单看第k 次取球则P（A）= 解法三：将取球分为两步即前k 次和后a+b-k 则 解法四：分别视黑球彼此无差别和白球彼此无差别则
概率论与数理统计教学的问题及对策 摘要：随着应用型本科院校近年来不断扩大招生规模，在一定程度上影响了生源质量。与此同时，普通高等院校在精简课程方面也做了较大调整。在此新形势下，作为一名的教师，针对普通高等院校概率论与数理统计课程的教学改革提出相关见解，认为目前普通高等院校，尤其是一些偏应用型的工科院校，在概率论与数理统计课程的教学中，不应该死守教师满堂讲解的教学模式，而是应该提供给学生应用的机会，设立教学实验课;教学中应突出实际应用，与数学建模相揉合，以达到更好的教学以及学习效果。 关键词：概率论；数理统计；数学建模 教学研究概率论和数理统计是教育领域中的两个不可或缺的学科，而这两者都有着较为抽象的特征，这就意味着学生在学习时难免会遇到这样或那样的困难。倘若无法正确认识相关概念，那么在今后的深入学习中便会遇到更多的难题。在很多情况下，日常练习与考试中出现的大部分错误主要就是因为学生未对概念有正确的认识，更不用说知识拓展了。这就要求教师在包括课前、课上以及课后的教学过程中考虑怎样设置教学才可以使学生愿学，好学以及学好。笔者将从以下几个方面分析概率论与数理统计教学优化的对策。 1以课程发展历史切入，激发学生兴趣 数学学科中涉及到的理论、思想以及思维等都是社会得以进步的关键，同时还是衡量人类发展水平的标尺。不管是学习个体，还是全人类，其发展均离不开数学的辅助。数学并不单单是一门课程，同时还是一类文化。不仅如此，它还是人们得以进步的重要手段与思想理念。数学中蕴含的意义不受时间和空间的限制，它存在于人们发展的各个时期。西方数学家早已明确提出，多种学科，包括心理学，语言学等，都和数学之间有着千丝万缕的联系。所以，在教学过程中，教师可以向学生讲述概率论与数理统计和其他学科间的关系及其发展历史，以此来激发学生的学习兴趣。只要学生对学习产生了兴趣与热情，那么概率论与数理统计教学质量必将会得到有效提升。 2弥补传统教学中的不足 从整体上看，《概率论与数理统计学》课本本身十分重视与概率论有关的理
小学数学统计与概率教学中存在的问题 统计与概率之所以会在新一轮基础教育的数学课程改革中受到特别重视，并在新课标中占据重要位置，这与它在当今社会生活中和培养学生数学素养上的重要作用密不可分。虽然统计与概率在课改中受到了重视，但在课改具体实施的过程中，仍有许多问题有待研究。 一、小学数学统计与概率教学中存在的问题 1.教师在统计与概率教学中，备课难度较大。 统计与概率领域是数学新课程中增加篇幅较大的一个内容，教师几乎没有教这个内容的经验，加上一些教师自身就缺乏统计与概率的专业知识，教材培训力度不够，致使在理解、把握教材上花费很多时间，备课有难度也就在所难免。另外，教师在教学目标的把握上有一定的困难。比如在统计教学中，重点在于培养从统计图表中获取相关的信息，还是要求学生自己能够制作相关的图表？在统计教学中，教师难以把握“众数”、“中位数”等这些新增内容的层次性。对于概率教学，教师普遍认为难以备课，教学中90％都是课堂活动。 2．教师在统计与概率教学中课堂活动难以组织。 统计教学中课堂活动一般是收集小组学生的相关数据、“正”字统计法、填统计表、绘制各种统计图等活动。可是这些活动占用时间太多，组织太多的活动会影响教学任务的完成。概率游戏环节太多，但无非是掷硬币、摸彩球、玩转盘这些活动，虽然在教学要求的层次上和类型上有所不同，但活动的本质是相同的。这些活动难以控制，因此教学概率比统计难度更大。教师认为“统计与概率”教学中，组织学生开展课堂活动非常困难，一旦进行课堂活动，几乎需要对每个学生进行指导，时间都不允许。所以在教材中有活动的环节，就简单地找学生示范一下就结束。 3.教材中内容大多与城市生活联系密切。 教材中内容大多与城市生活联系密切，这使农村教师在教学中有较大困难。因此，在实际教学中，教师必须花大功夫对这些内容进行改造和加工，方可顺利地进行教学。同时，正由于统计与概率的设计与生活密切联系，在得到教师充分肯定的同时，他们也感到一节统计与概率课下来，学生好像没有学到什么统计与概率知识。小学数学教材在统计与概率内容的素材选取上对于农村的实际情况考虑不够，使农村小学数学教师教学统计与概率的相关内容时需要更多的加工，以达到联系农村实际使学生更容易学习的目的。而在联系实际处理统计与概率内容的难易认可度上差异极其显著。城市教师普遍能联系实际处理教学内容，而农村教师在联系实际处理教学内容上有较大的困难。 4.统计与概率相应的辅导资料上的练习题难度太大。 “统计与概率”相应的辅导资料上的练习题难度太大。基于此，有教师说“数学