专题复习
函数图象中的行程问题
图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．而将普通的行程问题以图像的方式呈现无疑更是中考试题的亮点。解此类题的关键是“识图”和“用图”，一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。下面以08、09两年的中考试题为例加以分类剖析。
一．相遇问题
例1．甲、乙两车同时从A 地出发，以各自的速度匀速向B 地行驶．甲车先到达B 地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y （千米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象．
（1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A 到B 的行驶速度；
（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）求出甲车返回时行驶速度及A 、B 两地的距离．
解：（1）（ ）内填60，甲车从A 到B 的行驶速度：100千米/时
（2）设y kx b =+，把（4，60）、（，0）代入上式得： 604044k b k b =+??=+?
. 解得：150600
k b =-??=? 150660y x ∴=-+
自变量x 的取值范围是：4≤x ≤
（3）设甲车返回行驶速度为v 千米/时，
有0.4(60)60v ?+=得90(/)v =千米时
A B 、两地的距离是：3100300
?=（千米）
评析：细心、耐心的读题、审题是解题的前提。本题中的行程过程分三个阶段，分别对应了三段函数图像，因此理解图像中每一条线段以及每个折点的实际意义成了解题的关键。如：点（3，120）的含义是乙车出发3小时后两车相距120千米，而此时乙车行驶了180km ，甲车行驶了300km 。
从知识点上讲，此题主要考查了二元一次方程组、一次函数、、图像交点等内容，其中第（2）小题便是函数解析式与图像、方程的综合，第（3）小题对思维能力要求较高，关键仍是对图像要有足够的理解，需要学生有相当的读图能力。这三个问题环环相扣，层层推进，区分度较明显，既有利于考查学生思维的逻辑性和灵活性，也有利于考查学生的运算能力。
二．追及问题
例2．2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：
（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．
略解：（1）
(2) 直线EF的解析式可通过E、F两点求出为y2=80X-100
∴点C的坐标是（6，380）
再由C、D两点坐标可求出直线BD的解析式是y甲=100X -220
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为，代入y甲得B（，270）
∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。
（3）符合约定
由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。
在点B处有y乙—y甲=80×—100—（100×—220）=22千米＜25千米
在点D有y甲—y乙=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米
∴按图像所表示的走法符合约定。
评析：此题是将追击问题以函数图像的方式呈现，图像中的数据较多，而且是由两条线路构成，将题目中的条件和从图像中获取的信息结合对不少学生来说是难点。第（2）小题的关键是先求直线BD的解析式，抓住C点是BD与EF的交点，可以由EF的解析式求出C点的坐标，再利用待定系数法求BD的解析式。第（3）小题只要求出在B、D两点处甲乙两组之间的距离是否满足不超过25千米即可。
要求学生结合具体情境体会函数的实际意义，并从不同角度深刻的体现对函数意义的考查，符合学业水平考试的要求，有利于对日常教学落实“双基”形成正确的导向。
三．航行问题
例3．甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．
（2）求甲船在逆流中行驶的路程．
（3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式．
（4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离．
【参考公式：船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度．】
解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h ．
（2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3?-=(km)．
（3）设甲船顺流的速度为a km/h ，
由图象得23(3.5 2.5)24a a -+-=． 解得a =9．
当0≤x ≤2时，19y x =．
当2≤x ≤时，设116y x b =-+．
把2x =，118y =代入，得130b =．
∴1630y x =-+．
当≤x ≤时，设129y x b =+．
把 3.5x =，124y =代入，得27.5b =-． ∴197.5y x =-．
（4）水流速度为(96)2 1.5-÷=(km/h)．
设甲船从A 港航行x 小时救生圈掉落水中．
根据题意，得9 1.5(2.5)9 2.57.5x x +-=?-．
解得 1.5x =． 1.5913.5?=．
即救生圈落水时甲船到A 港的距离为13.5 km ．
评析：对甲、乙两船而言，由于在静水中的速度相同，水流速又不变，所以它们在逆流中航行的速度也相等。搞清这个道理第（2）小题便可迎刃而解。在解第（3）小题时，首先由题意应正确认识甲船在整个航行过程中，共经历三个阶段，对照图像，求出每个阶段对应的一次函数解析式。解答第（4）小题需要理解甲船航行和救生圈漂流的情况，然后列出方程求出救生圈落入水中的时间，从而求出甲船到A 港的距离。
四．综合问题
例4．如图①，一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地，B 、C 两地相距 150 千米，甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C 、B 两地．甲、乙两车到A 地的距离1y 、2y （千米）与行驶时间 x （时）的关系如图②所示．
根据图象进行以下探究：
⑴请在图①中标出 A地的位置，并作简要的文字说明；
⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．
⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到 A地的距离
1
y与行驶时间x的函数关系式．
⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．
解：⑴A 地位置如图所示．使点A满足AB ∶AC＝2∶3。
⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,
9075 1.2
÷=，∴M，0)
所以点M表示乙车小时到达A地．
⑶甲车的函数图象如图所示．
当01
x
≤≤时，
1
6060
y x
=-+；
当1 2.5
x
<≤时，
1
6060
y x
=-.
⑷由题意得
606015
606015
x
x
-≤
?
?
-+≤
?
，得
35
44
x
≤≤；
759015
759015
x
x
-+≤
?
?
-≤
?
，得
7
1
5
x
≤≤. ∴
5
1
4
x
≤≤
∴两车同时与指挥中心通话的时间为
51
1
44
-=小时.
评析：此题主要考查一次函数、函数图像的交点坐标和一元一次不等式组等知识。解答第（1）问时，学生需要从图像中获取甲乙两车分别距A地60千米和90千米这一信息，进而求出AB：AC＝2∶3。第（2）问是对M点的实际意义作出解释，这需要学生具有一定的读图理解能力。第（3）问需对甲车的行驶过程有一个全面了解，然后利用待定系数法列出二元一次方程组求出两个时间段内的解析式。第（4）问是在第（3）问基础上的应用，关键是对“两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话”这一条件的理解，此小问更加深入的考查了学生对函数意义与性质的理解和运用。
以上4题将行程问题巧妙的融入一次函数图像中，很具特色。同时对学生从函数图像中捕获信息的能力，综合运用数学知识分析、加工、提炼的能力提出了很高的要求，教师在平时教学中也应当有意识的培养学生逐步形成用函数知识认识问题和解决问题的能力，促使他们形成深入而牢固的函数思想。
动点问题的函数图象选择方法 近几年中考试题中对动点问题的函数图象考察地很频繁，一般都作为选择题最后一道呈现。解答此类题目的一般过程为：读懂题意，牢牢抓住横轴和纵轴所表示的意义，在模拟运动过程中找到分界点，确定不同时间段并分析题意建立相对应函数模型，列出对应函数关系式，由函数关系式选择图象。但在实际的做题过程中，由于是选择题，我们可以选择不同的方法快速，准确地选出答案。 一．列函数关系式法 例1.（2014年河南第8.题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动，最终回到A 点。设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 （ ） 解析：由P 点运动过程AC CB BA 知，分为三个阶段，第一阶段AC 段， y=x(0≤x ≤1),第二阶段CB 段，y=2(1)1x -+(1≤x ≤3),这是一个在定义域内的增函数，但不 是一次函数。第三阶段BA 段，y=5+3-x(3≤x ≤5+3),所以本题选A 。 定评：分析不同阶段的运动过程，利用学习过的知识，建立函数模型，列出函数关系式，由关系式找出对应阶段的图象。这种方法要求高，没有较强的分析能力和数学素养关系式列不出来，当然这种方法耗时较多。 二．分析淘汰法 例2. （2014年兰州第15题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ） 解析：由l 运动 的过程，分为两个阶段，第一阶段从O 到BD,的过程中，X 轴，Y 轴方向上都在增加，而要表示面积这两个方向上都能用上，所以这必然为开口向上增大的二次函数模式，选择增长的曲线段。第二阶段从BD 到C 的过程，面积在DC,BC 两条边上增大，而此时面积的表示与这两边没有直接的联系，但可以断定是一个增长的二次函数模式，所以本题选D. 点评：分析运动过程，大体与学习过的正比列函数，一次函数，反比例函数，二次函数A ． B ． C ． D ．
函数的图象变换（习题） 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的？ （） A．向左平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 B．向右平移1个单位长度，向上平移8个单位长度 C．向左平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 D．向右平移1个单位长度，向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+（a＞0，且a≠1）的图象在第一、三、四象限，则必有（）
A ．0＜a ＜1，b ＞0 B ．0＜a ＜1，b ＜0 C ．a ＞1，b ＜0 D ．a ＞1，b ＞ 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同，则()f x 可能是（ ） A ．1y x -= B ．2x y = C ．2log y x = D ．21y x =- 6. 当0＜a ＜1时，函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在（ ） A ． 第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内，函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线x =1对称
f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y =ln x 关于y 轴对称， 则()y f x =的解析式为（ ） A ．()ln(1)f x x =+ B ．()ln(1)f x x =- C ．()ln(1)f x x =-+ D ．()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称，则a ，b 的值分 别为（ ） A ．15，8 B ．8，15 C ．3，4 D ．-3，-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在[1)+∞，上单调递减， (0)0f =，则(1)0f x +>的解集为（ ） A ． (1)+∞， B ．(1)(1)-∞-+∞，， C ．(1)-∞-， D ．(11)-， 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称，则 (2)f =_____________．
函数恒过定点问题 1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0 2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。 一、直线过定点问题 由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ） 例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标 例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点 练习题 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________ 2．直线y=mx+2m+14过定点________ 3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________ 4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________ 5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________ 6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________ 7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________ 8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________ 10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________
动点问题与函数图象 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑，①当直线 l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B.
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
函数图像过定点的研究 题1： 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标． 归纳： 第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： （2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． A．1个B．2个C．3个D．4个 3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
函数图象变换的四种方式 一，平移变换。 （1）水平平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 （简记：左加右减，这里的a>0。） （2）上下平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 （简记：上加下减，这里的a>0） 二，对称变换。 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。 （1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？ 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形 （简记：右不动，左对称） （2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？ 先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 （简记：上不动，下上翻） 四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。 （2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
抛物线练习（定点） 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． 23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________． 5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标 9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
动点问题的函数图像复习指要 【典例分析】 例1(2014?贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为 ) x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是( 考点: 动点问题的函数图象. 分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答. 解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10, ∴y=﹣x+10(0≤x≤10), 纵观各选项,只有A选项图象符合. 故选A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键. 例2 (2014年?河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s), ) 线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(
A. B. C. D. 考点:动点问题的函数图象. 分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分; ②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象; ③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误; ②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=, 则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误; ③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 故选:A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题. 例3(2014?广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯 形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒 1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇 时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平 房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论 错误的就是( ) A.当t=4秒时,S=43 B.AD=4 C.当4≤t≤8时,S=23t D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积 考点:动点问题的函数图象. 分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案. 解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段: (1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示. 此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.