函数图像过定点的研究
二、方法剖析与提炼
例 1.求证：拋物线 y ＝ （3 － k ）x 2＋（k －2）x ＋2k －1（k ≠3）过
y ＝（3 － k ）x 2＋（k －2）x ＋2k －1
22
＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k ＝3x 2－2x －1－k （ ）（k ≠3） ，
上式中令
＝ 0，得 x 1＝ ， x 2＝ .
将它们分别代入 y ＝3x 2－2x －1－k （x 2－x －2） ， 解得
y 1＝
， y 2＝ ，
2
把点（－1，
4）、（2，7） 分别代入 y ＝3x 2－2x －1－k （x
无论 k 取何值，等式总成立，
即点 、 总在抛物线 y ＝（3 －k ）x ＋ （k －
2）x ＋ 2k －1（k ≠3）上，
即拋物线 y ＝（3 －k ）x ＋（k －2）x ＋ 2k －1（k ≠3）过定点 （－1，4）、（2 ，7）．
【解析】因为不论 k 取何值，函数均过某定点，所以思考的
定点，并求出定点的坐标． 解答】整理抛物线的解析式，得
方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。
例 2 ．（北京市西城区）无论 m 为任何实数，二次函数
的图像总过的点是（ ）
A.
（1， 3） B. （1，0） C.
1，0）
解得
把 中，无论 m 为何值，等
式总成立。
次函数的图像恒过定点（ 1， 3）
故应选 A 。
解析】图像总过定点说明函数的取值与 m 的取值无关，所
－1，3） D. （－
【解答】解法一、特殊值法：任意给 妨设 m=0和 m=2。
则函数解析式变为： 联立方程组
m 赋予两个特殊
抛物线群恒过某定点， 则该抛物线群中的某两 条特殊的抛物线也必过 所以，抛物线群 定点（ 1， 3）。
故应选 A 。
定点坐标与 m 的值无 关，即关于 m 的一元一 次方程 am=b 有无数解
解法二、变换主元法：将其二次函数整理变形为：
x 1 0， x 2 2x y
x1
解得
x 1
0 y 3
所以，无论 m 为何值时， 恒满足①式，故该二
这一定点。
中所有的抛物线恒经过
以把 m 看成元， 其余看成常数进行重新化简整合， 含 m 项的 系数为 0 得出关于 x 、 y 的方程（组）并求解。另一种思考 就是 m 取不同的值得到不同的函数解析式求出公共点即可。
例 3. 已知二次函数的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），与 y 轴的 交点为 （ 0，n ﹣ m ），其顶点恰好在直线 y=x+ （ 1﹣ m ）上（其 中 m 、 n 为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点； （ 2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m 、n 如何变 化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样
∴二次函数的顶点在第 象限，而抛物线过原点， ∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点；
﹣， + （ 1 ﹣ m ） =
整理得 m 2 ﹣ mn+m ﹣ n=0，
∵（ m ﹣n ） （m+1
）
=0，
∴m=n 或 m=﹣ 1（舍去），
∴二次函数的顶点坐标为
为
）
代入 得﹣
令 y=0，解关于 x 的一元 二次方程即可求得交点横 坐标，△=b 2﹣ 4ac 决定抛物 线与 x 轴的交点个数。
的点；若不存在，请说明理由．
解答】（1）证明：把（﹣ ∵m 为 数，
，与 y 轴的交点
中考数学专题训练（附详解）
列说法正确的有（
）
（ 2）存在．∵抛物线的对称轴为直线 x =﹣ ，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 ，即不论 m 、n 如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣
1， 0）和（ 0，
0）．
【解析】（1）把二次函数顶点坐标代入代入 y =x+ （ 1﹣m ） 得﹣ + （ 1﹣m ）=﹣ ，整理后利用因式分解得到（ m ﹣n ） （m+1）=0，则 m=n 或 m=﹣ 1（舍去），于是二次函数的顶点
﹣ ），与 y 轴的交点为（ 0， 0），由 m 为正数 可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以 抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与 x 轴有 2 个 交点；
（2）由（ 1）得到抛物线的对称轴为直线 x=﹣ ，抛物线 与 x 轴的一个交点坐标为（ 0， 0），利用对称性得到抛物线 与x 轴的另一个交点坐标为（﹣ 1，0）。 三、能力训练与
拓展
1．无论 m 为何实数，二次函数 y=x 2﹣（ 2﹣ m ）x+m 的图
象总 是过定点（ ）
A ．（ 1，3）
B ． （1，0）
C ． （﹣ 1，3）
D ．
（﹣ 1，0） 坐标为（﹣ ，
2．对于关于x 的二次函数y=ax 2﹣（2a﹣1）x﹣1
（a≠0），①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；② 无论 a 取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a>0时，函数在x<1时，y随x的增大而减小；④当a<0时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
3. 某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：__________ ．
4．二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是
5．无论m为何实数，二次函数y=x 2﹣（3﹣m）x+m+1的图象总是过定点_____ ．
6．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x>0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _____ ．
7. 证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3）图像过定点，求
出该定点坐标
8. （2020 南京）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y 轴上
的一个定点；
⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m的值．
9. （2019 荆州）已知关于x 的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2 图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P（a，y1），Q （1，y2）是此抛物线上的两点，且y1> y2，请结合函数图象确定
实数 a 的取值范围；
（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2 恒过定点，求出定点坐标．