抛物线练习（定点）
求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）
2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．
4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．
5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．
6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点
_________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
抛物线练习（定点） 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． 23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________． 5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标 9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
2017 届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定 值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、 数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？ 如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参 考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型： 模型一：“手电筒”模型 + = 1 若直线 l ：y = kx + m 与椭圆 C 相交于 A ，B 两点( A ，B 不是左右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 y =kx +m 得(3+4k 2)x 2 +8mkx +4(m 2 -3)=0， 3x 2+4y 2=12 =64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)0，3+4k 2-m 2 8mk 4(m 2 - 3) x 1+x 2 =-38+m 4k k 2,x 1x 2 = 43(m + 4-k 23) y y =(kx +m ) (kx +m )=k 2x x +mk (x +x )+m 2= 3+ 4k Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0),且k AD k BD =-1， x -2x -2 =- 1，y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0， 3(m 2 -4k 2) 4(m 2 -3) 16mk 2k 整理得： 7m 2+16mk + 4k 2= 0 ，解得： m = -2k ,m = -2k ，且满足3+4k 2-m 2 0 当m =-2k 时， l :y =k (x -2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 2k 2 2 当 m =- 时，l : y =k (x -) ，直线过定点 ( ,0) 2 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为( 2 , 0). ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于 AB ，则 AB 必过定点(x 0(a -b ), y 0(a -b ))。(参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦 a + b a + b 对定点张直角的一组性质”) ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件(如k AP ? k BP =定 值， k AP +k BP =定值)，直线 AB 依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)。(参考 优酷视频资料 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线 ，联立曲线方程得根与系数关系， 求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系(如k AP ? k BP = -1)，得一次函数k = f (m )或者 m = f (k )； Step3：将k = f (m )或者 m = f (k )代入y =kx +m ，得y =k (x -x )+ y 。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M: y 2 = 2 px 上一点P (1,2)作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点， 求证： 直线 AB 过定点。(注：本题结论也适用于抛物线与双曲线) 例题、(07山东)已知椭圆 C ： 解：设 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)，由 23(m 2-4k 2) y 1y 2 3+4k 2 + 3+4k 2 + 3+4k 2
抛 物 线 （二） 掇刀石中学 王宏斌 [教学目标] 1、知识与技能目标： 掌握抛物线中有关焦点弦的重要性质，提高代数推理能力. 2、过程与方法目标： 让学生经历探求结论的全过程，体验从特殊到一般的思维方法，形成认识问题和解决问题的一般思维. [教学重点] 从特殊到一般的思维方法；向量法的应用. [教学难点] 代数推理 [教学方式] 启发引导，自主探究. [教学用具] 投影仪，多媒体辅助教学 [教学过程] 一、探究程序： 学生：独立思考＝＞小组讨论＝＞交流互补＝＞形成结论 教师：设置问题＝＞启发诱导＝＞点拨释疑＝＞激励完善 二、探究过程： [问题1]过抛物线Px y 22=（P ＞0）焦点F 的一条直线交抛物线于A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)两点，试问21y y 是否为定值？x 1x 2=____. 问题1的推广： 设过点E （a ，0）（a ＞0）的一条直线与抛物线Px y 22=（P ＞0）相交于A （1x ，
1y ） ，B （2x ，2y ）两点，21y y 是否为定值?21x x =____. [问题2]过抛物线Px y 22=（P ＞0）焦点F 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，经过点A 和抛物线顶点的直线交准线于C 点，求证:直线BC 平行于抛物线的对称轴. 问题2的逆命题是什么？怎样构造它的逆命题？ 分析：问题2的条件是： （1） AB 经过焦点F ；（2） AC 经过原点O. 结论是：BC //x 轴 逆命题1：若AB 经过焦点F ，且BC //x 轴，则AC 经过原点O. 逆命题2：若AC 经过原点O ，且BC //x 轴，则AB 经过焦点F. 问题2的逆命题是否正确？ 逆命题1： 设抛物线 的焦点为F , 经过F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴, 求证：AC 经过原点O.(01年高考题） 法1： 设A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) ,则 C(2p - , y 2) ∴1211 112222,22y p p y y x y k p y p y k OA OC ===-=-= 又 y 1y 2= -p 2 ∴1222y p p y =- 即 k OC = k OA 所以AC 经过原点O 法2： )0(22>=p px y
寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B
解析几何中定值与定点问题 【探究问题解决的技巧、方法】 (1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究． 【实例探究】 题型1：定值问题: 例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的 焦点，离心率等于 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 为定值. 解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1. ∴椭圆C的方程为 （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为 易知F点的坐标为（2，0）. 将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为（2，0）. 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又 例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0). 1）求椭圆方程 2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值 （1）a2-b2=c2 =1 设椭圆方程为x2/（b2+1）+y2/b2=1 将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b2-9=0 解得b2=3 （另一值舍） 所以椭圆方程为x2/4+y2/3=1 （2） 设AE斜率为k 则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①
抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=. 【规范解答】 证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=. 证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y p y B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,2 2(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)2 2()22(y p p y y p p y ?-=?- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故 221p y y -=. 证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为 .,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明 .2 11111F F F B F A =? 21,1∠=∠∴=AA AF Θ；同理.43∠=∠而 011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故 01804321=∠+∠+∠+∠， 所以.90310=∠+∠0 1190=∠FB A . 由直角三角形的性质得：.2 11111F F F B F A =? 【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；
圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 [考纲传真] 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想． 【题型突破】 定点问题 【例1】 已知椭圆E ：x 29＋y 2 b 2＝1(b ＞0)的一个焦点与 抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 相同，如图，作直线AF 与x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于A 点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且|CD |＝10 3. (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)设直线l 不经过A 点且与抛物线Γ相交于N ，M 两点，若直线AN ，AM 的斜率之积为1，证明l 过定点． [解] (1)由椭圆E ：x 29＋y 2 b 2＝1(b ＞0)，得b 2＝9－ c 2， 由题可知F (c ,0)，p ＝2c ， 把x ＝c 代入椭圆E 的方程，得y 2C ＝b 2? ?? ?? 1－c 29， ∴y C ＝9－c 2 3 . ∴|CD |＝103＝2(9－c 2) 3 ，解得c ＝2. ∴抛物线Γ的标准方程为y 2＝4cx ，即y 2＝8x . (2)证明：由(1)得A (2,4)， 设M ? ????y 218，y 1，N ? ?? ?? y 228，y 2， ∴k MA ＝ y 1－4y 218 －2＝8y 1＋4，k NA ＝8 y 2＋4， 由k MA ·k NA ＝ 8y 1＋4·8y 2＋4 ＝1， 得y 1y 2＋4(y 1＋y 2)－48＝0.(*)
设直线l 的方程为x ＝my ＋t ， 由??? y 2＝8x ，x ＝my ＋t ， 得y 2－8my －8t ＝0， ∴y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－8t ， 代入(*)式得t ＝4m －6， ∴直线l 的方程为x ＝my ＋4m －6＝m (y ＋4)－6， ∴直线l 过定点(－6，－4)． [ 方法总结] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程； (2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． [解] (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4 k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)． (2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 2 24－y 214＝4y 2－y 1， ∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝ 4 y 2－y 1 (x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1， ∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，
圆锥曲线中的定点，定值问题 《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固： 题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？ 问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ． 问题4 .证明： 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -
活动二 根深叶茂： 问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________． 问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）略 （2）略 （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β= 4 π 时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 例2．已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>> ，以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切．⑴求椭圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点() 1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨 迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ?= 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 92 2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、 ),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。 （1）设动点P 满足42 2 =-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3 1 ,221= =x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
抛物线练习（定点定值垂直等） 例1.已知,A B是抛物线22(0) =>上的两点，且O A O B y px p ⊥． 求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积; （2）直线AB恒过定点; （3）求弦AB中点P的轨迹方程; （4）求A O B △面积的最小值； （5）O在AB上的射影M轨迹方程. 思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？ 思考2：本题中，O A O B ⊥，即表示OA、OB斜率之积为-1，若k OA k OB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考3：若k OA+ k OB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？ 思考5：上述结论在椭圆中成立吗？
例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值） 试着以抛物线24 =上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、y x C两点，证明：BC斜率为定值。 例3.类比于专题7例4---例6 已知抛物线24 =，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，y x 使PF平分APB ∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点. 思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究, K K的 AF BF 关系。
定点、定值问题 一、定点问题： 题型一：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点 例题1：抛物线22(0),.y px p A B =>在抛物线上，OA OB ⊥,求证：直线AB 过定点。 例题2：椭圆223412,x y +=直线:l y kx m =+与椭圆交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标。2(,0)7
例题3：已知焦点在x 轴上的椭圆过点(0,1)，求离心率为 2，Q 为椭圆的左顶点， （1） 求椭圆的标准方程； （2） 若过点6(,0)5 -的直线l 与椭圆交于,A B 两点。 （i ） 若直线l 垂直x 轴，求AQB ∠的大小； （ii ） 若直线l 不垂直x 轴，是否存在直线l 使得AQB ?为等腰三角形？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由。 例题4：已知定点(1,0),(2,0)A F -,定直线1:2 l x =不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，设P 点的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于,B C 两点，直线,AB AC 分别交l 于点,M N 。 （1） 求E 的方程； （2） 试判断以MN 为直径的圆是否过点F ,并说明理由。
变式训练：抛物线22(0),..y px p A B =>在抛物线上运动，00(,)P x y 是抛物线上的定点，直线,PA PB 的斜率之积为定值0m ≠求证：直线AB 过定点，并求出此定点。 题型二：三大圆锥曲线中，若过焦点的弦为AB ,则焦点所在的轴上存在唯一的定点N ,使得NA NB ?为定值。 例题1:已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F 且点(-在椭圆上。 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线l 过点F 与椭圆交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ,使得716QA QB ?=- 恒成立？如果存在，求出Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。5(,0)4
抛物线中的定点定值 问题
抛物线练习（定点定值垂直等） 例1.已知,A B 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，且OA OB ⊥． 求证：（1）求AB 两点的横坐标之积和纵坐标之积; （2）直线AB 恒过定点; （3）求弦AB 中点P 的轨迹方程; （4）求AOB △面积的最小值； （5）O 在AB 上的射影M 轨迹方程. 思考1：若将O 点改为抛物线上任意点，AB 直线是否仍过定点？ 思考2：本题中，OA OB ⊥，即表示OA 、OB 斜率之积为-1，若k OA k OB =m (m 为不为零的常数),直线AB 是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考3：若k OA + k OB =n (n 为非零常数), 直线AB 过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究； 思考4：把问题3和问题4中的O 点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？ 思考5：上述结论在椭圆中成立吗？
例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值） 试着以抛物线24 =上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交y x 抛物线于B、C两点，证明：BC斜率为定值。 例3.类比于专题7例4---例6 已知抛物线24 =，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是y x ∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明否存在点P，使PF平分APB 理由。 思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B 且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB 过定点. 思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探 究, K K的关系。 AF BF
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为， 可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐 标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设，， 要使其为定值，需满足，
解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2．【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线 2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1 2 k = 时，弦MN 的长为415. （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2 4y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?= （1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点． （2）设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则122 11 222 =MN t t k t t t t -=-+， 则() 21 2 :2MN y t x t t t -= -+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=； ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上11tt ?=，即1 1 t t = （1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2）
抛物线的定值问题 ◎李远敬 （辽宁省本溪市机电工程学校 117022） 【摘要】在长期的教学中，笔者经常会遇到或想到圆锥曲线的一些定值问题，学生们也需要教师给予解答和总结，笔者精选了抛物线十个定值问题，供师生们参考。 【关键词】抛物线；定值；焦点。 1. 过抛物线px y 22=焦点F 的直线与此抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 两点，则 （1）4 2 21p x x =（定值），（2）221p y y -=（定值），（3）243p -=?（定值）。 （请读者自证） 2.已知AB 是过抛物线px y 22=)0(>p 焦点F 的动弦。求证： p FB FA 2 11=+（定值） 。 证明：设A (11,y x )、B (22,y x )，直线AB 的方程为)2 (p x k y - =。当k 不存在时，p p p FB FA =+==22∴p FB FA 211=+。当k 存在时，由??? ??-==)2)(2() 1(22p x k y px y 得 04)2(22222=++-p k x p pk x k 则 ??? ????=+=+422 212 221p x x k p pk x x ∴FB FA 11+=212121p x p x +++=4)(22 212121p x x p x x p x x + ++++=42242222222p k p pk p p p k p pk ++?+++=2 2222)1()1(2k k p k p k ++=p 2 3 过抛物线px y 22 =)0(>p 焦点F 的两条相互垂直的弦AB 和CD ,则CD AB 11+=p 21 （定值）。 证明：设A (11,y x )、B (22,y x )、C (33,y x )、D 44,(y x )，由上题得2 2212k p pk x x +=+（1）
第二讲： 解析几何中定点与定值问题 练一练： 1、一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ） () ()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D - 2、设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：12y y = 。 3、设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点。 4、过y 2 =x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。 求证：直线BC 的斜率是定值。 变式题：如图M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB, 若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； X Y A B F A 1 B 1 1 M C
一、定点问题： 题型一：三大圆锥曲线中的顶点直角三角形斜边所在的直线过定点 例题1：抛物线22(0),.y px p A B =>在抛物线上，OA OB ⊥,求证：直线AB 过定点。 例题2：椭圆223412,x y +=直线:l y kx m =+（K>0）与椭圆交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标。
例题3：已知焦点在x 轴上的椭圆过点(0,1)，求离心率为2 ，Q 为椭圆的左顶点， （1） 求椭圆的标准方程； （2） 若过点6(,0)5 -的直线l 与椭圆交于,A B 两点。 （i ） 若直线l 垂直x 轴，求AQB ∠的大小； （ii ） 若直线l 不垂直x 轴，是否存在直线l 使得AQB ?为等腰三角形？如果存在，求出l 的方程； 如果不存在，请说明理由。 例题4：已知定点(1,0),(2,0)A F -,定直线1 :2 l x = 不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，设P 点的轨迹为E ,过点F 的直线交E 于,B C 两点，直线,AB AC 分别交l 于点 ,M N 。 （1） 求E 的方程； （2） 试判断以MN 为直径的圆是否过点F ,并说明理由。
2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴ ?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交 圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值， =+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视 频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线） 练习2：过抛物线M:x y 42 =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。（经典例题，多种解法） 练习3：过122 2 =-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。（本题参考答案： )5 1,51(-）