直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 函数恒过定点问题 1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0 2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。 一、直线过定点问题 由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ） 例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标 例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点 练习题 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________ 2．直线y=mx+2m+14过定点________ 3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________ 4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________ 5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________ 6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________ 7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________ 8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________ 10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________ 必修2 第二章 解析几何初步 第一节：直线与直线方程（王建明） 一、直线的倾斜角和斜率 （1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ， 把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角， 叫作直线l 的倾斜角。（0°≤α<180°） （2）斜率k=tan α=1 212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。 例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。 例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。 例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。 例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 练习： 1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12 ，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ-- 2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围． 点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ? ?? ??－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围． 答案：? ???－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直 1.平行的判定： 2. 垂直的判定： 例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？ （2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。 练习： 例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）. 例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。 练习： 1.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 答案：a=-1 2.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程． 答案：3x －2y －5＝0. 三、直线的方程 1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0) 1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0) 谈谈证明直线恒过点的几种方法 临川二中 周志如 直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。 1、特殊引路和找定点 对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l 的特殊情况，找出定点P 的位置，然后证明该点P 在直线l 上，反映从特殊到一般的数学方法。 例1：已知椭圆2 212 x y +=的右准线l ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且BC ∥x 轴，求证AC 经过定点。 证明：如图1，设l ⊥x 轴，垂足为E ，易求得F （1，0），E （2，0） 当AB ⊥x 轴时，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 点，则ABCD 为矩形 由椭圆的对称性可知，直线AC 与x 轴相 交于EF 的中点N 3(,0)2 以下证明N 即为直线AC 所经过的定点 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为 (1),(0)y k x k =-≠ 1122(,),(,)A x y B x y ，则2 (2,) C y 且12,x x 满足方程 2 22(1)12 x k x +-= 即2222(12)42(1)0k x k x k +-+-= ∴2122412k x x k +=+ 2122 2(1) 12k x x k -?=+ 又2 2 11222x y =-< 得133 022 x -<< ∴13 02 x - ≠ 故直线AN 、CN 的斜率分别为： 111112(1)3232 y k x k x x -= = -- 2 222(1)322 y k k x ==-- ∴121121(1)(1)(23) 223 x x x k k k x -----=- 1211212(1)(1)(23)3()24 x x x x x x x ----=+-- 2222 1 [24(1)4(12)]012k k k k = ---+=+ ∴120k k -= 综上所述，直线AC 经过定点N （3 ,02 ） 2、逆用直线系方程 过直线11:(,)0l f x y =与直线22:(,)0l f x y =的交点的直线系方程为 12(,)(,)f x y f x y λ+ =0 （R λ∈），反之，若直线l 的方程可表示为12(,)(,)f x y f x y λ+=0（R λ∈），则必过由12(,)0 (,)0 f x y f x y =?? =?确定的定点。 例2：设点A 和B 为抛物线24,(0)y px p =>上原点以外的两个动点。已知OA ⊥OB ，求证：直线AB 必过定点。 证明：设A （211,2pt pt ），B （2 22,2pt pt ）12(,0)t t ≠ ∵OA ⊥OB （如图2） ∴12 2212 221OA OB pt pt k K pt pt ?= ?=- 即124t t =- 由于12t t ≠ ， 直 线 AB 的 方 程 为 ： 221 1122 21 222()pt pt y pt x pt pt pt --= -- 化简得：12122()20x t t y pt t -++= 即：12(28)()0x p t t y --+= ∴直线AB 过定点（4,0p ） 3、利用直线方程的定义 直线l 的方程为0Ax By C ++=，根据直线方程的定义，如果00(,)x y 是方程 0Ax By C ++=的一个解，那么点00(,)x y 在直线l 上，如果能根据已知条件求得一个等式 并化简为00()()0Af x b g y C +?+=（这里00(),()f x g y 为定值），那么（00(),()f x g y ）为方程0Ax By C ++=的一个解，从而点（00(),()f x g y ）是动直线l 上的点。 例3：设A （00,x y ）是抛物线2 2,(0)y px p =>上的定点，已知B 、C 是抛物线上的两切点，若直线AB 与AC 的斜率之积为定值C ，则直线BC 必过定点。 x 一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。 例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都 宜兴市丁蜀高级中学高三理科二轮复习微专题 恒过定点问题的解题策略 一课前热身： 1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 . 2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 . 3.在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,以P 为圆心的圆与直线l 相切，则圆过定点 4.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两 点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ， 直线BM 交直线l 于点Q .求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求 出定点坐标. 二 例题讲评 例1. 1.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 过点 圆右顶点A 的两条斜率乘积为14 -的直线分别交椭圆C 于,M N 两 点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由. 例2.已知圆M 的方程；4)4(2 2=+-y x ，点C )0,1(，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PB PC 恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由. 三巩固训练 1.已知椭圆22 :142 x y C +=的上顶点为A ，过A 点引两条直线分别交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .若121k k =-时，问直线PQ 是否过定点 2.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线的距离为，到点的距离为，且 直线与椭圆C 交于不同的两点A,B （A,B 都在轴的上方），且.（1）求椭圆C 的方程； （2）当A 为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程； （3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由. 1:2l x =-1d ()1,0F -2d 21d d l x 180OFA OFB ∠+∠=y l l OFA ∠l 一、点关于点的对称问题 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程. 例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程. 5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 2224)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2 =---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2 2 2 7)14()2(=-+-a ，或2 2 2 1)14()2(=-+-a (无解)，故可得 1022±=a ． ∴ 所 求 圆 方 程 为 2 224)4()1022(=-+--y x ，或 2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2 2 2 7)14()2(=--+-a ，或2 2 2 1)14()2(=--+-a (无解)，故 622±=a ． ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 2 224)4()622(=++--y x ，或 2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解： 由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如 2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其 圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2 2 2 7)14()2(=-+-a ，解 恒过定点问题 1,（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=kx-2k+6经过定点Q。 (1)直接写出点Q的坐标___________； (2)点M在第一象限内，∠QOM=45°，若点M的横坐标与点Q的纵坐标相等（如图1），求直线QM的解析式； （3）在（2）的条件下，过点M作MA⊥x轴于点A，过点Q作QB⊥y轴于点B，点E位第一象限内的一动点，∠AEO=45°，点C为OB的中点（如图2），求相等CE长度的最大值。 2,（本小题满分14分）已知抛物线 2 y=(12m)x13m mx+-+-与x轴相交于不同的两点 A、B （1）求m的取值范围 （2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标、 （3）当1 8 4 m 3,如图，已知直线AB ：与抛物线交于A 、B 两点， （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）当时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离. y kx 2k 4=++21y x 2=1k 2= - 4,已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）当抛物线y= kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围； （3）已知抛物线y= kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标． 直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1．掌握直线的一般式方程； 2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处； 3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 要点诠释： 1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线. 当B≠0时，方程可变形为 A C y x B B =--，它表示过点0, C B ?? - ? ?? ，斜率为 A B -的直线． 当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即 C x A =-，它表示一条与x轴垂直的直线． 由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0， 也可以是 11 22 x y -+=，还可以是4x―2y+2=0等．） 要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表： 要点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x1≠x2，y1≠y2），应用时若采用(y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 要点三：直线方程的综合应用 1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． 直线方程的对称问题及最值恒过定点问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______. 4:330,(4,5) 已知直线求关于的对称点。 l x y p l -+= 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l:3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线方程2l.求2l的方程四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程. 例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 ?的面积1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 最小时直线l的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程. 【典型例题】 类型一：直线的倾斜角与斜率 例1．直线cos 20x α+=的倾斜角的范围是 A ．5,,6226ππππ????? ?????? B ．50,,66πππ???????????? C ．50,6π? ????? D ．5,66ππ?????? 【变式】已知动直线21y kx k =++ 与直线l : 122 y x =- +的交点在第一象限，求k 的取值范围。 类型二：两直线的位置关系 例2．四边形ABCD 的顶点为(22A +，，(22)B -，，(02C -，，(42)D ，，试 判断四边形ABCD 的形状． 【举一反三】 【变式1】直线l 1: ax+(1-a)y=3与直线l 2: (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值。 类型三：直线的方程 例3．过点P(2，1)作直线l 与x 轴、y 轴正半轴交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程. 【变式1】求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线； 【变式2】直线l 过点(1,4)P -，且在两轴上的截距之和为零，求l 的方程。 类型三：对称问题 例4．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程。 【举一反三】 【变式】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________． 类型五：综合应用 例5.（2014秋 渝中区校级期中）已知点A （1，1），B （2，2），C （4，0），D （，），点P 在线段CD 垂直平分线上，求： （1）线段CD 垂直平分线方程； （2）|PA|2+|PB|2取得最小值时P 点的坐标． 【举一反三】 【变式】（2014秋 渝中区校级期中）已知三角形的顶点是A （﹣5，0）、B （3，﹣3）、C （0，2）， （1）求直线AB 的方程； （2）求△ABC 的面积； （3）若过点C 直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的范围． 恒过定点问题的解题策略 一、复习要点： 1.恒过定点问题的解题策略和方法； 2.体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想方法. 二、课前热身： 1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 . 整理得：(32)2410x y a x y +++--=对任意实数a 恒成立.定点11(,)22 - - 2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 . 整理得：22(4)2440x y a x y x y --++++-=.定点(2,2),(1,5)--- 3.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q . 求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求出定点坐标. 解法一： 设000(,)(0)M x y y ≠， 则直线00:(2)2y AM y x x =++，0 06(4,)2y P x ∴+ 则直线00:(2)2y BM y x x =--，0 02(4,)2y Q x ∴- 圆C ：2 00 0062(4)()()022 y y x y y x x -+--=+-， 整理得：22 00 8(1) (4)120x x y y y --++ -= 由22(4)1200 x y y ?-+-=?=? 得定点为(4± . 解法二： 设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，(4,6)P k ∴，1AM BM k k =-Q 所以直线1:(2)BM y x k =- -，2(4,)Q k ∴- 圆C ：22(4)(6)()0x y k y k -+-+=，整理得：22 2(4)(6)120x y k y k -++--= 由22(4)120 0x y y ?-+-=?=? 得定点为(4±. 三、例题精讲 例1．如图，已知椭圆2 214 x y +=，直线l ：4x =，A ，B 是长轴的两端点，M 是椭圆上异 于A ，B 的任意一点，设直线AM 交直线l 于点P ，直线BM 交直线l 于点Q ． 求证：以PQ 为直径的圆C 经过定点，并求出该定点坐标． (4,0 ) 解法一： 设000(,)(0)M x y y ≠， 圆C 方程： 2200 2(1) (4)30x x y y y --++ -= 解法二： 设直线:(2)(0)AM y k x k =+≠，则直线 1:(2)4B M y x k =- -，1(4,6),(4,)2P k Q k ∴- 圆C ：2 1(4)(6)()02x y k y k -+-+=，整理得：221(4)(6)302x y k y k -++--= 由22(4)30 x y y ?-+-=?=? 得定点为(4. 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.１ 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角: 2．直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( ）． A. ６0° B. 3０° C ． 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转４5°,得到直线1l ,则1l 的倾斜角为（ )。 Ａ. 45α+? B. 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α<135°时为45α+?,当135°≤α<18０°时，为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 2如图所示菱形ABC Ｄ中∠BA Ｄ＝60°,求菱形ＡB ＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值． 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为ｋ1、ｋ２、k 3,则( ). A .k 1＜k 2 变式训练: 若三点P (２,3），Q (３,a ）,R (４,b )共线，那么下列成立的是（ ）． A.4,5a b == Ｂ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 ５ 已知两点A （－2，－ 3) , B (3, ０) ,过点P (-１， 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练： 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 ６ 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练: 利用斜率公式证明不等式：(0a m a a b b m b +><<+且0)m > ３．1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 直线与方程经典例题 【考点指要】 关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求。解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。 【综合例题分析】 例1. 已知圆2 2 440x x y --+=的圆心是P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 __________。 答案： 22 解析：由题意圆的方程22 440x x y --+=可化为() 2 228x y -+=∴圆心()2,0P ，代入点到直线距离公式得2 2)1(1| 1-(-1)012|d 2 2=-+?+?= 例2.若曲线2 1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则k b 、分别应满足的条件是____________。 答案：k=0且-1 第一篇圆锥曲线 专题06动直线过定点问题 若要证明动直线恒过定点(1,2)，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例3y kx =+，我们只需要令含有参数部分的x 等于零即可消去参数；若动直线的参数位置在截距上，例y x b =+，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点； 若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例21y mx m =++，方程可写成(x 2)1y m =++，能看出直线过(2,1)-点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点； 但是若直线中含有两个参数呢？例y kx b =+无法求出恒过的点，但是若知道k 和b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。 因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。 圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思，因为题目中都会明确给出一个等量关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。引题：已知椭圆的方程为2214 x y +=，过点(0,1)A 作两条互相垂直的直线12,l l 分别交椭圆于,M N 两点，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点。 一、解决动直线恒过定点问题的方法 方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范围是否存在。 例1：已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，过F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，设弦,AB CD 的中点分别是,M N ，求证直线MN 恒过定点。 例2：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2 2y x =相交于,P Q 两点，如果3OP OQ ?= ,O 是坐标原点，证明直线l 过定点。 例3：过2 4y x =上一点(1,2)P ，作两条射线交抛物线于,A B 两点，且0PA PB ?= ，则证明AB 恒过一定点。 高中数学必修2知识点——直线与方程 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即0tan (90)k αα=≠。斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。 当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0 例：直线053=-+y x 的倾斜角是( ) ° ° ° ° （3）直线方程 ①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式： 11 2121 y y x x y y x x --= --（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。 ④截矩式：1x y a b += 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。 ⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○ 1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：函数图像恒过定点问题
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