二次函数的最值与图像过定点问题
对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2
(1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是
(2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是
(3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是
(4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是
求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值
例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5
(1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。
(2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。
1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的一
个动点,连接OM
(1)求m,n,p 。
(2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积；
(3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。
2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m.
(1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ；
(2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).
24．(12分) 如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为(t ，0)，直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax(x ﹣t)(a 为常数，a ＞0)，该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx(k 为常数，k ＞0)
(1)填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A_________，k=_________；
(2)随着三角板的滑动，当a=14时：
①请你验证：抛物线y 1=ax(x ﹣t)的顶点在函数y=﹣14x 2的图象上；
②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；
(3)直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．
抛物线过定点的问题集锦
解法步骤
第一步：对含有变系数的项集中
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程(这时系数如何变化，都“失效”了) 第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤
1.某二次函数y ＝ax 2－(a ＋c)x ＋c 必过定点__________
2.无论m 为任何实数，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是（ ）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－1，3）
D. （－1，0）
3.不论a 取何值，抛物线y ＝－12x 2＋5－a 2
x ＋2a －2 经过x 轴上一定点Q ，则点Q 坐标为 4.抛物线y ＝ax 2＋ax －2过直线y ＝mx －2m ＋2上的定点A ，求抛物线的解析式。
5.如图 ,在平面直角坐标系中,已知A(4,0),以OA 为边在第一象限内作正方形OABC.K 为线段CB 上一动点,连接OK,KN ⊥OK 交AB 于N.CK=t.BN=m
(1)△OCK ∽________,K 点坐标K( , );
(2)用含t 的代数式表示m,并确定m 的取值范围;
(3)过O,K 两点作抛物线y=ax 2
+bx(a<0)
例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。
解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(
二次函数结合定值及等面积问题 2 2 8 1.已知二次函数y =3x-3x+2的图像与x 轴交于A B 两点，A 在B 点的左边，与y 交 于点C ,点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边, S A PAC = 4，求点P 的坐标。 2.抛物线 y=-x 2 +bx+c 经过点 A B 、C,已知 A(- 1,0), C (0， 3). (1)求抛物线的解析式; (2)若P 为抛物线上一点，且S PBC =3,请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线 AB ： y = kx+ 2k + 4与抛物线y= ^x 2 -^-A (1)直线AB 总经过一个定点 C,请直接写出点 C 的坐标 1 (2)当k 二时，在直线AB 下方的抛物线上求点 P ,使S A ABP = 5 2 4. 如图，抛物线y x 2 2x 3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交 于A C 两点，其中C 点的横坐标为2。 (1 )求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； (2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求△ EAC 面积的 最大值。 5. 如图，抛物线的顶点为 A (-3，-3 )，此抛物线交X 轴于O, B 两点 (1) 求此抛物线的解析式 (2) 求厶AOB 的面积 P C x O
(3) 若抛物线上另有一点P满足S B阳创，请求出P点的坐标 6.已知二次函数y x2 bx c，其图像抛物线交x轴的于点A (1, 0)、B (3, 0),交y 轴于点C. (1) 求此二次函数关系式； ⑵试问抛物线上是否存在点P(不与点B重合)，使得S BCP 2S ABC ?若存在，求出P点 坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：
二次函数应用题 1、某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家 电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台． （ 1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间 的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰（ 2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈 利箱应降价多少元？ （ 3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 2. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（ 4 ，1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ， C 两点（点 B 在点C的左侧）. 已知 A 点坐标为（0 ， 3）. （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）过点 B 作线段AB 的垂线交抛物线于点 D ，如果以点 C 为圆心的圆与直线BD 相 切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明； （ 3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于 A ，C两点之间，问：当点P 运动到 什么位置时，PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC 的最大面积. y D A x O B C ( 第 13 题 )
3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙 另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所 示的矩形ABCD ．设 AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为 S 平方米． （ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （ 2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数 y ax 2 bx c（a 0 ），当x b 4a c b2 时， y最大(小)值) 2a 4a 4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x 之间满足函数关系y 50x 2600 ，去年的月销售量p（万台）与月份x 之间成一次函数关系，其 中两个月的销售情况如下表： 月份 1 月 5 月 销售量 3.9 万台 4.3 万台 （1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ （2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了m% ，且每月的销售量都比去年12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受 此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936 万元，求m的值（保留一位小数）． （参考数据：34 ≈ 5.831 ，35 ≈5.916 ，37 ≈ 6.083 ，38 ≈ 6.164 ）
【中考压轴题专题突破】 二次函数中的定值问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q． （1）求该二次函数的表达式； （2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D． ①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由； ②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的 变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．
2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S． （1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值； （3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．
3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组” （1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由． （2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式； （3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．