1．(2019·江苏七校联考)抛物线1
4x 2＝y 的焦点坐标是________．
解析：由1
4x 2＝y ⇒x 2＝4y ，于是焦点坐标为(0，1)．
答案：(0，1)
2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 解析：设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y
3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2
4＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．
解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x
4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝5
4
x 0，则x 0＝________．
解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝5
4x 0，解得x 0＝1.
答案：1
5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．
解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．
答案：2 6
6．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为________．
解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p
2
，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或4
7．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →
，则QF ＝________．
解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →
，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到
准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.
答案：3
点B 满足OB →＝OA →
＋
8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一OF →
(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．
解析：由题可知F (1，0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，所以B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，
S △BOF ＝12·OF ·|y B |＝1
2×1×2＝1.
答案：1
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．
解析：由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝⎛⎭⎫－p 2，52p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－5
2p ，故S △
ABO
＝12×5p ×p 2＝54
p 2
＝45，解得p 2＝16，又因为p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x
10．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1，2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为________．
解析：因为点A 在抛物线上，所以4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1，0)，
设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①
y 22＝4x 2，②
由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
.
又因为y 1＋y 2＋23＝0，所以y 1＋y 2＝－2，
所以k BC ＝－2.
又因为x 1＋x 2＋13＝1，所以x 1＋x 2＝2，
所以BC 的中点为(1，－1)，
则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0.
答案：2x ＋y －1＝0
11．(2019·江苏省四校联考)已知抛物线y 2＝2x 上有四点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)、D (x 4，y 4)，点M (3，0)，直线AB 、CD 都过点M ，且都不垂直于x 轴，直线PQ 过点M 且垂直于x 轴，交AC 于点P ，交BD 于点Q .
(1)求y 1y 2的值； (2)求证：MP ＝MQ .
解：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，与抛物线方程联立得：y 2－2my －6＝0， 所以y 1y 2＝－6.
(2)证明：直线AC 的斜率为y 1－y 3x 1－x 3＝2y 1＋y 3，所以直线AC 的方程为y ＝2y 1＋y 3(x －x 1)＋y 1.
所以点P 的纵坐标为y P ＝6＋y 1y 3
y 1＋y 3
＝
6＋⎝⎛⎭
⎫－6
y 2
y 3－6y 2
＋y 3
＝6（y 2－y 3）y 2y 3－6
，
同理点Q 的纵坐标为y Q ＝6（y 3－y 2）
y 2y 3－6，
所以y P ＋y Q ＝0，又PQ ⊥x 轴，所以MP ＝MQ .
12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求过点F 且与直线OA 垂直的直线方程；
(3)设过点M (m ，0)(m >0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．
解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .
(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －1
2
＝0.
(3)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0. 将x ＝y
k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，
解得y 1，2＝1±1＋2mk 2
k
.
由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4
m
.
因此DE 2
＝(x 1－x 2)2
＋(y 1－y 2)2
＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2
）k 2＝94(m 2＋4m )，所以f (m )＝32
m 2＋4m (m >0).
1．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
解析：由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a
4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |
2
＝4，得a ＝±8，故抛物线方程为y 2＝±8x . 答案：y 2＝±8x
2．(2019·南通质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则MQ －QF 的最小值是________．
解析：抛物线的准线方程为x ＝－1
2，
当MQ ∥x 轴时，MQ －QF 取得最小值，
此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则(QM －QF )min ＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. 答案：5
2
3．(2019·无锡模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AF
BF
的值等于________．
解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝BC AB ＝BB 1－AA 1AF ＋BF ＝BF －AF
AF ＋BF
，
即cos 60°＝BF －AF AF ＋BF ＝12，由此得AF BF ＝1
3.
答案：1
3
4．(2019·泰州模拟改编)直线x ＝1与抛物线C ：y 2＝4x 交于M ，N 两点，点P 是抛物线C 准线上的一点，记向量OP →＝aOM →＋bON →
(a ，b ∈R )，其中O 为抛物线C 的顶点．给出下列命题：
①∀a ，b ∈R ，△PMN 不是等边三角形； ②∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →
垂直；
③无论点P 在准线上如何运动，a ＋b ＝－1总成立． 其中，所有正确命题的序号是________．
解析：根据题意可知，当点P 落在准线与x 轴的交点时，PM ＝PN ＝22≠MN ＝4，所以△PMN 不是等边三角形，所以无论P 在何处即∀a ，b ∈R ，△PMN 都不是等边三角形．故①正确，根据题意不妨令M (1，2)，N (1，－2)，令OP →·ON →＝0，即(a ＋b )·1－2(2a －2b )＝0，整理得3a ＝5b ，所以∃a <0且b <0，使得向量OP →与ON →垂直，故②正确，OP →
＝(a ＋b ，2a －2b )，因为点P 在抛物线的准线上，所以a ＋b ＝－1总成立，故③正确．
答案：①②③
5．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．
(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段AB ＝20，求直线l 的方程．
解：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，
则⎩
⎨⎧x 0＝
x 1＋x 2
2，y 0＝y 1＋y 22
.
由⎩
⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，
y 22＝4x 2得
(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.
(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，
y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，
所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|
＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．
所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.
6．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点． 解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝OB sin 30°＝43，y ＝OB cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .
(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝1
2x .设P (x 0，y 0)，
则x 0≠0，y 0＝1
4x 20
，
且l 的方程为y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，
即y ＝12x 0x －14
x 2
0.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－4
2x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭
⎫x 2
0－42x 0，－1.
设定点为M (0，y 1)，令MP →·MQ →
＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．
由于MP →
＝(x 0，y 0－y 1)， MQ →＝⎝⎛⎭
⎫x 2
0－42x 0，－1－y 1，
由MP →·MQ →
＝0，得x 20－42
－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)
由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0
≠0)的y 0恒成立，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.
故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．
第七节抛物线 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．? 其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程?和几何性质 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点
[熟记常用结论] 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2 4，y1y2＝－p 2； (2)|AF|＝ p 1－cos α ，|BF|＝ p 1＋cos α ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α(α为弦AB的倾斜角)； (3)1 |FA|＋ 1 |FB|＝ 2 p； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是???? a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题 1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.????18，0 B.????12，0 C.??? ?0，18 D.??? ?0，1 2 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝1 2 y ，所以焦点坐标是????0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y . 3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x 解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x . 4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ， 当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y 5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．
第7讲 抛物线 , ) 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫p 2 ，0 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－p 2 ，0 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 |PF |＝ |PF |＝ |PF |＝ |PF |＝ (其中 P (x 0， y 0)) x 0＋p 2 －x 0＋p 2 y 0＋p 2 －y 0＋p 2 1．辨明两个易误点 (1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． (2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． 2．与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 . (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ (θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2 p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 1.教材习题改编 抛物线8x 2 ＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，132 C 由8x 2＋y ＝0，得x 2 ＝－18 y . 2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.
第7讲 抛物线 组 基础关 1．(2019·厦门一模)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4 答案 C 解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2. 2．(2019·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( ) A ．4 B ．12 C ．2 3 D ．6 答案 C 解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知 1＋p 2 4＝2，且 p >0，解得p ＝2 3. 3．(2020·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 答案 B 解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p 2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)． 4．(2019·哈尔滨三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π 6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A ．4 B ．6 C ．8 D ．16 答案 D 解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝3 3，则直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得1 3(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16. 5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( ) A ．(1,2)或(1，－2) B ．(1,4)或(1，－4) C ．(1,2) D ．(1,4) 答案 A 解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以1 2×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)． 6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D 解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝2 3(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2 3 (x ＋2)， y 2＝4x ， 消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)， 又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝ 8.故选D. 7．(2019·怀化三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2，
【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练 50.抛物线 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18 2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2 ＝±22x B ．y 2 ＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2 ＝±42x 3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．9 2 C ．3 D ．4 4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点 反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( ) A.43 B ．－4 3 C ．±43 D ．－16 9 5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( ) A.7π12 B.2π 3 6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2 ＝14 x 的焦点坐标是________． 、 [B 级 保分题——准做快做达标] 1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2 ＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 3 C ．3 3 D ．2 2 2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )
第七节抛物线 课标要求考情分析 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率)． 2．理解数形结合的思想． 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应 用. 1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近几年高 考命题方向方向的热点． 2．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇 命题方向方向． 3．题型主要以解答题的形式出现，属于中高档题， 有时也会以选择题、填空题的形式出现，属中低档 题. 知识点一抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．知识点二抛物线的标准方程及几何性质
抛物线常见的几何性质 1．焦半径、通径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ???? p 2，0的距离|PF |＝x 0 ＋p 2 ，也称为抛物线的焦半径． 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p ，是过焦点最短的弦． 2．直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图可得．
①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 2 4 . ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( × ) 2．小题热身 (1)以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( D ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x (2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为 ( D ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x ＝－3 D ．x ＝－4 (3)已知点F ????14，0，直线l ：x ＝－1 4，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D ) A ．双曲线 B ．椭圆
[练案56]第七讲 抛物线 A 组基础巩固 一、单选题 1．(2020·河北邯郸质检)已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2， m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( D ) A ．y 2 ＝2x B ．y 2 ＝4x C ．y 2＝8x D ．y 2 ＝16x [解析] 设抛物线的准线为l ，作MM ′⊥直线l 于点M ′，交y 轴于M ″，由抛物线的定义可得：MM ′＝MF ＝6，结合x M ＝2可知：M ′M ″＝6－2＝4，即p 2＝4，∴2p ＝16，据此可知抛 物线的方程为：y 2 ＝16x .选D. 2．(2019·山东济宁期末)抛物线y ＝4x 2 的准线方程是( A ) A ．y ＝－1 16 B ．y ＝1 16 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 [解析] 抛物线标准方程为x 2 ＝14y ，∴p ＝18，∴准线方程为y ＝－p 2，即y ＝－116，故选 A. 3．(2020·吉林长春模拟)已知F 是抛物线y 2 ＝4x 的焦点，则过F 作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A ，B (A 在x 轴上方)两点，则|AF | |BF | 的值为( C ) A ． 3 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 由题意知F (1,0)，AB ：y ＝3(x －1)， 由⎩⎨ ⎧ y ＝3x －1y 2＝4x ，得3x 2 －10x ＋3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝1 3， ∴ |AF ||BF |＝3＋1 1 3 ＋1＝3，故选C. 4．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2 ＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C ) A ．627 B ．1827
[基础题组练] 1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－4 3 B ．－1 C ．－34 D ．－12 解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2 ＝－3 4. 2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( ) A ．y 2＝23 3x B ．y 2＝3x C ．y 2＝23x D ．y 2＝ 33 x 解析：选A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故 34 AB 2 ＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33 ，故所求抛物线的方程为y 2＝ 23 3 x .故选A. 3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 解析：选B.抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 4．(2019·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( ) A.13 B.33 C.32 D ．1 解析：选B.设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.
2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛 物线课时作业理 1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2 ＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－12 2．(2020年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点， 若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 3．(2021年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2 ＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32 D.5 2 4．已知M 是y ＝x 2 4 上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2 ＝1上，则 |MA |＋|MF |的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．10 5．(2021年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ， PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.3 2 D ．2 6．(2020年浙江)如图X771，设抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，不通过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) 图X771 A. |BF |－1|AF |－1 B.|BF |2 －1 |AF |2 －1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2 ＋1|AF |2 ＋1 7．(2021年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3 8．(2021年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2 ＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )
1．(2019·江苏七校联考)抛物线1 4x 2＝y 的焦点坐标是________． 解析：由1 4x 2＝y ⇒x 2＝4y ，于是焦点坐标为(0，1)． 答案：(0，1) 2．(2019·连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 解析：设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . 答案：x 2＝－8y 3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2 4＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________． 解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x 4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝5 4 x 0，则x 0＝________． 解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为AF ＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝5 4x 0，解得x 0 ＝1. 答案：1 5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米． 解析：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p ＝1，则抛物线的方程为x 2＝－2y ，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米． 答案：2 6 6．(2019·江苏省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为________． 解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p 2 ，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. 答案：12或4
第31练 抛物线 ------------------------------- 练素养------------------------------- 1．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降1m ，则水面宽度为（ ） A ． m B ． m C ．m D ．12 m 【答案】B 【解析】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系， 设抛物线方程()2 20x py p =->， 由题意知，抛物线经过点()4,2A --和点()4,2B ， 代入抛物线方程解得，4p =， 所以抛物线方程2 8x y ， 水面下降1米，即3y =-，解得1x =2x =- 所以此时水面宽度12d x ==. 故选：B 2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y2=2px 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线AB ，垂足为B ， 射线AF 交准线l 于点C ，若Rt ABC 的“勾”3AB =、“股”CB =，则抛物线方程为（ ）．
A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x = D ．26y x = 【答案】B 【解析】由题意可知，抛物线的图形如图：AB 3=，BC = 可得AC 6==， 所以CAB 60∠=︒，ABF 是正三角形，并且F 是AC 的中点，所以AB 3=，则3P 2 =， 所以抛物线方程为：2 y 3x =．故选B ． ------------------------------- 练基础------------------------------- 1．（2020·河南高三其他（文））顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（ ） A ．28x y = B ．24x y = C ．28y x = D ．24y x = 【答案】A 【解析】设抛物线方程为2 2x py =， 由题意可知，22 p - =-，得4p =， 所以所求抛物线的方程为2 8x y =． 故选：A . 2．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））已知抛物线2 2x py =上一点(,1)A m 到 其焦点的距离为p ，则p =（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 【答案】A
第7节 抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 焦点 ，直线l 叫做抛物线的 准线 . 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据) (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝ p 2 4 . (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ (θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫ p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ [小题查验] 1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0) 解析：D [因为抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)．故选D.] 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 解析：B [由－p 2 ＝－2，∴p ＝4，则方程为y 2＝8x .] 3．(2019·吴忠模拟)抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．1 C.14 D.18
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质 【考试要求】 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
第7讲抛物线 [考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难. 1．抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线． 抛物线的□ 2．抛物线的标准方程与几何性质
3．必记结论 (1)抛物线y 2 ＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为 抛物线的焦半径． (2)y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. (3)直线AB 过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．
①y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 . ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③ 1 |AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 1．概念辨析 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2 (a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 4，0， 准线方程是x ＝－a 4 .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2 ＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身 (1)若抛物线y ＝4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案 B 解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1 16，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516 . (2)已知抛物线C 与双曲线x 2 －y 2 ＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2 ＝±22x B ．y 2 ＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2 ＝±42x 答案 D 解析 ∵双曲线x 2 －y 2 ＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．
第七讲 抛物线 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫ p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2__ __x ＝p 2__ __y ＝－p 2__ __y ＝p 2__ 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p 2 __ |PF |＝__－x 0＋ p 2 __ |PF |＝__y 0＋p 2__ |PF |＝__－y 0＋ p 2 __ 重要结论 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．
(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝ p 24 ． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p ． (4)弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线． 双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a 4 ．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的过焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p 2 4 ,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2 ＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ ) 题组二 走进教材 2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．
第七节 抛物线 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (１）在平面内; （２）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； （3)定点不在定直线上. ２.抛物线的标准方程和几何性质 [ 1．抛物线２x ２ ＋y ＝０的准线方程为_______＿. 解析：∵抛物线的标准方程为x 2 =－错误!y ，∴２p =错误!未定义书签。, ∴ p 2 =错误!，故准线方程为ｙ=错误!． ﻬ答案:y =错误!未定义书签。 ２.若抛物线y ＝4ｘ2 上的一点M 到焦点的距离为１，则点M 的纵坐标是＿__＿____． 解析:M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，
又准线方程为y=-错误!, 设M(x，y)，则y＋错误!未定义书签。＝1,所以y=错误!未定义书签。。 答案:错误!未定义书签。 3.若抛物线y２＝２px上一点P(2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为＿_＿_＿_＿_． 解析：由题意知，抛物线的准线为x=－p ２ .因为点P（2，y0)到其准线的距离为4,所以错误!= ４，所以p=４。所以抛物线的标准方程为y2=8ｘ。 答案：ｙ2＝８ｘ １．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数p易忽视,只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义． ［小题纠偏］ 1．平面内到点(１,1)与到直线x+２y-3=０的距离相等的点的轨迹是＿＿＿__＿__． 答案:一条直线 ２．抛物线8ｘ2+y＝0的焦点坐标为__＿_＿___． 解析：由８x2＋y=0，得x2＝-＼ｆ(１，8）ｙ. 所以２p＝错误!,ｐ=错误!未定义书签。,所以焦点为错误!未定义书签。。 答案：错误! 错误!未定义书签。错误! [典例引领］ 1．(20１９·徐州调研）在平面直角坐标系xＯy中,抛物线y2=１6ｘ上横坐标为1的点到其焦点的距离为____＿__＿．
第七节双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. (1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) y2 a2 － x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标： A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞) a，b，c c2＝a2＋b2
1．双曲线x 23－y 2 2 ＝1的焦距为________． 解析：由双曲线x 23－y 2 2＝1，易知c 2 ＝3＋2＝5，所以c ＝5， 所以双曲线x 23－y 2 2＝1的焦距为2 5. 答案：25 2．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 2 3＝1的焦点为顶点，顶点为焦 点的双曲线方程为________． 解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由椭圆x 24＋y 2 3 ＝1， 得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)． 所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2 ＝c 2 －a 2 ＝3， 所以双曲线标准方程为x 2 －y 2 3 ＝1.
抛物线及其标准方程 一、基本说明 1. 教学内容所属模块：选修1-1 2. 年级：高二（文科） 3. 所用教材出版单位：人民教育出版社 4. 所属的章节：第二章《圆锥曲线与方程》第3节 5. 学时数：45分钟 二、教学设计 1、教学目标： (1)．理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。能解决简单的求抛物线标准方程问题。 (2). 熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。 (3)．营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。 2、内容分析： 《抛物线及其标准方程》是普通高中课程实验教科书（选修1-1）第二章《圆锥曲线与方程》第3节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数2 y ax bx c =++提供直观的图象感觉；本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上，通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律以及化简的常用办法。这样，在求抛物线方程的时候，学生就可以独立地或在教师的指导下比较顺利地完成。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率1 e=的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。 3、学情分析：
《抛物线焦点弦问题探究》教学设计 教学目标： （1）掌握抛物线焦点弦的有关性质及其获得过程； （2）在进一步培养直观想象、逻辑推理等核心素养的过程中，提高学生研究性学习能力； （3）渗透数学文化，让学生感悟数学的科学价值、文化价值和审美价值，培育学生的科学精神。 教学重点：抛物线焦点弦有关性质的探究。 教学难点：梳理探究问题的方法，培养解决问题的能力素养。 教学方法：问题探究式。以引导学生发现问题、研究问题、解决问题，应用成果为主线，充分体现学生的课堂主体地位。 教学过程： 1. 致敬先贤，创设心境 【素材导入】借助PPT 展现古希腊伟大数学家阿波罗尼奥斯肖像、生平及著作，以及国外英文原版教材《微积分与解析几何》（第2版/（美）Simmons,G.F.著）中的相关论述文本，通过回望学科发展初心，为学生创设本节课的探究心境。 【师生活动】学生阅读PPT 材料，并请英文优秀的学生朗读并翻译英文内容。教师引导学生体会先贤研究相关问题时的初心与精神，培养激发学生的科学精神。 【设计意图】从历史文化的角度，以中外兼容的国际视野，还原本节课所探讨内容的前世今生，促使学生重温学科研究初心，创设本节课的探究心境，熏陶学生去除过度功利主义，涵养纯粹的科学精神。 2. 问题聚焦：探究与抛物线焦点弦有关的问题 【问题引领】由大到小，由抽象到具体地逐次提出两个问题： （1） 过焦点的弦AB 在转动的过程中，有哪些不变性质或变化规律？ （2） 如何刻画抛物线的焦点弦长？ 【师生活动】教师逐次适时地抛出问题，并为讨论的统一与方便起见，约定本节课以研究焦点在x 轴正半轴上的抛物线为主体研究对象；学生静静地独立思考后，再同学间交流讨论。 【设计意图】通过发问与思考，使学生既看到本节课所研究课题的全局，又能够从课题涉及的某一具体关键问题着手开启研究之旅。大处着眼，小处着手，探究开始！ 3. 问题探究一：如何刻画抛物线的焦点弦长？——几何视角（一） 【师生活动】教师组织引领下，学生在上一环节思考交流基础上向大家表达自己的思考成果，得到以焦半径在抛物线上的点的横坐标为参变量的公式成果：1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，12||2 p AB x x =++. 在此基础上引导学生解决下面的例题： 例1. 设00(,)M x y 为抛物线28C x y =：上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，||FM