第七节抛物线
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；
(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶
其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质
若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点
[熟记常用结论]
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p2
4，y1y2＝－p
2；
(2)|AF|＝
p
1－cos α
，|BF|＝
p
1＋cos α
，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)1
|FA|＋
1
|FB|＝
2
p；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )
(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫
a 4，0，准线方程是x ＝－a
4
.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题
1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭
⎫0，18 D.⎝⎛⎭
⎫0，1
2 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝1
2
y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8y
D ．x 2＝－8y
解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y .
3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8x
D ．y 2＝4x
解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .
4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ，
当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y
5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．
解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116
， 设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516
. 答案：15
16
考点一 抛物线的定义及应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．
[解析] (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2，
∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝1
2
×1×2＝1.
(2)如图，过点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P
1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.
则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4. [答案] (1)B (2)4 [变式发散]
1．(变条件)若将本例(2)中“B (3,2)”改为B (3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 解析：由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．
∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝25， 即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.
答案：2 5
2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于
是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P
到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题
意的点，此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.
答案： 5
[解题技法]
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
[提醒]注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p
2或|PF|＝|y|＋p 2.
[过关训练]
1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．
解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N 三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
答案：(2,2)
2．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝1
2x
2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与
抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|＝________.
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的
定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝2|NH|，则∠NMH
＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1.
所以|MF|＝ 2.
答案： 2
考点二抛物线的标准方程与几何性质[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()
A．(－1,0)B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的
圆过点A (0,2)，则C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2＝16x
[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p
2＝－1，解得p
＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
(2)由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0设点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 2
2p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→
＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，
因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫
8p ，4. 由|MF |＝5，得 ⎝⎛⎭
⎫8p －p 22＋16＝5.又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.故C 的方程为y 2＝4x
或y 2＝16x .
[答案] (1)B (2)C
[解题技法]
1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
[过关训练]
1．(2019·武汉调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( )
A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x
解析：选B 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝6，|AC |＝6＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以6＋3a ＝12，从而得a ＝2，|FC |＝3a ＝6，所以p ＝|FG |＝1
2
|FC |＝3，因此抛物线方程为y 2＝6x .
2．(2018·合肥模拟)已知抛物线x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，若△FPM 为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM 为等边三角形，则|PM |＝|PF |，由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线，设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 2
2p ，则点M ⎝⎛⎭⎫m ，－p 2.因为焦点F ⎝⎛⎭
⎫0，p
2，△FPM 是等边三角形，所以⎩⎨⎧
m 22p ＋p
2
＝4，
⎝⎛⎭
⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .
答案：x 2＝4y
考点三 直线与抛物线的位置关系[师生共研过关]
[典例精析]
设A ，B 为曲线C ：y ＝x 2
2上两点，A 与B 的横坐标之和为2.
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．
[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1≠x 2，y 1＝x 21
2，y 2＝x 2
22
，x 1＋x 2＝2，
故直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2x 1－x 2
＝x 1＋x 2
2＝1.
(2)由y ＝x 2
2
，得y ′＝x .
设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝⎛⎭⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，
故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 2
2，得x 2－2x －2m ＝0.
由Δ＝4＋8m ＞0，得m ＞－1
2，x 1,2＝1±1＋2m .
从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝22(1＋2m ). 由题设知|AB |＝2|MN |，
即2(1＋2m )＝⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7
2
.
[解题技法]
1．直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1，y 22＝4x 2
，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2
.
设AB 中点为M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，
则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝1
2(|AA ′|＋|BB ′|)．
∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，
∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：2
2．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．
解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8， ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .
(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴
的交点为M .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，
得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，
∴x 1x 2＝y 21y 2
2
64
＝m 2.
由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．
故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝1
2·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．(2019·张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|P Q |＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|P Q |＝|PF |＋|Q F |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x
B.x 2＝－8y
C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y
D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y
解析：选D (待定系数法)设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y .
3．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－12x B.y 2＝－8x C ．y 2＝－6x
D ．y 2＝－4x
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 2
2＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的
方程为y 2＝－8x .故选B.
4．(2019·昆明调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C
交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN |＝|AB |，则l 的斜率为( )
A.1
3 B.33
C.32
D ．1
解析：选B 设抛物线的准线为m ，分别过点A ，N ，B 作AA ′⊥m ，NN ′⊥m ，BB ′⊥m ，垂足分别为A ′，N ′，B ′.
因为直线l 过抛物线的焦点， 所以|BB ′|＝|BF |，|AA ′|＝|AF |. 又N 是线段AB 的中点，|MN |＝|AB |，
所以|NN ′|＝12(|BB ′|＋|AA ′|)＝12(|BF |＋|AF |)＝12|AB |＝1
2|MN |，所以∠MNN ′＝60°，
则直线MN 的倾斜角是120°.
又MN ⊥l ，所以直线l 的倾斜角是30°，斜率是
3
3
.故选B. 5．(2018·合肥模拟)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )
A.13
B.23
C.23
D.223
解析：选D 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ，易知l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)恒过定点P (－2,0)，
如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，连接OB ， 由|FA |＝2|FB |， 知|AM |＝2|BN |，
∴点B 为线段AP 的中点， 则|OB |＝1
2
|AF |，
∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1， ∵k ＞0，
∴点B 的坐标为(1,22)， ∴k ＝22－01－(－2)
＝223.故选D.
6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．
解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°.
直线OA 的方程y ＝
33
x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．
∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为1
2×43×6＝12 3.
答案：12 3
7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作一条直线交抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.
解析：由题意可知F (1,0)，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，点A 在第一象限， 则|AF |＝x A ＋1＝3，所以x A ＝2，y A ＝22， 所以直线AB 的斜率为k ＝
22
2－1
＝2 2. 则直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，
与抛物线方程联立整理得2x 2－5x ＋2＝0，x A ＋x B ＝5
2，
所以x B ＝12，所以|BF |＝12＋1＝3
2.
答案：3
2
8．(2019·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＞|BF |，且|AF |＝2，则p ＝________.
解析：过点A ，B 向抛物线的准线x ＝－p
2作垂线，垂足分别为C ，D ，过点B 向AC 作
垂线，垂足为E ，∵A ，B 两点在抛物线上，∴|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |.
∵BE ⊥AC ，∴|AE |＝|AF |－|BF |， ∵直线AB 的倾斜角为60°，
∴在Rt △ABE 中，2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |， 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |，∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2，∴|BF |＝23，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝8
3.
设直线AB 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p
2，代入y 2＝2px ， 得3x 2
－5px ＋3p 2
4
＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∴x 1＋x 2＝53p ，∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8
3，∴p ＝1.
答案：1
9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→
，求λ的值． 解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，
消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4
＋p ＝9，
所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．
设C (x 3，y 3)，则OC ―→
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．
又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值为0或2.
10．设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． (1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .
解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2,2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－1
2x －1.
(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线， 所以∠ABM ＝∠ABN .
当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，
y 2＝2x 得ky 2－2y －4k ＝0，
可知y 1＋y 2＝2
k
，y 1y 2＝－4.
直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝
y 1x 1＋2＋y 2
x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)
.① 将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2
k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1
＋y 1)＝
2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k ＝－8＋8
k
＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所
以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．(2019·大同模拟)点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A ．y ＝12x 2 B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2
D ．y ＝112x 2或y ＝－1
36
x 2
解析：选D 抛物线标准方程为x 2＝1
a y (a ≠0)，当a ＞0时，开口向上，准线方程为y
＝－14a ，则点M 到准线的距离为3＋14a ＝6，解得a ＝112，则抛物线方程为y ＝1
12
x 2；
当a ＜0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a ，则点M 到准线的距离为－1
4a
－3＝6，解得a ＝－136，则抛物线方程为y ＝－136
x 2.
2．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．
解析：如图，设C (x 0，x 20)(x 20≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，
则CA ―→
＝(－a －x 0，a －x 20)， CB ―→＝(a －x 0，a －x 20)． ∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，
即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0， 整理得(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0. ∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1.
答案：[1，＋∞)
3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→的最大值为________．
解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→
|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→
|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 代入x 2＝4y ，可得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝4k 2＋2，y A y B ＝1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭
⎫4k 2＋4. 所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→
＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当k ＝±1时等号成立． 故FA ·FB ＋FC ·FD 的最大值为－16. 答案：－16
4．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2
与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD ―→·EB ―→
的最小值．
解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2－|x |＝1，化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.
所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，
y 2＝4x ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4
k 2，x 1x 2
＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1
k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，
则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 所以AD ―→·EB ―→＝(AF ―→＋FD ―→)·(EF ―→＋FB ―→) ＝AF ―→·EF ―→＋AF ―→·FB ―→＋FD ―→·EF ―→＋FD ―→·FB ―→
＝|AF ―→|·|FB ―→|＋|FD ―→|·|EF ―→| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4
k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝
⎛⎭⎫k 2＋1
k 2≥8＋4×2k 2·1
k
2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD ―→·EB ―→
取最小值16.
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与向量的交汇]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为2
3的直线与
C 交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→
＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝2
3(x ＋2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝4. 不妨设M (1,2)，N (4,4)． 又∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→
＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→＝0×3＋2×4＝8.
6．[与解三角形交汇]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上两动点，若|AB |＝
3
2( x 1
＋x 2＋2)，则∠AFB 的最大值为( ) A.2π
3 B.5π6 C.3π4
D.π3
解析：选A 因为|AB |＝3
2(x 1
＋x 2＋2)，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |＝23
3
|AB |.
在△AFB 中，由余弦定理得 cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |2
2|AF ||BF |
＝
(|AF |＋|BF |)2－2|AF ||BF |－|AB |
2
2|AF ||BF |
＝43|AB |2－|AB |22|AF ||BF |－1＝13|AB |22|AF ||BF |
－1.
又|AF |＋|BF |＝233|AB |≥2|AF ||BF |⇒|AF |·|BF |≤1
3|AB |2.所以cos ∠AFB ≥1
3|AB |22×13|AB |2
－
1＝－12，所以∠AFB 的最大值为2π
3
.故选A.
7．[与双曲线交汇]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：
x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程是( )
A ．x 2＝16y B.x 2＝8y C ．x 2＝83
3
y
D ．x 2＝
163
3
y 解析：选A 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c
a ＝2，即a 2＋
b 2a 2
＝4，所以b 2
a
2＝3.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点
⎝⎛⎭⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为2，所以
⎪⎪⎪
⎪a ·p 2a 2＋b
2＝2，解得p ＝8，所以抛物线C 2的方程是x 2＝16y .
8．[与不等式交汇]已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，P ，Q 是C 上任意两点，点M (0，－1)满足MP ―→·M Q ―→
≥0，则p 的取值范围是________．
解析：过M 点作抛物线的两条切线， 设切线方程为y ＝kx －1，
切点坐标为A (x 0，y 0)，B (－x 0，y 0)， 由y ＝x 22p
，得y ′＝1
p x ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 20＝2py 0，
y 0
＝kx 0
－1，x 0
p ＝k ，
解得k ＝±
2
p
. ∵MP ―→·M Q ―→≥0恒成立，∴∠AMB ≤90°，即∠AMO ≤45°， ∴|k |≥tan 45°＝1，即
2
p ≥1，解得p ≤2，
由p ＞0，则0＜p ≤2， ∴p 的取值范围为(0,2]． 答案：(0,2]
9．[与圆交汇]已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .
(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；
(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①
(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2
p ，
∵点N 在以AB 为直径的圆上， ∴AN ⊥BN ，∴－2
p ＝－1，∴p ＝2. (2)易得直线AN ：y －y 1＝
x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2
p
(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧
y －y 1
＝x 1
p (x －x 1
)，
y －y 2
＝x 2
p
(x －x 2
)，结合①式，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．
|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p ，
点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2
，
则△ABN 的面积S △ABN ＝1
2·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，
∵△ABN 的面积的最小值为4，
∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .
抛物线复习 【高考会这样考】 1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合． 2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题． 3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等． 考点梳理 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－ 2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质顶点O(0,0) 对称轴y＝0 x＝0 焦点F ? ? ? ? ? p 2，0F? ? ? ? ? － p 2，0F? ? ? ? ? 0， p 2F? ? ? ? ? 0，－ p 2离心 率 e＝1 准线 方程 x＝－ p 2x＝ p 2y＝－ p 2y＝ p 2 范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下 【助学·微博】 一个重要转化 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”． 六个常见结论 直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1， y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图． ①y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 24. ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 考点自测 1．(陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )． A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x 2．(辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74 3．(四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )．
第七节 抛物线(二 ) 一、直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题.
2.涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可利用“点差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点的弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”计算量较少,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验. 1.理解辨析 直线与抛物线相交时,若直线过抛物线的焦点,则可考虑运用抛物线的定义进行求解. 直线与抛物线相切时,可借助直线方程与抛物线方程联立,得关于 x(或y)的一元二次方程,由判别式等于零进行解题. 2.相关结论 (1)抛物线y2=2px与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC. (2)抛物线上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (3)过抛物线外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y=p(x+x0). 二、抛物线中的定值、最值问题 1.抛物线中的定值问题 在解析几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒成立的. 2.抛物线中的最值问题
解决抛物线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来解,非常巧妙;二是代数法,将抛物线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等求解最大或最小值 . 1.理解辨析 定值、最值问题的实质就是求值,依据题目条件列出等量关系式进行求值,是解题的基本思路. 2.相关结论 在求解抛物线或圆锥曲线问题时,常借助向量这一工具进行解题.应熟悉以下结论: 设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),且b ≠0,则 a ∥b ?b=λa ?x 1y 2-x 2y 1=0, a ⊥b ?a ·b=0?x 1x 2+y 1y 2 =0. 1. 表示( C ) (A)两条射线 (B)双曲线 (C)两条线段 (D)抛物线 解析: 所以10,10,11,x y x y ?-≥? -≥??-=-?所以1,1,,x y y x ?≤?≤??=? 所以y=|x|(-1≤x ≤1),即表示两条线段.
考点29 抛物线及其性质 1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 . 2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的实际问题 . 3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 1、求抛物线的标准方程以及其性质 2、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合 掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，掌握利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 1、【2020年北京卷】.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP . 2、【2020年全国1卷】.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的
距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 3、【2020年全国3卷】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：2 2(0) y px p =>交于D ，E 两点，若 OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A. 1,04?? ??? B. 1,02?? ??? C. (1,0) D. (2,0) 4、【2020年山东卷】.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p p + =的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 6、【2019年高考天津卷理数】已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 A B C ．2 D 7、【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8、【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2， 直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 9、【2017年高考全国II 理数】已知F 是抛物线:C 2 8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴
高考数学复习 抛物线的方程与性质 编稿：张希勇 责编：李霞 【学习目标】 1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程. 2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为( ,0)2p ，准线l 的方程为2 p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合 }|||{d MF M P ==. .|2 |)2(|,2 |,)2(||2222p x y p x p x d y p x MF +=+- ∴+=+-= 将上式两边平方并化简，得2 2(0)y px p =>. ① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2 p 它的准线方程是2 p x =- . 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。 要点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线2 20x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）
第七节抛物线 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶ 其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点
[熟记常用结论] 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2 4，y1y2＝－p 2； (2)|AF|＝ p 1－cos α ，|BF|＝ p 1＋cos α ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α(α为弦AB的倾斜角)； (3)1 |FA|＋ 1 |FB|＝ 2 p； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
[小题查验基础] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫ a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题 1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭ ⎫0，18 D.⎝⎛⎭ ⎫0，1 2 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝1 2 y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B.y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 解析：选C 点P 到F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与它到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y . 3．抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝－8x B.y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x 解析：选C 由抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x . 4．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为____________________． 解析：当焦点在x 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的y ＝0，得焦点为(－1,0)， 故抛物线方程为y 2＝－4x ， 当焦点在y 轴上时，令方程2x ＋y ＋2＝0中的x ＝0，得焦点为(0，－2)， 故抛物线方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y 5．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．
第五节 抛物线 [考纲要求] 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合思想． 突破点一 抛物线的定义及其应用 [基本知识] 抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)AB 为抛物线y 2＝4x 的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋2.( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题 1．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________． 答案：y 2＝8x 2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5 4x 0，则x 0＝________. 答案：1 3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案：54 [全析考法] 考法一 抛物线的定义及应用 [例1] (1)(2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0) B.???? 12，1
8.7抛物线 一、学习目标 1.理解抛物线的定义； 2.掌握抛物线的标准方程及简单几何性质. 二、知识要点 1.抛物线定义：平面内，与一个定点F 和一条定直线l （l F ∉）距离相等的点的轨迹； 2.标准方程与几何性质： 标准方程 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 图 形 焦点 )0,2(p F )0,2(p F - )2,0(p F )2,0(p F - 准线方程 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = p 的几何意义 焦点到准线的距离 离心率 1=e 3.抛物线的焦点弦AB 的性质： 以)0(22 >=p px y 为例 （1） 4 221p x x =，2 21p y y -=； （2）p x x AB ++=21； （3）θ 2sin 2p AB = （θ 为直线的倾斜角）； （4）p BF AF 211=+； （5）以AB 为直径的圆与准线相切； （6）以BF AF ,为直径的圆均与y 轴相切； （7）BMF AMF ∠=∠； （8）.90''︒=∠FB A 三、课前热身 1.抛物线2 8 1x y = 的焦点坐标是________，准线方程为__________. 【答案】)2,0(，2-=y .
2. 若抛物线2 4y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 【答案】9 3.平面上与定点)2,0(F 和定直线2-=y 的距离相等的点的轨迹方程是_________. 【答案】y x 82 = 4.斜率为1的直线过抛物线x y 42 =的焦点且与抛物线交于B A ,两点，则=AB ______. 【答案】8 二、典例分析 例1.（1）已知抛物线x y 22 =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又)2,3(A ，则PF PA +的最小值为________，此时的P 点的坐标为________. （2）如图，设抛物线2 4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点C B A ,,， 其中点B A ,在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） A ．||1||1 BF AF -- B ．22||1||1 BF AF -- C ．||1||1BF AF ++ D ．22||1||1 BF AF ++ 【答案】（1） 2 7 ，)2,2(P ； （2）A. 例2.（1）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过)4,2(--P 的抛物线方程为________． （2）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米． 【答案】（1）x y 82-=或y x -=2； （2）62. 例3.（1）已知F 是抛物线x y =2 的焦点，B A ,是抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为_______.
<备战2023年高考数学一轮复习讲义> 专题38 抛物线 1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 2 2(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为 2 ， 则 p = （ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 【答案】B 【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则其到直线x -y+1=0的距离为12 22 p d +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B 2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（ 1 4 ，0） B ．（ 1 2 ，0） C ．（1，0） D ．（2，0） 【答案】B 【解析】因为直线 2x = 与抛物线 2 2(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOx COx π ∠=∠= ，所以 (2,2)C ， 代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1 (,0)2 ， 故答案为：B. 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)
图形 范围 x ≥0，y ⅡR x ≤0，y ⅡR y ≥0，x ⅡR y ≤0，x ⅡR 焦点 ⎝⎛⎭ ⎫p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e ＝1 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2； (2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α ，弦长|AB |＝x 1＋x 2 ＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)1|F A |＋1|FB |＝2p ； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p . 考点一 抛物线的定义和标准方程 1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22 【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，
第7讲抛物线 [考纲解读] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2.能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度．试题中等偏难. 1．抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做01焦点，直线l叫做抛物线的□02准线． 抛物线的□ 2．抛物线的标准方程与几何性质
3．必记结论 (1)抛物线y 2 ＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为 抛物线的焦半径． (2)y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4. (3)直线AB 过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．
①y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 . ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③ 1 |AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 1．概念辨析 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)方程y ＝ax 2 (a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 4，0， 准线方程是x ＝－a 4 .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2 ＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身 (1)若抛物线y ＝4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78 D ．0 答案 B 解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1 16，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516 . (2)已知抛物线C 与双曲线x 2 －y 2 ＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2 ＝±22x B ．y 2 ＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2 ＝±42x 答案 D 解析 ∵双曲线x 2 －y 2 ＝1的焦点坐标为(±2，0)， ∴抛物线C 的焦点坐标为(±2，0)．
第七讲 抛物线 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫ p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2__ __x ＝p 2__ __y ＝－p 2__ __y ＝p 2__ 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p 2 __ |PF |＝__－x 0＋ p 2 __ |PF |＝__y 0＋p 2__ |PF |＝__－y 0＋ p 2 __ 重要结论 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．
(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝ p 24 ． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p ． (4)弦长AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)． (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线． 双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a 4 ．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p ＞0)的过焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p 2 4 ,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2 ＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ ) 题组二 走进教材 2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．
第1讲 抛物线的定义及其应用 一、问题综述 本讲梳理抛物线的定义及其应用．抛物线的考题中，对抛物线定义的考查一直都是热点．对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题过程． （一）抛物线的定义 平面内到定点F 和定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F 不在l 上)．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 以开口向右的抛物线为例，设抛物线()2 :20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点 为抛物线C 上的动点．则有: 焦半径；过焦点的弦AB 长为 ． （二）抛物线定义的应用 与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化： （1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离； （2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 二、典例分析 类型一：利用定义求抛物线的标准方程 【例1】已知动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，且与直线2p x =-相切，其中0p >．求动圆圆心M 的 轨迹的方程． 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：即动点M 到定点F 与定直线2p x =-的距离相等，由抛 物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方 程为() 220y px p =>． 【方法小结】涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为抛物线上的点到准线的距离． ()00,M x y 02 p MF x =+A B AB x x p =+ +MF MN =
专题40 抛物线及其性质 【考点预测】 知识点一、抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 注：若在定义中有F l ∈，则动点的轨迹为l 的垂线，垂足为点F ． 知识点二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：22y px =，22y px =-，22x py =，22(0)x py p =->，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 【方法技巧与总结】 1、点00(,)P x y 与抛物线22(0)y px p =>的关系 （1）P 在抛物线内（含焦点）2 002y px ⇔<． （2）P 在抛物线上2 02y px ⇔=． （3）P 在抛物线外2 02y px ⇔>． 2、焦半径
抛物线上的点00(,)P x y 与焦点F 的距离称为焦半径，若22(0)y px p =>，则焦半径02 p PF x =+ ，min 2 p PF = ． 3、(0)p p >的几何意义 p 为焦点F 到准线l 的距离，即焦准距，p 越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有以下结论： （1）2 124p x x =． （2）212y y p =-． （3）焦点弦长公式1：12AB x x p =++，12x x p +≥，当12x x =时，焦点弦取最小值2p ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p ． 焦点弦长公式2：22sin p AB α = （α为直线AB 与对称轴的夹角）． （4）AOB ∆的面积公式：2 2sin AOB p S α ∆= （α为直线AB 与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB 为抛物线22(p 0)y px =>的任意一条弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦的中点为000(,)(0)M x y y ≠，则 （1）弦长公式：1212(0)AB AB x y k k =-=-=≠ （2）0 AB p k y = （3）直线AB 的方程为000 ()p y y x x y -= - （4）线段AB 的垂直平分线方程为0 00()y y y x x p -=- - 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（ 4 A 法） （1）2(0)y Ax A =≠焦点为(,0)4A ，准线为4 A x =- （2）2(0)x Ay A =≠焦点为(0,)4A ，准线为4A y =- 如24y x =，即24y x =，焦点为1(0,)16，准线方程为1 16 y =- 7、参数方程
备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第68讲 抛物线 考向预测 核心素养 抛物线的方程、几何性质及抛物线的综合问题是 高考热点，综合问题难度较大. 直观想象、数学抽象、数学 运算 一、知识梳理 1．抛物线的概念 (1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹． (2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) 图形 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线 方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0，0) 离心率 e ＝1
常用结论 1．与焦点弦有关的常用结论 如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4 . (2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2θ (θ为直线AB的倾斜角)． 通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长：2p. (3)焦半径：|AF|＝ p 1－cos α ，|BF|＝ p 1＋cos α ， 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝ 2 p . (4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切． 2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．二、教材衍化 1．(人A选择性必修第一册P 133练习T 3(2) 改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6 的点的坐标是________．答案：(3，±6) 2．(人A选择性必修第一册P 136练习T 4 改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交 该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 解析：设点A的横坐标是x1，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，则x1＝1.因为AF所在直线过点F，所以直线AF的方程是x＝1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2. 答案：2 一、思考辨析
第7节 抛物线 考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 . (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性质 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 y ＝p 2 范围 开口方向 向左 3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 2 4. (2)y 1·y 2＝－p 2. (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测 1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.
3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆 x 23p ＋y 2 p ＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.8 4.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74 5.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题 考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质 【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x (2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3 (3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1 (2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________. 考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题 【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________； (2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题 【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.
2014年二轮复习抛物线之焦点弦面积问题
内容 明细内容 要求层次 了解 理解 掌握 圆锥曲线 椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程 √ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 北京三年高考两年模拟统计 中点弦 垂直角度 弦长面积范围 定点定值 共线比例 其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计 7 8 15 14 5 5 抛物线之对称与比例 高考大纲 自检自查必考点
抛物线2 2y px =与过焦点直线()2 p y k x =- 联立 2()22p y k x y px ⎧ =-⎪ ⎨ ⎪=⎩ 消去x ，得2()22y p y k p =-，整理得到2022k kp y y p --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122 1210(*)2k p y y k y y p ⎧=+>⎪ ⎪ +=⎨⎪ ⎪=-⎩V 抛物线焦点弦性质总结 AB 过焦点，Q 为AB 的中点，1122(,),(,)A x y B x y 性质1：''AQ BQ ⊥⇔以AB 为直径的圆与准线相切于'Q 性质2：''A F B F ⊥ 性质3：'Q F AB ⊥ 性质4：'Q B 垂直平分'B F ，'Q A 垂直平分''A F AQ ⇔平分'A AF ∠，'BQ 平分'B BF ∠ 性质5：2 'Q F AF BF = 性质6：2 21212,4 p x x y y p ==- 性质7：2 'min Q AB S p =V 性质8：以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切 性质9：'AB 过原点O ，'A B 过原点O 性质10：过A 点作AO 并延长交准线于'B ，则'BB 平行于x 轴 自检自查必考点 B' Q' Q A' F O y x B A F' B' A' F O y B A
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 辽河油田第三高级中学杨闯 【本讲主要内容】 抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义 相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于 ，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有 ，，，，，， 。 说明： 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。【解题方法指导】 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。 解析：设所求抛物线的方程为或 设交点（y1>0） 则，∴，代入得 ∴点在上，在上 ∴或，∴ 故所求抛物线方程为或。 例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点 在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点。 解析：证法一：由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点的直线的方程为
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第五讲 抛物线 教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用． 3.理解数形结合的思想. 一、知识回顾 课前热身 知识点1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭ ⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0) |PF |＝x 0＋p 2 |PF |＝－x 0＋p 2 |PF |＝y 0＋p 2 |PF |＝－y 0＋p 2
例题辨析推陈出新 例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小． 显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 变式练习1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________． (2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________． 解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. (2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8. 答案：(1)x2＝12y(2)8 例2(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为() A．y2＝8x B．y2＝12x