第七节 抛物线
1．抛物线的标准方程
掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质
掌握抛物线的简单性质．
知识点一 抛物线定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．
(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．
易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这
一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
[自测练习]
1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )
A.17
16 B.1516 C.78
D ．0
解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝
－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516
. 答案：B
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
易误提醒抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．必记结论抛物线焦点弦的几个常用结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝p2
4
，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p
sin2α
(α为弦AB的倾斜角)．
(3)1
|FA|＋
1
|FB|
＝
2
p
.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
[自测练习]
2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是( )
A．y＝4x2B．y＝8x2
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px，
则由抛物线的定义知1＋p
2
＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D.
答案：D
3．(2016·成都质检)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.
答案：B
4．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 2
3＝1的右焦点重合，
则p 的值为________．
解析：双曲线x 26－y 2
3＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦
点，所以p
2
＝3，p ＝6.
答案：6
考点一 抛物线的标准方程及几何性质|
1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )
B ．(a,0)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫0，116a
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
116a ，0 解析：抛物线方程化标准方程为x 2
＝1
4a
y ，焦点在y 轴上，焦点
为⎝
⎛⎭⎪⎫0，116a .
答案：C
2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A ．y 2＝－x
B ．x 2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
答案：D
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：AB的中点到抛物线准线的距离为|AB|
2
＝5，所以AB的中
点到y轴的距离为5－1＝4.
答案：D
求抛物线方程的三个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
考点二抛物线的定义及应用|
抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距
离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：
1．到焦点与动点的距离之和最小问题．
2．到准线与动点的距离之和最小问题．
3．到两定直线距离之和最小问题．
4．到焦点与定点距离之和最小问题．
探究一到焦点与动点的距离之和最小问题
1．(2016·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.
答案：5
探究二到准线与动点的距离之和最小问题
2．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为( )
A.41 B．7
C．6 D．9
解析：由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，
圆心C的坐标为(－3，－4)．
由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，
即d＋|PC|＝－3－2＋－2＝41.
答案：A
探究三到两定直线距离之和最小问题
3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )
A.3716
B.115 C ．3
D ．2
解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点
P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和
的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋4
2＝2，故选D. 答案：D
探究四 到焦点与定点距离之和最小问题
4．(2016·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )
A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1 C ．(1，2)
D ．(2,2)
解析：本题考查抛物线的定义，过M 点作左准线的垂线(图略)，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．
答案：D
求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
考点三 直线与抛物线的位置关系|
(2016·保定模拟)已知：过抛物线x 2＝4y
的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .
(1)求证：AB →·CF →＝0； (2)求△ABC 的面积的最小值．
[解] (1)证明：设l AB ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴l AC ：y －14x 2A ＝1
2
x A (x －x A )，
l BC ：y －1
4x 2B ＝12
x B (x －x B )，∴x C ＝2k ，y C ＝－1.
①若k ≠0，则k CF ＝－1
k
，∴k AB ·k CF ＝－1，
∴AB →·CF →＝0.
②若k ＝0，显然AB →·CF →＝0(或∵CF →＝(－2k,2)，AB
→＝(x B －x A ，k (x B －x A ))，
∴AB →·CF →＝－2k (x B －x A )＋2k (x B －x A )＝0.
(2)由(1)知，点C 到AB 的距离d ＝|CF |＝21＋k 2. ∵|AB |＝|AF |＋|FB |＝y A ＋y B ＋2＝k (x A ＋x B )＋4＝4k 2＋4， ∴S ＝12|AB |d ＝4(k 2
＋1)32
，
∴当k ＝0时，△ABC 的面积取最小值，为4.
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
(2015·高考四川卷)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,4)
C ．(2,3)
D ．(2,4)
解析：当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0 2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨ ⎪⎧ x 1＋x 2＝2x 0， y 1＋y 2＝2y 0， 又 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2 1＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝ y 1－y 2 x 1－x 2 ＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 0 x 0－5.因为直线l 与圆相切，所以2y 0·y 0x 0－5 ＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0 答案：D 8.直线与圆锥曲线问题的答题模板 【典例】 (13分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2： y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (1)求C 2的方程； (2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率． [解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c ，又由两曲线的公共弦长为26得出a ，b 的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k 的方程． [规范解答] (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为 F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1，①(2分) 又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，由C 1 的方程为x 2＝4y ，(4分) 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ ±6，32， 所以94a 2＋6 b 2＝1，②(5分) 联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 2 8 ＝1.(6分) (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4 －x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③(8分) 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.(9分) 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2 ＝4y 得x 2－4kx －4＝0， 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④ 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2 8＋y 2 9 ＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这 个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64 9＋8k 2 ，⑤(10分) 将④⑤代入③，得16(k 2 ＋1)＝ 162k 2＋8k 22＋4×64 9＋8k 2 ， 即16(k 2＋1)＝ 16 2k 2＋ ＋8k 22 ，(12分) 所以(9＋8k 2 )2 ＝16×9，解得k ＝±6 4 ，即直线l 的斜率为 ±6 4 .(13分) [模板形成] 特定系数法求曲线方程 ↓ 联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程 ↓ 错误! ↓ 错误! ↓ 反思回顾，查看有无忽略特殊情况. [跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点 C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝ 12. (1)求抛物线的方程； (2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 22 4p 2 ＝4. 因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)将(*)化为y 2－4my ＋8＝0.则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝ ＋m 2 m 2－，② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3. 所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. A 组 考点能力演练 1．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 解析：因为抛物线的标准方程为x 2 ＝1 a y ，所以其焦点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝1 4，故选D. 答案：D 2．(2016·襄阳调研)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：∵△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p 4 ＝3，∴p ＝4. 答案：B 3．(2016·新余模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PMF 的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D.15 解析：根据题意得点P 的坐标为(4，±4)，所以S △PMF ＝1 2|y p |·|PM | ＝1 2 ×4×5＝10，故选B. 答案：B 4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点 N ，则|NF |∶|FM |＝( ) A ．1∶ 2 B ．1∶ 3 C ．1∶2 D ．1∶3 解析：由题意得，直线l ：y ＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －p 2，联立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ， y ＝2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －p 2， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪ ⎫p 4 ，－22p ，∴|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，∴|MF | ＝p ＋p 2＝3 2 p ，∴|NF |∶|FM |＝1∶2，故选C. 答案：C 5．(2015·铜川一模)已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为3 2 ，则|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤4，当直线 AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4. 答案：D 6．抛物线y 2＝x 的焦点到准线的距离为________． 解析：由抛物线y 2 ＝x ，得2p ＝1，∴p ＝1 2 ，抛物线y 2＝x 的焦点 到准线的距离为p ＝1 2 . 答案：12 7．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________． 解析：圆的圆心坐标为(1，－2)．设抛物线方程为y 2＝ax ，将圆心坐标代入得a ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x . 答案：y 2＝2x 8．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x 9.已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R . (1)若以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线l ′与抛物线C ：x 2＝1 m y 相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程． 解：(1)依题意得点P 的坐标为(－m,0)． ∵以点M (2，－1)为圆心的圆与直线l 相切于点P ， ∴MP ⊥l .∴k MP ·k l ＝0－－ －m －2·1＝－1，解得m ＝－1. ∴点P 的坐标为(1,0)． 设所求圆的半径为r ，则r 2＝|PM |2＝1＋1＝2， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. (2)将直线l 的方程y ＝x ＋m 中的y 换成－y ，可得直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨ ⎪⎧ x 2 ＝1m y ， y ＝－x －m ， 得mx 2＋x ＋m ＝0(m ≠0)，Δ＝1 －4m 2， ∵直线l ′与抛物线C ：x 2 ＝1 m y 相切， ∴Δ＝0，解得m ＝±1 2 . 当m ＝12时，直线l 的方程为y ＝x ＋12，抛物线C 的方程为x 2＝2y ； 当m ＝－12时，直线l 的方程为y ＝x －1 2，抛物线C 的方程为x 2 ＝－2y . 10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q . (1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值； (2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON →＝2，求抛物线C 的方程． 解：(1)设直线l 1的方程为：x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋2， y 2 ＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ， y 1·y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2 x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝ 2my 1y 2＋ y 1＋y 2 my 1＋ my 2＋ ＝ －8mp ＋8mp my 1＋my 2＋ ＝0. (2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0 x 1－x 0 (x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0 y 1＋y 0 ， 同理y N ＝－4p ＋y 2y 0 y 2＋y 0 . 因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2，－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0 y 1＋y 0 ＝－ 2. 16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 2 0y 1y 2 y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20 ＝－2， 16p 2－8p 2my 0－4py 20 －4p ＋2pmy 0＋y 20 ＝－2， p ＝1 2 ，抛物线C 的方程为y 2＝x . B 组 高考题型专练 1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1 2，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准 线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解析：因为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方 程为x ＝－2①，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，所以椭圆E 的 半焦距c ＝2，又椭圆E 的离心率为1 2，所以a ＝4，b ＝23，椭圆E 的方程为 x 216＋y 2 12 ＝1②，联立①②，解得A (－2,3)，B (－2，－3)，或A (－2，－3)，B (－2,3)，所以|AB |＝6，选B. 答案：B 2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 解析：因为抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1， ∴p 2＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B. 答案：B 3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经 过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ， B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的 面积之比是( ) A.|BF |－1 |AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2 ⊥y 轴于点B 2，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1|AF |－1 . 答案：A 4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2 4与 直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点． (1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ， a )，N (2a ，a )． 又y ′＝x 2，故y ＝x 2 4 在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ， a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0. y ＝x 2 4 在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切 线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2 ＝2kx 1x 2＋ a － b x 1＋x 2 x 1x 2 ＝k a ＋b a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 2021年高考数学一轮总复习 8.7抛物线练习 一、选择题 1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2 －y 2 3＝1的渐近线的距离是( ) A.12 B. 32 C ．1 D.3 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 双曲线x 2－y 2 3 ＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0. ∴所求距离为 |3±0|3 2 ＋±1 2＝3 2 .选B. 答案 B 2．(xx·辽宁卷)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2 ＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－4 3 B ．－1 C ．－34 D ．－12 解析 由已知，得准线方程为x ＝－2， ∴F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)， ∴直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－3 4.故选C. 答案 C 3．已知圆x 2 ＋y 2 －6x －7＝0与抛物线y 2 ＝2px (p >0)的准线相切，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.1 2 D ．4 解析 圆的标准方程为(x －3)2 ＋y 2 ＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为 3－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－p 2＝4，解得p ＝2. 答案 B 4．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2 ＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5 4 x 0，则x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由抛物线方程y 2 ＝x 知，2p ＝1，p 2＝14，即其准线方程为x ＝－14.因为点A 在抛 物线上，由抛物线的定义知|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14，于是54x 0＝x 0＋1 4 ，解得x 0＝1. 答案 A 5．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ → ，则|QF |＝( ) A.7 2 B ． 3 C.52 D ．2 解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4. 过Q 作QH ⊥l 于H ， 则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34， ∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3. 答案 B 6．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 第7讲 抛物线 组 基础关 1．(2019·厦门一模)若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．±2 D ．±4 答案 C 解析 抛物线x 2＝ay 的焦点坐标为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，a 4，准线方程为y ＝－a 4.而抛物线x 2＝ ay 的焦点到准线的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ a 4＋a 4＝1，解得a ＝±2. 2．(2019·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y 2＝4x 与x 2＝2py (p >0)的焦点间的距离为2，则p 的值为( ) A ．4 B ．12 C ．2 3 D ．6 答案 C 解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，p 2.由题意可知 1＋p 2 4＝2，且 p >0，解得p ＝2 3. 3．(2020·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则此动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 答案 B 解析 由抛物线y 2＝8x ，得准线方程为x ＝－p 2＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)． 4．(2019·哈尔滨三模)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条倾斜角为π 6的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．16 答案 D 解析 抛物线的焦点坐标为F (1,0)，p ＝2，过焦点的直线的斜率k ＝tan π6＝3 3，则直线方程为y ＝33(x －1)，代入y 2＝4x 得1 3(x －1)2＝4x ，整理得x 2－14x ＋1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝14，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝14＋2＝16. 5．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( ) A ．(1,2)或(1，－2) B ．(1,4)或(1，－4) C ．(1,2) D ．(1,4) 答案 A 解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以1 2×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)． 6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 D 解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝2 3(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2 3 (x ＋2)， y 2＝4x ， 消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)， 又因为F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝ 8.故选D. 7．(2019·怀化三模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为k 的直线，与抛物线相交于A ，B 两点，设直线OA ，OB (O 为坐标系原点)的斜率分别为k 1，k 2， 第2讲抛体运动 目标要求 1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题. 2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题. 3.会处理平抛运动中的临界、极值问题． 考点一平抛运动的规律及应用 平抛运动 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy. 1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．(×) 2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．(√) 3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．(×) 1．平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． 2．两个推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α . 例1 (多选)a 、b 两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为v a 、v b ，从抛出至碰到台上的时间分别为t a 、t b ，则( ) A ．v a ＞v b B ．v a ＜v b C ．t a ＞t b D ．t a ＜t b 答案 AD 解析 由题图知，h b ＞h a ，因为h ＝1 2gt 2，所以t a ＜t b ，又因为x ＝v 0t ，且x a ＞x b ，所以v a ＞v b ， 选项A 、D 正确． 例2 (多选)(2023·浙江省金华十校模拟)如图是飞镖盘示意图，盘面画有多个同心圆用来表示环数，O 是圆心，盘竖直挂在墙上，A 是盘的最高点，B 是盘的最低点．某同学玩飞镖时，飞镖的出手点与A 等高，且每次飞镖的出手点相同，出手时飞镖速度与盘面垂直，第一支飞镖命中B 点，第二支飞镖命中O 点，若空气阻力不计，可知前、后两支飞镖( ) [练案56]第七讲 抛物线 A 组基础巩固 一、单选题 1．(2020·河北邯郸质检)已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2， m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( D ) A ．y 2 ＝2x B ．y 2 ＝4x C ．y 2＝8x D ．y 2 ＝16x [解析] 设抛物线的准线为l ，作MM ′⊥直线l 于点M ′，交y 轴于M ″，由抛物线的定义可得：MM ′＝MF ＝6，结合x M ＝2可知：M ′M ″＝6－2＝4，即p 2＝4，∴2p ＝16，据此可知抛 物线的方程为：y 2 ＝16x .选D. 2．(2019·山东济宁期末)抛物线y ＝4x 2 的准线方程是( A ) A ．y ＝－1 16 B ．y ＝1 16 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 [解析] 抛物线标准方程为x 2 ＝14y ，∴p ＝18，∴准线方程为y ＝－p 2，即y ＝－116，故选 A. 3．(2020·吉林长春模拟)已知F 是抛物线y 2 ＝4x 的焦点，则过F 作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A ，B (A 在x 轴上方)两点，则|AF | |BF | 的值为( C ) A ． 3 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 由题意知F (1,0)，AB ：y ＝3(x －1)， 由⎩⎨ ⎧ y ＝3x －1y 2＝4x ，得3x 2 －10x ＋3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝1 3， ∴ |AF ||BF |＝3＋1 1 3 ＋1＝3，故选C. 4．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2 ＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C ) A ．627 B ．1827 第七节 抛物线 1．抛物线的标准方程 掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 知识点一 抛物线定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内． (2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上． 易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这 一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． [自测练习] 1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.17 16 B.1516 C.78 D ．0 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝ －116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516 . 答案：B 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 易误提醒抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．必记结论抛物线焦点弦的几个常用结论： 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2 4 ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α (α为弦AB的倾斜角)． (3)1 |FA|＋ 1 |FB| ＝ 2 p . (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． [自测练习] 2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是( ) A．y＝4x2B．y＝8x2 C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px， 则由抛物线的定义知1＋p 2 ＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D. 答案：D 3．(2016·成都质检)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 2021版高考数学一轮复习第七章解析几何第7讲抛 物线课时作业理 1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2 ＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43 B ．－1 C ．－34 D ．－12 2．(2020年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点， 若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 3．(2021年辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2 ＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32 D.5 2 4．已知M 是y ＝x 2 4 上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2 ＝1上，则 |MA |＋|MF |的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．10 5．(2021年新课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点，曲线y ＝k x (k >0)与C 交于点P ， PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.3 2 D ．2 6．(2020年浙江)如图X771，设抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，不通过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( ) 图X771 A. |BF |－1|AF |－1 B.|BF |2 －1 |AF |2 －1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2 ＋1|AF |2 ＋1 7．(2021年新课标Ⅱ)过抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3 8．(2021年江西南昌二模)已知抛物线C ：y 2 ＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( ) 9.4抛物线及其性质 基础篇固本夯基 考点一抛物线的定义及标准方程 1.(2022届广州花都8月调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 2.(2022届江苏百校大联考,3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上第一象限的点,若|FA|=7 3 ,则直线OA的倾斜角为() A.π6 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 答案C 3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 2 3p +y 2 p =1的一个焦点,则p=() A.2 B.3 C.4 D.8 答案D 4.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN⃗⃗⃗⃗ ,则|MF|为() A.8 B.6 C.4 D.2 答案A 5.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=() A.2 B.3 C.6 D.9 答案C 6.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=() A.4 B.6 C.8 D.10 答案A 7.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为. 答案5;4√5 考点二抛物线的几何性质 1.(2022届广东茂名11月测试,2)抛物线x=4 3 y2的焦点坐标为() A.(13,0) B.(0,13) C.(316,0) D.(0,23) 答案C 2.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为() A.1 4 B. 1 2 C.1 D.2 答案B 3.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为() A.(14,0) B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0) 答案B 4.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题: 甲:点F的坐标为(1,0); 乙:抛物线C的准线方程为x=-2; 丙:线段MN的长为4; 丁:直线y=x+1与抛物线C相切. 第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质 【考试要求】 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 性 质 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) 8.7抛物线 一、学习目标 1.理解抛物线的定义； 2.掌握抛物线的标准方程及简单几何性质. 二、知识要点 1.抛物线定义：平面内，与一个定点F 和一条定直线l （l F ∉）距离相等的点的轨迹； 2.标准方程与几何性质： 标准方程 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 图 形 焦点 )0,2(p F )0,2(p F - )2,0(p F )2,0(p F - 准线方程 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = p 的几何意义 焦点到准线的距离 离心率 1=e 3.抛物线的焦点弦AB 的性质： 以)0(22 >=p px y 为例 （1） 4 221p x x =，2 21p y y -=； （2）p x x AB ++=21； （3）θ 2sin 2p AB = （θ 为直线的倾斜角）； （4）p BF AF 211=+； （5）以AB 为直径的圆与准线相切； （6）以BF AF ,为直径的圆均与y 轴相切； （7）BMF AMF ∠=∠； （8）.90''︒=∠FB A 三、课前热身 1.抛物线2 8 1x y = 的焦点坐标是________，准线方程为__________. 【答案】)2,0(，2-=y . 2. 若抛物线2 4y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 【答案】9 3.平面上与定点)2,0(F 和定直线2-=y 的距离相等的点的轨迹方程是_________. 【答案】y x 82 = 4.斜率为1的直线过抛物线x y 42 =的焦点且与抛物线交于B A ,两点，则=AB ______. 【答案】8 二、典例分析 例1.（1）已知抛物线x y 22 =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又)2,3(A ，则PF PA +的最小值为________，此时的P 点的坐标为________. （2）如图，设抛物线2 4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点C B A ,,， 其中点B A ,在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） A ．||1||1 BF AF -- B ．22||1||1 BF AF -- C ．||1||1BF AF ++ D ．22||1||1 BF AF ++ 【答案】（1） 2 7 ，)2,2(P ； （2）A. 例2.（1）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过)4,2(--P 的抛物线方程为________． （2）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为 米． 【答案】（1）x y 82-=或y x -=2； （2）62. 例3.（1）已知F 是抛物线x y =2 的焦点，B A ,是抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为_______. <备战2023年高考数学一轮复习讲义> 专题38 抛物线 1．（2021·新高考Ⅱ卷）抛物线 2 2(0)y px p => 的焦点到直线 1y x =+ 的距离为 2 ， 则 p = （ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4 【答案】B 【解析】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则其到直线x -y+1=0的距离为12 22 p d +==，解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2. 故答案为：B 2．（2020·新课标Ⅱ·理）设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若ODⅡOE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．（ 1 4 ，0） B ．（ 1 2 ，0） C ．（1，0） D ．（2，0） 【答案】B 【解析】因为直线 2x = 与抛物线 2 2(0)y px p => 交于 ,C D 两点，且 OD OE ⊥ ， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOx COx π ∠=∠= ，所以 (2,2)C ， 代入抛物线方程 44p = ，求得 1p = ，所以其焦点坐标为 1 (,0)2 ， 故答案为：B. 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) 图形 范围 x ≥0，y ⅡR x ≤0，y ⅡR y ≥0，x ⅡR y ≤0，x ⅡR 焦点 ⎝⎛⎭ ⎫p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e ＝1 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2； (2)若A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α ，弦长|AB |＝x 1＋x 2 ＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)1|F A |＋1|FB |＝2p ； (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p . 考点一 抛物线的定义和标准方程 1．已知点M (20,40)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .若对于抛物线上的一点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于________． 【答案】42或22 【解析】当点M (20,40)位于抛物线内时，如图Ⅱ，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ， 新课标人教版高三数学第一轮复习全套教 学案 引言 本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标 人教版高考数学考试。以下是教学案的详细内容。 目标 1. 复并巩固高三数学的核心知识点。 2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。 3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵 活应用知识。 教学内容 教学内容主要包括以下部分： 1. 数系与代数 - 实数与复数 - 集合与命题 - 数列与数列极限 - 等差数列与等比数列 2. 函数与方程 - 函数与方程基本概念 - 一次函数与二次函数 - 指数与对数 - 三角函数与三角方程 3. 解析几何与向量 - 平面与空间几何 - 二次曲线与常平面 - 直线与平面的位置关系 - 向量与向量运算 4. 概率与统计 - 随机事件与概率 - 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查 - 相关与回归分析 教学方法 为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法： 1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。 2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练 题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。 3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的 研究兴趣和数学思维。 4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论 和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。 教学评估 为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法： 1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识 点的理解和掌握情况。 2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。 第七节 抛物线 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (１）在平面内; （２）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； （3)定点不在定直线上. ２.抛物线的标准方程和几何性质 [ 1．抛物线２x ２ ＋y ＝０的准线方程为_______＿. 解析：∵抛物线的标准方程为x 2 =－错误!y ，∴２p =错误!未定义书签。, ∴ p 2 =错误!，故准线方程为ｙ=错误!． ﻬ答案:y =错误!未定义书签。 ２.若抛物线y ＝4ｘ2 上的一点M 到焦点的距离为１，则点M 的纵坐标是＿__＿____． 解析:M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y=-错误!, 设M(x，y)，则y＋错误!未定义书签。＝1,所以y=错误!未定义书签。。 答案:错误!未定义书签。 3.若抛物线y２＝２px上一点P(2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为＿_＿_＿_＿_． 解析：由题意知，抛物线的准线为x=－p ２ .因为点P（2，y0)到其准线的距离为4,所以错误!= ４，所以p=４。所以抛物线的标准方程为y2=8ｘ。 答案：ｙ2＝８ｘ １．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数p易忽视,只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义． ［小题纠偏］ 1．平面内到点(１,1)与到直线x+２y-3=０的距离相等的点的轨迹是＿＿＿__＿__． 答案:一条直线 ２．抛物线8ｘ2+y＝0的焦点坐标为__＿_＿___． 解析：由８x2＋y=0，得x2＝-＼ｆ(１，8）ｙ. 所以２p＝错误!,ｐ=错误!未定义书签。,所以焦点为错误!未定义书签。。 答案：错误! 错误!未定义书签。错误! [典例引领］ 1．(20１９·徐州调研）在平面直角坐标系xＯy中,抛物线y2=１6ｘ上横坐标为1的点到其焦点的距离为____＿__＿． 第7讲 抛物线 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫p 2 ，0 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－p 2 ，0 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0， y 0)) |PF |＝ x 0＋p 2 |PF |＝ －x 0＋p 2 |PF |＝ y 0＋p 2 |PF |＝ －y 0＋p 2 3.与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 . (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1 |BF |为定值2 p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2 ＝2px (p >0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (教材习题改编)抛物线y ＝－14x 2 的焦点坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(0，1) C ．(1，0) D ．(－1，0) 考点40 抛物线 抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系. (1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->. 注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 图 形 几 何 性 质 范 围 0,x y ≥∈R 0,x y ≤∈R 0,y x ≥∈R 0,y x ≤∈R 对称性 关于x 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (,0)2 p F (,0)2p F - (0,)2p F (0,)2 p F - 准线方程 2 p x =- 2 p x = 2 p y =- 2 p y = 顶 点 坐标原点(0，0) 离心率 1e = 2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦半径公式 0||2 p PF x = + 0||2 p PF x = - 0||2 p PF y = + 0||2 p PF y = - 3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 高考数学统考一轮复习： 第七节 抛物线 【知识重温】 一、必记2个知识点 1．抛物线定义、标准方程及几何性质 (p ＞0) ________ ________ ________ x 轴 ⑤________ y 轴 ⑥________ 设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2. (2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α (α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p . 二、必明2个易误点 1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线． 2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义． 【小题热身】 一、判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫ a 4，0，准线 方程是x ＝－a 4 .( ) 二、教材改编 2．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝4 3y B ．y 2＝92x 或x 2＝4 3y C ．y 2＝92x 或x 2＝－4 3y D ．y 2＝－92x 或x 2＝－4 3y 3．抛物线y 2 ＝8x 上到其焦点F 距离为5的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个 三、易错易混 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 四、走进高考 6．[2020·全国卷Ⅰ]已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 考点一 抛物线的定义和标准方程 [自主练透型] 1．[2020·北京卷]设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP 2．[2021·湖北鄂州调研]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在 第七节抛物线 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．❶ 其中点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程❷和几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p 2 |PF |＝－x 0＋p 2 |PF |＝y 0＋p 2 |PF |＝－y 0＋p 2 若定点F 在定直线l 上，则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线． 四种不同抛物线方程的异同点 共同点 (1)原点都在抛物线上； (2)焦点都在坐标轴上； (3)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都 [熟记常用结论] 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝p2 4，y1y2＝－p 2； (2)|AF|＝ p 1－cos α ，|BF|＝ p 1＋cos α ，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2α(α为弦AB的倾斜角)； (3)1 |FA|＋ 1 |FB|＝ 2 p； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 第五节抛物线 打破点一抛物线的定义及其应用 [基本知识] 抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹必定是抛物线．( ) (2) AB 为抛物线y 2＝4x 的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，y 1y 2＝ －4，弦长|| ＝ 1＋2 ＋2.( ) AB x x 答案：(1)× (2)√ 二、填空题 1．已知动点P 到定点(2,0) 的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方 程为________． 答案：y 2＝8x 2．已知抛物线 ： 2＝ x 的焦点为 ，( 0，0)是 C 上一点，| |＝ 5 0，则 x 0＝________. Cy FAx y AF 4 x 答案：1 3．已知 F 是抛物线 2 ＝ x 的焦点，， 是该抛物线上的两点，| |＋| |＝3，则线段 y AB AF BF AB 的中点到y 轴的距离为________． 5 答案：4 [全析考法] 考法一 抛物线的定义及应用 [例1] (1)(2019 ·赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2) ， F 是抛物线 2＝2 的焦点，点 M yx 在抛物线上挪动时，使 |MF |＋|MA |获得最小值的M 的坐标为( ) 1 A ．(0,0) B.2，1 C ．(1， 2) D ．(2,2) 12 (2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y ＝2x 的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与 抛物线的几何性质 教学目标： 1．掌握抛物线的几何性质;能根据几何性质确定抛物 线的标准方程; 2．能利用工具作出抛物线的图形．提高综合解题能力 教学重点及难点： 1．抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用 2．几何性质的应用，解题思路分析 教学过程： 第一课时抛物线的几何性质 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要 求学生回答) 练习：①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为 l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分 别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB AN、BN， 图8--24 则Rt△APM≌Rt△AMF,∴|PN|=|FN|,同理， |QN|=|FN|， 从而|QN|=|PN|，于是有，M 与N 重合，故MF ⊥AB 说明：F 点在以PQ 为直径的圆上，故∠PFQ 为直角。 ②在抛物线y 2 ＝2x 上方有一点M （3， 3 10），P 在 抛物线上运动，|PM|=d 1,P 到准线的距离为d 2，求当 d 1 +d 2最小时，P 的坐标。 注：连MF ，与抛物线交点即为所求。（2，2） 这一节,我们根据抛物线的标准方程 )0(22>=p px y ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称.我们把抛物线的对称轴叫 抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1. 说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. ②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。根据焦参数p的值确定抛物线开口的大小，p越大，抛物线开口越开阔。 ③抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。 下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何2021年高考数学一轮总复习 8.7抛物线练习
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