关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
(1)已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，
且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -
=)2
(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，且θtan =k
设A,B 两点的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x 则：k
k x
x p p 22
2
1
2+=+，
4
2
21p
x x =
)
(sin )
(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+=+
当2
π
θ=
时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的
弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，
直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2
211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2
,0(p ，故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-
==+，
弦长为：)
(cos )(2
212
2
24211||θp
AB x x x x k
=
-+
=+
p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
而
px y
22
-=与（1）的结果一样，py x 22
-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：
（3）已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -
=)2
(π
θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，
若倾斜角2
π
α<，则θαθαtan tan ,===k ；
若倾斜角,2
π
α>
则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。
设A,B 两点的坐标为),(),,(2
2
1
1
y x y x
则：
k
k x
x p p 2
2
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p
x
x
=
)
(si n )
2()
tan )
(2
4
4
2
22
2
12
2
22
(14
211||ααp
AB k
k
p p k p x
x x x k
=
-
+=-+
=++
而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=，故)
(sin 2
2||θp
AB =
；
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
px y
22
-=与（3）的结果一样
同理：（4）已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B
两点，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y x y x ，若倾斜角为α，斜率为k ，
则αtan =k ，而焦点坐标为)2
,0(p
， 故AB 的方程为kx p
y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p x x x x pk 2
2121,2-
==+，
弦长为：)
(cos )(2
212
2
24211||αp
AB x x x x k
=
-+
=+
当倾斜角2
π
α<
，则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(
cos ,2
=-=-=
；
当倾斜角,2
π
α>则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(
cos ,2
-=+=+=
所以)
(sin 2
2||θp
AB =
恒成立。
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
py x
22
-=与（4）的结果一样。
故只要直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即)
(sin 2
2||θp
AB =
。这个公式
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
双曲线 项目 内容 第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线。 第二定义 平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e >的点的轨迹叫双曲线。 图形 标准方程 22 22 1(,)x y a b o a b -=> 22 22 1(,)y x a b o a b -=> 几 何 性 质 范围 ||,x a y R ≥∈ ,||x R y a ∈≥ 顶点与实 虚轴的长 12(,0),(,0),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线 12(0,),(0,),22,A a A a a b a b -===实轴长虚轴长叫等轴双曲线 焦点焦距 1222212(,0),(,0) ||2() F c F c F F c c a b -==+其中 1222212(0,),(0,) ||2() F c F c F F c c a b -==+其中 准线方程 2 a x c =± 2a y c =± 焦半径 当00(,)P x y 在右支上时 左1020,PF ex a PF ex a =+=-右 当00(,)P x y 在左支上时 左1020(),()PF ex a PF ex a =-+=--右 当00(,)P x y 在上支上时 下1020,PF ey a PF ey a =+=-上 当00(,)P x y 在下支上时 下1020(),()PF ey a PF ey a =-+=--上 渐近线方程 22 22(0)b x y y x a a b =±-=或 22 22(0)a y x y x b a b =±-=或 焦准距 22 a b p c c c =-= 离心率 2(1),1c b e e e a a =>=-（e 越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e = 准线间距 2 2a d c = 对称性 双曲线都是关于,x y 轴成轴对称，关于原点成中心对称 通径 2 2b q a = 焦点三角 双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定
关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点， 且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 22 2 1 2+=+， 4 2 21p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点， 直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos )(2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2 21221y y x x AB -+-= 2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则 a k x x k AB ? +=-+=2 21211（?,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a k y y k AB ?+=-+ =22121111（?,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22 2 :r b y a x M =-+-相交于B A ,，则 2 2 2d r AB -=（其中2 2 B A C Bb Aa d +++= 为圆心),(b a M 到直线l 的距离） 注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长, BF AF AB += ①α 2 21sin 2p x x p AB = ++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）
②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB += ①过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=. ②过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=. ③过椭圆)0(122 22>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -， 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=. ④过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=. 注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式. 三、直线标准参数方程下的弦长公式 过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程 ? ? ?+=+=αα sin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .
有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线 y 2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2)两点 结论 1： AB x 1 x 2 p AB AF BF (x 1 p ) (x 2 p ) x 1 x 2 22 结论 2：若直线 L 的倾斜角为 ，则弦长 AB 2p 2 sin 2 结论 4： 23 S AB oAB p 8 (为定值) (2) 若 2 时 ,设直线 L 的方程为： p y (x )tan 2 即x y cot 2p 代入抛物线方程得 2 y 2py cot p 2 0 由韦达定理 y 1y 2 2 p ,y 1 y 2 2pcot 2 ) 2p )2 由弦长公式得 AB 1 cot 2 y 1 y 2 2p(1 cot 证: (1)若 2 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径 si n 结论 3： 过焦点的弦中通径长最小 AB 2p 结论得证 2 sin 2p 2 sin 2p AB 的最小值为 2p ,即过焦点的弦长中通径长最短
同理 B 1FO B 1FB A 1F B 1 90 A 1F B 1 F 2 结论 8：（1）AM 1 BM 1 （2）M 1F AB （3） M 1F AF BF （4）设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1相交于 Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） AM 12 M 1B 2 4M 1M 2 证：由结论（ 6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上 AM 1 BM 1 A 1F B 1为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点 A 1M 1 M 1F M 1FA 1 M 1A 1F AA 1F AFA 1 AA 1F FA 1M AA 1M 1 90 AFA 1 A 1FM 1 90 M 1F AB M 1F 2 AF BF AM 1 BM 1 AM 1 B 90 又 A 1F B 1F A 1F B 1 90 所以 M 1，Q ， F,H 四点共圆， AM 1 2 M 1B 2 AB 2 2 2 2 2 AF BF 2 AA 1 BB 1 2 2MM 1 2 4MM 1 2 结论 9： （1） A 、O 、B 1 三点共线 （ 2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1平行于 X 轴 （ 4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1平行于 X 轴 S OAB S OBF 1 S 0AF OF BF 1 sin 2 OF AF sin OF 2 S OAB AB 结论 5： （1） 证 x 1 AF P 3 y 1y 2 2 y 1 2p ,x 2 BF 2 p 2 sin OF AB sin p 22 p sin 2 sin 2 2 p 2sin (2) x 1x 2= 2 y 2 2p x 1x 2 (y 1y 2)2 4P 2 P 2 结论 6：以 AB 证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 为直径的圆与抛物线的准线相切 AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1， MM 1 结论 7：连接 A 1F 、 AA 1 AF, AA 1 BB 1 AF BF 22 B 1 F 则 A 1F AA 1F B 1F AB 2 故结论得证 AFA 1 AA 1 //OF AA 1F A 1FO A 1FO A 1FA
抛物线的知识点总结大全 抛物线的知识点总结大全 抛物线是高考数学的一个重要考点。抛物线是指平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹。下面是小编为大家整理的抛物线的知识点总结，欢迎参考~ 抛物线的焦点弦的性质： 关于抛物线的几个重要结论： (1)弦长公式同椭圆. (2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F. 利用抛物线的几何性质解题的方法： 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明. 抛物线知识点总结 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 =b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 抛物线 y = ax^2 + bx + c (a≠0) 就是y等于a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c 置于平面直角坐标系中 a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 (a=0时为一元一次函数) c>0时函数图像与y轴正方向相交 c< 0时函数图像与y轴负方向相交 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 (当然a=0且b≠0时该函数为一次函数) 还有顶点公式y = a(x+h)_ 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a)) 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值和对称轴 抛物线标准方程：y^2=2px (p>0) 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。
图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3
高中数学中的四大类弦长公式 一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式 1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2 21221y y x x AB -+-= 2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则 a k x x k AB ∆ +=-+=2 21211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a k y y k AB ∆+=-+ =22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式） 注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理） 二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式 1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22 2 :r b y a x M =-+-相交于B A ,，则 2 2 2d r AB -=（其中2 2 B A C Bb Aa d +++= 为圆心),(b a M 到直线l 的距离） 注：此公式证明需用垂径定理 2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长, BF AF AB += ①α 2 21sin 2p x x p AB = ++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）
②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式. 3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB += ①过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=. ②过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=. ③过椭圆)0(122 22>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -， 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=. ④过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=. 注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式. 三、直线标准参数方程下的弦长公式 过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程 ⎩ ⎨ ⎧+=+=αα sin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .
抛物线垂直于焦点的弦长公式 抛物线垂直于焦点的弦长公式是指，当一条直线与抛物线垂直时，它所截取的弦长与焦距的关系。这个公式在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。 我们需要了解什么是抛物线。抛物线是一种二次曲线，它的形状类似于一个开口朝上或朝下的碗。抛物线有一个焦点和一个直线，这个直线被称为抛物线的准线。焦点和准线是抛物线的两个重要特征，它们决定了抛物线的形状和性质。 当一条直线与抛物线垂直时，它所截取的弦长与焦距的关系可以用以下公式表示： L = 2f√(1 + m^2) 其中，L表示弦长，f表示焦距，m表示直线的斜率。 这个公式的推导过程比较复杂，我们不在这里详细讲解。但是，我们可以通过一个例子来理解这个公式的应用。 假设有一个抛物线，它的焦距为4，准线为x轴，方程为y = x^2。现在有一条直线，它与抛物线垂直，且过抛物线上的点(2,4)。我们需要求出这条直线所截取的弦长。 我们需要求出这条直线的斜率。由于这条直线与抛物线垂直，所以
它的斜率为-1/m，其中m为抛物线在点(2,4)处的斜率。抛物线在点(2,4)处的斜率为4，因此这条直线的斜率为-1/4。 接下来，我们可以将这些值代入公式中，得到： L = 2×4√(1 + (-1/4)^2) ≈ 8.944 因此，这条直线所截取的弦长约为8.944。 这个例子展示了抛物线垂直于焦点的弦长公式的应用。这个公式在物理学和工程学中有着广泛的应用，特别是在光学和声学中。例如，在光学中，我们可以用这个公式来计算透镜的焦距；在声学中，我们可以用这个公式来计算声波的传播距离。 抛物线垂直于焦点的弦长公式是一个重要的数学公式，它在物理学和工程学中有着广泛的应用。通过这个公式，我们可以计算出一条直线与抛物线垂直时所截取的弦长与焦距的关系，从而更好地理解和应用抛物线的性质。
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关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得： ，且 设A,B两点的坐标为则：， 当时，斜率不存在，，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB 倾斜角为，求弦AB的长。 解：设A,B的坐标为，斜率为k，而焦点坐标为，故AB的方程为，将其代入抛物线的方程整理得： 从而， 弦长为： ，即为通径。 而与（1）的结果一样，与（2）的结果一样，但是（1）与（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。 解：由题意可设直线AB的方程为将其代入抛物线方程整理得： ，
关于抛物线焦点弦的弦长公式补充 高县中学 吴伦红 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点， 且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 22 2 1 2+=+， 4 2 21p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直 线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos )(2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
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关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y -=)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理 得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 2 2 2 1 2+=+，4 2 2 1 p x x = 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为)0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 21 1y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为 )2,0(p ，故AB 的方程为kx p y =-2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。
图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3
有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1：p x x AB ++=21 p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2 ()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θ θθ2 2212 sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 2 2≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =∆ ()8 s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 2 1 s i n 21322 20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅= +=∆∆∆∆θθθθθϑθ
结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴= 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2 1212 1 4M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 1 11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ⋅=∴2 1 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM ︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2 212 1 AB B M AM =+ ()()()2 12 12 11 2 42MM MM BB AA BF AF ==+=+= 结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线 （3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴 （4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 22121 11122,221-=-==== ，而221p y y -= 所以122 2 22oB oA k p y y p p k =-=-= 所以三点共线。同理可征（2）（3）（4） 结论10： p FB FA 211=+