7.1二元一次方程组和它的解
知识技能目标
1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；
2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.
过程性目标
1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣.
2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．
教学过程设计
一、创设情境
问题的提出：暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢?
二、探索归纳
问能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?
答可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: -
+x
17
-
x. 解这个方程可得5
3=
)2
9(
x. 所以勇士队胜了5场, 平了2场.
=
由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢?
师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场. 在下表的空格中填入数字或式子.
根据填表的结果可知: 7=+y x ① 和 173=+y x ②
引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1.
我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns ).
由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程. 因此, 把两个方程合在一起,并写成??
?=+=+②
①17
37
y x y x . 把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起, 就组成了一个二元一次方程组. 注意 方程组中的各方程中, 同一个字母必须代表同一个量. 问: 什么是方程的解?
答: 能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
由问题的解法1我们已得到答案, 勇士队胜了5场, 平了2场, 即2,
5==y x .5
=x 与2=y 既满足方程①, 又满足方程②, 我们就说5=x 与2=y 是二元一次方程组
??
?=+=+17
37y x y x 的解, 并记作??
?==2
5y x .
一般地, 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.
注意: (1) 未知数的值必须同时满足两个方程时, 才是方程组的解. 若取4=x , 3=y 时, 它们能满足方程①, 但不满足方程②, 所以它们不是方程组的解.
(2) 二元一次方程组的解是一对数, 而不是一个数, 所以必须把5=x 与2=y 合起来, 才是方程组的解. 三、实践应用
例1 已知下面三对数值: ???-==,40
y x ???-==,32y x ??
?-==5
1y x .
(1)哪几对是方程72=-y x 的解? (2)哪几对是方程4-=+y x 的解? (3)哪几对是方程组??
?-=+=-4
72y x y x 的解?
分析 根据二元一次方程(组)的解的定义, 把每对数值中的x ,y 的值代入方程(组)来检验它们是否满足方程(组).
解 (1) ??
?-==,32y x ??
?-==5
1y x 是方程72=-y x 的解.
(2) ??
?-==,40y x ???-==5
1y x 是方程4-=+y x 的解. (3) ??
?-==5
1y x 是方程组??
?-=+=-4
72y x y x 的解.
例2 根据下列语句, 列出二元一次方程:
(1)甲数减去乙数的差是5；(2)甲数的
2
1与乙数的31
的和是13.
分析 要列出方程, 首先要设出适当的未知数来代表相应的对象. 解 设甲数为x , 乙数为y . (1) 5=-y x . (2)133
1
2
1=+y x .
例3 某校现有校舍200002
m , 计划拆除部分旧校舍, 改建新校舍, 使校舍总面积增加30% ,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍. 若设应拆除旧校舍2
xm , 建造新校舍2
ym , 请你根据题意列一个方程组.
分析 由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍, 我们马上可得出方程x y 4=.拆除部分旧校舍, 改建新校舍后,校舍总面积仍增加30%, 其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值, 所以我们可列出另一方程%3020000?=-x y . 解 设应拆除旧校舍2
xm , 建造新校舍2
ym ,根据题意列出方程组
??
?=?=-x
y x y 4%3020000.
四、交流反思
师生共同回顾, 并总结归纳.
(1) 什么是二元一次方程? (含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一
次方程.)
(2) 什么是二元一次方程组? (把两个二元一次方程合在一起, 就组成了一个二元一次方
程组.)
(3) 什么是二元一次方程组的解? (使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的
两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.)
五、检测反馈
1.根据下列语句, 分别设适当的未知数, 列出二元一次方程或方程组: (1)甲数的31比乙数的2倍少7:____；(2)摩托车的时速是货车的2
3
倍，它们的速度之和是200千米/时:_____；
(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍, 5件皮装比3件时装贵700元:_________________.
2.已知下面的三对数值: ??
?=-=10
8y x , ??
?-==6
0y x , ??
?-==1
10y x .
(1)哪几对数值是方程62
1=-y x 左、右两边的值相等?(2)哪几对数值是方程组?????
-=+=-11
326
21y x y x 的解?
3.(1)已知满足二元一次方程组 ??
?
-=+=-20
325y x y x 的x 的值是1-=x , 求方程组的解；
(2)已知满足二元一次方程组??
?=-=+4
23425y x y
x 的
y 的值是2
1-=y ，求方程组的解.
二元一次方程组的解法
代入法（一）
知识技能目标
1.了解解方程组的基本思想是消元, 即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次
方程来解决；
2.了解代入法是消元的一个基本方法, 掌握代入法. 过程性目标
在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力, 发展应用数学知识的意识． 教学过程设计 一、创设情境
1.复习提问: 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?
2.回顾上节课中的问题2:
设应拆除旧校舍2
xm , 建造新校舍2
ym , 那么根据题意可列出方程组: ??
?=?=-②
①x
y x y 4%3020000 (*) 问 怎样求出这个二元一次方程组的解? 二、探索归纳
我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍2
xm , 则建造新校舍
24xm , 根据题意可得到%30200004?=-x x (**). 对于一元一次方程的解法我们是非常
熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程, 我们的问题不就可以解决了吗? 可是如何来转化呢?
引导学生观察方程组(*)和相应的一元一次方程(**)间的联系.
在方程组(*)中的方程②x y 4=, 把它代入方程①中y 的位置, 我们就可以得到一元一次方程%30200004?=-x x .通过“代入”, 我们消去了未知数y ,得到了一元一次方程, 这样就可以求解了.
解方程(**)得:2000=x , 把2000=x 代入②，得8000=y . 所以??
?
==8000
2000y x . 答 应拆除旧校舍22000m , 建造新校舍2
8000m .
能否用同样的方法来求解问题1中的二元一次方程组. 三、实践应用 例1 解方程组: ??
?=+=+
②
①17
37
y x y x 与方程组(*)不同, 这里的两个方程中, 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式, 这时怎么办呢?
由学生观察后得出结论: 可以将方程①变形成为用x 来表示y 的形式, 即x y -=7, 然后再将它代入方程②, 就能消去y , 得到一个关于x 的一元一次方程. 解 由①得 x y -=7 ③. 将③代入②, 得 1773=-+x x . 即5=x .
将5=x 代入③, 得 2=y . 所以??
?==2
5
y x . (可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)
由上面的例题可看出, 我们是通过“代入”消去一个未知数, 方程转化为一元一次方程来解的. 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法. 解方程组的基本思想方法就是“消元”. 例2 把下列方程写成用含x 的代数式表示y 的形式:
(1) 0143=-+y x ； (2)0925=+-y x
分析 即将方程作适当的变形, 把含有y 的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y 的系数化1.
解 (1)4
31x y -= ； (2)2
95+=x y .
课堂练习: 用代入法解下列方程组: (1)??
?=++=61y x x y ； (2)???+==+3
5
y x y x ；
(3)???=+-=8
2332y x x y ； (4)???=+=-24352y x y x .
四、交流反思
1.解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题, 其基本的思想方法是消元.
通过使用“代入法”可实现消元.
2.代入法解二元一次方程组的一般步骤为: 如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式, 就可以直接把它代入另一个方程. 如果没有, 则需将其中一个方程作适当的变形后, 化为一个未知数表示另一个未知数的形式, 再把它代入另一个方程. 这样得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程, 求出一个未知数的值；将求得的值代入前一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 五、检测反馈 解下列方程组: (1)???=++=8323y x y x ； (2)?
??-==-x y y x 5717
34.
(3)???=+-=-10235y x y x ； (4)?
??-=-=-2.32872x y y x .
二元一次方程组的解法
代入法（二）
知识技能目标
进一步了解代入消元法的原理和一般步骤,能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组. 过程性目标
在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中, 培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识. 教学过程设计 一、创设情境
复习代入法解二元一次方程组的一般步骤.
例1 解方程组??
?=+=+②
①5
321
y x y x .
(由学生来叙述解题过程, 教师加以板书.)
(1) 选取未知数系数比较简单的方程①, 作适当变形, 转化为用一个未知数表示另一个
未知数的形式, 得方程 x y -=1 ③；
(2) 将③代入②消去y , 得到关于x 的一元一次方程5)1(32=-+x x ； (3) 解这个一元一次方程，得2-=x ； (4) 把2-=x 代入③，得3=y ；
(5) 所以方程组的解是?
??=-=32
y x .
二、探索归纳 例2 解方程组??
?=--=-②
①0
1083872y x y x .
观察分析此方程组与例1中的方程组在形式上的差别. 易知例1的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此例2方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数? 显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例1的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的.
显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程. 易见“2”比较简单, 所以将方程①中的x 用y 来表示. 解 由①, 得 y x 2
7
4+
= ③. 将③代入②, 得 0108)2
7
4(3=--+y y , 8.0-=y .
将8.0-=y 代入③, 得 2.1=x .
所以 ?
??-==8.02.1y x .
说明 这里是先消去x ,得到关于y 的一元一次方程,可不可以先消去y 呢?(让学生试一试, 并比较两种解法的优劣. 易知先消去x 使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易). 三、实践应用
课堂练习: 解下列方程组: (1)???=--=+894132t s t s ； (2)???=+-=-0
251097
43n m n m .
例3 学校文化艺术节需要制作一批小红花, 某班全体同学承担了这一任务. 如果每位同学做20朵, 则多出20朵；如果每位同学做19朵，则还差31朵. 那么这个班共有多少名同学? 这批任务共需要多少朵小红花?
分析 相等关系是: 实际完成量= 任务量+差额.
解 设这个班共有x 名同学, 这批任务共需y 朵小红花. 根据题意, 得??
?-=+=31192020y x y x , 解之, 得???==1000
51
y x .
答 这个班共有51名同学, 这批任务共需要1000朵小红花. 四、交流反思
用代入法解一般形式的二元一次方程组时, 先观察系数的特点, 选取的原则是: 尽量选取一个未知数的系数是1的方程；未知数的系数不是1时，选取系数绝对值比较小的方程. 变形后的方程要代入没变形的方程, 不能将它代入变形前的方程. 运算的结果要进行检验. 五、检测反馈
1.把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. (1) 14-=-y x ； (2)015105=+-y x .
2.解下列方程组： (1)??
?=+=-1723642y x y x ； (2)?
??=++=23525
3y x x y ；
(3)??
?=-=+153732y x y x ； (4)???=-=+23
435
53y x y x .
3.某校师生乘汽车春游, 如果每车坐50人, 则刚好坐满；如果每车坐60人，则余下一辆车且还多出40个座位. 求该校参加春游的人数和汽车的辆数.
用加减法解二元一次方程组（一）
知识技能目标
1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程；
2.会用加减法解简单的二元一次方程组．
过程性目标
1.让学生在运用已掌握的方法解二元一次方程组时，体会到代入法的不足，引发寻找新方法的意愿．
2.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验．
教学过程
一、创设情境
我们知道解二元一次方程组的关键是“消元”，那对于方程组
该如何进行消元呢？哪种是最简便的方法呢（组织学生进行讨论）？
结论较简便方法是把(2)变形为3x=23 + 4y (3) ，再把(3)代入(1)直接消去“3x”．
想一想，还有其它方法可以直接消去“3x”吗？
二、探索归纳
看一看：上述方程组中，未知数x的系数有何特征？
做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．
你得到了什么结果？
9y = －18 , (消去了未知数x，达到了消元的目的)
y = －2.
把y = －2代入（1），得
3x ＋5×(－2) = 5, x = 5.
?
??-==25
y x 所以
. 从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？
三、巩固应用 例1 解方程组：
??
?=-=+)
2(.
574)1(,
973y x y x 看一看：y 的系数有什么特点？
想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？ 解 (1)+(2)得,
7x = 14, x = 2. 把x = 2代入（1）得, 6 + 7y = 9, 7y = 3,
.7
3=
y ??
?
??==732y x 所以
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，从而达到消元的目的．那当方程组中同一未知数的系数相等时，如何达到消元的目的呢？ 例2 解方程组：
?
?
?
-
=
-
=
-
)2(
7
3
)
1(
7
3
2
y
x
y
x
解(1)－(2)得，
x = 14．
把x = 14代入(1)得，
y=7．
归纳将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．
例3解方程组：
分析注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的．
解(1)+(2)得，
10
3
1
3
1
=
-
+
-x
x
x = 16．
(2)-(1)得，
3
4
2
4
2
=
+
+
+y
y
y = 6．
?
?
?
=
=
6
16
y
x
所以
练习
解下列方程组：
??
?
?
?
=
+
-
-
=
-
?
?
?
=
-
=
+
?
?
?
=
+
=
-
?
?
?
=
-
=
+
3
5
2
1
1
3
5.0
.4
19
7
6
5
7
6
.3
14
6
4
5
3
4
.2
1
3
7
5
.1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
四、交流反思
用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”． 五、检测反馈 一、解下列方程组：
??
?=-=-??
?=-=+7
3732.224
51915419.1y x y x y x y x ??
?
??=+-=-???=+=-5107
210
7.03.412326
34.3x y x y y x y x
.2
321
3523的值、的解，试求是方程组已知二b a ay bx by ax y x 、???-=+=-???-==
用加减法解二元一次方程组（二）
知识技能目标
1.能熟练、灵活地运用加减法解一般形式的二元一次方程组；
2.会把比较复杂的方程组化简成一般形式的方程组，并能熟练地求解． 过程性目标
1.让学生在学习的过程中主动寻找解题的方法，提高学生解决问题，获取知识的能力；
2.通过探求二元一次方程组的解法，体会消元的思想，使学生会把复杂问题转化为简单问题来处理；
3.培养学生一题多解的能力，增进学好数学的自信心． 教学过程 一、创设情境
下列各方程组，你觉得用哪一种方法消元较恰当呢？并说说你的理由（学生讨论）．
.84220
48)3(;
4825
2)2(;
84252)1(?
??=-=-??
???-=-=?
??=-=-y x y x x y x y y x y x
在求上述三个方程组的解时，你发现了什么？
看一看：这三个方程组之间有联系吗？有怎样的内在联系？
二、探索归纳
上述问题只要根据等式的基本性质，方程组(1)的两个方程变形成用x 的代数式表示y 的形式，就是方程组(2)；方程组(1)的方程“2x – y = 5”两边乘以4就是方程组(3)．
你能构造出与方程组?
??=+=+104315
29y x y x 解相同的方程组吗？请举例.
答 可以构造许多与原方程组的解相同的方程组，如??
?=+=+30
12915
29y x y x 等等.
现在你会求解方程组?
?
?=+=+104315
29y x y x 吗？
通过上面问题的讨论，实质是让学生参与新问题——对于相同未知数的系数的绝对值不相等的方程组如何用加减法来解的研究，并且开放式的问题有利于培养学生灵活、多角度的思维习惯． 三、巩固应用 例 解方程组：
??
?=+=-)
2(42
65)1(10
43y x y x
方法一：利用加减消元法消去未知数y ． 解 (1)×3，(2)×2得，
??
?=+=-)
4(84
1210)3(30129y x y x
(3)+(4)得，
19x = 114， x = 6．
把x = 6代入(2)得，
30 + 6y = 42， y = 2．
所以 ??
?==2
6
y x
方法二：利用加减消元法消去未知数x ． 解 (1)×5，(2)×3，得 ??
?=+=-)
4(126
1815)3(502015y x y x
(4)-(3)得
38y = 76
y = 2
把y =2代入(2)得
5x + 12=42 x = 6
所以
??
?==2
6
y x 现在请你和你的同桌分别用加减法和代入法来解下面方程组,比较一下谁的方法更方便？
解方程组?
??=--=-010838
72y x y x
通过交流让学生体会到学习加减法必要性，进一步感受到用加减法解二元一次方程组的基本思路是：通过“加减”，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的．
你能说说用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？ 一般步骤是：
(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程；
(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解． 练习
解下列方程组：
??
?=-=-??
?=+-=-??
?=+=-??
?=+=-5
75832.4100
73203.37
51424.21732623.1x y y x y x y x y x y x y x y x
四、交流反思
你觉得用加减法解方程组时要注意些什么？你能说出用加减法解二元一次方程组的一般步骤吗？通过学习你觉得加减法和代入法有何异同点？与学生共同总结出两种方法实质是相同的即消元，只是消元的途径不同． 五、检测反馈 一．解下列方程组：
??
?=+-=-??
?=-+=+-??
?=+=+??
?=+=-7
3482.40
100730203.363402.218223.1y x x y y x y x b a b a y x y x ）原方程组的解．
（的值；）．试求：（写成了相反数，解得乙将一个方程中的；
，解得甲解题时看错了）（）（组甲、乙两位同学解方程二．2,11
123
25
311
b a y x b y x a by x by ax ??
?-==?
??==??
?=+=-
二元一次方程组的应用
知识技能目标
1.会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；
2.培养学生用数学知识来解决实际问题的能力． 过程性目标
1.让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
2.有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别． 教学过程 一、创设情境
小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？
这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？ 解 设80分的邮票买了x 枚，则2元的邮票买了(16－x )枚 根据题意得0.8x + 2 (16 -x ) = 18.8 解这个方程得x = 11
16－x = 5.
答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
那如果设小军买了80分的邮票 x 枚，2元的邮票y 枚呢，如何来解呢？ 二、探索归纳
引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.考虑它们有什么样的相等关系呢？
在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x + y = 16
总价与总价之间的相等关系：0.8x + 2y = 18.8
根据题意从而列出方程组，
?
?
?=+=+8.1828.016
y x y x
?
?
?==511
y x 解这个方程组得 答 小军买了80分的邮票11枚, 买了2元的邮票5枚.
我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题. 三、巩固应用
例 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析 问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．抓住“计划用15天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共140吨”这两个数量关系建立二元一次方程组． 解 设应安排x 天精加工，y 天粗加工，
???=+=+140
16615
y x y x 根据题意得，??
?==510y x 解这个方程组得. 出售这些加工后的蔬菜一共可获利，
2000×6×10＋10×16×5＝200000元
答 应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.
处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：
练习
1．22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件．若这22名工人中只有二级工与三级工．问二级工与三级工各有多少名?
2. 为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A 地的一部分牧场改为林场,预计林场和
牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？
四、交流反思
列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系. 五、检测反馈
1．某船的载重为260吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨（设装运货物时无任何空隙）？
2．第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每人各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各可得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？ 3．有一批机器零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共做2天，则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？ 4.某厂第二车间的人数比第一车间的人数的5
4
少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的4
3
.问这两个车间各有多少人？
《二元一次方程组》专项练习及答案 §8.1二元一次方程组 一、填空题 1、二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=____ 2、在x+3y=3中，若用x 表示y ，则y= ，用y 表示x ，则x= 3、已知方程(k 2-1)x 2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______ 时，方程为二元一次方程。 4、对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=____；当y=0时，则x=____。 5、方程2x+y=5的正整数解是______。 6、若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=。 7、方程组???==+b xy a y x 的一个解为???==3 2y x ，那么这个方程组的另一个解是。 8、若21=x 时，关于y x 、的二元一次方程组? ??=-=-212by x y ax 的解互为倒数，则=-b a 2。 二、选择题 1、方程２ｘ－３ｙ＝５，ｘｙ＝3，33=+y x ，３ｘ－ｙ+２ｚ＝０，62=+y x 中是二元一次方程的有（ ）个。 Ａ、１ Ｂ、２Ｃ、３ Ｄ、４ 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ） A 、10x+2y=4 B 、4x-y=7 C 、20x-4y=3 D 、15x-3y=6
4、若是m y x 25与2214-++n m n y x 同类项，则n m -2的值为 （ ） A 、1 B 、－1 C 、－3 D 、以上答案都不对 5、在方程(k 2-4)x 2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、以上答案都不对． 6、若???-==1 2y x 是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ） A 、?? ?=+=-5253y x y x B 、???=--=523x y x y C 、???=+=-152y x y x D 、???+==132y x y x 7、在方程3)(3)(2=--+x y y x 中，用含x 的代数式表示y ，则 （ ） A 、35-=x y B 、3--=x y C 、35+=x y D 、35--=x y 8、已知ｘ＝３－ｋ，ｙ＝ｋ＋２，则ｙ与ｘ的关系是（ ） Ａ、ｘ＋ｙ＝５ Ｂ、ｘ＋ｙ＝１ Ｃ、ｘ－ｙ＝１ Ｄ、ｙ＝ｘ－１ 9、下列说法正确的是（ ） Ａ、二元一次方程只有一个解 Ｂ、二元一次方程组有无数个解 Ｃ、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解 Ｄ、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成 10、若方程组???=+=+16 156653y x y x 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是（ =） Ａ、ｋ＝６ = Ｂ、ｋ＝１０ Ｃ、ｋ＝９ Ｄ、ｋ＝ 10 1 三、解答题 1、解关于x 的方程)1(2)4)(1(+-=--x a x a a
二元一次方程组的概念及解法 知识点梳理 知识点一二元一次方程组的概念 含有两个未知数，并且含有未知数的相的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 典例分析 例1、在方程组、、、、 、中，是二元一次方程组的有个； 例2、已知二元一次方程2x－y＝1，若x＝2，则y＝;若y＝0，则x＝． 变式1：方程x＋y＝2的正整数解是__________. 变式2、在方程3x－ay＝8中，如果是它的一个解，那 么a的值为? ? ? = = 1 3 y x
例3 方程组???=+=-5 21 y x y x 的解是（ ） A 、 ???=-=21y x B 、???-==12 y x C 、???==21y x D 、???==12y x 例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组 。 例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。问鸡兔各几何。”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。 知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程???代入消元法加减消元法 典例分析 例1、 把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ． 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ．
第二章 二元一次方程组 班级：_________姓名：__________学号：_______ 一．选择题（每题3分共30分） 1、下列方程组中，属于二元一次方程组的是 （ ） A 、???==+725xy y x B 、?????=-=+043112y x y x C 、2354433x y x y ?=??+=?? D 、? ??=+=-12382y x y x 2、方程组125x y x y -=??+=? 的解是 （ ） A 、???=-=21y x B 、???-==22y x C 、???==21y x D 、? ??==12y x 3、已知方程组3719.........(1)3517............(2)x y x y +=-?? -=?方程①减去方程②得 （ ） A 、22-=y B 、362-=y C 、212-=y D 、3612-=y 4、用代入法解方程组124 y x x y =-??-=?时，代入正确的是 （ ） Ａ．24x x --= B ．224x x --= Ｃ．224x x -+= Ｄ．24x x -+= 5、用加减法解方程组???=-=+8 23132y x y x 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有 以下四种变形的结果： ①???=-=+846196y x y x ②???=-=+869164y x y x ③???-=+-=+1646396y x y x ④? ??=-=+2469264y x y x 其中变形正确的是………………………………………………………（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6、 已知10x y =-??=?和23x y =??=? 都是方程y ax b =+的解，则a 和b 的值是（ ）
.. 中 考 真 题 50 道 中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知 ，则a+b 等于（ ） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（ ） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组 ，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4． 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江） 请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ．
7．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第 象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为 ． 9.（2012?广州）解方程组 ． 10．（2012广东）解方程组： ． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．11x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②
第八章二元一次方程组单元知识检测题 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．方程2x－1 y =0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二元一次方程组 323 25 x y x y -= ? ? += ? 的解是（） A． 32 17 ... 23 01 22 x x x x B C D y y y y = ?? == = ?? ?? ????==- = ?? ?? = ?? 3．关于x，y的二元一次方程组 5 9 x y k x y k += ? ? -= ? 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（? ） A．k=－3 4 B．k= 3 4 C．k= 4 3 D．k=－ 4 3 4．如果方程组 1 x y ax by c += ? ? += ? 有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满足（） A．a=1，c=1 B．a≠b C．a=b=1，c≠1 D．a=1，c≠1 5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 6．已知x，y满足方程组 4 5 x m y m += ? ? -= ? ，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（） A．x+y=1 B．x+y=－1 C．x+y=9 D．x+y=9 7．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（） A． 1122 ... 2211 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????==-=-=-???? 8．若 2,1 17 x ax by y bx by =-+= ?? ?? =+= ?? 是方程组的解，则（a+b）·（a－b）的值为（） A．－35 3 B． 35 3 C．－16 D．16 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．若2x2a－5b+y a－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______． 10．若 1 2 a b = ? ? =- ? 是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1?的值是 _________．
???=+=-164354y x y x 解二元一次方程组的方法技巧 教学目标 知识与技能：会根据方程组的具体情况选择适合的消元法。 过程与方法：通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。 情感态度与价值观：通过学生比较几种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一方法。 教学重点：选用合适的方法解二元一次方程组。 教学难点：会对一些特殊的方程组灵活地选择特殊的解法。 教学过程： 一、复习导入，初步认识 1、 解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、 消元的方法有哪些？ 3、不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的? ⑴ ???=+=924y x y x ⑵ （3） ⑷ 归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？ 二、思考探索，获取新知 1、学生自主学习代入消元法和加减消元法解二元一次方程组 ???=-=+6 341953y x y x ?-=?+=?33234x y x y
???=+=-16 4354y x y x （1） （2）???=+=-,1225423y x y x 2、 合作探究：几种解二元一次方程组的特殊方法。 （一）整体代入法 分析:方程①及②中均含有2x + 3y 。可用整体思想解。由①得2x+3y= 2代入②而求出y 。 学生练习：用整体代入消元法解下列方程组。 （二）换元法 学生练习： （三）化繁为简法
学生练习 三、当课练习 四、课堂小结 1、解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、本节课我们学习了哪些解二元一次方程组的方法？ 五、课后作业布置 ()2018x-2017y=4040 12017x-2018y=4030???()()2x+y -2y=03222x+y -5=7y ?????()x y =3363x+y=-15?????
1．二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=______． 2．在x+3y=3中，若用x表示y，则y=______，用y表示x，则x=______． 4．把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______． (1)方程y=2x-3的解有______； (2)方程3x+2y=1的解有______； (3)方程y=2x-3与3x+2y=1的公共解是______． 9．方程x+y=3有______组解，有______组正整数解，它们是______． 11．已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2．当k=______时，方程为一元一次方程；当k=______时，方程为二元一次方程． 12．对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=______；当y=0时，则x=______． 13．方程2x+y=5的正整数解是______． 14．若(4x-3)2+|2y+1|=0，则x+2=______． 的解． 当k为______时，方程组没有解．
______． (二)选择 24．在方程2(x+y)-3(y-x)=3中，用含x的代数式表示y，则[ ] A．y=5x-3； B．y=-x-3； D．y=-5x-3． [ ] 26．与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是[ ] A．10x+2y=4； B．4x-y=7； C．20x-4y=3； D．15x-3y=6． [ ] A．m=9； B．m=6； C．m=-6； D．m=-9． 28．若5x2ym与4xn+m-1y是同类项，则m2-n的值为 [ ] A．1； B．-1； C．-3； D．以上答案都不对．
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案） 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： +2)x+=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y= 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件）12001000 售价（元/件）13801200 （注：获利= 售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件； 解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组 1200x+1000y=360000 (1380-1200)x+(1200-1000)y=60000 解得x=200，y=120
二元一次方程组计算题专项训练 一、用代入法解下列方程组 （1）? ??=+=-5253y x y x （2） ? ? ?=--=523 x y x y 二、用加减法解下列方程组 （1）???-=+-=-53412911y x y x （2）? ??=+=-524753y x y x 三、用适当的方法解下列方程组： 1、? ??=+=+16156653y x y x 2、{ 3x y 304x 3y 17－－＝＋＝ （3）?????=-= +2.03.05.0523151 y x y x 4、x 2y+2=02y+22x 536????? －－－＝ 7?? ? ??=+=+=+634323x z z y y x 8 234x y y z z x +=?? +=??+=?
四、解答题 1、如果1032162312=--+--b a b a y x 是一个二元一次方程，那么数a =？ b =？ 2、已知???-==24y x 与? ??-=-=52 y x 都是方程y =kx +b 的解，则k 与b 的值为多少？ 3、若方程组322, 543 x y k x y k +=??+=+?的解之和为x+y=-5，求k 的值，并解此方程组． 4、已知方程组4234ax by x y -=??+=?与2 432 ax by x y +=??-=?的解相同，那么a=?b=? 5、关于x 、y 的方程组? ??=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =17的一组解，那么m 的值是多少？ 6、一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组{ ax+by=16bx+ay=1 ① ② 小明把方程① 抄错，求得的解为{x=1y=3－，小文把方程②抄错，求得的解为{ x=3 y=2，求原方程组的解。
二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6251023x y x y 3、 ???=-=+15 725 32y x y x 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ??=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、???=+=+10 2325 56y x y x 13、???=+=+2.54.22.35.12y x y x 14、?????=-+-= +6 )(3)1(26 132y x x y x 15、?? ???=+--=-+-042 3513042 3512y x y x 16、?????=--= +-4 323122y x y x y x 17、?? ? ??-=-++=-+52251230223x y x y x
二元一次方程组练习题 一、选择题： 1．下列方程中，是二元一次方程的是（） A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1 x +4y=6 D．4x= 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A． 2 2 8 423119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y += +=-=?? = ?? ????+=-==-=???? 3．二元一次方程5a－11b=21 （） A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（） A． 3333 ... 2422 x x x x B C D y y y y ==-==-???? ????===-=-???? 5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（） A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2 6．方程组 43 235 x y k x y -= ? ? += ? 的解与x与y的值相等，则k等于（） 7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（） ①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1 x +y=5；④x=y；⑤x2－y2=2 ⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x A．1 B．2 C．3 D．4 8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（） A． 246246216246 ... 22222222 x y x y x y x y B C D y x x y y x y x +=+=+=+= ???? ????=-=+=+=+???? 二、填空题 9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________． 10．在二元一次方程－1 2 x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______． 11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______． 12．已知 2, 3 x y =- ? ? = ? 是方程x－ky=1的解，那么k=_______． 13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____． 14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________． 15．以 5 7 x y = ? ? = ? 为解的一个二元一次方程是_________． 16．已知 23 16 x mx y y x ny =-= ?? ?? =--= ?? 是方程组的解，则m=_______，n=______． 三、解答题 17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）?有相同的解， 求a的值． 18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
23, 328; y x x y =-?? +=? 25, 342;x y x y -=?? +=? 31, 3112; x y x y -=-?? =-? 8320,4580.x y x y ++=?? ++=? 1 36,2 12;2 x y x y ?+=-????+=?? 23(2)1,21;3 a a b a b -+=?? +?=?? ?? ?-=+-=+1)(258 y x x y x ?? ?=-+=-0133553y x y x ?? ?=-=+34532y x y x ???-=+-=+734958y x y x ???=-=+1321445q p q p ?? ?=+-=8372y x x y ? ??=++=+053212y x y x ??? ??=-+=+1 2332 4 1y x x y ? ??=+=+30034150 2y x y x ()()??? ??=--+--=+2 54272y x y x y x y x 6152423+-=+=+y x y x y x ?? ?-=-=+22223y x y x ?? ?-=+=-176853y x y x ?? ?=-=+7382y x y x ?? ?=+=+3435 2y x y x ?? ?=-=+335 y x y x ?? ?=+-+=+++7 )1(3)2(217 )1(3)2(2y x y x
1、明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，?问明明两种邮票各买了多少枚？ 2、现有长18米的钢材，要锯成7段，而每段的长只能取“2米或3米”两种型号之一，问两米长和三米长的各应取多少段？ 3、将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；?若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 4、有48个队共520名运动员参加篮、排球比赛，其中篮球队每队10人，排球队每队12人每个运动员只参加一种比赛．篮、排球队各有多少队参赛？ 5、甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒钟就可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，甲跑4秒钟就能追上乙．求甲乙两人的速度． 6、已知某铁路桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45秒，整列火车完全在桥上的时间是35秒，求火车的速度和长度。 7、有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6 辆小车一次可以运货35吨。3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？ 8、张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1小时后到达县城，他骑车的平均速度是25千米/时，步行的平均速度是5千米/时，路程全长20千米．他骑车与步行各用多少时间？ 9、已知梯形的高是7，面积是56cm2，又它的上底比下底的三分之一还多4cm，求该梯形的上底和下底的长度是多少？ 10、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？ 11、一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50?个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，?多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌．
第二章 二元一次方程组复习课 【知识要点】 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做～ 2．二元一次方程的解集：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解； 由这个二元一次方程的所有解组成的集合叫做这个二元一次方程的解集 3．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组 4．二元一次方程组的解：适合二元一次方程组里各个方程的一对未知数的值，叫做这个方程组 里各个方程的公共解，也叫做这个方程组的解（注意：①书写方程组的解时，必需用“{”把各个未知数的值连在一起，即写成? ??==b y a x 的形式；②一元方程的解也叫做方程的根，但是方程组的解只能叫解，不能叫根） 5．解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组 6．同解方程组：如果第一个方程组的解都是第二个方程组的解，而第二个方程组的解也都是第 一个方程组的解，即两个方程组的解集相等，就把这两个方程组叫做同解方程组 7．解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法（简称代入法和加减法） （1）代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个 未知数；把这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可 先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得 另一个未知数的值，这样就得到了方程的解???==b y a x （2）加减法解题步骤：把方程组里一个（或两个）方程的两边都乘以适当的数，使两个方 程里的某一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加（或 相减），消去一个未知数，得到含另一个未知数的一元一次方程（以下步骤与代入法
二元一次方程组练习题精选（华师版） 一、判断 1、??? ??-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 1032 6 5 23y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组? ? ?=+-=5231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为???-=--=+27651223y x y x （ ） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ） 7、方程组? ? ?=+-=+81043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组 ? ? ?=+=-351 3y x y x 的解 ………（ ） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（ ） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（ ） 二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；
解二元一次方程组的两种特殊方法 一、合并法。 一组方程组中两道方程不能直接用代入法或加减法消元，但是相加（或相减）后两未知数的系数相同，这时适合用合并法来解。 例 ?? ?=+=+② ①12 54223y x y x 解：（①+②）÷7 ③2=+y x ③×3－① ④2-=x ④代③ ④4 =y （1）???? ?-=+=+②①10 651056y x y x （2） ?????? ?=-=+② ①3 4 1526 411517 y x y x
（3）???? ?=+=+②①61 71379 137n m n m （4）????? -=+-=+② ①106 1911741119t s t s （5）???? ?-=++--=++-② （）（ ①）（）（ 42)20172018792517201720183922y x y x
二、换元法。 一组方程中两道方程都含有较复杂的相同代数式，用一半方法消元比较麻烦，这时可以用换元法。 例 ?????? ?-=+---=++-②① 23 25323 253x y y x x y y x 解： 考虑到两式中代数式3 25 3x y y x +-和相同，所以可以设 3 2,53x y n y x m +=-= 。原方程变为 ???? ? -=--=+④ ③2 2n m n m 解得 ???? ?=-=⑥⑤0 2 n m 即 ?? ?=+-=-?????? ?=+-=-⑩⑨⑧⑦0 210 303 2253y x y x x y y x 解⑨⑩组成的方程组得.4,2=-=y x ?? ?=-=∴4 2y x 方程组得解为 练习B ： ?????=++--=+--②①）（62 32)(4)(51x y y x y x y x ???????=++--=--+② ①）（3 142 3 3143)(42)(32x y y x y x y x
二元一次方程组同解、错解、参数问题 一、方程组的同解问题 1.若二元一次方程组???=+=-1 3273y x y x ，和9+=kx y 有相同解，求2)1(+k 的值. 2.阅读以下内容： 已知实数x ，y 满足x +y =2，且? ??=+-=+.6322723y x k y x ，求k 的值. 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x ，y 的方程组? ??=+-=+.6322723y x k y x ，，再求k 的值. 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k 的值. 丙同学：先解方程组? ??=+=+.6322y x y x ，，再求k 的值. (2)你最欣赏(1)中的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再对你选择的思路进行简要评价. (评价参考建议：基于观察到题目的什么特征设计的相应思路，如何操作才能实现这些思路、运算的简洁性，以及你依此可以总结什么解题策略等等)
3.若方程组?? ???=+=+52243y b ax y x ，与?????=-=+5243y x by x a ，有相同的解，则b a ,的值为多少？ 二、方程组错解的问题 4.甲、乙两人同时解方程组? ??=-=+，②，①123by x y ax 甲看错了b ，求得的解为???-==，，11y x 乙看错了a ，求得的解为? ??=-=，，31y x 你能求出原题中的a ，b 的值吗？
5.由于粗心在解方程组? ??=-=-△，②，①□y x y x 4752时，小明错把系数□抄错了，得到的解是??? ????-=-=，，31031y x 小亮把常数△抄错了，得到的解是???-=-=.169y x ，请找出错误，并写出□和△的原来的数字，并求出正确的解. 三、方程组的参数问题 6.已知x ，y ，z 满足? ??=-+=--，，0720634z y x z y x 且x ，y ，z 都不为零，求z y x z y x 3223++++的值. 四、概念：二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解 1. 下列方程中，二元一次方程是（ ）
二元一次方程组习题及答案100道+9y=81 3x+y=34 +4y=35 8x+3y=30 +2y=52 7x+4y=62 +6y=54 9x+2y=87 +y=7 2x+5y=19 +2y=21 3x+5y=56 +7y=52 5x+2y=22 +5y=65 7x+7y=203 +4y=56 x+4y=21
5x+8y=44 +5y=54 3x+4y=38 +8y=15 4x+y=29 +6y=24 9x+5y=46 +2y=62 4x+3y=36 +4y=46 7x+4y=42 +7y=135 4x+y=41 +8y=51 x+6y=27 +3y=99 4x+7y=95 +2y=38
+5y=45 7x+9y=69 +2y=28 7x+8y=62 +6y=14 3x+3y=27 +4y=67 2x+8y=26 +4y=52 7x+6y=74 +y=9 4x+6y=16 +6y=48 6x+3y=42 +2y=16 7x+y=11 +9y=77 8x+6y=94
7x+6y=66 +2y=22 7x+2y=47 1) 66x+17y=3967 25x+y=1200 答案：x=48 y=47 (2) 18x+23y=2303 74x-y=1998 答案：x=27 y=79 (3) 44x+90y=7796 44x+y=3476 答案：x=79 y=48 (4) 76x-66y=4082 30x-y=2940 答案：x=98 y=51 (5) 67x+54y=8546 71x-y=5680 答案：x=80 y=59
(6) 42x-95y=-1410 21x-y=1575 答案：x=75 y=48 (7) 47x-40y=853 34x-y=2006 答案：x=59 y=48 (8) 19x-32y=-1786 75x+y=4950 答案：x=66 y=95 (9) 97x+24y=7202 58x-y=2900 答案：x=50 y=98 (10) 42x+85y=6362 63x-y=1638 答案：x=26 y=62 (11) 85x-92y=-2518 27x-y=486 答案：x=18 y=44 (12) 79x+40y=2419
2.2 二元一次方程组 A 组 1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是(C ) A. ?????x ＋5y ＝8，xy ＝3 B. ? ????x －y ＝6，x 2＋y ＝27 C. ?????2x －y ＝8，x 3＋5y ＝9 D. ?????1x ＋y ＝1，x －y ＝2 2．有一个解为?????x ＝－3，y ＝1 的二元一次方程可能是(A ) A. x ＋2y ＝－1 B. x －2y ＝1 C. 2x ＋3y ＝6 D. 2x －3y ＝－6 (第3题) 3．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°.若设∠1＝x °，∠2＝y °，则可得到的方程组为( D ) A. ?????x ＝y －50， x ＋y ＝180 B. ?????x ＝y ＋50，x ＋y ＝180 C. ?????x ＝y －50，x ＋y ＝90
D. ? ????x ＝y ＋50，x ＋y ＝90 4．写一个以?????x ＝1，y ＝－2为解的二元一次方程组：? ????x ＋y ＝－1，x －y ＝3(答 案不唯一)． 5．已知? ????x ＝0，y ＝－12是方程组??? ??x －b ＝y ， 5x ＋2a ＝2y 的解，则a ＋b 的值为 __0__． 6．将下列方程组和相应的解用线段连起来. ? ????y ＝2x ， 3x －2y ＝7 ?????x ＝5 2，y ＝1 ?????4x －3y ＝17，y ＝x －5 ? ????x ＝－7，y ＝－14 ?????2x ＋y ＝6，2x －y ＝4 ?????x ＝3，y ＝4 ?????3x －y ＝5，x ＋y ＝7 ?????x ＝2，y ＝－3 7.已知方程组?????2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝5. (1)x 分别取－1，0，1，2，请将下表填写完整：
萌学教育 二元一次方程组专题训练 1、???=-=+33651643y x y x 2、???=+=-6 251023x y x y 3、 4、???=+-=18435276t s t s 5、 ???=-=+574973p q q p 6、???=-=+4 26 34y x y x 7、???-=-=+22223n m n m 8、???=--=-495336y x y x 9、? ? ?=-=+195420 23b a b a 10、???=-=-y x y x 23532 11、???=-=+124532n m n m 12、?? ?=+=+10232556y x y x 13、???=+=+2.54.22.35 .12y x y x 14、? ????=-+-=+6 )(3)1(26 1 32y x x y x 15、 16 17、 18、 带入消元法： （5） 请用X 表示Y 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 请用Y 表示X 1）2X+Y=4 2)2X-Y=5 3)Y-X=6 4)2Y-X=7 5）2Y+X=8 6)2X+2Y=10 7)2X-2Y=12 8)3X=2Y 9)4X=6Y 10)3X+2Y=-9 ???=-=+1572532y x y x 3216,31;m n m n +=??-=??? ?? ?=--=+-4 323 122y x y x y x 523,611; x y x y -=??+=?234,443; x y x y +=??-= ?