难点 3 分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；
同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、分类的原则
分类的标准要统一，分类要做到不重复不遗漏，能不分类讨论的要尽量回避，或尽量推迟，决不无原则的讨论
二、方法：
（1）明确讨论的对象
（2）确定讨论的标准
（3）逐步进行讨论
（4）归纳小结，总结出结论
三、例题讲解
例1：设函数f(x)=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.
练习：已知(,2]a ，函数2()f x x x a
（1）当2a 时，求使()f x x 成立的x 的集合
（2）求函数()y f x 在区间[1,2]上的最小值
例2：在数列n a 中，1a a ，前n 项和n S 构成公比为q 的等比数列
（1）求证在n a 中，从第2项起成等比数列
（2）当502a ，1
2q 时，设2log n
a n
b ，求123.........n
b b b b 练习：已知n a 是公比为q 的等比数列，且1,32,a a a 成等差数列
（1）求q 的值（2）设n b 是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n
项和为n S ，当2n 时，比较n S 与n b 的大小，说明理由。
例3：设函数()4f x x b ，且不等式()f x c 的解集为1
2x x （1）求b 的值。（2）解关于x 的不等式(4)()0x
m f x ?()m R 四、点评：
分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：
1.由概念内涵分类.如参数方程、参数不等式、绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.
2.由公式条件分类.如等比数列的通项公式、前n 项和公式、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.
3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、数形
结合法等简化甚至避开讨论.
五、作业：
1．不等式x x x 的解集是
2．解关于x 的不等式110()
x a a R 3．已知2(2)10,A x p x x R 且A R
，且实数p 的取值范围是4．已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长
与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示曲线？
5．若动点(,)x y 在曲线2221(0)4x y
b b 上变化，则22x y 的最大值是
6．（1）设n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，若n S 是等差数列，则q =
（2）数列n a 的前n 项和31n n S c c 则是数列n a 为等比数列的条件
7．（1）设函数11()
2x x f x ，求使()22f x 的x 的取值范围（2）若函数3()
log ()(0,1)a f x x ax a a 在区间1(,0)2
内递增，则a 的范围
分类讨论思想
第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的
结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.
专题四：分类讨论思想在解题中的应用 一．知识探究： 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的 结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1．有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类 讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等 比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 （3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性； （4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 （5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解 决的。 2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不 同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏，包含各种情况，同时要有利于问题研究； 3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级； 4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求； 5．讨论的基本步骤：（1）确定讨论的对象和讨论的范围（全域）（2）确定分类的标准，进行合理的分类（3）逐步讨论（必要时还得进行多级分类）
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 分类讨论思想的应用 摘要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻 辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解 题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 关键词：分类讨论思想三角形四边形方程 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-095-02 分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解 和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于 培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。 分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根 据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下 得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的 问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 一、在几何图形中的分类讨论思想 （一）在三角形中的分类讨论 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中无论边还是顶角底角，不确 定的情况下要分类，分情况求解，有时要分钝角三角形，直角三角形，锐角三角形，分别讨论解决 1、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角， 所以必须分情况讨论。 例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）（B） （C）或（D）或 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的角由 于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当角为顶角时,它的两个底角为 ; （2）当角为底角时,顶角为 . 综上所述,该等腰三角形的顶角为或 ,选择（D）. 拓展:若把题目中的角改为角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗? 2、在等腰三角形中求边： 等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类 讨论。 例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】 （A）9cm （B）12cm （C）15cm （D）12cm或15cm 分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍. 对数学教学中分类讨论思想的感悟 博兴一小王晓红 分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。它在数学概念的确立，数学事实的发现，数学理论的推导学知识的运用中，能让学生了解数学知识形成的过程，对培养学生思维的创造性，发散性与灵活性以及整体文化素质产生深刻而持久的影响。 数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”因此，要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素质，就应该重视数学思想的方法教学。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。 下面针对数学教学中渗透分类讨论思想谈一下我自己粗浅的认识： （一）在概念教学中渗透分类讨论思想 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。 在概念教学中，我总能注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。 如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。 （二）在法则、定理、公式导出过程中运用分类讨论思想 有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。 又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 为什么要根据 圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如右图） 去证， B C A A C D C 高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解 例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。 2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。 3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。 【例1】解方程：|x-1|=2 【例2】试比较1+a与1-a的大小。 。 【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。 【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？ 【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？ 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。 练习题 1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）22)3(-=a 2.|a|+a 的值的情况讨论。 3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a -+的值 5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少（画图表示）。 6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。 7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点? 分类讨论思想的应用 李增旺 例1 一组数据：2，3，4，x 中，若中位数与平均数相等，则数x 不． 可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解析：因为x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确 定方法，可知x 的取值分为三种情况： （1）当x ≤2时，中位数为5.2232=+，平均数为4 432+++x ，所以5.24 432=+++x ，解得x ＝1； （2）当2＜x ＜4时，中位数为23+x ，平均数为4 432+++x ，所以234342 x x ++++=，解得x ＝3； （3）当x ≥4时，中位数为5.3234=+，平均数为4 432+++x ，所以234 3.54 x +++=，解得x ＝5. 故选B . 例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学10次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为98分、99分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得98分、99分的次数均不为0)： （1）求甲同学在前10次测验中的平均成绩. （2）根据前10次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第1位) 解：（1）甲同学在前10次测验中的平均成绩是 94195296197398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. （2）①若乙同学得98分的次数为1，得99分的次数为2，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398199210 ??????＋＋＋＋＋=96.7（分）. 在前10次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛. ②若乙同学得98分的次数为2，得99分的次数为1，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. 甲同学在前10次测验中的方差2s 甲= 10 1×［(94－96.6)2＋2×(95－96.6)2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.24， 乙同学在前10次测验中的方差2s 乙=101×［4×(95－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98 分类讨论思想 一、含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 二、常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。 5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。 三、高中数学中相关的知识点 1.绝对值的定义； 1.二次函数对称轴的变化； 2.函数问题中区间的变化； 3.函数图像形状的变化； 4.直线由斜率引起的位置变化； 5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； 6.立体几何中点、线、面的位置变化等。 七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象。即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。 第二步：根据公式、定理确定分类标准。运用公式、定理对分类对象进行区分。 第三步：分类解决“分目标”问题。对分类出来的“分目标”分别进行处理。 第四步：汇总“分目标”。将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】 此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫 分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0 导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数 为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确?不确定，因此二次函数定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'2'0a?1?axa?y?2?y0，再例，可直接判断出当时，'2'0?a?01a2y??ax??y，此时不需要对参数是否，则可直接判断出当时，为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； ②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； ③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； ④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。 例1.已知函数2?1x?ax)?(a?1)ln(fxf(x)的单调性。，讨论函数2?aax?12f(x)(0,??)，的定义域为解析：函数'?)f(x x a?0时，当'(x)?0ff(x)在定义域内单调递增。，故函数a??1 时，当'(x)?f0f(x)在定义域内单调递减。，此时 a?10?1?a?时，令当'??x0?f(x)，解得2a1?1aa?当 ''),??x?[]?x?(0,?(x)f0?0f(x)?时，；当时，2a2a1?a?1a)xf(在故????)(0,x]x?[?,单调递减。单调递增，在a22a注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符a非负状态下的单调性，切记，切记。号相同，很容易判断 例2.已知函数2?x?a ln(x)?xxff(x)在定义域上的单调性。，讨论2?xx?a2解析：'a?8??1?)(x?0)(xf， 初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考摘要：分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。 关键词：初中数学；分类讨论 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情境，予以强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。笔者从以下三个方面谈谈本人对于分类讨论思想的一些思考。 一、为什么分 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的 思想。 二、要分谁 需要运用分类讨论思想解决的数学问题，可大致归纳为：①数学概念的分类定义②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种 情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。 三、怎样分 分类讨论必须遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性、互斥性、层次性、简言之即为不遗漏，不重复，要分清主次。 1.不遗漏 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集i,ai（i=1…n）是i的子集,并以此分类,且a1∪a2∪…an=i,则称这种分类 （a1,a2…an）符合同一性原则。比如,我们若把实数r分成正实数r+与负实数r-,那这种分类不符合同一性原则,因为r=r+∪r-∪{0},则这种分类方法遗漏了零。在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1.右图中有多少个正方形？ 分析：如果一个一个地数难免会重复或遗漏，所以应该设法分类计数。设图中每个小方格的边长为1个单位，则图中包含边长分别为1、2、3的三类正方形，算出这三类正方形的总个即为所求。9＋4＋1＝14，这样运用分类思想方法让初看无法着手的问题变化为简单的三个小问题，让我们的 初中数学分类讨论思想在教学中的应用 新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。所以在数学教学中有效地渗透，培养数学思想方法，已逐渐成为数学、课改的热点。所谓数学思想，是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。 本文从分类讨论思想的概念和特点，引起分类讨论的原因，以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开，比较系统全面地介绍了分类讨论思想。 一、分类讨论思想的概念 分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有 联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之。 二、引起分类讨论的原因 分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面： 1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。 2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。 3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。 4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。 三、解答分类讨论型问题的步骤 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。 通常解答分类讨论型问题的一般步骤是： 1.确定分类对象。 浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论： 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 数学欣赏五 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着 重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 （一）对变量或参数的分类讨论 １.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ． ２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． ３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈ 分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还 是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1 a 谁大谁小的问题，因而又需作一次 分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011 0a a x x a ≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a <-->011 0()() Θ10 11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a x 1 1 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想小学数学思想方法的梳理（七）分类讨论思想七、分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。 其实质是把问题分而治之、各个击破、综合归纳。 其分类规则和解题步骤是： （1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能交叉也不能从属，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到既不重复又不遗漏；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。 分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。 2. 分类讨论思想的重要意义。 课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。 因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维 1 / 6 品质的一种重要而有效的方法。 无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。 从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。 分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。 另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。 3. 分类讨论思想的具体应用。 分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。 从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的认识范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。 正整数又可以分为 1、素数和合数。 小学数学中分类讨论思想的应用如下表。 思想方法知识点应用举例分类讨论思想分类一年级上册 七年级上册分类讨论思想运用 三台县石亭学校廖亚平 教学目标：1、理解分类讨论思想的含义 2、掌握分类讨论的方法，会应用分类讨论思想解决问题 教学重难点：分类讨论的方法和应用 教学设计： 一、情境引入 1、一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？ 实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分类讨论，列出种种情况，再决定取舍. 2、人们清点钞票时通常先将钞票分类，把相同面值的钞票放在一起；商场里的商品也总是分类摆放；同学们交作业时也是分学科上交…… 教师介绍分类讨论思想：当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.分类是研究问题的常用方法，通过分类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决. 二、典例讲解 1 、与有理数集相关的分类讨论 例2计算) + (- 26 + + + - ) + ) ( 16 18 ( 14 ) ( 解：原式=[][]) + (- ) - + + + + 26 ( 16 ( 14 ) ) ( 18 =14 - + 44= ) ( 30 点拨：此题是根据各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简便. 例3 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？ 分析：我们知道，对于范围在0到1之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它们的平方是大于这些数本身的．由于题目中所给数的范 围没有明确出来，因而我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们可以看做是这个数的正值）的大小，所以需要分情况进行讨论．亦可辅助数轴进行讨论. 解：分类的思想是先讨论特殊点，再讨论其他的范围． 不妨设这个数为a . （1）当a =±1或a =0时，此时│a │＝1或0时，有 a 2=│a │； （2）当a ＞1或a ＜－1时，此时│a │＞1，有 a 2＞│a │； （3）当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，此时0＜│a │＜1，有a 2＜│a │. 点评：利用分类讨论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏． 2、与数轴相关的分类讨论. 数轴上的点到原点的距离是非负的，但位置可能在原点的左侧或右侧，因此涉及到与距离有关的题目时应注意分类讨论。 例4 点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点表示的数是 . 点拨：点A 可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，因此有两种情况，应填0，4-两个数.部分学生往往只考虑点A 在原点右侧的一种情况，忽略另一种情况，原因是没有分类讨论的思想，或不习惯分类讨论. 3、与绝对值相关的分类讨论. 应用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，如果不知道绝对值内的式子（或数）的符号，一定要进行分类讨论。 例4 绝对值不大于10的整数有 个. 点拨：整数包括正整数、零、负整数，不大于10是指小于等于10，除了从0到10共11个整数的绝对值不大于10外，从10-到1-共10个整数的绝对值也不大于10，因而从10-到10的所有整数都符合要求，正确答案应是21. 部分学生只考虑正整数、零，而忘记负整数，因而答案错误，究其原因仍是不具备分类讨论的思想，考虑问题不全面. 例5 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a ++的值 点拨：要去掉绝对值符号，需要对a,b,c 的符号分别进行讨论：当a,b,c 全为正数时等于3；当a,b,c 两正一负时（包括三种情况）等于1；当a,b,c 两负一正时（包括三种情况）等于﹣1；当a,b,c 全为负数时等于﹣3，所以正确答案是﹣1，1，﹣3，3.一些学生容易忽略对a,b,c 进行讨论或讨论部全面. 例6|a|＝5，|b|=3,求a+b 的值 分析：由绝对值的意义得知，a=5或-5，b=3或-3，因此a+b 的值对应由四种情况.q D.当a>1时，p>q；当0
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