分类讨论的思想方法
慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326)
一、知识要点概述
1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.
2.引入分类讨论的主要原因
(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
(4)由图形的不确定引起的分类讨论；
(5)由参数的变化引起的分类讨论；
(6)按实际问题的情况而分类讨论.
二、解题方法指导
1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.
2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；
(6)数形结合；(7)缩小范围等.
3.解题时把好“四关”
(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；
(2)要找准划分标准，把好“分类关”；
(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；
(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.
三、范例剖析
例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2
＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1
)(x ﹣2)＞0 ①
若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1
)(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1
＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1
)∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0
). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1
，2).
当a ＝0时，原不等式为(x ﹣2)2＜0，解集为?.
综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(a-2a-1
，2)； 当a ＝0时，原不等式的解集为?；
当0 ) 当a>1时，原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）. 点拨：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a ＞1和a ＜1，在a<1时，又需要讨论两个根2与a-2a-1 的大小，又分为三类，即a ＜0，a=0和0＜a ＜1. 例2在等比数列{a n }中，S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ，T n = a 1a 2a 3… a n ，P n =1a 1+1a 2 +1a 3 +…+1a n ，求证：(S n P n )n =T n 2. 解析：由所要证明的等式，知须分别求出S n 、T n 、P n ，因此要用等比数列的前n 项和公式，根据公式的要求必须对公比q 进行分类讨论. (1)当q=1时，S n =na 1,T n = a 1n ，P n =n a 1，∴(S n P n )n =[n a 1n a 1 ]n =a 12n ，T n 2= a 12n ，∴(S n P n )n =T n 2； (2) 当q ≠1时，S n =a 1(1-q n )1-q ，T n = a 1n ·q n(n-1)2 ，P n = 1a 1(1-1q n )1-1q =q n+1-q a 1q n (q -1)， ∴S n P n = a 12q n-1 ，(S n P n )n =a 12n q n(n-1)，T n 2= a 12n q n(n-1)，∴(S n P n )n =T n 2. 点拨：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多，必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性. 例3解关于x 的不等式3log a x -2＜2 log a x -1(a ＞0,a≠1) 解析；转化为等价不等式组，注意对于log a x 的底数的a 进行讨论. 原不等式等价于? ???? 3log a x -2≥0 ①3log a x -2<(2 log a x -1) 2 ②2log a x -1>0 ③ 由①得log a x ≥23，由②得log a x<34或log a x>1，由③得log a x>12，∴23≤log a x<34 或log a x>1， 当a>1时，所求不等式的解集为{x|a 23 ≤x < a 34 或x >a}； 当0 或0 点拨：本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对a 进行分类讨论. 例4如图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角P-l -Q 的两个平面内移动,若AB 和平面P 、Q 所成的角分别为α、β，试讨论α+β的范围. 解析：(1)当AB ⊥l 时，α+β=90?. (2)AB 与l 不垂直时，在平面P 内作AC ⊥l ，C 为垂足，连结BC ， ∵平面P ⊥平面Q ，∴AC ⊥平面Q ， ∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角，即∠ABC=β， 在平面Q 内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD ，同理∠BAD=α， 在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，BD ＜BC ，BD AB ＜BC AB ,即sin α＜sin ∠BAC, ∵α和∠BAC 均为锐角，∴α＜∠BAC ，而∠BAC+β=90?，∴α+β＜90?. (3)若AB 与l 重合，则α+β=0?. 综上讨论可知0?≤α+β≤90?. 点拨：在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究. 例5四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？ 解析：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类. 第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有A 23A 4 4(种)； 第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：C 13C 13A 22A 44(种)； 第三，甲前面仅有一个女孩，有：A 13A 55(种)； ∴满足条件的站法为：A 23A 44+C 13C 13A 22A 44+A 13A 55=936(种). 点拨：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类. 例6函数y=sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx |tanx|＋|cotx|cotx 的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4} 解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨论. 由题意可知x ≠k π2 (k ∈Z), (1)当x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4； (2)当x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2； (3)当x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0； (4)当x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2. 故值域为{-2,0,4},应选B. 点拨：由于三角函数在各象限内符号不同，依此特点，从不同的象限入手分类讨论是解此类题的常见方法. 例7已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 解析：如图，设MN 切圆于N ，则 由动点M 组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|，λ＞0}. ∵ON ⊥MN ，|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-1. 设动点M 的坐标为(x,y)，则x 2+y 2﹣1=λ2[(x-2) 2+y 2]， 整理，得(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0. 故M 的轨迹方程是(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0. (1)当λ=1时，方程化为x=54，且交x 轴于点(54 ，0)的直线； (2)当λ≠时，方程化为(x ﹣2λ2 λ2-1)2+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它是以点(2λ2λ2-1，0)为圆心，1+3λ2 |λ2-1| 为半径的圆. 点拨：点M 的轨迹方程由已知条件很容易得出，本题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x 2+y 2项系数λ2-1是否等于零进行了讨论. 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 分类讨论思想的应用 摘要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻 辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解 题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 关键词：分类讨论思想三角形四边形方程 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-095-02 分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解 和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于 培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。 分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根 据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下 得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的 问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 一、在几何图形中的分类讨论思想 （一）在三角形中的分类讨论 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中无论边还是顶角底角，不确 定的情况下要分类，分情况求解，有时要分钝角三角形，直角三角形，锐角三角形，分别讨论解决 1、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角， 所以必须分情况讨论。 例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）（B） （C）或（D）或 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的角由 于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当角为顶角时,它的两个底角为 ; （2）当角为底角时,顶角为 . 综上所述,该等腰三角形的顶角为或 ,选择（D）. 拓展:若把题目中的角改为角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗? 2、在等腰三角形中求边： 等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类 讨论。 例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】 （A）9cm （B）12cm （C）15cm （D）12cm或15cm 分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍. 初中数学分类讨论思想在教学中的应用 新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。所以在数学教学中有效地渗透，培养数学思想方法，已逐渐成为数学、课改的热点。所谓数学思想，是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。 本文从分类讨论思想的概念和特点，引起分类讨论的原因，以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开，比较系统全面地介绍了分类讨论思想。 一、分类讨论思想的概念 分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有 联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之。 二、引起分类讨论的原因 分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面： 1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。 2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。 3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。 4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。 三、解答分类讨论型问题的步骤 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。 通常解答分类讨论型问题的一般步骤是： 1.确定分类对象。 分类讨论思想 在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。 在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想就是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就就是中高档次题”。今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。 在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。 1、什么样的题会出现分类讨论思想--往往就是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。 2、分类讨论需要注意什么----关键就是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。 3、分类讨论中最容易错的就是什么--总就是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验就是否合题意”。 【例1】解方程:|x-1|=2 分析:绝对值为2 的数有2个 解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1 说明应该说,绝对值问题就是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。 1、化简(如当a<0 分类讨论思想的应用 李增旺 例1 一组数据：2，3，4，x 中，若中位数与平均数相等，则数x 不． 可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解析：因为x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确 定方法，可知x 的取值分为三种情况： （1）当x ≤2时，中位数为5.2232=+，平均数为4 432+++x ，所以5.24 432=+++x ，解得x ＝1； （2）当2＜x ＜4时，中位数为23+x ，平均数为4 432+++x ，所以234342 x x ++++=，解得x ＝3； （3）当x ≥4时，中位数为5.3234=+，平均数为4 432+++x ，所以234 3.54 x +++=，解得x ＝5. 故选B . 例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学10次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为98分、99分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得98分、99分的次数均不为0)： （1）求甲同学在前10次测验中的平均成绩. （2）根据前10次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第1位) 解：（1）甲同学在前10次测验中的平均成绩是 94195296197398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. （2）①若乙同学得98分的次数为1，得99分的次数为2，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398199210 ??????＋＋＋＋＋=96.7（分）. 在前10次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛. ②若乙同学得98分的次数为2，得99分的次数为1，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. 甲同学在前10次测验中的方差2s 甲= 10 1×［(94－96.6)2＋2×(95－96.6)2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.24， 乙同学在前10次测验中的方差2s 乙=101×［4×(95－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98 浅谈数学解题中的分类讨论思想 洪湖市第一中学 付志刚 分类讨论的数学思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。本文想就分类讨论的原则、方法和步骤等作一些阐述，不妥之处，敬请斧正。 一、科学合理的分类 把一个集合分成若干个非空真子集（、、? ? ?）（≥，∈），使集合中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即 ①∪∪∪?? ? ?∪＝ ②∩＝φ（∈,且≠）。 则称对集进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分） 科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。 二、确定分类标准 在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种： （）根据数学概念来确定分类标准 例如：绝对值的定义是： 所以在解含有绝对值的不等式 (－)≥时，就必须根据确定 ， （－）正负的值和将定义域（，）分成三个区间进行讨论，即＜＜， ≤＜，≤＜三种情形分类讨论。 例、 已知动点到原点的距离为，到直线：＝的距离为，且＝ （）求点的轨迹方程。 （）过原点作倾斜角为α的直线与点的轨迹曲线交于两点，求弦长｜｜的最大值及对应的倾斜角α。 解：（）设点的坐标为（），依题意可得： 根据绝对值的概念,轨迹方程取决于＞还是≤，所以以为标准进行分类讨论可 得轨迹方程为： 解（）如图，由于，的位置变化， 弦长｜｜的表达式不同，故必须分点， 都在曲线()以及一点 在曲线() 上而另一点在曲线－（－）上可求得： 从而知当 或 时 （）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。 数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。 ()()()?????-==0000< >a a a a a a 3131 314 222=-++x y x ???()() 3221< 数学思想专项训练(三) 分类讨论思想 一、选择题 1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( ) A.? ???? －32，－1 B.? ? ???－∞，－32 C.(]－∞，－1 D.? ?? ?? －32，＋∞ 2．设函数f (x )＝?? ? x 2 ＋bx ＋c x ≤0 ， 2x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， 则方程f (x )＝x 的解集为( ) A.{}－2 B.{}2 C.{}－2，2 D.{}－2，1，2 3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线 ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( ) 4．已知函数f (n )＝??? n ＋12 ，n 为奇数， －n ＋12 ，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( ) A．100 B．－100 C．102 D．101 5．关于x的不等式x－a x＋1 ＞0的解集为P，不等式log2(x2－1)≤1的解集为 Q.若Q?P，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,0) B．[－1,1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( ) A．{4,5} B．{3,4,5} C．{3,4,6} D．{3,4,5,6} 二、填空题 7．若函数f(x)＝x＋a sin x在R上单调递增，则实数a的取值范围为________． 8．已知在等比数列{a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是____________________． 9．定义运算：a b＝a 2－b ，若关于x的不等式x(x＋1－m)＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m的取值范围是________． 10．已知函数f(x)＝4x2－4ax，x∈[0,1]，关于x的不等式|f(x)|＞1的解 导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数 为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确?不确定，因此二次函数定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'2'0a?1?axa?y?2?y0，再例，可直接判断出当时，'2'0?a?01a2y??ax??y，此时不需要对参数是否，则可直接判断出当时，为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； ②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； ③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； ④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。 例1.已知函数2?1x?ax)?(a?1)ln(fxf(x)的单调性。，讨论函数2?aax?12f(x)(0,??)，的定义域为解析：函数'?)f(x x a?0时，当'(x)?0ff(x)在定义域内单调递增。，故函数a??1 时，当'(x)?f0f(x)在定义域内单调递减。，此时 a?10?1?a?时，令当'??x0?f(x)，解得2a1?1aa?当 ''),??x?[]?x?(0,?(x)f0?0f(x)?时，；当时，2a2a1?a?1a)xf(在故????)(0,x]x?[?,单调递减。单调递增，在a22a注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符a非负状态下的单调性，切记，切记。号相同，很容易判断 例2.已知函数2?x?a ln(x)?xxff(x)在定义域上的单调性。，讨论2?xx?a2解析：'a?8??1?)(x?0)(xf， 专题复习 分类讨论思想 一、填空题： 例1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ?，则实数a 的取值围是________． 例2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】 此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫 浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论： 数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》 题型一 根据数学概念分类讨论 【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．． 题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论 【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ． 题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论 【例题3】解关于x 的不等式01)1(2 <++-x a ax . 题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论 【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值. 1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是 ( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12 2．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数 k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( ) A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－112 3．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -= C. x y x y +-=-=70250或 D. x y y x ++=-=70250或 4．不等式2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ． 6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ． 7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104 x x a a ++- +=有实根,求a 的取值范围． 8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0 数学欣赏五 分类讨论思想在解题中的应用 一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着 重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 （一）对变量或参数的分类讨论 １.已知集合}2|{2o x x x A =--=，}1|{o ax x B =-=若B B A =I ，则a 的值是 ． ２.若不等式o x k x k >+++-1)1(2)1(22对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ． ３.解关于x 的不等式 o x a ax <++-1)1(2 )(R a ∈ 分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还 是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1 a 谁大谁小的问题，因而又需作一次 分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。 解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为2011 0a a x x a ≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a <-->011 0()() Θ10 11a a <∴< ∴<>不等式解为或x a x 1 1 一模试卷课后作业 一、“分类讨论”概述 二、巩固练习： 1、（2013?河西区一模）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是（ ） 2、△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40度，则底角B 的度数为 __________ 三、方法探究： 1、 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形. 2、在平面直角坐标系中，已知点P （－2，－1）. （1）点T （t ，0）是x 轴上的一个动点。当t 取何值时，△TOP 是等腰三角形？ (2) 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标系中的一点。以点A.O.P.T 为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T 的坐 (3) 过P 作y 轴的垂线PA,垂足为A.点T 为坐标轴上的一点。以P.O.T 为顶点的三角形与△AOP 相似,请写出点T 的坐标? _____________________,25-,63-.3则这个函数的解析式为是相应的函数的取值范围的自变量的取值范围是一次函数-≤≤≤≤+=y x b kx y ( ） 的坐标为（两点，且点、轴交于两点，与、直线交于与，抛物线轴交于点，与轴交于点与已知，直线、综合练习：0,12 1y 12132 B C B x B A c bx x y D x A x y ++=+=C A B C A B C A B B A C D 难点38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场 1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-= x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 . 2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值. ●案例探究 ［例1］已知{a n }是首项为2，公比为 21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质. 错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-22 3. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案. 解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N x ) （2）要使21 >--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)2 11(4<-=k k S 所以0212)223(>- =--k k k S S S ，(k ∈N x ) 故只要2 3S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N x ） 高中数学专题练习：分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果;最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围. 七年级上册分类讨论思想运用 三台县石亭学校廖亚平 教学目标：1、理解分类讨论思想的含义 2、掌握分类讨论的方法，会应用分类讨论思想解决问题 教学重难点：分类讨论的方法和应用 教学设计： 一、情境引入 1、一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？ 实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分类讨论，列出种种情况，再决定取舍. 2、人们清点钞票时通常先将钞票分类，把相同面值的钞票放在一起；商场里的商品也总是分类摆放；同学们交作业时也是分学科上交…… 教师介绍分类讨论思想：当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.分类是研究问题的常用方法，通过分类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决. 二、典例讲解 1 、与有理数集相关的分类讨论 例2计算) + (- 26 + + + - ) + ) ( 16 18 ( 14 ) ( 解：原式=[][]) + (- ) - + + + + 26 ( 16 ( 14 ) ) ( 18 =14 - + 44= ) ( 30 点拨：此题是根据各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简便. 例3 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？ 分析：我们知道，对于范围在0到1之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它们的平方是大于这些数本身的．由于题目中所给数的范 围没有明确出来，因而我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们可以看做是这个数的正值）的大小，所以需要分情况进行讨论．亦可辅助数轴进行讨论. 解：分类的思想是先讨论特殊点，再讨论其他的范围． 不妨设这个数为a . （1）当a =±1或a =0时，此时│a │＝1或0时，有 a 2=│a │； （2）当a ＞1或a ＜－1时，此时│a │＞1，有 a 2＞│a │； （3）当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，此时0＜│a │＜1，有a 2＜│a │. 点评：利用分类讨论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏． 2、与数轴相关的分类讨论. 数轴上的点到原点的距离是非负的，但位置可能在原点的左侧或右侧，因此涉及到与距离有关的题目时应注意分类讨论。 例4 点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点表示的数是 . 点拨：点A 可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，因此有两种情况，应填0，4-两个数.部分学生往往只考虑点A 在原点右侧的一种情况，忽略另一种情况，原因是没有分类讨论的思想，或不习惯分类讨论. 3、与绝对值相关的分类讨论. 应用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，如果不知道绝对值内的式子（或数）的符号，一定要进行分类讨论。 例4 绝对值不大于10的整数有 个. 点拨：整数包括正整数、零、负整数，不大于10是指小于等于10，除了从0到10共11个整数的绝对值不大于10外，从10-到1-共10个整数的绝对值也不大于10，因而从10-到10的所有整数都符合要求，正确答案应是21. 部分学生只考虑正整数、零，而忘记负整数，因而答案错误，究其原因仍是不具备分类讨论的思想，考虑问题不全面. 例5 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a ++的值 点拨：要去掉绝对值符号，需要对a,b,c 的符号分别进行讨论：当a,b,c 全为正数时等于3；当a,b,c 两正一负时（包括三种情况）等于1；当a,b,c 两负一正时（包括三种情况）等于﹣1；当a,b,c 全为负数时等于﹣3，所以正确答案是﹣1，1，﹣3，3.一些学生容易忽略对a,b,c 进行讨论或讨论部全面. 例6|a|＝5，|b|=3,求a+b 的值 分析：由绝对值的意义得知，a=5或-5，b=3或-3，因此a+b 的值对应由四种情况.高中数学解题思想之分类讨论思想
q D.当a>1时，p>q；当0
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