中考中的数学思想方法----分类讨论思想
一、概述：
当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，……
等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：
1、（2004年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.③
解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，
此时这个三角形的外接圆半径等于
╳ 10 =5
②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形
的外接圆半径等于
╳ 8=4
2、（2005年北京市中考题）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且
，则∠BCA的度数为____________。
解：①如图1，当△ABC是锐角三角形时，
∠BCA=90°-25°=65°
①如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∠BCA=90°+25°=115°
图1 图2
3、（2006年济南市中考题）如图1，已知
中，
，
．过点
作
，且
，连接
交
于点
．
（1）求
的长；
（2）以点
为圆心，
为半径作⊙A，试判断
与⊙A是否相切，并说明理由；
（3）如图2，过点
作
，垂足为
．以点
为圆心，
为半径作⊙A；以点
为圆心，
为半径作⊙C．若
和
的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切，且使
点在⊙A的内部，
点在⊙A的外部，求
和
的变化范围．
（1）在
中，
，
．
，
．
．
，
．
（2）
与⊙A相切．在
中，
，
，
，
．
又
，
，
与⊙A相切．
（3）因为
，所以
的变化范围为
．
当⊙A与⊙C外切时，
，所以
的变化范围为
；
当⊙A与⊙C内切时，
，所以
的变化范围为
．
4、（2006年上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中，已知点P（－2，－1），
点T（t，0）是x轴上的一个动点.
(1) 求点P关于原点的对称点
的坐标；
(2) 当t取何值时，△
TO是等腰三角形？
解：（1）点P关于原点的对称点
的坐标为（2，1）.
（2）
.
（a）动点T在原点左侧.
当
时，△
是等腰三角形.
∴点
.
（b）动点T在原点右侧.
①当
时，△
是等腰三角形.
得：
.
②当
时，△
是等腰三角形.
得：点
.
③当
时，△
是等腰三角形.
得：点
.
综上所述，
符合条件的t的值为
.
5、
如图,平面直角坐标系中,直线AB与
轴,
轴分别交于A(3,0),B(0,
)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥
轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝
,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解：（1）直线AB解析式为：y=
x+
．
（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，
x+
），那么OD＝x，CD＝
x+
．
∴
＝
＝
．
由题意：
＝
，解得
（舍去）
∴Ｃ（２，
）
方法二：∵
,
＝
，∴
．
由OA=
OB，得∠BAO＝30°，AD=
CD．
∴
＝
CD×AD＝
＝
．可得CD＝
．
∴AD=１，OD＝２．∴C（２，
）．
（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=
OB=3，
∴
（3，
）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=
OB=1．
∴
（1，
）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一：在Rt△PBO中，BP＝
OB＝
，OP＝
BP＝
．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝
OP＝
；PM＝
OM＝
．∴
（
，
）．
方法二：设Ｐ（x ，
x+
），得OM＝x ，PM＝
x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM==
=
，tan∠ABO=
=
．
∴
x+
＝
x，解得x＝
．此时，
（
，
）．
④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴PM＝
OM＝
．
∴
（
，
）（由对称性也可得到点
的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
（3，
），
（1，
），
（
，
），
（
，
）．
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