第3讲分类讨论思想
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
2．分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
3．分类讨论的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4．解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.
类型一由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
例1(1)若函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，
＋∞)上是增函数，则a ＝________.
(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝?????
2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．
应用指数、对数函数时往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
已知圆的方程x 2＋y 2＝1，则过点P (1,2)的圆的切线方程为________．
类型二 由元素的位置、图形的形状变化引起的分类讨论
例2 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．
求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．
一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的
形状变化．
设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2
的值为________．
类型三 由参数变化引起的分类讨论
例3 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x