分类讨论思想
在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
在数学学习中,我们不仅要分阶段学习知识,还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言,经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说:“分类讨论一旦出现,就是中高档次题”。今天,我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。
2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。
【例1】解方程:|x-1|=2
分析:绝对值为2 的数有2个
解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1
说明应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0
处理方法:根据绝对值符号内的式子的正负性
2. 类似于“解方程”(如本题)
处理方法:注意解往往不只一个,需关注绝对值为正数的数有两个。
3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2,求x的取值范围)
处理方法:画数轴,|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。
【例2】试比较1+a与1-a的大小。
分析:常规的比较大小的方法有很多种,现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断:
①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a
解:作差(1+a)-(1-a)=2a
分类讨论:
①当a>0时,2a>0,即(1+a)-(1-a)>0,即1+a>1-a
②当a=0时,2a=0,即(1+a)-(1-a)=0,即1+a=1-a
③当a<0时,2a<0,即(1+a)-(1-a)<0,即1+a<1-a
答:当a>0时,1+a>1-a ;当a=0时,1+a=1-a ;当a<0时,1+a<1-a 。
【例3】 已知线段AB 长度为6cm ,点C 在直线AB 上,且AC=2cm ,求BC 的长度。
分析:注意点C 的位置不能确定。在直线上,与一个定点的距离为定值的点有两个。
处理方法:画一个示意图,往往能帮助理解。
解:如示意图,有两种情况。
如图1,点C 在AB 之间时,BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm
如图2,点C 在BA 的延长线上时,BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm
【例4】一张桌子有四个角,砍掉一只角后,还剩几个角?
解:5个或4个或3个。
【例5】已知△ABC 周长为20cm ,AB=AC ,其中一边边长是另一边边长的2倍,BC 长多少?
解:设AB=AC=x
①当AB=2BC 时,BC=0.5x
据题意,列x+x+0.5x=20,解得x=8cm ,则BC=0.5x=4cm
②当BC=2AB 时,BC=2x
据题意,列x+x+2x=20,解得x=5cm ,则BC=2x=10cm
检验:当AB=2BC 时,三边长为8cm ,8cm ,4cm ,可组成三角形; 当BC=2AB 时,三边长为5cm ,5cm ,10cm ,不可组成三角形,舍。 答:BC 长为4cm 。
【例6】 富城书店推出售书优惠方案:①一次性购书不超过100元,不享受优惠;②一次性购书超过100元,但不超过200元,一律打九折;③一次性购书超过200元,一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元,那么小明所购书的价格为多少。
解:付款162元,由于162>100,可确定享受了优惠。
因不确定是打九折还是打八折,所以分类。
①∵200×109=180>162,∴162元可能享受了九折优惠,162÷10
9=180(元); ②∵200×108=160<162,∴162元可能享受了八折优惠,162÷10
8=202.5(元) 答:小明所购书的价格为180元或202.5元。
【例7】 三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是
乙的2倍,已知糖果总数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求甲、乙、丙各分得几块糖?
分析: 1. 两个限制条件:整数、质数
2.一个常见说法:乙比丙多得13块,甲所得的糖果数是乙的2倍
3.一个常见不等式列法:糖果总数是小于50
解:设丙获得了x 块粮果,则乙的糖果数为(x+13)块,甲的糖果数为2(x+13), 根据题意,可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x<50
整理这个不等式,解得x<11/4=2.75
由于糖果块数必为正整数,所以x=1或2
①当x=1时,x+13=14,2(x+13)=28
总块数1+14+28=43,为质数,但4+3=7≠11,则x=1应舍去;
②当x=2时,x+13=15,2(x+13)=30
总块数2+15+30=47,为质数4+7=11,合题意。
答:甲分得糖果数为30块,乙分得15块,丙分得2块。
练习题
1.解方程:(1)|x+4|=3 (2)22)3(-=a
2.|a|+a 的值的情况讨论。
3. 如果a 、b 、c 是非零有理数,求c
c b b a a ++的值 4.比较a 2-a+4与a 2+3的大小
5.数轴上有A 、B 两点,若A 点对应的数是-2,且A 、B 两点的距离为3,则点B 对应的数为多少(画图表示)。
6.平面内有四点,经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?
8. 已知∠A0B=120o,∠BOC=30o,则∠AOC 为多少。
9.在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点,已知AB =5cm ,点O 是线段AC 的中点,且OB=1.5cm ,求线段BC 的长。
10. 已知△ABC 周长为18cm ,AB=AC ,其中一边边长比另一边边长大3cm ,BC 长多少?
11. 在△ABC 中,若AB=3,BC=1-2x ,CA=8,求x 的取值范围。
12. A 、B 两地相距480千米,一列慢车从A 地开出,每小时行60千米,一列快车从B 地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x 小时后,两车相距100千米,则列方程为 13.甲班学生到集市上购买苹果,苹果价格如下表所示:
购苹果数 不超过30kg 30kg 以上但不超过50kg 50kg 以上
价格(元/kg ) 3元 2.5元 2元
甲班分两次共购买苹果70kg (第二次多于第一次),共付189元,则甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克。
新初中数学概率经典测试题及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是 () A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式 B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4 C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1 D.若甲组数据的方差2s甲=0.128,乙组数据的方差2s乙=0.036,则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案. 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用抽查的方式,故原说法错误; B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误; C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确; D、若甲组数据的方差s甲2=0.128,乙组数据的方差s乙2=0.036,则乙组数据更稳定,故原说法错误; 故选:C. 【点睛】 此题考查概率的意义,全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义,正确掌握相关定义是解题关键. 2.如图,飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上),则飞镖落在阴影部分的概率是() A.1 2 B. 1 3 C.4 9 D. 5 9 【答案】C 【解析】 【分析】 根据几何概率的求法:飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.
【详解】 ∵总面积为3×3=9,其中阴影部分面积为4×1 2 ×1×2=4, ∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 . 故答案选:C. 【点睛】 本题考查了几何概率的求法,解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来,一般用阴影区域表示所求事件(A);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件(A)发生的概率. 3.袋中有8个红球和若干个黑球,小强从袋中任意摸出一球,记下颜色后又放回袋中,摇匀后又摸出一球,再记下颜色,做了50次,共有16次摸出红球,据此估计袋中有黑球()个. A.15 B.17 C.16 D.18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共摸球50次,其中16次摸到红球,则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数. 【详解】 ∵共摸了50次,其中16次摸到红球,∴有34次摸到黑球,∴摸到红球与摸到黑球的次 数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17,∴黑球的个数8÷ 8 17 = 17(个),故答 案选B. 【点睛】 本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键. 4.欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以构酌油之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油的技艺之高超.如图,若铜钱半径为,中间有边长为的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()
初一数学第三单元 整式练习题精选(含答案) 一.判断题 (1) 3 1 +x 是关于x 的一次两项式. ( ) (2)-3不是单项式.( ) (3)单项式xy 的系数是0.( ) (4)x 3 +y 3 是6次多项式.( ) (5)多项式是整式.( ) 二、选择题 1.在下列代数式: 21ab ,2b a +,ab 2+b+1,x 3+y 2,x 3+ x 2 -3中,多项式有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D5个 2.多项式-23m 2 -n 2 是( ) A .二次二项式 B .三次二项式 C .四次二项式 D 五次二项式 3.下列说法正确的是( ) A .3 x 2 ―2x+5的项是3x 2 ,2x ,5 B . 3x -3 y 与2 x 2 ―2xy -5都是多项式 C .多项式-2x 2 +4xy 的次数是3 D 一个多项式的次数是6,则这个多项式中只有一项的次数是6 4.下列说法正确的是( ) A .整式abc 没有系数 B . 2x +3y +4 z 不是整式 C .-2不是整式 D .整式2x+1是一次二项式 5.下列代数式中,不是整式的是( )A 、2 3x - B 、745b a - C 、x a 523+ D 、-2005 6.下列多项式中,是二次多项式的是( ) A 、132 +x B 、23x C 、3xy -1 D 、2 53-x 7.x 减去y 的平方的差,用代数式表示正确的是( ) A 、2 )(y x - B 、2 2 y x - C 、y x -2 D 、2 y x - 8.某同学爬一楼梯,从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S 米,同学上楼速度是a 米/分,下楼速度 是b 米/分,则他的平均速度是( )米/分。A 、 2b a + B 、b a s + C 、 b s a s + D 、b s a s s +2 9.下列单项式次数为3的是( ) A.3abc B.2×3×4 C. 4 1x 3y D .52 x 10.下列代数式中整式有( ) x 1, 2x +y , 31a 2b , π y x -, x y 45, 0.5 , a A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 11.下列整式中,单项式是( ) A.3a +1 B.2x -y C.0.1 D. 2 1 +x 12.下列各项式中,次数不是3的是( )A .xyz +1 B .x 2 +y +1 C .x 2 y -xy 2 D .x 3 -x 2 +x -1 13.下列说法正确的是( ) A .x(x +a)是单项式 B . π 1 2+x 不是整式 C .0是单项式 D .单项式- 31x 2y 的系数是3 1 14.在多项式x 3 -xy 2 +25 中,最高次项是( ) A .x 3 B .x 3 ,xy 2 C .x 3 ,-xy 2 D .25
七年级数学上册经典练习题 七年级有理数 一、境空题 1、31-的倒数是____;3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____;最小的正整数是____. 3、在数轴上,点A 所表示的数为2,那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是____. 4、两个有理数的和为5,其中一个加数是–7,那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-,最高气温为8℃,那么该景点这天的温差是____. C 6、计算:.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____;立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数,请赋予它实际的意义:___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________,其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ,则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘,其中最大的积是___________,最小的积是____________。 14、若m ,n 互为相反数,则│m-1+n │=_________. 二、选择题(每小题3分,共21分) 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示: 则( ) 0-11a b A .a + b <0 B .a + b >0; C .a -b = 0 D .a -b >0 16、下列各式中正确的是( ) A .22)(a a -= B .33)(a a -=; C .|| 22a a -=- D .|| 33a a = 17、如果0a b +>,且0ab <,那么( ) A.0,0a b >> ;B.0,0a b << ;C.a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小 18、下列代数式中,值一定是正数的是( ) A .x 2 B.|-x+1| C.(-x)2+2 D.-x 2+1 19、算式(-34 3)×4可以化为() (A )-3×4-43×4 (B )-3×4+3 (C )-3×4+4 3×4 (D )-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下:第一次85分,第二次比第一次高8分,第三次比第二次低12分,第四次又比第三次高10分.那么小明第四次测验的成绩是…………() A 、90分 B 、75分 C 、91分 D 、81分 21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售,到三月份再声称以8折(80%)大拍卖,那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………()
1.有人编写了一个程序,从1开始,交替做乘法或加法,(第一次可以是加法,也可以是乘法),每次加法,将上次运算结果加2或是加3;每次乘法,将上次运算结果乘2或乘3,例如30,可以这样得到: 1 +3 =4*2=8+2=10*3=30,请问怎样可以得到:2的100次+2的97次-2 解答:1+3=4+2=2的3次-2=2的3次+2-2=(2的3次+2-2)*2=……==2的100次+2的97次-2的97次=2的100次+2的97次-2的97次+2=2的100次+2的97次-2的97次+2+2=……=2的100次+2的97次-2 2.下诗出于清朝数学家徐子云的著作,请算出诗中有多少僧人? 巍巍古寺在云中,不知寺内多少僧。 三百六十四只碗,看看用尽不差争。 三人共食一只碗,四人共吃一碗羹。 请问先生明算者,算来寺内几多僧? 解答:三人共食一只碗:则吃饭时一人用三分之一个碗, 四人共吃一碗羹:则吃羹时一人用四分之一个碗, 两项合计,则每人用1/3+1/4=7/12个碗, 设共有和尚X人,依题意得: 7/12X=364 解之得,X=624 3.两个男孩各骑一辆自行车,从相距2O英里(1英里合1.6093千米)的两个地方,开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间,一辆自行车车把上的一只苍蝇,开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把,就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返,在两辆自行车的车把之间来回飞行,直到两辆自行车相遇为止。如果每辆自行车都以每小时1O 英里的等速前进,苍蝇以每小时15英里的等速飞行,那么,苍蝇总共飞行了多少英里? 解答:每辆自行车运动的速度是每小时10英里,两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里,因此在1小时中,它总共飞行了15英里。 4.《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一,共三卷,上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则,中卷举例说明筹算分数法和开平方法,都是了解中国古代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题,“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题如下:令有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雄、兔各几何? 解答:设x为雉数,y为兔数,则有 x+y=b,2x+4y=a 解之得:y=b/2-a, x=a-(b/2-a) 根据这组公式很容易得出原题的答案:兔12只,雉22只。
七年级数学整式的加减 练习题精选 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
22(4).(426)2(225)a a a a ----- 其中 1-=a . 221131 (5).2()()2223 a a b a b ----- 其中 32,2=-=b a . (6).化简 )]72(53[2b a a b a ---- 一、选择题 1.下列说法中,正确的是( ) A. 234 x -的系数是34 B. 2 32 a π的系数是32 C. 23ab 的系数是3a D. 225 xy 的系数是25 2.下列计算正确的是 ( ) 22.34a a A a +=).2(2a b B a b --=-+ 222.2C a b a b a b -=- .541D a a -= 3.下列说法中,不正确的是 ( ) A.单项式是整式 B.多项式322358r x yr axr π-+-是按 r 的降幂排列的 C.含加减运算的式子都是单项式 D.不含加减运算的式子都是单项式 4.下列说法正确的是( ) A. 23 xyz 与23 xy 是同类项 B. 1x 和 12x 是同类项 C. 320.5x y 和237x y D. 25m n 与24nm -是同类项 5.下列各式中去括号正确的是( ) 2222..(2)2A x y x z x y x z --+=--+ ..36(41)3641B a a a a a a -[--]=--+ ..2(6423)2642C a x y a x y +-+-=-=-22..(2)(1)21D x y z x y z --+-=---- 6.若多项式32281x x x -+-与多项式323253x mx x +-+的 和不含二次项,则m 等于( ) 7.如图,边长为3m +() 的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后剩余部分又剪拼成一个矩形不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边 长是( ) 二、填空题 8.单项式2323ab c -的系数为 ,次数为 9.若2512 m x y --与212n xy =是同类项,则m n += 10. 3(2)a a b --= . 11.若代数式2345x x --的值为7,则2453 x x --的值为 12.如图,∠AOB =45?过射线OA 上到点O 的距离分别为 1,3,5,7,9,11,…的点作OA 的垂线与OB 相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为S 1,S 2,S 3,…观察其中的规律,则第n 个黑色梯形的面积S n = 三、解答题 13.计算 1.32)(57)2(24)a b a b a b -+---()( 2222(2).(2)2(3)3(24)x xy y xy x y xy -+---+- 14.化简求值: 2(1)..3(2)322()x x y x y xy y ---[-++],其中 1 ,32 x y =-=-
七年级数学精选试题① 初一数学 学校: 班级: 姓名: 考号: 说明: 1.本试卷满分100分,考试时间60分钟; 2.在试卷的上方内填写班级、姓名、考号,填上座位号,密封线内不要答题; 一、概念默写(10分) 1.(5分)科学记数法: 。 2.(5分)同类项: 。 二、选择题(每空3分,30分) 1.如果x>o,y<0,那么y,y-x,y+x 的大小顺序为( ) A.y>y-x>y+x B.y+x>y-x>y C.y>y+x>y-x D.y+x>y>y-x 2.有理数a,b 在数轴上的位置如图所示,则他们的距离是( ) a 0 b A.a+b B.a-b C.-a+b D.-a-b 3.计算(-1)2011 -(-1)2012的结果是( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 4.下列各组数中互为相反数的是( ) A.-23 与-3 2 B 。-23 与(-2)3 C.-3 2 与(-3)2 D.(-3*2)2与-3*22 5.下列说法正确的是( ) A 。a 为有理数,则a+5一定大于5 B.a 为有理数,则(-a)+|a|可能为负数 C.a,b 为有理数,则a+b>a-b D.a,b 为不等于0的有理数,则ab 与a 同号 b 6.某粮店出售的两种品牌的面粉包装袋上分别标有质量为(25+0.1)千克,(25+0.2)千克的字样,从中任意取出两袋,他们的质量最多相差( ) A.0.8千克 B 。0.6千克 C 。0.5千克 D 。0.4千克 7.若3x+ax+y-6y 合并同类项后,不含有x 项,则a 的值是( ) A.2 B 。-3 C 。0 D 。-1 8.若|a|=3,|b|=4,且|a-b=a-b,则a+b 的值是( ) A.1 B.-1 C.7或1 D.-7或-1 9.π是( ) A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不对 10.若a=(-2)*(-3),b=(-2)3,c=-(-3)2,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 三、填空题(一空1分,9分,第4空2分。) 四、解方程。(16分) 1、(0.5+x)+x=9.8÷2
初一经典应用题汇总 1、绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示: 类别冰箱彩电 进价(元/台) 2 320 1 900 售价(元/台) 2 420 1 980 (1) 按国家政策,农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买 了冰箱、彩电各一台,可以享受多少元的政府补贴? (2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案; ②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价进价),最大利润是多少? 解: (1) (2420+1980)×13%=572 答: 可以享受政府572元的补贴. (2) ①设冰箱采购x台,则彩电采购(40-x)台,根据题意,得 2320x+1 900(40-x)≤85000, x≥(40-x). 解不等式组,得≤x≤ ∵x为正整数. ∴x= 19,20,21.