分类讨论思想例题分析
［线段中分类讨思想的应用］——线段及端点位置的不确定性引发讨论。
例1 已知直线AB 上一点 C ，且有CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为_3 ：2_或_3：4 。
C1 A B C2
练习：已知
A、
B、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M 为线段AB的中点，线段 BC=3cm，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.
解析：(1)点 C在线段 AB上：(2)点 C在线段 AB的延长线上
例2 下列说法正确的是( )
A、两条线段相交有且只有一个交点。
B、如果线段AB=AC 那么点A是BC的中点。
C、两条射线不平行就相交。
D、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。
［与角有关的分类讨论思想的应用］——角的一边不确定性引发讨论。
例3 在同一平面上，∠ AOB=70 °，∠ BOC=30 °，射线 OM 平分∠ AOB ，ON 平分∠ BOC，求∠MON 的大小。(20°或50°)
［练习］已知AOB = 60o,过 O作一条射线 OC，射线OE 平分AOC ，射线OD 平分
A MC N
B AM BNC
这两种情况下，都有DOE= AOB
BOC，求DOE的大小。
2 2
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然AOC 的大小不确 定，但是所求的DOE 与AOC 的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相 同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。
［三角形中分类讨论思想的应用］
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是 由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不 确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
1、三角形的形状不定需要分类讨论
例 4 、 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是
BC 上的高，并且 AD = BD ·DC ，则
∠BCA 的度数为 ____________ 。
解析：因未指明三角形的形状，故需分
类讨论。 如图 1，当△ABC 的高在形内时，
由 AD = BD ·DC ， 得△ABD∽△CAD，进而 可以证
明△ABC 为直角三角形。由 ∠B＝ 25°。可知
∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝ 65°。 如
图2，当高 AD 在形外时，此时
△ABC 为钝角三角形。 由 AD = BD ·DC ， 得
△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25° ∠BCA＝
∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝ 115 ° 2、等腰三角形的分类讨论：
a 、在等腰三角形中求边： 等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底 边，所以我们要进行分类讨论。
例 5 、已知等腰三角形的一边等于 5 ，另一边等于 6 ，则它的周长等于 _____ 。
［练习］若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和 腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm ，哪一部分是 12cm ，因此，应有两种情形。
b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所 以必须分情况讨论。
例 6 、已知等腰三角形的一个内角为 75°则其顶角为（ ）
若设这个等腰三角形的腰长是x cm ， 底边长为 y cm ，可得 得 x = 6, y = 9, 或
x = 8,即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ； y = 5.
1 x + x = x +y 2
9,
12, 或
1 x + x = x +y =
2 12, 9. 当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm 。
A. 30°
B. 75
C. 105°
D. 30°或 75
［练习］1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的
度数。
简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为45°，图 2 中顶角为135°。
2、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B= ___________ 。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例7、已知x，y为直角三角形两边的长，满足x -4 + y -5y+6 =0，则第三边的长为
______________________ 。
解析：由x -4 + y -5y+6 =0
，可得x
2-4=0
且y
2-5y+6=0
x = 2 x = 2
分别解这两个方程，可得满足条件的解y1 =2，或y2 =3
由于 x ， y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。当
两直角边长分别为 2，2时，斜边长为22+22= 2 2；
当直角边长为 2 ，斜边长为 3 时，另一直角边的长为5；
当一直角边长为 2，另一直角边长为 3 时，斜边长为13。
综上，第三边的长为2 2 或5或13。
4、相似三角形的对应角（或边）不确定而进行的分类。
例8、如图所示，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则
AQ的长为（）
4
(D)43 析解：由于以 A 、P 、Q 为顶点的三角
形和以 A 、B 、C 为顶点的三角形有一个公共角 （A ），因此依据相似三角形的判定方法，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥ BC ，这样根据相似三角形的性质可得 AQ = AP ，即 AQ = 2 ，解得AQ = 3；
AB AC 64 二是过点P 作 APQ =
ABC ，交边 AB 于点Q ，这时V APQ : V ABC ，于是有 AQ = AP ，即 AQ = 2，解得AQ = 4. 所以AQ 的长为3或4 ，故应选（B ）。
AC AB 46 3 3
四、本节小结
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确 定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三 角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分 类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同 时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。 (A)3 (B)3或4
3 (C)3或3
4 C