2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（下）期末数学模拟
试卷
一、填空题（共14小题，每小题0分，满分0分）
1．（2015春?扬中市校级期末）不等式≥1的解集是．
2．（2015春?扬中市校级期末）平面内给定向量=（3，2），=（﹣1，2），=（1，6）．满足（+k）∥（+），则实数k=．
3．（2015?淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是．
4．（2015春?扬中市校级期末）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=9，S3=39，则公比
q=．
5．（2015春?扬中市校级期末）在等差数列{a n}中，如果S7＞S6，S7＞S8，那么S6与S9大小关系为．
6．（2015春?扬中市校级期末）已知△ABC面积为S，AB=2，AC=3，且?=S，
则BC=．
7．（2015春?扬中市校级期末）已知直线l过点（3，1），且倾斜角为直线x﹣2y﹣1=0倾斜角的2倍，则直线l的斜截式方程为．
8．（2015春?扬中市校级期末）直线l过点（1，3）且与圆M：x2+（y+1）2=4相交于P、Q，弦PQ长为2，则直线l的方程为．
9．（2015春?扬中市校级期末）如果关于x的不等式（1﹣m2）x2﹣（1+m）x﹣1＜0的解集是R，则实数m的取值范围是．
10．（2015春?扬中市校级期末）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则的取值范围是．
11．（2015春?扬中市校级期末）在边长为2的正三角形ABC中，M是BC边上的中点，
=2，则?=．
12．（2014?常州模拟）已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4=0上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得+=，则x0的取值范围是．13．（2015春?扬中市校级期末）已知数列{+a n}的前n项和为S n=﹣，则数列
{a n}的通项公式a n=．
14．（2015春?扬中市校级期末）已知a，b，c为直角三角形的三边，其中c是斜边，若
++≥0恒成立，则实数t的取值范围是．
二、解答题（共6小题，满分0分）
15．（2015春?扬中市校级期末）已知向量，满足||=2，||=1，向量=3﹣2，=2+k．（1）若|﹣|=2，求向量与夹角θ的余弦值；
（2）在（1）的条件下，求⊥时实数k的值．
16．（2014?徐州三模）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．
17．（2015春?扬中市校级期末）已知a为正实数，函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与x轴
交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）解关于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）证明△ABC为直角三角形．
18．（2015春?扬中市校级期末）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年为0.6
万元，…依等差数列逐年递增．
（1）设该车使用n年的总费用（包括购车费）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年？使得年平均费用最少）？（3）如果汽车采用分期付款的方式购买，在购买一个月后第一次付款，且在每月的同一天等额付款一次，在购买后的第一年（24个月）将货款全部付清，月利率为1%，按复利算，每月应付款多少元给汽车销售商（结果精确到元，参考数据1.0124≈1.27）？
19．（2014春?扬州期末）已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
20．（2015春?扬中市校级期末）已知常数λ∈R，且λ≠0，数列{a n}满足a1=，a n+1=，
n∈N*．
（1）若λ=1，求证：数列{}为等差数列；
（2）若λ=2，求证：数列{﹣2}为等比数列；
（3）是否存在实数λ与前n项和为S n的等比数列{b n}，使得对任意n∈N*，a n=恒成立？如果存在，求出λ与数列{b n}的通项公式；如果不存在，请说明理由．
2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高一（下）期末数
学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题0分，满分0分）
1．（2015春?扬中市校级期末）不等式≥1的解集是（﹣1，0]．
【分析】不等式即≤0，由此求得它的解集．
【解答】解：不等式≥1，即≤0，求得﹣1＜x≤0，
故答案为：（﹣1，0]．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．2．（2015春?扬中市校级期末）平面内给定向量=（3，2），=（﹣1，2），=（1，6）．满
足（+k）∥（+），则实数k=1．
【分析】根据向量坐标的运算公式以及向量平行的等价条件建立方程关系即可．
【解答】解：∵向量=（3，2），=（﹣1，2），=（1，6）．
∴+k=（3+k，2+6k），+=（2，4），
∵（+k）∥（+），
∴4（3+k）﹣2（2+6k）=0，
即k=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查向量坐标的基本运算以及向量平行的坐标公式，注意和向量垂直的坐标公式的区别．
3．（2015?淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是25．
【分析】由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不
等式求得最值．
【解答】解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，
∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，
∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，
则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．
当且仅当a=b=5时上式等号成立．
故答案为：25．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
4．（2015春?扬中市校级期末）等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=9，S3=39，则公比q= 3或．
【分析】根据等比数列的前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：∵a2=9，S3=39，
∴a1+a3=39﹣9=30，
即，
消去首项得，
即3q2﹣10q+3=0，
解得q=3或，
故答案为：3或
【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
5．（2015春?扬中市校级期末）在等差数列{a n}中，如果S7＞S6，S7＞S8，那么S6与S9大小关系为S6＞S9．
【分析】由题意和等差数列的性质可得a8＜0，而S9﹣S6=3a8，可得答案．
【解答】解：∵S7＞S6，S7＞S8，
∴S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0，
∴S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，
∴S6＞S9，
故答案为：S6＞S9
【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
6．（2015春?扬中市校级期末）已知△ABC面积为S，AB=2，AC=3，且?=S，
则BC=．
【分析】根据三角形的面积公式有S=，从而由条件可以得到S，从而可以得到tanA=，这便知道A=，这样在△ABC中由余
弦定理即可求出BC2，从而得出BC的值．
【解答】解：如图，
==；
∴；
即tanA=；
∵0＜A＜π；
∴；
由余弦定理：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=4+9﹣6=7；
∴．
故答案为：．
【点评】考查三角形的面积公式，向量的数量积的计算公式，切化弦公式，以及余弦定理．
7．（2015春?扬中市校级期末）已知直线l过点（3，1），且倾斜角为直线x﹣2y﹣1=0倾斜角的2倍，则直线l的斜截式方程为4x﹣3y﹣9=0．
【分析】先求直线x﹣2y﹣1=0的斜率，进而转化为倾斜角，用2倍角公式求过点（3，1）的斜率，再求解直线方程．
【解答】解：直线x﹣2y﹣1=0的斜率为k=0.5，倾斜角为α，所以tanα=0.5，
过点（3，1）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α==，
故所求直线方程为：y﹣1=（x﹣3），即4x﹣3y﹣9=0
故答案为：4x﹣3y﹣9=0
【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，斜率与倾斜角的关系，倍角公式，关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化．
8．（2015春?扬中市校级期末）直线l过点（1，3）且与圆M：x2+（y+1）2=4相交于P、Q，弦PQ长为2，则直线l的方程为x=1，或15x﹣8y+9=0．
【分析】当直线的斜率不存在时，求出直线方程检验是否满足条件；当直线的斜率存在时，由弦长公式求出圆心到直线的距离等于d，由此求得斜率，即得所求的直线方程．
【解答】解：圆M：x2+（y+1）2=4的圆心为（0，﹣1），半径等于2．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，与圆的交点为（0，﹣1﹣），（0，﹣1+），弦长等于2，满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线y﹣3=k（x﹣1），kx﹣y+3﹣k=0，设圆心到直线的距离等于d，∵2=2，∴d=1，由点到直线的距离公式得=1，
∴k=，直线为15x﹣8y+9=0．
综上，所求的直线方程为x=1，或15x﹣8y+9=0，
故答案为：x=1，或15x﹣8y+9=0．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想．要注意考虑斜率不存在的情况．
9．（2015春?扬中市校级期末）如果关于x的不等式（1﹣m2）x2﹣（1+m）x﹣1＜0的解集是R，则实数m的取值范围是m≤﹣1或m＞．
【分析】讨论m的取值，当m=1、﹣1以及m≠±1时，不等式的解集情况，求出满足题意的实数m的取值范围．
【解答】解：令1﹣m2=0，解得m=±1；
当m=1，不等式化为﹣2x﹣1＜0，不满足题意；
当m=﹣1时，不等式化为﹣1＜0，满足条件；
当m≠±1时，根据题意得，
，
解得，
即m＜﹣1，或m＞
综上，实数m的取值范围是m≤﹣1或m＞．
故答案为：m≤﹣1或m＞．
【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的恒成立问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．
10．（2015春?扬中市校级期末）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
【分析】由题意得到关于a，b的约束条件，画出可行域，然后根据的几何意义求范围．
【解答】解：因为点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，所以（2a+3b ﹣1）（2﹣1）＜0，即2a+3b﹣1＜0，又a＞0，b＞0，
所以a，b满足的平面区域是，
而表示过（1，0）与区域内的点的直线斜率，所以＜﹣3；
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
【点评】本题考查了简单线性规划的运用解决代数式的取值范围问题解答的关键是明确a，b的约束条件，正确画图，利用目标函数的几何意义求最值．
11．（2015春?扬中市校级期末）在边长为2的正三角形ABC中，M是BC边上的中点，
=2，则?=﹣1．
【分析】将所求中的两个向量分别利用三角形的两边、表示，然后计算向量的乘法运
算．
【解答】解：如图
由已知边长为2的正三角形ABC中，M是BC边上的中点，=2，
则
?===
=﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则的运用以及数量积公式的运用；关键是将所求以
、为基底表示出来．
12．（2014?常州模拟）已知圆C：x2+y2=1，点P（x0，y0）是直线l：3x+2y﹣4=0上的动点，
若在圆C上总存在不同的两点A，B使得+=，则x0的取值范围是．．【分析】在圆C上总存在不同的两点A，B使得+=，可知：四边形OAPB是菱形，
于是AB垂直平分OP．分类讨论：当直线AB的斜率为0时，此时在⊙C上不存在不同的两点A，B满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，可得P，此时直线AB为：，满足条件．
当直线AB的斜率存在且不为0时，利用AB⊥OP，，可得直线AB方程为
，
圆心到直线AB的距离，即，再利用3x0+2y0﹣4=0，即可解出．
【解答】解：∵在圆C上总存在不同的两点A，B使得+=，
∴四边形OAPB是菱形，∴AB垂直平分OP．
当直线AB的斜率为0时，由直线l：3x+2y﹣4=0得P（0，2），此时在⊙C上不存在不同的两点A，B满足条件．
当直线AB的斜率不存在时，由直线l：3x+2y﹣4=0可得P，此时直线AB为：，
满足条件．
当直线AB的斜率存在且不为0时，
∵AB⊥OP，，∴．
∴直线AB方程为，化为，
圆心到直线AB的距离，即，
又3x0+2y0﹣4=0，化为，
解得，
∴x0的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．
13．（2015春?扬中市校级期末）已知数列{+a n}的前n项和为S n=﹣，则数列
{a n}的通项公式a n=n．
【分析】通过+a n=S n﹣S n﹣1计算可知：a n=n（n≥2），验证a1=1亦满足上式即可．
【解答】解：∵S n=﹣，
∴当n≥2时，+a n=S n﹣S n﹣1
=（﹣）﹣（﹣）
=n+，
∴a n=n，
又∵+a1=S1=，
即a1=1亦满足上式，
∴a n=n，
故答案为：n．
【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．14．（2015春?扬中市校级期末）已知a，b，c为直角三角形的三边，其中c是斜边，若
++≥0恒成立，则实数t的取值范围是[﹣9，+∞）．
【分析】问题转化为：t≥﹣（+）恒成立，根据基本不等式的性质，求出即可．
【解答】解：∵a，b，c为直角三角形的三边，其中c是斜边，
∴a2+b2=c2，
若++≥0恒成立，
则t≥﹣（+）
=﹣（1++4+）
=﹣（5+2）
=﹣9，
当且仅当a=b时“=”成立，
故答案为：[﹣9，+∞）．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查勾股定理，是一道基础题．
二、解答题（共6小题，满分0分）
15．（2015春?扬中市校级期末）已知向量，满足||=2，||=1，向量=3﹣2，=2+k．（1）若|﹣|=2，求向量与夹角θ的余弦值；
（2）在（1）的条件下，求⊥时实数k的值．
【分析】（1）将等式平方展开，求出向量与的数量积，利用数量积公式求夹角；
（2）在（1）的条件下，由⊥得到数量积为0，展开得到关于k的等式解之．
【解答】解：（1）由已知得到|﹣|2=4即，所以=，所以向量与
夹角θ的余弦值为：；
（2）⊥时，?=0，所以（3﹣2）?（2+k）
=．即24﹣2k+﹣2=0，解得k=44．
【点评】本题考查了利用向量的数量积公式求夹角以及向量垂直的性质的运用；比较基础．
16．（2014?徐州三模）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．
【分析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数；
（2）设||=x，由3=，得||=3x，由A的度数与C度数相等，可得出||=3x，B=，
利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：（1）∵=（sinA，1），=（1，cosB），且⊥，
∴sinA+cosB=0，
又C=，A+B+C=π，
∴sinA+cos（﹣A）=0，即sinA﹣cosA+sinA=sin（A﹣）=0，
又0＜A＜，∴A﹣∈（﹣，），
∴A﹣=0，即A=；
（2）设||=x，由3=，得||=3x，
由（1）知A=C=，
∴||=3x，B=，
在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，
解得：x=1，
∴AB=BC=3，
则S△ABC=BA?BC?sinB=×3×3×sin=．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
17．（2015春?扬中市校级期末）已知a为正实数，函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与x轴
交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）解关于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）证明△ABC为直角三角形．
【分析】（1）不等式f（x）＞f（1）可化为：ax2﹣a2x+a2﹣a＞0（a＞0）；对a值进行分类讨论，可得不等式的解集；
（2）由函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与x轴交于A，B两点，可得AB==，利用基本不等式可得AB的最小值；
（3）利用向量法，证明出⊥，可得：△ABC为直角三角形．
【解答】解：（1）不等式f（x）＞f（1）可化为：ax2﹣a2x﹣＞a﹣a2（a＞0），
即ax2﹣a2x+a2﹣a＞0（a＞0）；
解ax2﹣a2x+a2﹣a=0得x=1，或x=a﹣1，
∴a≥2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a﹣1，+∞）；
a＜2时，不等式的解集为（﹣∞，a﹣1）∪（1，+∞）；
（2）∵函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与x轴交于A，B两点，
∴AB===≥=2，
当且仅当，即a=时取等号，
故AB的最小值为2；
证明：（3）∵函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与x轴交于A，B两点，
故A，B两点坐标为（，0），
∵函数f（x）=ax2﹣a2x﹣的图象与y轴交于C点．
故C点坐标为（0，﹣），
故=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），
∵?=（﹣）×（﹣）+（﹣）2=0，
故⊥，
即△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，二次函数，基本不等式，判断三角形的形状，综合性强，属于难题．
18．（2015春?扬中市校级期末）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、汽油费费用共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年为0.6万元，…依等差数列逐年递增．
（1）设该车使用n年的总费用（包括购车费）为f（n），试写出f（n）的表达式；
（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年？使得年平均费用最少）？（3）如果汽车采用分期付款的方式购买，在购买一个月后第一次付款，且在每月的同一天等额付款一次，在购买后的第一年（24个月）将货款全部付清，月利率为1%，按复利算，每月应付款多少元给汽车销售商（结果精确到元，参考数据1.0124≈1.27）？
【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可写出f（n）的表达式；
（2）求出年平均费用，利用基本不等式进行求解即可；
（3）利用等比数列的求和公式建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意，得：f（n）=14.4+（0.2+0.4+…+0.2n）+0.9n
=14.4++0.9n=0.1n2+n+14.4，（n∈N?），
（2）设该车的年平均费用为S万元，则有：
S=（0.1n2+n+14.4）=++1≥2=2=3.4，
当且仅当，即：n=12时，等号成立．
故汽车使用12年报废最合算．
（2）设每月付款a元，那么
a+a×1.01+a×1.012+…+a×1.0123=14.4×1.0124，
即=14.4×1.0124，
即，
解得a≈6773．
【点评】本题主要考查与数列有关的应用问题，根据等差数列和等比数列的求和公式以及基本不等式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
19．（2014春?扬州期末）已知圆O：x2+y2=1和点M（1，4）．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣8截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）M（1，4）在圆外，切线有两条；
（2）求出点M（1，4）到直线2x﹣y﹣8=0的距离，利用弦长，可求圆M的方程；
（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，可得（2﹣2λ+2aλ）x+（8﹣8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）=0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则
，即可得出结论．
【解答】解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线；…（1分）
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，
∴圆心O到切线的距离为：，解得：
∴直线方程为：15x﹣8y+17=0．
综上，切线的方程为：x=1或15x﹣8y+17=0…（4分）
（2）点M（1，4）到直线2x﹣y﹣8=0的距离为：，
又∵圆被直线y=2x﹣8截得的弦长为8，
∴…（7分）
∴圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣4）2=36…（8分）
（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），
∵点P在圆M上，∴（x﹣1）2+（y﹣4）2=36，则x2+y2=2x+8y+19…（10分）
∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，
∴PQ2=PO2﹣1=x2+y2﹣1，PR2=（x﹣a）2+（y﹣b）2，
∴x2+y2﹣1=λ[（x﹣a）2+（y﹣b）2]，即2x+8y+19﹣1=λ（2x+8y+19﹣2ax﹣2by+a2+b2）整理得：（2﹣2λ+2aλ）x+（8﹣8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）=0（*）
若使（*）对任意x，y恒成立，则…（13分）
∴，代入得：
整理得：36λ2﹣52λ+17=0，解得：或∴或
∴存在定点R（﹣1，﹣4），此时为定值或定点R，此时为定值
．…（16分）
【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．
20．（2015春?扬中市校级期末）已知常数λ∈R，且λ≠0，数列{a n}满足a1=，a n+1=，
n∈N*．
（1）若λ=1，求证：数列{}为等差数列；
（2）若λ=2，求证：数列{﹣2}为等比数列；
（3）是否存在实数λ与前n项和为S n的等比数列{b n}，使得对任意n∈N*，a n=恒成立？如果存在，求出λ与数列{b n}的通项公式；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）通过λ=1，对a n+1=两边取倒数，进而可得结论；
（2）通过λ=2，对a n+1=变形可得﹣2=?（﹣2），进而可得结论；
（3）假设存在实数λ与前n项和为S n的等比数列{b n}满足条件，分别令n=1、2、3，代入计算可得b1=1、λ=或λ=2，分λ=、λ=2两种情况讨论即可．
【解答】证明：（1）∵λ=1，
∴a n+1==，
∴==2+，
即﹣=2，
又∵a1=，∴=3，
∴数列{}是以3为首项、2为公差的等差数列；
（2）∵λ=2，
∴a n+1==，
∴=?=1+?，
∴﹣2=1+?﹣2=?﹣1=?（﹣2），
又∵a1=，∴﹣2=3﹣2=1，
∴数列{﹣2}是以1为首项、为公比的等比数列；
（3）结论：存在实数λ=2与通项为b n=2n﹣1的等比数列{b n}满足题意．理由如下：
假设存在实数λ与前n项和为S n的等比数列{b n}满足条件，
则当n=1时，有：a1=，
又∵a1=，∴b1=1；
当n=2时，有：a2=，
又∵a2===，
∴=，解得b2=；
当n=3时，有：a3=，
又∵a3===，
b3==（）2，
∴=，
整理得：3λ2﹣11λ+10=0，
解得：λ=或λ=2，
下面分情况讨论：
①当λ=时，b2==，
∴b n=，S n==﹣2+，
∴S n+2=，=，
另一方面有：a n+1==，
显然对任意n∈N*，a n+1=不恒成立，
∴λ=不满足题意；
②当λ=2时，b2==2，
∴b n=2n﹣1，S n==2n﹣1，
∴S n+2=2n+1，=，
由（2）知此时数列{﹣2}是以1为首项、为公比的等比数列，
∴﹣2=，∴=2+=，
∴a n=，
∴a n==，
∴λ=2满足题意；
综上所述：存在实数λ=2与通项为b n=2n﹣1的等比数列{b n}满足题意．
【点评】本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．
参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；maths；sxs123；lincy；wkl197822；翔宇老师；刘长柏；742048；changq；沂蒙松；cst；1619495736；sllwyn（排名不分先后）
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2016年5月13日
江苏高一招生数学试卷 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-
2003年江苏省高一招生数学试卷 (满分120分，时间120分钟) 一、填空(1-5题每题2分，6-10题每题3分，共25分) 1.已知函数3 2 )1 (-- + =k k x k y是反比例函数，则k= 2.一次函数y=ax+4(a 为常数)，当x增加2时，y的值减少了3，则a= 3.已知m、n满足0 1 3 ,0 1 32 2= - - = - -n n m m，则 n m m n +的值等于 4.如果x的不等式组 ?? ? ? ? > - < - 2 1 2 1 x a x 的解集是x<2，那么a 的取值范围是 5.△ABC中，AB=5，中线AD=7，则AC边的取值范围 是 6.如图1，△ABC中，AB=AC，高AD、BE相交于点 H，AH=8，DH=1，则tgC的值是 7.如果菱形有一个角是45，且边长是2，那么这个菱形 两条对角线的乘积等于 8.如图2，AB是圆O的直径，弦CDAB于E，P是 BA延长线上一点，连结PC交圆O于F，若PF=7， FC=13，PA：AE：EB=2：4：1，则CD长为 9.AB是圆O的直径，以AB为底的圆O的内接梯形 对角线交点的轨迹是 10.已知圆O的直径AB=2cm，过A点的两弦 AC=2cm，AD=3cm，则CAD所夹圆内部分的面 积是 cm2 二、选择题：(11-15每小题2分，16-20每小题3分，共25分) 11.如果关于x的方程0 1 2 )1 (2= - + + +m mx x m有实数根，则 ( ) A、m1 B、m= -1 C、m1 D、m为全体实数 12.下列方程中，有实数解的是 ( ) A、0 4 1= + + -x x B、1 1 52 2= - + +x x C、3 4 1= + + +x x D、4 3 2 7- - = -x x 图1 C
【典型题】高一数学上期中一模试题(带答案)(1) 一、选择题 1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C = A ．{1,1}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}- D ．{2,3,4} 2．函数()1 11 f x x =- -的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知函数2 24()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是 A ．2 B ． 3116 C ． 158 D ．1 4．已知函数2 ()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b += （ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．2019 5．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若 12log 3a f ??= ??? ，()1.22b f -=，12c f ?? = ???，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >> 6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2） 7．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数 D ．奇函数，且在(0,10)是减函数 8．已知函数(),1log ,1 x a a x f x x x ?≤=?>?（1a >且1a ≠），若()12f =，则 12f f ????= ? ????? （ ）
江苏省高一下学期数学第一次月考试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高三上·邹城期中) 已知 , ，则与的夹角为（） A . B . C . D . 2. （2分） (2020高一下·扬州期中) 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ，则的形状是（） A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 不确定 3. （2分） (2015高二下·会宁期中) 等差数列{an}中，S10=120，那么a2+a9的值是（） A . 12 B . 24 C . 16 D . 48 4. （2分）已知平面向量，，若，则等于（） A .
B . C . D . 5. （2分）(2018·吉林模拟) 若公差为的等差数列的前项和为 ,且成等比数列，则（） A . B . C . D . 6. （2分） (2020高一下·河北期中) 在中，若，则的形状是（） A . 钝角三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 不能确定 7. （2分）如图，在塔底的正西方处测得塔顶的仰角为，在它的南偏东的处测得塔顶的仰角为，若的距离是，则塔高为（） A . B .
C . D . 8. （2分） (2016高一下·石门期末) 在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列公比，则这个三角形是（） A . 钝角三角形 B . 锐角三角形 C . 等腰直角三角形 D . 以上都不对 9. （2分） (2019高二上·河南期中) 为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路两点进行测量.在 点测得塔底在南偏西，塔顶仰角为，此人沿着南偏东方向前进10米到点，测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（） A . 5米 B . 10米 C . 15米 D . 20米 10. （2分） (2019高一下·淮安期末) 三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段（） A . 能组成直角三角形 B . 能组成锐角三角形 C . 能组成钝角三角形 D . 不能组成三角形 11. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（） A . 直角三角形
2020年高一数学上期中试题(及答案) 一、选择题 1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞） 2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分 别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足． A ．1a b << B ．1b a << C ．1b a >> D ．1a b >> 4．设集合{|32}M m m =∈-< 江苏省镇江市2019—2020学年度第一学期期末考试试卷 高一数学 2020．1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．若集合A ＝{0，1}，集合B ＝{0，﹣1}，则A B ＝ A ．{0} B ．{0，1，﹣1} C ．{0，1，0，﹣1} D ．{1，﹣1} 2．命题“R x ?∈，20x x +>”的否定是 A ．R x ?∈，20x x +< B ．R x ?∈，20x x +≤ C ．R x ?∈，20x x +≤ D ．R x ?∈，20x x +> 3．若幂函数()(Q)f x x αα=∈的图象过点(4，2)，则α＝ A ．12? B ．﹣2 C ．2 D ．12 4．设函数2410()log 0 x x f x x x ??≤=?>?，，，则1()2f ＝ A ．﹣1 B ．1 C ．12? D ．22 5．求值tan(﹣1140°)＝ A ．3 B ．3 C ．3? D ．3? 6．已知方程8x e x =?的解0x ∈(k ，k ＋1)(k ∈Z)，则k ＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．函数(22)sin x x y x ?=?在[﹣π，π]的图象大致为 8．《九章算术)是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早 一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中 容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC ，勾(短直角边)BC 长5步， 股(长直角边) AB 长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF (D ，E ，F 分别在边AC ，AB ，BC 上)边长为多少？在如图所示中，在 求得正方形DEBF 的边长后，可进一步求得tan ∠ACE 的值为 A ．264229 B ．144229 C ．611 D ．229144 第8题 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．若a ＜b ＜0，则下列不等式中正确的是 A ．22a b < B ．11a b > C ．122a b << D ．a b ab +< 10．在下列各函数中，最小值为2的函数是 A ．222y x x =++ B ．1(0)y x x x ?=+> C ．3sin y x =? D ．1x y e =+ 11．使不等式110x +>成立的一个充分不必要条件是 A ．x ＞2 B ．x ≥0 C ．x ＜﹣1或x ＞1 D ．﹣1＜x ＜0 12．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O 点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速 逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有 A ．经过3分钟，点P 首次到达最低点 B ．第4分钟和第8分钟点P 距离地面一样高 C ．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P 距离地面的高度一直 在降低 D ．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米 第12题 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第14题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 高一数学上学期期中考试试卷 一. 选择题（本大题共11小题，每小题4分，共44分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上。） 1. 设{}{}{} S M N ===1231213，，，，，，，那么（）C M C N S S ()等于（ ） A. ? B. {}13， C. {}1 D. {}23， 2. 不等式()()x x --<120的解集为（ ） A. {} x x x ||<>12或 B. {}x x |-<<21 C. {} x x x |<->21或 D. {}x x |12<< 3. 函数y x x =≤2 0()的反函数为（ ） A. y x x =≥（）0 B. y x x =-≥（）0 C. y x x = -≤（）0 D. y x x =--≤（）0 4. 下列函数中哪个与函数y x =是同一个函数（ ） A. y x =()2 B. y x x =2 C. y x =33 D. y x = 2 5. 不等式11 2 1- 江苏省高一下学期数学期中复习试卷1 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 不等式2－x x ＋3 ＞0的解集为___________． 2. 若x ＞0、y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ·y 的最大值为______． 3. sin15o·sin30o·sin75o的值等于___________． 4. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 6＋3a 7＝20，则2a 7―a 8的值为_________． 5. 函数y ＝3sin x ＋cos x ，x ∈[―π6，π6 ]的值域是_________． 6. 若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为??－12,? ?13，则a －b ＝________． 7. 函数y ＝sin ????π2＋x cos ????π6－x 的最小正周期为________． 8. 在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 12＝__________． 9. 在△ABC 中，已知A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则C ＝___________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4＝S 8，则当S n 取最大值时，n 的值为____________． 11. 已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为_________． 12. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝(a ＋1)n 2＋a ，某三角形三边之比为a 2∶a 3∶a 4，则该三角形的最大角为________． 13. 若f (x )＝x ＋a x －1 在x ≥3时有最小值4，则a ＝_________． 14. 已知△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且BC 边上的高为a ，则b c ＋c b 的取值范围为______． 二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15. (本题满分14分) 已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边． （1）若△ABC 面积为32 ，c ＝2，A ＝60o，求a ，b 的值； （2）若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论． 2017—2018学年度第一学期高一年级期中考试数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分 ） 1．设集合{|32}M m m =∈-< 2015年底数学必修一复习详细资料及例题 第一章 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征： ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法： ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系： 从属关系：对象 ∈、? 集合；包含关系：集合 ?、ü 集合 五．三种运算： 交集：{|}A B x x A x B =∈∈I 且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈U 或 补集： U A {|U } x x x A =∈?且e 六．运算性质： ⑴ A ?=U A ，A ?=I ?． ⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ?，则A B =I A ，A B =U B ． ⑷ U A A =I （）e?，U A A =U （）eU ，U U A =（）痧A ． ⑸ U U A B =I （）（）痧U A B U （）e， U U A B =U （）（）痧U A B I （） e． ⑹ 集合 123{,,,,} n a a a a ???的所有子集的个数为2n ，所有真子集的个数为21n -，所有 非空真子集的个数为22n -，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为2 n C ． 第二章 函数 指数与对数运算 一．分数指数幂与根式： 如果n x a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a 的n 次方根有1；当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2 个，其中正的n ．负的n 次方根记做． 1．负数没有偶次方根； 2 ．两个关系式：n a = ； ||a n a n ?=??为奇数为偶数 3 、正数的正分数指数幂的意义： m n a = 正数的负分数指数幂的意义：m n a - = ． 4、分数指数幂的运算性质： ⑴ m n m n a a a +?=； ⑵ m n m n a a a -÷=； ⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m m a b a b ?=?； ⑸ 0 1a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数 二．对数及其运算 1．定义：若b a N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log a b N =． 2．两个对数： ⑴ 常用对数：10a =， 10log lg b N N ==； ⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N ==． 3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即 log 10 a =； ⑵ 底数的对数是1，即 log 1 a a =； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则： ⑴ log ()log log a a a MN M N =+； ⑵ log log log a a a M M N N =-； ⑶ log log n a a M n M =； ⑷ 1 log log a a M n = ． 5．其他运算性质： 2017－2018学年度第一学期期末考试 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４页，满分120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 参考公式： 1．锥体的体积公式1 ,,.3 V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2．球的表面积公式2 4S R π=,球的体积公式3 43 R V π=，其中R 为球的半径. 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = （ ） A ．{}0 B ．{}1,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线 （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上均有可能 3．已知幂函数()α x x f =的图象经过点? ?? ?? 2， 22，则()4f 的值等于 （ ） A ．16 B.116 C ．2 D.1 2 4. 函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ） A.（-2,1） B.[-2,1] C.()+∞-,2 D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值为 （ ） A B ．C D ．2 6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α D ．若m ⊥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α⊥β 高一(下)期中考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置 上． 1．cos 75°＝ ． 2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ． 3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝ ． 4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝ ． 5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝ ． 8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝ ． 9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝ ． 10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n ＝5(n ∈N *)，则a 1＝ ． 11．已知正数a ，b 满足1a ＋2 b ＝2，则a ＋b 的最小值是 ． 12．下列四个数中，正数的个数是 ． ① b ＋m a ＋m －b a ，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *； ③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ；江苏省镇江市2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试题及答案
高一数学上学期期中考试试卷及答案
江苏省高一下学期数学期中复习试卷
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2017-2018高一数学上学期期末考试试题及答案
江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题
高一数学上学期期中考试试卷含答案