专题七 平面解析几何
1.(2012·高考课标全国卷)设F 1、F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线
x =3a
2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45
2.(2012·高考山东卷)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2
=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )
A .x 2=833y
B .x 2=163
3
y
C .x 2=8y
D .x 2=16y
3.(2012·高考福建卷)直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于( )
A .2 5
B .2 3 C. 3 D .1 4.(2012·高考浙江卷) 如图,中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M ,N 是双曲线的两顶点.若M ,O ,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
A .3
B .2 C. 3 D. 2 5.(2012·高考辽宁卷)已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )
A .1
B .3
C .-4
D .-8
6.(2012·高考江西卷)椭圆x 2a 2+y
2b
2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别
是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为( )
A.14
B.55
C.12
D.5-2 7.(2012·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________.
8.(2012·高考江西卷)过直线x +y -22=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是__________.
9.(2012·高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点P ????5a 5
,22a 在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点,O 为坐标原点,若点Q 在椭圆上且满足|AQ |=|AO |,求直线OQ 的斜率的值.
10.(2012·高考江苏卷)如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平
面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y =kx -1
20
·(1
+k 2)x 2(k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
11.(2012·高考安徽卷) 如图,F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点,
A 是椭圆C 的顶点,
B 是直线AF 2与椭圆
C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403,求a ,b 的值.
12.(2012·高考陕西卷)已知椭圆C 1:x 24
+y 2
=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有
相同的离心率.
(Ⅰ)求椭圆C 2的方程;
(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB →=2OA →
,求直线AB 的方程.
13.(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C :2x 2-y 2=1. (1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,若|MF |=22,求点M 的坐标; (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为k (|k |<2)的直线l 交C 于P 、Q 两点,若l 与圆x 2+y 2=1相切,求证:OP ⊥OQ .
14.(2012·高考重庆卷) 如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B 1作直线交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求△PB 2Q 的面积.
专题七 平面解析几何
1.C 由题意可知∠PF 2x =60°,|PF 2|=(3a
2
-c )cos60°=3a -2c ,由
|PF 2|=|F 1F 2|,得3a -2c =2c ,∴e =3
4
,故选C.
2.D ?
????c a
=2a ·p 2
a 2+
b 2
=2
,可得p =8,故选D.
3.B 圆心到直线的距离d =|0+0-2|
2
=1,
∴|AB |=2r 2-d 2=24-1=2 3.
4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1,2a 2,则易得a 1=2a 2,又∵焦距相等, ∴e 2∶e 1=2.
5.C P A 方程为:y -8=4(x -4),即y =4x -8,
同理QA 为:y =-2x -2, 解得x =1,∴y =-4. 6.
B 如图|AF 1|=a -c , |F 1F 2|=2c ,|F 1B |=a +c , ∴4c 2=a 2-c 2,
∴e =c a =55.
7.4
3
根据题意,x 2+y 2-8x +15=0,将此化成标准形式为(x -4)2+y 2=1,得到该圆的圆心为M (4,0),半径为1,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,只需要圆心M (4,0)到直线y =kx -2的距离d ≤1+1=2即可,所以
有d :|4k -2|k 2+1
≤2,化简得k (3k -4)≤0,解得0≤k ≤43,所以k 的最大值为43.
8.
(2,2) 设P (x 0,y 0)如图 |PO |=2.
∴???x 20
+y 20=4x 0+y 0-22=0
. 则x 20+(x 0-22)2
=4, ∴x 20-22x 0
+2=0. ∴(x 0-2)2=0,∴x 0=2,y 0= 2.
9.解:(Ⅰ)因为点P ???
?55a ,22a 在椭圆上,故a 25a 2+a 22b 2=1,可得b 2a 2=58. 于是e 2
=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=38,所以椭圆的离心率e =64
.
(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ,则其方程为y =kx ,设点Q 的坐标为(x 0,y 0).
由条件得?????y 0
=kx 0,x 20a 2+y 20
b 2
=1. 消去y 0并整理得x 2
0=a 2b 2
k 2a 2+b
2.①
由|AQ |=|AO |,A (-a ,0)及y 0=kx 0,
得(x 0+a )2+k 2x 20=a 2.整理得
(1+k 2)x 20+2ax 0=0,而x 0≠0,故x 0
=-2a 1+k 2
, 代入①,整理得(1+k 2)2=4k 2
·a 2
b
2+4.
由(Ⅰ)知a 2b 2=85,故(1+k 2)2=32
5
k 2+4,
即5k 4-22k 2-15=0,可得k 2=5. 所以直线OQ 的斜率k =±5.
10.解:(1)令y =0,得kx -1
20
(1+k 2)x 2=0,由实际意义和题设条件知x >0,k >0,
故x =20k 1+k 2
=20k +1k
≤20
2=10,当且仅当k =1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a >0,所以炮弹可击中目标?存在k >0,
使3.2=ka -1
20
(1+k 2)a 2成立
?关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64=0有正根 ?判别式Δ=(-20a )2-4a 2(a 2+64)≥0 ?a ≤6.
所以当a 不超过6(千米)时,可击中目标.
11.解:(Ⅰ)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,
所以e =1
2
.
(Ⅱ)法一:因为a 2=4c 2,b 2=3c 2,所以b
c
=3,
直线AB 的方程可为:y =-3(x -c ), 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,
得B (85c ,-335
c ),
所以|AB |=1+3·????85c -0=165
c . 由S △AF 1B =12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB =12a ·165c ·32=235
a 2
=403,
解得a =10,b =5 3. 法二:设|AB |=t .
因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a ,
由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a -t , 再由余弦定理(3a -t )2=a 2+t 2-2at cos60°可得, t =85
a , 由S △AF 1B =12a ·85a ·32=235
a 2
=403知,
a =10,
b =5 3.
12.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2
4
=1(a >2).
其离心率为32,故a 2-4a =3
2
,则a =4,
故椭圆C 2的方程为y 216+x
24
=1.
(Ⅱ)法一:A ,B 两点的坐标分别记为(x A ,y A ),(x B ,y B ),由OB →=2OA →
及(Ⅰ)知,O 、A 、B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y =kx .
将y =kx 代入x 24+y 2
=1中,得(1+4k 2)x 2=4,
所以x 2
A =41+4k 2
,将y =kx 代入y 216+x 2
4=1中,
得(4+k 2)x 2=16,所以x 2B =16
4+k 2
,
又由OB →=2OA →得x 2B =4x 2A ,即164+k 2=161+4k 2
, 解得k =±1,故直线AB 的方程为y =x 或y =-x . 法二:A ,B 两点的坐标分别记为(x A ,y A ),(x B ,y B ), 由OB →=2OA →
及(Ⅰ)知,O ,A ,B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上,因此可设直线AB 的方程为y =kx .
将y =kx 代入x 24+y 2
=1中,得(1+4k 2)x 2=4,
所以x 2A =4
1+4k 2
, 由OB →=2OA →得x 2B =161+4k 2,y 2
B =16k 21+4k 2
,
将x 2B ,y 2
B 代入y 216+x 2
4=1中,得4+k 21+4k 2
=1,
即4+k 2=1+4k 2,解得k =±1, 故直线AB 的方程为y =x 或y =-x .
13.解:(1)双曲线C :x 212
-y 2=1,左焦点F ????-6
2,0.
设M (x ,y ),则|MF |2=????x +622+y 2
=????3x +222,
由M 点是右支上一点,知x ≥2
2
,
所以|MF |=3x +22=22,得x =6
2
.
所以点M 的坐标为???
?6
2,±2.
(2)由(1)知,左顶点A ???
?-2
2,0,渐近线方程:y =±2x .
过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为:
y =2?
???x +2
2,即y =2x +1.
解方程组???y =-2x
y =2x +1
,得?
??x =-2
4,
y =12
.
所求平行四边形的面积为S =|OA ||y |=2
4
.
(3)设直线PQ 的方程是y =kx +b ,因直线PQ 与已知圆相切,故|b |
k 2+1
=1,即b 2=k 2
+1(*).
由????
?y =kx +b 2x 2-y 2=1
,得(2-k 2)x 2-2kbx -b 2-1=0. 设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),则?
????x 1+x 2=2kb
2-k 2
,
x 1x 2=-1-b 2
2-k 2
.
又y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b ),
所以OP →·OQ →
=x 1x 2+y 1y 2
=(1+k 2)x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2 =(1+k 2)(-1-b 2)2-k 2+2k 2b 22-k 2+b 2 =-1+b 2-k 22-k 2
.
由(*)知,OP →·OQ →
=0,所以OP ⊥OQ .
14.解:(Ⅰ)如图,设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c ,0).
因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|=|AB 2|,故∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即b =c
2
.
结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,
故a 2=5b 2,c 2=4b 2,
所以离心率e =c a =2
5
5.
在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,故S △AB 1B 2=12·|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c
2
·b =b 2,
由题设条件S △AB 1B 2=4得b 2=4,从而a 2=5b 2=20.
因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 2
4
=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(-2,0)、B 2(2,0).由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为:x =my -2.代入椭圆方程得
(m 2+5)y 2-4my -16=0. (*) 设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),
则y 1,y 2是上面方程的两根,因此
y 1+y 2=4m
m 2+5,y 1·y 2=-16m 2+5.
又B 2P →=(x 1-2,y 1),B 2Q →
=(x 2-2,y 2),
所以B 2P →·B 2Q →
=(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2
=(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16 =-16(m 2+1)m 2+5-16m 2m 2+5+16
=-16m 2-64m 2+5
,
由PB 2⊥QB 2,知B 2P →·B 2Q →
=0,即16m 2-64=0, 解得m =±2.
当m =2时,方程(*)化为:9y 2-8y -16=0,
故y 1=4+4109,y 2=4-4109,|y 1-y 2|=8
9
10,
△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2|·|y 1-y 2|=16
9
10.
当m =-2时,同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S =16
9
10,
16
综上所述,△PB2Q的面积为
910.
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则