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2020高考冲刺真题汇编-平面解析几何(解析版)

专题05 平面解析几何

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与

C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212

x y +=

B ．22

132x y += C ．22

143

x y +=

D ．22

154

x y += 【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==??．

在12AF F △中，由余弦定理得2

14422243n n n n +-???

，解得2

n =．

22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为

132

x y +=，故选B ．

法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122

2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?

，

又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去

2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得

n =

．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆

2231x y p

=的一个焦

点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8

【答案】D

【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2

是椭圆

2231x y p p +=的一个焦点，所以2

3()2

p p p -=，解得8p =，故选D ．

【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为

坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222

x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C

的离心率为

A B

C ．2

【答案】A

【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又

||PQ OF c ==，||,2

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

∴||2c OA =

，,22c c P ??∴ ???

，又P 点在圆2

x y a +=上，222

c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．

e ∴=，故选A ．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22

x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐

近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为

A B

C ．

D ．【答案】A

【解析】由2,a b c ====,P PO PF x =∴=

，

又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =

上，则P P b y x a =?==

2224

PFO P S OF y ∴=

?==

△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．

5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A ．a 2

=2b 2

B ．3a 2=4b

C ．a =2b

D ．3a =4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识?基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：

221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C ；

③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②

D ．①②③

【答案】C 【

解

析】由

221x y x y

+=+得，

1y x y x -=-，

222

||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ?

?厔，所以x 可取的整数有0，?1，1，从而曲线2

:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，1)， (?1，0)，(?1，1)，共6个整点，结论①正确.

由2

1x y x y +=+得，222

x y x y +++…，解得22

2x y +≤，所以曲线C 上任意一

. 结论②正确.

如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -，四边形ABCD 的面积13

111122

ABCD S =

??+?=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.

故选C.

【名师点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识?基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将

所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线

1(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||A B O F =（O 为原点），则双曲线的离心率为

A B

C ．2

D 【答案】D

【解析】抛物线2

4y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，则有(1,),(1,)b b A B a a ---，

∴2b AB a =，

24b

=，2b a =，

∴c e a ===故选D.

【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.

8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是

A ．

B ．1

C D ．2

【答案】C

【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，

所以双曲线的离心率c

e a

=故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

9．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230

x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-

【解析】由题意可知11

:1(2)22

AC k AC y x =-

?+=-+，把(0,)m

代入直线AC 的方程得2m =-

，此时||r AC ==

=【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．

【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22

(2)16x y -+=，

与方程22

x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x

轴的上方，求得32P ?- ??

，所以212

k ==.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3

p p a ex x -=?=-

，

从而可求得3,22P ??

- ? ???

，所以212

k ==.

【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.

11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22

+13620

x y =的两个焦点，M 为C 上一

点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.

【答案】(

【解析】由已知可得2

36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，

11228MF F F c ∴===，∴24MF =．

设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001

MF F S F F y y =??=△，

又1201

4,42

MF F S y =

?=∴=△

，解得0y =，

20136

x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）

，

M \的坐标为(．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分

别求出12MF MF 、

，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点

分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB

=，120F B F B ?=，则C 的离心率为____________．

【答案】2

【解析】如图，由1,

F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120

F B F B ?=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，

又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠

又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=

又渐近线OB 的斜率为

tan 60b

=?=

2c e a =

===．

【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关

系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而

由

t a n 63b

=?. 13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

21(0)y x b b

-=>经过点

（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .

【答案】y =

【解析】由已知得2

2431b

，解得b =

b =

因为0b >

，所以b =

因为1a =

，所以双曲线的渐近线方程为y =.

【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.

14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4

【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4

y x x

=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2

11y x '=-

，得)x x ==

，y =

Q ，则切点Q 到直线x +y =0

4=，

故答案为4．

【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2

=3x 的焦点为F ，斜率为

的直线l 与

C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）3728y x =

-；（2

【解析】设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+．（1）由题设得3,04F ??

???

，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．

由2323y x t y x

=+???=?，可得22

912(1)40x t x t +-+=，则12

12(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --

=，得7

t =-．所以l 的方程为37

y x =

-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．

由232

3y x t y x

=+???=?，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得121

3,3

x x ==

．

故||AB =

．【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.

16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (?2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM

与BM 的斜率之积为?1

.记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结

QE 并延长交C 于点G .

（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）

. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ?=-+-，化简得22

1(||2)42

x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．

由2

2142

y kx

x y =???+=?

得x =

记u =

，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．

于是直线QG 的斜率为

2k ，方程为()2

y x u =-．由22

(),2142

k y x u x y ?

=-????+=??得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①

设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得3

2G uk

y k

=+．从而直线PG 的斜率为3

222

12(32)2uk uk k u k k

k -+=-+-+．

所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．

（ii ）由（i

）得||2PQ =

||PG =，所以△PQG 的面积

222

18()

18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k

++===++++‖．设t =k +

，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2

812t

S t

+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为

169

．因此，△PQG 面积的最大值为

169

．【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.

17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =2

x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作

C 的两条切线，切点分别为A ，B .

（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，

)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.

【答案】（1）见详解；（2）3

或【解析】（1）设()111,,

,2D t A x y ?

?- ??

?，则2112x y =.

由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故1111

2y x x t

=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.

故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2

（2）由（1）得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ?

=+????=??，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,

1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，

()212||21AB x t =-==+.

设12,d d 分别为点D ，E

到直线AB

的距离，则12d d ==

因此，四边形ADBE 的面积(

)(2121

||32

S AB d d t =

+=+设M 为线段AB 的中点，则2

1,2M t t ??+

???

. 由于EM AB ⊥，而()

2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()

220t t t +-=.解得t =0或1t =±.

当t =0时，S =3；当1t =

±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为

3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.

18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2

=?2py 经过点（2，?1）．

（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；

（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =?1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．

【答案】（1）抛物线C 的方程为2

4x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.

【解析】（1）由抛物线2

:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.

所以抛物线C 的方程为2

4x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.

由21,4y kx x y

=-??=-?得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为1

y y x x =

. 令1y =-，得点A 的横坐标1

A x x y =-

. 同理得点B 的横坐标2

B x x y =-

. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ????

--=--- ? ?????

， 212

(1)x x DA DB n y y ?=

++ 212

12(1)44x x n x x =

++????-- ??????? 212

(1)n x x =

++ 24(1)n =-++.

令0DA DB ?=，即2

4(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.

【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已

知椭圆的短轴长为4

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||

ON OF

=（O为原点），且OP MN

⊥，求直线PB的斜率．

【答案】（1）

x y

+=；（2

）

或

-．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为c

，依题意，24,

==，又222

a b c

，可得a=2,

b=1

c=．

所以，椭圆的方程为

x y

+=．

（2）由题意，设()()()

0,,0

P P p M

P x y x M x

≠

，．设直线PB的斜率为()0

k k≠，又()

0,2

B，则直线PB的方程为2

y kx

=+，

与椭圆方程联立22

y kx

x y

整理得()22

45200

k x kx

++=，

可得

，代入2

y kx

=+得

810

，

进而直线OP的斜率

y k

x k

．

在2

y kx

=+中，令0

y=，得

=-．

由题意得()

0,1

N-，所以直线MN的斜率为

-．

由OP MN

⊥，得

102

k k

-??

?-=-

-??

，化简得2

，从而

k=±

所以，直线PB

或．

【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．

20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22

221(0)

x y a b a b

+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆

F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连

结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=

．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .

因为F 1(?1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.

又因为DF 1=

52，AF 2⊥x 轴，所以DF 23

==，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2?c 2，得b 2=3.

因此，椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.

（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=，a =2，

因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.

将x =1代入圆F 2的方程(x ?1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(?1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.

由22

()22116y x x y =+-+=???

，得2

56110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-

代入22y x =+，得 12

5y =-，因此1112

(,)55

B --.

又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3

(1)4

y x =-.

由22

33(1)4x y x y ?????+=-?=?，得2

76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得3

y =-. 因此3(1,)2

E --

解法二：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=.

如图，连结EF 1.

因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .

因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .

因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.

因为F 1(?1，0)，由2214

x x y ??

==-??，得32y =±.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3

y =-. 因此3(1,)2

E --

【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，过点F

的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求

S S 的最小值及此时点G 的坐标．

【答案】（1）p =2，准线方程为x =?1；（2

）最小值为1，此时G （2，0）．

【解析】（1）由题意得

=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =?1.

（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y

，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.

由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为21

12t x y t

-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t

-=，

故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t

t ??- ???.

又由于()()11

,33

G A B c G A B c x x x x y y y y =

++=++及重心G 在x 轴上，故2

20c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ????-+????-- ? ? ? ? ?????????

. 所以，直线AC 方程为()

222y t t x t -=-，得()

21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而

42212

242222211|2|||322

221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t

-+-??--====--+--?--?-. 令22m t =-，则m >0，

1221222134324S m S m m m m =-=-=+

++++….

当m =

时，

S S

取得最小值1G （2，0）．

【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。直线的参数方程〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地，当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式不包括垂直于x 轴的直线为直线上一定点，k 为斜率斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或

线在 y 轴上的非零截距过原点的直线一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；

平面解析几何初步(知识点例题)

个性化简案个性化教案（真题演练）

个性化教案

《平面解析几何》复习试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ，长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析因为x 23－y 2 9 ＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ，即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A

解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ，又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0

平面解析几何初步测试题

平面解析几何初步测试题一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（）Ａ．第三象限Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（）（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；（２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．Ａ．（１）（２）Ｂ．（２）（３）Ｃ．（１）（３）Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-

平面解析几何初步

平面几何初步课程要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系. (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 考情分析平面解析几何是高中数学的一个基本知识点，我们学习它是为了后面学习空间几何和圆锥曲线打基础。但平面几何作为一个考点，还是会在选择题或填空题中出现一道，而且难度适中。为了拿到这5分，并且为后面的解答题做准备，我们需要牢牢掌握这部分基础知识。

知识梳理 1 一、直线与方程 1. 直线的倾斜角和斜率：倾斜角： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180 直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度斜率的公式：给定两点 ()()y x p y x P ,,2 2 2 1 1 1 ,，x x 2 1≠，则直线 P P 2 1 的斜率 k = x x y y 2 1 2 1-- 平行与垂直：两条直线l l 2 1, ，他们的斜率分别为 k k 2,1 k k l l 212 1,//=? 1212 1 -=??⊥k k l l 2. 直线的方程点斜式：直线l 过点 ()y x p 0 ,，且斜率为k,那么直线方程为:

平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．

(完整word版)平面解析几何初步复习课教学设计.doc

平面解析几何初步复习课教学设计（一）教材分析解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。根据课程标准要求，在必修 2 解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方程，并初步建立空间坐标系的概念。这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。因此，本章要求学生掌握解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。这样的安排，一方面降低了解析几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。因此教学中，要体会必修 2 的 4 个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅仅是初步③是螺旋式上升的开始④ . 感性认识到理性认识的过渡期。 ( 二 )课程内容标准（教学大纲与课程标准比较）《教学大纲》《课程标准》主要变化点直线和圆的方程 (22 课时 ) 平面解析几何初步 ( 约 18 课时 ) 1．平面解析几何分直线的倾斜角和斜率。直线(1) 直线与方程层为三块：初步（必方程的点斜式和两点式。直①在平面直角坐标系中，结合具体修）、圆锥曲线（必线方程的一般式。图形，探索确定直线位置的几何要选）和坐标系与参数两条直线平行与垂直的条素。方程（自选）。件。两条直线的交角。点到②理解直线的倾斜角和斜率的概2．线性规划问题移直线的距离。念，经历用代数方法刻画直线斜率到《数学 5》“不等用二元一次不等式表示平面的过程，掌握过两点的直线斜率的式”部分；原立几 B 区域。简单线性规划问题。计算公式。教材“空间直角坐实习作业。③能根据斜率判定两条直线平行标系”移至解几初曲线与方程的概念。由已知或垂直。步。条件列出曲线方程。④根据确定直线位置的几何要素，3．注重过程教学，

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线得倾斜角与斜率 1、直线得倾斜角与斜率（1）倾斜角得范围（2）经过两点得直线得斜率公式就是（3）每条直线都有倾斜角，但并不就是每条直线都有斜率 2、两条直线平行与垂直得判定（1)两条直线平行对于两条不重合得直线,其斜率分别为，则有。特别地，当直线得斜率都不存在时,得关系为平行。 (2)两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为,则注:两条直线垂直得充要条件就是斜率之积为—1,这句话不正确;由两直线得斜率之积为—1，可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为—1。如果中有一条直线得斜率不存在，另一条直线得斜率为０时，互相垂直。二、直线得方程 1、直线方程得几种形式三、直线得交点坐标与距离公式三、直线得交点坐标与距离公式１、两条直线得交点

设两条直线得方程就是，两条直线得交点坐标就就是方程组得解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就就是交点得坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之,亦成立。２、几种距离 (1)两点间得距离平面上得两点间得距离公式（2）点到直线得距离点到直线得距离； (３)两条平行线间得距离两条平行线间得距离注：(１)求点到直线得距离时,直线方程要化为一般式; （2）求两条平行线间得距离时，必须将两直线方程化为系数相同得一般形式后，才能套用公式计算（二)直线得斜率及应用利用斜率证明三点共线得方法：已知若，则有Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线。注:斜率变化分成两段，就是分界线，遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。直线得参数方程〖例1〗已知直线得斜率k=-ｃｏｓ(∈R)、求直线得倾斜角得取值范围。思路解析：cos得范围斜率k得范围ｔａn得范围倾斜角得取值范围. 〖例2〗设就是互不相等得三个实数，如果在同一直线上，求证：思路解析:若三点共线，则由任两点所确定得直线斜率相等或都不存在。〖例3〗已知点M（2,2）,Ｎ（5,－2）,点P在x轴上，分别求满足下列条件得Ｐ点坐标。（１）∠MOＰ=∠ＯPN（O就是坐标原点); （2)∠MPＮ就是直角。思路解析：∠MOP=∠OＰＮＯM／/ＰN,∠MPＮ就是直角MPＮP,故而可利用两直线平行与垂直得条件求得。注：（1）充分掌握两直线平行得条件及垂直得条件就是解决本题得关键,对于斜率都存在且不重合得两条直线与，。若有一条直线得斜率不存在，那么另一条直线得斜率就是多少一定要特别注意〖例４〗求过点P(２,－1)，在x轴与y轴上得截距分别为a、ｂ，且满足a=3b得直线方程.

平面解析几何初步(知识点+例题)#精选.

海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1. 掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式； 2. 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系; 3. 掌握圆的标准方程和一般方程. 重难点导航1. 了解解析几何的基本思想； 2. 了解用坐标法研究几何问题的方法. 教学简案：一、真题演练二、个性化教案三、个性化作业四、错题汇编授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：

海豚教育个性化教案（真题演练） 1.(2014年河南)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（） A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于一、

海豚教育个性化教案

2021高考数学7天练第5天《平面解析几何》专题训练附答案解析1

第5天平面解析几何专题训练 [基础题训练] 1．已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON → 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是x 0x 4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24－y 2＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0 x －4)．由???y ＝1 4y 0 （x 0 x －4） x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 20 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝0(*)，又x 20－4y 2 0＝4，因此(*)即是－4x 2＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC → ＝0，则 1k AB ＋ 1k AC ＋1 k BC ＝________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ????p 2，0，由F A →＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1 ＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3 ，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0.

平面解析几何初步整理

第七章平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 §7.1直线和圆的方程一、知识导学 1．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y ) 之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=22 2121y y y x x x . 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与 “夹角”公式的区别. （5）直线系方程 ③ 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) ④ 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ?R ）注：该直线系不含l 2. （6）几个常用结论和方法 ①弦长的求解：弦心距d 、圆半径r 、弦长l ,则：222()2 l d r +=（根据垂弦定理和勾股定理） ②圆的切线方程的求法过圆上的点的圆的切线方程 ..圆x 2+y 2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则此点的切线方程为x 0x+y 0y=r 2(课本命题)． ..圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2(课本命题的推广)． ..以（x 0,y 0）为切点的圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的切线方程：分别以

平面解析几何测试题及答案

平面解析几何测试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为（） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是（） A.一条直线 B.两条直线 C.半个圆 D.一个圆 3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是（） A.-1 B.2 C.1 D.-2 4.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是（） A.8,6 B.8,-6 C.-8,-6 D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是（） A.-13 B.9 C.-9 D.13 6.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2 +y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0 垂直，则a 的值为（） A.2 B.1 C.-21 D.2 1 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为（） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心 8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±3 4，则离心率等于（）

A.53 B.45 C.34 D.3 5 9.若椭圆22a x +22 b y =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为） A. 22 B.21 C.4 1 D.3-1 10.已知双曲线22x -22 b y =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1?2PF 等于（） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（） A.812x +722y =1 B.812x +92 y =1 C.812x +452y =1 D.812x +16 2y 12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于（） A. 3 30 B.6 C.12 D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（） A.6 π B.3 π C.2 π D. 3 π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为（）

平面解析几何初步知识点例题

海豚教育个性化简案海豚教育个性化教案（真题演练）

海豚教育个性化教案

平面解析几何初步知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式【典型例题】例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值. 变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x y 的最大值为（） A.2 1 B. 3 3 C. 2 3 D.3 例4.：已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．练习：直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．（1）当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当MB MA ?取最小值时，求直线l 的方程．知识点二：直线与直线的位置关系一：两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ．二：点到直线的距离、直线与直线的距离

平面解析几何初步复习总结

教学内容：平面解析几何初步复习教学目的 1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用 2.掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析（一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。（二）直线的方程 1. 直线的方程和方程的直线若直线l的方程记为f（x, y） 0，则需满足两条： 1）直线l 上的每一个点，其坐标都是方程 f （x, y） 0的解；（2）坐标满足方程 f （x, y） 0的点都在直线l 上。 2. 直线的方程（1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。

以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式。与直线的截距式有关的问题： ①与坐标轴围成的三角形的周长|a| |b| a b； |ab| 1 2 ②直线与坐标轴围成的三角形的面积为2 ； ③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。（2）直线方程的一般形式和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当 C B＝0，且A ≠0时，可化为x＝－A ，它是一条与x轴垂直的直线；当A＝0且B≠0时，C 可化为y＝－B ，它是一条与y 轴垂直的直线。（3）直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数。如直线y＝3x－6在y 轴上的截距是－6，在x 轴上的截距是2。因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。 3.两条直线的位置关系对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则。两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用。因此，两条直线的平行和垂直的条件要熟练掌握，并充分认识到它的地位和作用。 4.点到直线的距离解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。

2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析

平面解析几何专题 1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率c e a = =故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ． 1 sin50? D ． 1 cos50? 【答案】D 【解析】由已知可得tan130,tan 50b b a a - =?∴=?， 1cos50c e a ∴======?，故选D ．【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a == 对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a == 3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??．在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得2 n =． 2 2 2 24,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得 223611n n += ，解得n = ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地

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