数学《平面解析几何》复习知识要点
一、选择题
1．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ?+
++=?+=-?=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=?=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
2．已知双曲线2
2x a
－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2
p
x =-，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1
2
y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1；
则c =
故选A ．
3．已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过
2:2(0)C y px p =>的焦点，M 为C 上的一个动点，若点N 的坐标为()4,0，则MN 的
最小值为（ ）
A ．B
C ．2
D ．【答案】A 【解析】 【分析】
联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程，结合直线过抛物线的焦点，解方程可得
2p =，再利用两点的距离公式，结合二次函数配方法即可得结果.
【详解】
由222
24(42)02y x b
x b p x b y px
=+??+-+=?=?， 12122
2,24
b p b x x x x +=-=-，
因为直线:2l y x b =+被抛物线2
:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，
125x =-，
所以()222
2
2512424b p b ??
-??=+-??? ??????
? （1） 又直线l 经过C 的焦点，
则,22
b p
b p -=∴=- （2）
由（1）（2）解得2p =，故抛物线方程为2
4y x =.
设()2
0000,,4M x y y x ∴=.
则()()()222
22
00000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+，
故当02x =时，min ||MN = 故选：A. 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式以及配方法的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
4．已知抛物线x 2
＝16y 的焦点为F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P
是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公
式可得所求最小值． 【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
5．设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆
心，半径为 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴DB DA +=，
∴PA =
∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．
6．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，
FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）
A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=?，所以
||||2612AF BF ==?=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1
||||||2
AD AF AB ==
，所以30ABD ∠=?．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==?=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
7．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ?是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】
如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .
①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c
e a =
=； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c
e a
==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c
e a
==. 故选：A 【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.
8．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ?的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF ?的面积转化为FBF ?'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率. 【详解】
由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点
AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形
1
2
ABF AFBF FBF S S S ''??∴=
= 又2
224tan 45
FBF b S b a ?'
===o
，可得：225c a = 25e ∴= 5e ?=
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14
) B ．1(,1)4
-
C ．(1,2)
D ．(1,2)-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：抛物线2
4y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为
M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，
直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；
所以点P 纵坐标为1，则横坐标为
14,即(1
,14
)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.
10．已知椭圆22
1259
x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个
焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】
由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．
11．已知椭圆22
198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别
相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ） A ．12 B ．642+
C ．8
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】
画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，
根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.
12．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
13．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2
2
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
122253
31212121n m m n m n m n m n m n ????∴
+=+?=+? ? ?????+=++ ?????
()115522333?≥+=+?= ?. 当且仅当23
22m n n m m
n +=??
?=??即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
14．已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为
( )
A ．34
y x =? B ．4
3y x =±
C
．3
y x =±
D
．4
y x =±
【答案】B 【解析】
根据题意,双曲线的方程为22
19x y m
-=，则其焦点在x 轴上，
直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0， 则双曲线的焦点坐标为()5,0，
则有925m +=， 解可得，16m =，
则双曲线的方程为：22
1916
x y -=，
其渐近线方程为：4
3
y x =±， 故选B.
15．过双曲线22
134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-
C ．13+
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】
由图象可得
()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=
()(2221111
2322322PF PF OF OT -+-=?-+= 故选：B. 【点睛】
本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．
16．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
27136
64
x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,7
7??
±
?
???
B ．135322,7
7??
±
?
???
C ．3217,3?
?± ??
?
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()22
11522564
x y x -=>，将方程与
()
2
227136
64
x y --=联立，求解即可. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，
因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，
则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3
2301.852
a PB PA ?===-海里，
故15a =，又=17c ，故8b =，
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>，
联立()()()22
22
27121366411522564x y x x y x ?--=
???-=>??， 解得135322,77P ??± ? ???
， 故选：B .
【点睛】
本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.
17．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的
直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +?=u u u u v u u u u v u u u v
，则此双曲线的标准方程
可能为（ ）
A ．22
143x y -=
B ．22
134x y -=
C ．22
1169
x y -=
D ．221916
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
先由()
21210F F F A F A +?=u u u u r u u u u r u u u r 得到122
2F F F A c ==，根据2AF 的斜率为24
7
，求出217cos 25
AF F ∠=-
，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a
b ，进而可得出结
果. 【详解】
由()
21210F F F A F A +?=u u u u r u u u u r u u u r
，可知1222F F F A c ==，
又2AF 的斜率为
24
7，所以易得217cos 25
AF F ∠=-， 在12AF F ?中，由余弦定理得116
5
AF c =， 由双曲线的定义得16
225
c c a -=， 所以5
3
c e a =
=，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22
1916
x y -=.
故选D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.
18．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于
P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，
且满足AP BP
9
λμ=，则该
椭圆的离心率为（ ） A ．
35
B ．
1213
C ．
35或1213
D ．
45
【答案】A 【解析】
分析：根据向量共线定理及29
λμ=，AP BP
标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得
a ，
b ，
c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.
详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
∴1λμ+= 又∵29
λμ=
∴1323λμ?=????=??或2313λμ?=????=??
∵AP BP
∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）
∴2(,)b P c a
，2(,)b B c a -
∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b
+=- ∴()(,
)a c b
A c a
+ ∵2133
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r
∴22
2()1()33b a c b b a a a
+=?+?-，即2b a c =+. ∴2
2
2
2
4()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-=
∵(0,1)e ∈
∴35e =
故选A.
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
19．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左
右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2 B ．()
1,2
C ．
(
)
2,+∞
D ．()2,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
设过双曲线的右焦点F 与渐近线b
y x a
=
垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之
可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】
过双曲线的右焦点F 作渐近线b
y x a
=
垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF 与渐近线b
y x a
=-
必定有交点B ， 因此，直线b
y x a
=-
的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =
的斜率为b a
，
∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a a b
-<-， 即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >， 两边都除以2a ，得22e >，解得2e >，
双曲线离心率e 的取值范围为(
)
2,+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
20．在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：渐近线的方程为
，而
，因此渐近线的方程为
，选D.
考点：双曲线渐近线
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10< 3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
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