第5天 平面解析几何专题训练
[基础题训练]
1.已知直线l 与双曲线x 24-y 2=1相切于点P ,l 与双曲线的两条渐近线交于M ,N 两点,则OM →·ON →
的
值为( )
A .3
B .4
C .5
D .与P 的位置有关
解析:选A.依题意,设点P (x 0,y 0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),其中x 20-4y 2
0=4,则直线l 的方程是x 0x 4-y 0y =1,题中双曲线的两条渐近线方程为y =±12
x .
①当y 0=0时,直线l 的方程是x =2或x =-2.由?????x =2x 24-y 2=0,得?????x =2y =±1,此时OM →·ON →=(2,-1)·(2,1)=4-1=3,同理可得当直线l 的方程是x =-2时,OM →·ON →
=3.
②当y 0
≠0时,直线l 的方程是y =1
4y 0
(x 0
x -4).由???y =1
4y 0
(x 0
x -4)
x
2
4-y 2
=0
,得(4y 20
-x 20
)x 2
+8x 0
x -16=0(*),
又x 20-4y 2
0=4,因此(*)即是-4x 2+8x 0x -16=0,x 2-2x 0x +4=0,x 1x 2=4,OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2-14x 1x 2=3
4
x 1x 2=3. 综上所述,OM →·ON →
=3,故选A.
2.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,△ABC 的顶点都在抛物线上,且满足F A →+FB →+FC →
=0,则
1k AB
+
1k AC +1
k BC
=________. 解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),F ????p 2,0,由F A →+FB →=-FC →,得y 1+y 2+y 3=0.因为k AB =y 2-y 1x 2-x 1
=
2p y 1+y 2,所以k AC =2p y 1+y 3,k BC =2p y 2+y 3
,所以1k AB +1k AC +1k BC =y 1+y 22p +y 3+y 12p +y 2+y 3
2p =0.
答案:0
3.(2020·重庆模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点M 在椭圆C 上滑动,
若△MF 1F 2的面积取得最大值4时,有且仅有2个不同的点M 使得△MF 1F 2为直角三角形.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点P (0,1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,与x 轴交于点Q .设QA →=λP A →,QB →=μPB →
,求证:λ+μ为定值,并求该定值.
解:(1)由对称性知,点M 在短轴端点时,
△MF 1F 2为直角三角形且∠F 1MF 2=90°,且S △MF 1F 2=4,所以b =c 且S =1
2·2c ·b =bc =4,
解得b =c =2,a 2=b 2+c 2=8, 所以椭圆C 的方程为x 28+y 2
4
=1.
(2)证明:显然直线l 的斜率不为0,设直线l :x =t (y -1),联立?????x 2
8+y 2
4=1,
x =t (y -1),
消去x ,得(t 2+2)y 2-2t 2y +t 2-8=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2t 2
t 2+2,y 1y 2=t 2-8t 2+2.
令y =0,则x =-t ,所以Q (-t ,0), 因为QA →=λP A →
,所以y 1=λ(y 1-1), 所以λ=y 1
y 1-1
.
因为QB →=μPB →
,所以y 2=μ(y 2-1),所以μ=y 2y 2-1.
所以λ+μ=y 1y 1-1+y 2
y 2-1=2y 1y 2-(y 1+y 2)y 1y 2-(y 1+y 2)+1=83
.
4.(2020·甘肃白银联考)设椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,下顶点为A ,O 为
坐标原点,点O 到直线AF 2的距离为
2
2
,△AF 1F 2为等腰直角三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)直线l 与椭圆C 分别相交于M ,N 两点,若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,证明:直线l 恒过定点,并求出该定点的坐标.
解:(1)由题意可知,直线AF 2的方程为x c +y
-b
=1,
即-bx +cy +bc =0,则
bc b 2+c 2=bc a
=2
2.
因为△AF 1F 2为等腰直角三角形,所以b =c , 又a 2=b 2+c 2,可得a =2,b =1,c =1, 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2
=1.
(2)证明:由(1)知A (0,-1).
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +t (t ≠±1), 代入x 22+y 2
=1,得(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2-2=0,
所以Δ=16k 2t 2-4(1+2k 2)(2t 2-2)>0,即t 2-2k 2<1. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4kt
1+2k 2,
x 1x 2=2t 2-21+2k 2
.
因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,
所以k AM +k AN =
y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+t +1x 1+kx 2+t +1x 2=2k +(t +1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k -(t +1)·4kt
2t 2-2
=2, 整理得t =1-k .
所以直线l 的方程为y =kx +t =kx +1-k =k (x -1)+1,显然直线y =k (x -1)+1经过定点(1,1).
当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x =m .
因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,设M (m ,n ),则N (m ,-n ), 所以k AM +k AN =n +1m +-n +1m =2
m
=2,解得m =1,
此时直线l 的方程为x =1,显然直线x =1也经过该定点(1,1). 综上,直线l 恒过点(1,1).
[综合题训练]
1.(2020·湖南五市十校联考)已知动圆C 过定点F (1,0),且与定直线x =-1相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程;
(2)过点M (-2,0)的任一条直线l 与轨迹E 分别相交于不同的两点P ,Q ,试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M ),使得∠QNM +∠PNM =π?若存在,求点N 的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1)法一:由题意知,动圆圆心C 到定点F (1,0)的距离与其到定直线x =-1的距离相等,又由抛物线的定义,可得动圆圆心C 的轨迹是以F (1,0)为焦点,x =-1为准线的抛物线,其中p =2.
所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2=4x .
法二:设动圆圆心C (x ,y ),由题意知(x -1)2+y 2=|x +1|, 化简得y 2=4x ,即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2=4x . (2)假设存在点N (x 0,0),满足题设条件.
由∠QNM +∠PNM =π可知,直线PN 与QN 的斜率互为相反数,即k PN +k QN =0.① 由题意知直线PQ 的斜率必存在且不为0,设直线PQ 的方程为x =my -2.
联立?
????y 2=4x ,
x =my -2,得y 2-4my +8=0.
由Δ=(-4m )2-4×8>0,得m >2或m <- 2. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=8. 由①式得k PN +k QN =y 1x 1-x 0+y 2
x 2-x 0
=
y 1(x 2-x 0)+y 2(x 1-x 0)
(x 1-x 0)(x 2-x 0)
=0,
所以y 1(x 2-x 0)+y 2(x 1-x 0)=0, 即y 1x 2+y 2x 1-x 0(y 1+y 2)=0.
消去x 1,x 2,得14y 1y 22+14y 2y 2
1-x 0(y 1+y 2)=0, 1
4y 1y 2(y 1+y 2
)-x 0(y 1+y 2)=0, 因为y 1+y 2≠0,所以x 0=1
4
y 1y 2=2,
所以存在点N (2,0).使得∠QNM +∠PNM =π.
2.(2020·湖南郴州教学质量监测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过点F 的直线分别交抛物线于A ,B 两点.
(1)若以AB 为直径的圆的方程为(x -2)2+(y -3)2=16,求抛物线C 的标准方程; (2)过点A ,B 分别作抛物线的切线l 1,l 2,证明:l 1,l 2的交点在定直线上.
解:(1)设AB 中点为M ,A 到准线的距离为d 1,B 到准线的距离为d 2,M 到准线的距离为d ,则d =y M
+p 2
. 由抛物线的定义可知,d 1=|AF |,d 2=|BF |,所以d 1+d 2=|AB |=8, 由梯形中位线可得d =d 1+d 22=4,所以y M +p
2=4.
又y M =3,所以3+p
2=4,可得p =2,
所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y . (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由
x 2=2py ,得
y =x 22p ,则y ′=x p ,所以直线l 1的方程为y -y 1=x 1p
(x -x 1),直线l 2的方程为y -y 2=x 2
p
(x -x 2),
联立得x =x 1+x 22,y =x 1x 2
2p
,
即直线l 1,l 2的交点坐标为????
x 1+x 22,x 1x 22p .
因为AB 过焦点F ???
?0,p 2, 由题可知直线AB 的斜率存在,故可设直线AB 方程为y -p
2=kx ,
代入抛物线x 2=2py 中,得x 2-2pkx -p 2=0, 所以
x 1x 2=-p 2,y =x 1x 22p
=-p 22p
=-p 2
,
所以l 1,l 2的交点在定直线y =-p
2上.
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F ,) 2 ,0F 的距离之和是4,点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ,不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程; ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时,求k 与b 的关系,并证明直线l 过定点. 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=. ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程, 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=, 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q , 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ,()22,Q x y ,则122 814kb x x k +=-+,21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+, 显然,曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -, 所以()112,AP x y =+u u u r ,()222,AQ x y =+u u u r . 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ,得1212(2)(2)0x x y y +++=. 将②、③代入上式,整理得22121650k kb b -+=. 所以(2)(65)0k b k b -?-=,即2b k =或6 5 b k =.经检验,都符合条件① 当2b k =时,直线l 的方程为2y kx k =+.显然,此时直线l 经过定点()2,0-点. 即直线l 经过点A ,与题意不符. 当65b k =时,直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?. 显然,此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点,满足题意. 综上,k 与b 的关系是65b k =,且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切. ⑴ 求椭圆C 的方程; ⑴ 设(4,0)P ,A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; ⑴ 在⑴的条件下,过点Q 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围. 【解析】 ⑴22 143 x y +=. ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为(4)y k x =-.
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线