第七节 抛物线
A 组 基础题组
1.以x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( ) A.y=4x 2
B.y=8x 2
C.y 2
=4x
D.y 2
=8x
2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F 为抛物线C:y 2
=4x 的焦点,曲线y=k
x (k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.1
2
B.1
C.3
2
D.2
3.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知抛物线y 2
=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1
B.x=2
C.x=-1
D.x=-2
5.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )
A.y 2
=4x 或y 2
=8x B.y 2
=2x 或y 2
=8x C.y 2
=4x 或y 2
=16x D.y 2
=2x 或y 2
=16x
6.抛物线y 2
=2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为 .
7.已知抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线的方程;
(2)若过M 作MN ⊥FA,垂足为N,求点N 的坐标.
8.已知圆C 过定点F (-1
4,0),且与直线x=1
4相切,圆心C 的轨迹为E,曲线E 与直线l:y=k(x+1)(k ∈R)相交于A,B 两点. (1)求曲线E 的方程;
(2)当△OAB 的面积等于√10时,求k 的值.
B 组 提升题组
9.设F 为抛物线y 2
=2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|FA
????? |+|FB ????? |+|FC ????? |的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知抛物线C:y 2
=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ????? =4FQ
????? ,则|QF|=( ) A.72 B.3 C.5
2 D.2
11.已知抛物线y 2
=4x,圆F:(x-1)2
+y 2
=1,过点F 作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中,正确的是( )
A.等于1
B.等于4
C.最小值是1
D.最大值是4
12.(2016吉林长春一模)过抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则|AF|
|BF|
的值等于( )
A.1
3
B.2
3
C.3
4
D.4
3
13.(2017安徽师大附中模拟)如图,已知抛物线的方程为x 2
=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l 与抛物线相交于P,Q 两点,点B 的坐标为(0,1),连接BP,BQ,直线QB,BP 与x 轴分别交于M,N.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 等于 .
14.已知抛物线y 2
=2x 的弦AB 的中点的横坐标为3
2,则|AB|的最大值为 .
15.经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,如果A,B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1,B 1,那么∠A 1FB 1= .
16.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2
=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1. (1)求p 的值;
(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.
抛物线中的四边形问题 例1.【湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 例2.【福建南平】已知抛物线：x x y 22 12 1+-= （1）求抛物线1y 的顶点坐标. （2）将抛物线1y 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式. （3）如下图，抛物线2y 的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在1y 、2y 这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由. x y y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 54321 -1-2-3-4 1 y 2 -1
A C B 例3．【辽宁抚顺】已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点 (20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式； （3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由． 例4、【临沂市】如图：二次函数y =﹣x 2 + ax + b 的图象与x 轴交于A （- 2 1 ，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状； （2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； （3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由． B A O C y x
2019-2020学年（浙江专版）高考数学一轮复习（回扣主干知识+提升学科素养）第八章第七节抛物线教案文 【考纲下载】 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合思想． 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． (0,0) 1．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？
提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p 2；若抛物线方程为x 2 ＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p 2 . 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2 ＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2 ＝4x 解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2 ＝8x . 2．抛物线y 2 ＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选B 因为抛物线y 2 ＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2. 3．抛物线y ＝2x 2 的焦点坐标为( ) A.? ????12，0 B ．(1,0) C.? ????0，18 D.? ?? ??0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18 ，而抛物线x 2 ＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为? ????0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为 ________________． 解析：由c 2 ＝9－4＝5，得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2 ＝－45x . 答案：y 2 ＝－45x 5．设抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 解析：F ? ????p 2，0，则B ? ?? ??p 4，1， ∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2. ∴B ? ?? ?? 24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝32 4 . 答案：32 4 前沿热点(十二) 与抛物线有关的交汇问题 1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等． 2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．
第七节抛物线 ）若动点P 到定点F （1，- 1）的距离与到直线 ） B.椭圆 C.双曲线 D .抛物线 2. （2020 ?陕西）已知抛物线y 1 2= 2px （p >0）的准线与圆（x — 3）2 + y 2= 16相切，则p 的值为 （ ） 1 A. - B. 1 2 C. 2 D.4 C z --- z --- z 3. 设F 为抛物线y 2= 4x 的焦点，A, B , C 为该抛物线上的三点，若 FA + FB+ FC = 0，则 7. （2020 ?苏北四市联考 ）若抛物线的焦点坐标为 8. （2020 ?重庆）已知过抛物线y 2= 4x 的焦点F 的直线交该抛物线于 A B 两点，| AFJ =2,贝卩 | BF | = ________ . 1 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距离水面 2米时，测量水面宽为 8米，当水面上升二米后， 水面的宽度是 __________ 米. - 10. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2= 2px （ p >0）的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与 x 轴 正向的夹角为60°,则|OA 为 _____________ . 11. 已知正方形的一条边 AB 在直线y = x + 4上，顶点C D 在抛线物线y 2= x 上，求该正方形 的边长. 12. 设抛物线y 2= 4x 被直线y = 2x + k 截得的弦长为3 5. （1） 求k 的值； （2） 以此弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当此三角形的面积为 9时，求P 点 坐标. 1 2 1 直线y = — 2，垂足为C,已知直线AB 垂直PF 分别交x 、y 轴于A B. 1. （2020 ?皖南八校联 考 相等，则动点P 的轨迹是（ I : x —1 = 0的距离 |F A | + |FB | + |Fq =（ A. 9 B. 6 4. （2020 ?山东青岛模拟）直线y = x — 3与抛物线y 2= 4x 交于A, B 两点，过A, B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P, Q 则梯形APQ 啲面积为（ ） D. 72 ) C. 4 D. 3 A. 48 5.抛物线y =— x 2上的点到直线4x + 3y — 8 = 0距离的最小值是（ 4 代3 B. 56 C. 64 B. C. D. 3 6. (2020 -安徽蚌埠市第五中学模拟 ）已知 F 是抛物线 1 2 y = 4X 2的焦点，P 是该抛物线上的 PF 中点的轨迹方程是( A. x 2 = 2y — 1 B. x 2= 2y — ￡ 动点，则线段 C. x 2= y -1 D. 2 x = 2y — 2 （2,0），则抛物线的标准方程是
第四节 定积分与微积分基本定理 高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 2.了解微积分基本定理的含义． [知识梳理] 1．定积分的概念 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 4．定积分的几何和物理应用 [辨识巧记] 1．两个结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 2．两个性质 函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 [双基自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1．已知抛物线x 2 ＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2 －x 2 ＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则 有 a 4 ＝2, 解得a ＝8. 答案：C 2．抛物线y ＝－4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17 16 B ．－1516 C.7 16 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2 ＝－y 4，其准线方程为y ＝116 .设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定 义，可知116－y 0＝1?y 0＝－15 16 . 答案：B 3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2 ＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1 2(|AF |＋ |BF |)－14＝32－14＝5 4 . 答案：C 4．已知抛物线y 2 ＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影， 则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝ 1 2|AB |＝半径，故相切． 答案：C 5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2 ＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16 解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由??? ?? y ＝x －2，y 2 ＝8x ，消去y 得x 2 －12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22 －4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C 6．在y ＝2x 2 上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2 的准线，F 为其焦点，PN ⊥ l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋ |PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D. 答案：B 二、填空题 7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2 ＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2 ＋(y －4)2 ＝64. 答案：x 2 ＋(y －4)2 ＝64 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 解析：设抛物线方程为x 2 ＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a 4 . 抛物线基础训练题 1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82= 2.已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.4 25 B. 2 25 C. 8 25 D.25 3.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82= 4.直线y =kx -2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 B A.-1 B.2 C.-1或2 D.以上都不是 5.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242= 6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆 7.双曲线k y x 2 24+＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12） 8.以12 42 2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A. 112162 2=+y x B. 116122 2=+y x C. 14 162 2=+y x D. 116 42 2=+y x 9.抛物线y =x ２上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ） Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49 ,23) Ｄ.(2，4) 10.1122 222222=-=-a y b x b y a x 与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ） Ａ.重合 Ｂ.不重合，但关于x 轴对应对称 Ｃ.不重合，但关于y 轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y =x 对应对称 11．抛物线2 2x y =的焦点坐标是 （ C ） A ．)0,1( B ．)0,4 1( C ．)8 1,0( D ． )4 1,0( 12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 抛物线（A ） 一．选择题： 1． 准线为x=2的抛物线的标准方程是 A.24y x =- B. 28y x =- C. 24y x = D. 28y x = (答：B) 2． 焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是 A.25y x = B. 210y x =- C. 220y x =- D. 220x y =- (答：C) 3． 抛物线F 是焦点，则p 表示 A. F 到准线的距离 B.F 到准线距离的 14 B. C. F 到准线距离的18 D. F 到y 轴距离的 （答：B ） 4． 动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是 A.40x += B. 40x -= C. 28y x = D. 216y x = (答：D) 5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是 A.（3，0） B.（2，0） C.1，0） D.（-1，0） （答：C ） 6． 2 4 x y = 点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10, 16?? ?? ? B 10,16??- ??? C 1,016?? ??? D 1,016?? - ??? （答：A ） 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 （答：D ） 8． 抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛 物线的准线方程是 A 4y = B 4y =- C 2y = D 2y =- （答：C ） 9． 抛物线()2 0y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ?? = ? ?? B 11,044x a a ?? -=- ? ?? C 110,44y a a ? ?=- ? ?? D 11 0,44y a a ??- =- ? ? ? （答：C ） 10. 在2 8y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是 A ()8,12 B ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18- 抛物线的常见结论 一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式 2122122124)(11x x x x k x x k l -+?+=-+=，其中k 是弦所在直线的 斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 2122122124)(11y y y y m y y m l -+?+=-+=，其中弦长所在直线 方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦 对于抛物线，022 >=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两 点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ①2212 21,4 p y y p x x -== 由?????+==222p m y x px y 得0222=--p pmy y （＊） ，因此?? ???==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长 p x x AB ++=21，焦点弦长α 2sin 2P AB = α αsin 4)(sin 212212 1y y y y y y AB -+= -=，结合（＊）式与αtan 1 =m 得： α αααααααααsin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 44222222 222 22+= +=+= +=p p p p p m p AB α αα22sin 2sin sin 1 2p p == ③ P BF AF 2 11=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 21122121====+=+α αα ④焦点三角形面积α sin 22 P S = 简单证明如下：以 AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为： α αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =??== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c. 以CD 为直径的圆与AB 相切 d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，?=∠90CFD e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线， 第七节抛物线 【考纲下载】 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3．理解数形结合思想． 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 方程 (p ＞0) (p ＞0) (p >0) (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ??? ?0，p 2 F ? ???0，－p 2 离心率 e ＝1 准线 方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P (x 0，y 0)) |PF |＝ x 0＋p 2 |PF |＝ －x 0＋p 2 |PF |＝ y 0＋p 2 |PF |＝ －y 0＋p 2 1．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？ 提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p 2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p 2 . 第七节抛物线 最新考纲考情分析 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率)． 2．理解数形结合的思想． 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应 用. 1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是近 几年高考命题的热点． 2．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知 识交汇命题． 3．题型主要以解答题的形式出现，属于中高 档题，有时也会以选择题、填空题的形式出 现，属中低档题. 知识点一抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)． 当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线．知识点二抛物线的标准方程及几何性质 抛物线常见的几何性质 1．焦半径、通径：抛物线y 2 ＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ? ?? ??p 2，0的距离|PF |＝ x 0＋p 2 ，也称为抛物线的焦半径． 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于2p ，是过焦点最短的弦． 2．直线AB 过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图可得． ①y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 . ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . ③1|AF |＋1|BF |为定值2p . ④弦长AB ＝ 2p sin 2 α (α为AB 的倾斜角)． ⑤以AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°. 1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)抛物线y 2 ＝4x 的焦点到准线的距离是4.( × ) (3)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2 ＝2px (p >0)．( × ) 2．小题热身 (1)以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( D ) A ．y 2 ＝2x B ．y 2 ＝－2x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝－4x (2)设抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( D ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x ＝－3 D ．x ＝－4 解析：因为抛物线y 2 ＝2px 的焦点? ?? ??p 2，0在2x ＋3y －8＝0上，所以p ＝8，所以抛物线 的准线方程为x ＝－4，故选D. (3)已知点F ? ????14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( D ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 解析：由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线． (4)抛物线8x 2 ＋y ＝0的焦点坐标为? ????0，－132. 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2 ＝－18y . ∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为? ????0，－132. 抛物线 一、知识网络 二、高考考点 1.抛物线定义的应用； 2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程； 3.抛物线的焦点弦引出的问题； 4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题； 5.抛物线与三角形（或四边形）问题。 三、知识要点 （一）定义与推论 1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础. 2.推论：抛物线的焦点半径公式 设为抛物线上任意一点，则 设为抛物线上任意一点，则 其它情形从略。 （二）标准方程与几何性质 1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程： ①②③④ 认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置. 其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）； 一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）； 一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍. 2.几何性质对于抛物线 （1）范围：这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸； （2）对称性：关于x轴对称轴为这条抛物线的轴. 认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一） （3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一） （4）离心率：（抛物线主要共性之二） （三）挖掘与引申 1.抛物线方程的统一形式 1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）； 焦点，准线； 顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）； 焦点，准线； （2）顶点在，对称轴垂直y轴的抛物线方程为：，其焦点参数； 第七节 抛物线 预习设计 基础备考 知识梳理 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线)(l F l ?的距离 的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 直线l 叫做抛物线的 2．抛物线的标准方程与几何性质 典题热身 1．抛物线2 2x y -=的准线方程是 （ ） 21.= x A 81.=x B 21=?y c 81=?y D 答案：D 2．抛物线)0(242>=a ax y 上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 ( ) x y A 82=? x y B 122=? x y C 162=? x y D 202=? 答案：A 3．若点P 到直线1-=x 的距离比它到点(2，O)的距离小1，则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 答案：D 4．已知直线01=--y x 与抛物线2ax y =相切，则=a 答案： 41 5．在平面直角坐标系xoy 中，有一定点A(2，1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22>=P Px y 的焦点，则该抛物线的准线方程是 答案：4 5-=x 课堂设计 方法备考 题型一 抛物线的定义及其应用 【例1】已知抛物线x y 22=的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3，2)． (1)求||||PF PA +的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． (2)求点P 到点)1,21(- B 的距离与点P 到直线2 1-=x 的距离之和的最小值． 题型二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m ，-3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出此抛物线的方程． 题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】A 、B 是抛物线)0(22>=P Px y 上的两点，且B OA 0⊥ (1)求A 、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB 过定点； (3)求弦AB 中点P 的轨迹方程； (4)求△AOB 面积的最小值． 技法巧点 (1)焦半径：)0(22>=P Px y 的焦半径为;2 0P x +通径长为2p. 注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径． (2)抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 则 ;4,2 212 21P x x P y y =-=① ②若直线AB 的倾斜角为θ，则;sin 2||2θ P AB = ③若F 为抛物线焦点，则有?=+P BF AF 2||1||1 失误防范 第七节抛物线 考点一抛物线的定义及应用[例1]设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为 5. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【互动探究】 若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，求|PB |＋|PF |的最小值． 解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离． ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 【方法规律】 抛物线定义中的“转化”法 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径． 1．(2014·天津模拟)已知动圆过定点F ????p 2，0，且与直线x ＝－p 2 相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为____________． 解析：依题意得，圆心到定点F ????p 2，0的距离与到直线x ＝－p 2 的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 答案：y 2＝2px 第七节 抛物线 A 组 基础题组 1.以x 轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是( ) A.y=4x 2 B.y=8x 2 C.y 2 =4x D.y 2 =8x 2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F 为抛物线C:y 2 =4x 的焦点,曲线y=k x (k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2 3.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知抛物线y 2 =2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 5.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2 =4x 或y 2 =8x B.y 2 =2x 或y 2 =8x C.y 2 =4x 或y 2 =16x D.y 2 =2x 或y 2 =16x 6.抛物线y 2 =2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10,则该抛物线的焦点到准线的距离为 . 7.已知抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线的方程; (2)若过M 作MN ⊥FA,垂足为N,求点N 的坐标. 1.（08福建莆田）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2 y ax bx c =++的对称轴为2b x a =- ） 4.（08广东深圳）如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2 >++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠ACO＝ 3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度． （4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最 7.（08湖北荆门） 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=－4ac． (1) 求抛物线的解析式； (2) 在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明 理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标； (3) 根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? 10.（08湖北武汉）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1,0），C（3,2）两点，与y轴 交于点D，与x轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点 E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点 A，E，F 对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标. 3（08湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线. 如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2. (1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； B C B P P 第七节 抛物线(二 ) 一、直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题. 2.涉及弦的中点问题,可以利用判别式和根与系数的关系加以解决,也可利用“点差法”解决此类问题.若知道中点,则利用“点差法”可得出过中点的弦的直线的斜率.比较两种方法,用“点差法”计算量较少,此法在解决有关存在性的问题时,要结合图形和判别式Δ加以检验. 1.理解辨析 直线与抛物线相交时,若直线过抛物线的焦点,则可考虑运用抛物线的定义进行求解. 直线与抛物线相切时,可借助直线方程与抛物线方程联立,得关于 x(或y)的一元二次方程,由判别式等于零进行解题. 2.相关结论 (1)抛物线y2=2px与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC. (2)抛物线上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (3)过抛物线外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y=p(x+x0). 二、抛物线中的定值、最值问题 1.抛物线中的定值问题 在解析几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题.解决这类问题常通过取参数的特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒成立的. 2.抛物线中的最值问题 解决抛物线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来解,非常巧妙;二是代数法,将抛物线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及均值不等式法等求解最大或最小值 . 1.理解辨析 定值、最值问题的实质就是求值,依据题目条件列出等量关系式进行求值,是解题的基本思路. 2.相关结论 在求解抛物线或圆锥曲线问题时,常借助向量这一工具进行解题.应熟悉以下结论: 设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),且b ≠0,则 a ∥b ?b=λa ?x 1y 2-x 2y 1=0, a ⊥b ?a ·b=0?x 1x 2+y 1y 2 =0. 1. 表示( C ) (A)两条射线 (B)双曲线 (C)两条线段 (D)抛物线 解析: 所以10,10,11,x y x y ?-≥? -≥??-=-?所以1,1,,x y y x ?≤?≤??=? 所以y=|x|(-1≤x ≤1),即表示两条线段. 抛物线4 1．如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△P AB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由． （4）在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和B的距离之差最大？若存在，直接写出所有符合条件的点M坐标；不存在，请说明理由． 2．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P， （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标； （2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式； （3）若抛物线C2的对称轴存在点P，使△P AC为等边三角形，求m的值． 抛物线5 1．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的第二象限内是否存在点P，使得△PBC的面积等于△OBC的一半？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若 不存在，请说明理由．2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第七节 抛物线 理
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