命题及其关系
知识点：
1. 命题：
1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类：
真命题 假命题 1.3 关系： 原命题
逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则
这两个命题称为互逆命题。
若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结
论的否定，则这两个命题称为互否命题
若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q”
逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和
条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题
若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况）
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假
假
假
假
1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性
2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
2. 充分必要条件： 2.1 概念：
若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题
“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”
特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；
当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ?
若p 是真命题，则p ?必是假命题
若p 是假命题，则p ?必是真命题
2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题．
练习：
1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3
(B)2
(C)1
(D)0
2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 命题“对任意的3
2
10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3
2
10x R x x ∈-+，≤ B ．存在32
10x R x x ∈-+，≤ C ． 存在3
210x R x x ∈-+>，
D ．对任意的3
2
10x R x x ∈-+>，
6. (2017北京,7,5分)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7. (2015北京,6,5分,0.44)设a,b 是非零向量.“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. (2014北京,5,5分,0.66)设a,b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9. (2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
2. 答案 D 命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则
m≤0”,故选D.
4.答案 B 本题考查不等式的解法及充分、必要条件的判断.
由2-x≥0,得x≤2;由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,因为[0,2]?(-∞,2],所以“2-x≥0”是“|x-1
|≤1”的必要而不充分条件,故选B.
6. 答案 A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性
成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
7. 答案 A∵a·b=|a|·|b|·cos
∴a·b=|a|·|b|时,有cos
而当a∥b时,a,b的夹角为0或π,
此时a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|.
综上,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,故选A.
8. 答案 D a>b不能推出a2>b2,例如a=-1,b=-2;a2>b2也不能推出a>b,例如a=-2,b=1.故“a>b”是
“a2>b2”的既不充分也不必要条件.
9. 答案 A 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线过坐标原点;但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,
φ=kπ(k∈Z),∴“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.
1.理解命题的概念． 2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一， 考查形式以选择题为主，试卷多为中低档题目， 命题的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维. 一、知识梳理《名师一号》P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关．注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 原词语等于（=）大于（>）小于（<）是 否定词语不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是 原词语都是至多有一个至多有n个或 否定词语不都是至少有两个至少有n+1个且 原词语至少有一个任意两个所有的任意的
（1）充分条件： q p ? 则p 是q 的充分条件 即只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立， 亦即要使q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件： q p ? 则q 是p 的必要条件 q p ??q p ??? 即没有q 则没有p ，亦即q 是p 成立的必须要有的条件，即无它不可。 (补充)（3）充要条件 q p ?且q p ?即p q ? 则 p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件） “p 是q 的充要条件”也说成“p 等价于q ”、 “q 当且仅当 p ”等 (补充)2、充要关系的类型 （1）充分但不必要条件 定义：若q p ?，但p q ?/， 则p 是q 的充分但不必要条件； （2）必要但不充分条件 定义：若p q ?，但q p ?/， 则p 是q 的必要但不充分条件 （3）充要条件 定义：若q p ?，且p q ?，即p q ?， 则p 、q 互为充要条件； （4）既不充分也不必要条件 定义：若q p ?/，且p q ? /， 则p 、q 互为既不充分也不必要条件． 3、判断充要条件的方法：《名师一号》P6特色专题
命题及其关系 一．填空题（共30小题） 1．下列有关命题中，正确命题的序号是． ①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”； ②命题“?x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x﹣1＞0”； ③命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是假命题． ④若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题．” 2．给出下列四个命题，其中真命题有． ①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题； ④“若事件A发生的概率为0，则事件A是不可能事件”的逆否命题． 3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题． 4．若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是． 5．在下列四个命题中： ①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②命题“若两个三角形面积相等，则它们全等”的否命题； ③命题“若x+y≠3，则x≠1或y≠2”； ④命题“?x∈R，4x2﹣4x+1≤0”的否定． 其中真命题有（填写序号）． 6．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是． 7．已知命题p的否命题是“若A?B，则?U A∩?U B=?U B”，写出命题p的逆否命题是．8．已知命题“若a＞b，则ac2＞bc2”及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中假命题有个． 9．已知、、是三个非零向量，命题“若，则”的逆命题是命题（填真或假）． 10．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是． 11．有下列命题： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sinα＞0，则α是第一，二象限的角； ④若sinα=sinβ，则α=2kπ+β，k∈Z； ⑤已知α为第二象限的角，则为第一象限的角．其中正确命题的序号有． 12．命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0”的解集不是空集，则“a≥1”的逆否命题是命题．（填“真”或“假”） 13．给出下列命题： ①命题“若b2﹣4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题； ②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a＞b＞0，则＞＞0”的逆否命题；
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断 [教学目的] 使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系. [教学过程] 一、复习引入 ⒈四种命题的形式是什么？ 答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p. ⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？ 答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题； 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题； 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题. ⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容. 二、学习、讲解新课 ⒈四种命题的相互关系 经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：
⒉四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三个 命题的真假有如下三条关系： ⑴原命题为真，它的逆命题不 一定为真； 例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题. ⑵原命题为真，它的否命题不一定为真； 例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题. ⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真. 例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题. 结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）. ⒊巩固新课，反馈矫正 例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、例（P 32 否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc. 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题； 否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题； 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.
第2讲 四种命题及其关系 【学习目标】 1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论； 2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假； 3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”. 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等. 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构 命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式. 要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”； 逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ?，则q ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ?，则p ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题. 要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系
命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
一、填空题 1.在“并非‘p当且仅当q’”中，逻辑常项是( )。 2.在“并非要么p,要么q”中，变项是( )。 3.任何一种逻辑形式都是由( )和( )两部分构成的。 4.在“□p→◇p”中，逻辑变项是( )。 5.在“并非如果p，那么q”中，逻辑常项是( )。 6.“兵不在多而在于精”和“甲不当班长而乙当班长”所具有的共同的逻辑形式，若用p，q作变项，可表示为( )。 7．“要么p，要么q，要么r”这一命题形式的逻辑变项是( )。 8．在“［A（）B］→B”的空括号内，填入逻辑常项符号( )，可构成有效的推理式。9．在“有S不是P”中，逻辑变项是( )；在“（p∧q）→r”中，逻辑常项是( )。 二、单项选择题 1．两个假言命题的逻辑形式相同，是指（）相同。 A．前件和后件B．前件和联结词 C．后件和联结词D．联结词 2．逻辑形式之间的区别，取决于（）。 A．逻辑常项B．变项 C．语言表达形式D．思维的内容 3．“只有q才p”与“如果q则p”这两个命题形式，它们含有（）。 A．相同的逻辑常项，相同的变项 B．不同的逻辑常项，相同的变项 C．相同的逻辑常项，不同的变项 D．不同的逻辑常项，不同的变项 4．“要么p，要么q”与“或者p，或者q”这两个命题形式，它们含有（）。 A．相同的逻辑常项，相同的逻辑变项 B．相同的逻辑常项，不同的逻辑变项 C．不同的逻辑常项，相同的逻辑变项 D. 不同的逻辑常项，不同的逻辑变项 基础测试（一）参考答案 一、填空题 1．并非，当且仅当。 2．p,q。 3．常项;变项。 4．p。 5．并非，如果……那么…… 6． p∧q（也可表示为p∧q）。 7．p，q，r。 8．∧。 9．S，P；∧，→。 二、单项选择题 1．D．2．A．3．B．4．C．
四种命题之间的相互关系及真假判断 教学目标： 1.理解四种命题之间的相互关系. 2.理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系. 3.培养学生逻辑推理能力. 教学重点：四种命题的关系及真假判断方法. 教学难点：理解命题间的关系. 教学方法：讲、议、练结合教学. 教具准备：投影片3张 教学过程 一、复习回顾 师：什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否 命题？ 生：（略）. 师：本节将进一步研究四种命题之间的关系及 它们的真假判断. 二、讲授新课 §1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判 断. 1.四种命题之间的相互关系 (黑板上列出四个命题：也可用投影片1) 师：请同学们讨论后回答下列问题： （1）哪些之间是互逆关系？ （2）哪些之间是互否关系？ （3）哪些之间是互为逆否关系？ 生（略）（学生回答时，教师在黑板上填出关系之图.） 师：我们已明确了四种命题之间的相互关系，下面讨论：（板书） 2.四种命题的真假之间的关系：例如（投影片2） 原命题：“若a=0,则ab=0.” 写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 生：逆命题：若ab=0，则a=0；原命题：若a=0，则ab=0为真命题；逆命题：若ab=0，则a=0为假命题. 师：原命题与逆命题的真假关系如何？ 生：原命题为真，它的逆命题不一定为真. 师：它的否命题呢？ 生：它的否命题是：a≠0，则ab≠0为假命题. 师：你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？ 生：原命题为真，它的否命题不一定为真.
师：它的逆否命题呢？ 生：它的逆否命题是：若ab≠0，则a≠0为真命题. 师：原命题与它的逆否命题的真假关系如何？ （学生充分讨论，例证后回答.） 生：原命题为真，它的逆否命题一定为真. 师：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如休？ 生：因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真，则原命题的逆命题也一定为真. 师：由上述讨论情况，请一学生归纳. （学生归纳时，师板书） 生：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真. 2.原命题为真，它的否命题不一定为真. 3.原命题为真，它的逆否命题一定为真. 师：由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。下面看例题：（投影片 （师应强调分析：“当c>0”是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac
【高中数学,四种命题及其关系】高中数学 命题及关系知识点 四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.
即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2． 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.
1．下列叙述正确的个数是（ ） ①若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题； ②若命题2 000:,10p x R x x ?∈-+≤，则2 :,10p x R x x ??∈-+>； ③在ABC ?中“060A ∠= ”是“1 cos 2 A = ”的充要条件； ④若向量,a b r r 满足0a b ?
四种命题 四种命题间的相互关系 1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。 2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。 3、会用命题的等价性解决问题。 【核心扫描】： 1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。(重点) 2、掌握四种命题之间的相互关系。(重点) 3、等价命题的应用。(难点) 1、四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。 (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若非p，则非q”。 (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为若非q，则非p。 任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。 2、四种命题的相互关系
(2)四种命题的真假性之间的关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？ 因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4. 一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为： 原命题：若P，则q； 逆命题：若q，则p； 否命题：若非P，则非q； 逆否命题：若非q，则非p. (1)关于四种命题也可叙述为： ①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题； ②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题； ③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题． (2)已知原命题，写出它的其他三种命题： 首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。 如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提。
实用标准 ●高考明方向 1.理解命题的概念． 2.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义 . ★备考知考情 常用逻辑用语是新课标高考命题的热点之一，考查 形式以选择题为主，试题多为中低档题目，命题 的重点主要有两个： 一是命题及其四种形式，主要考查命题的四种形式及命 题的真假判断； 二是以函数、数列、不等式、立体几何中的线面关系等为背景考查充要条件的判断，这也是历年高考命题的重中之重．命题的热点是利用关系或条件求解参数范围问题，考查考生的逆向思维 . 一、知识梳理《名师一号》 P4 知识点一命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意： 命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系． (2)四种命题的真假关系
实用标准 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关． 注意：(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定 原词语等于（ =）大于（ >）否定词语不等于（≠）不大于（≤）原词语都是至多有一个否定词语不都是至少有两个原词语至少有一个任意两个 否定词语一个也没有某两个小于（ <）是 不小于（≥）不是至多有 n 个或 至少有 n+1 个且 所有的任意的某些某个 知识点二充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 （ 1）充分条件： p q 则 p 是 q 的充分条件 即只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立，亦即要使 q 成立，有 p 成立就足够了，即有它即可。 （ 2）必要条件： p q 则 q 是 p 的必要条件 p q q p 即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的 条件，即无它不可。 ( 补充 ) （ 3）充要条件 p q且q p 即 p q 则p 、q 互为充要条件（既是充分又是必要条件）“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、“ q 当且仅当 p ”等 ( 补充 ) 2、充要关系的类型 （ 1）充分但不必要条件 定义：若 p q ，但 q p ，
命题与逻辑关系 四种命题及其关系 1.有下列四个命题： ①“若xy ＝1，则x 、y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③若“A ∪B ＝B ，则A ?B ”的逆否命题．其中的真命题有( )个。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2 (a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )． A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 3.下列命题为真命题的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若11a b >，则a b < D ．若a b <，则a b < 4.设b a ,是向量，命题“若b a -=，则b a =”的逆命题是( ) .A 若b a =，则b a -= .B 若b a -≠，则b a ≠ .C 若b a ≠，则b a -≠ .D 若b a -=，则b a ≠ 5.“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题是（ ） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 6.命题“若12
第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 (1) 教材分析 本节内容是数学选修2-1第一章 常用逻辑用语 的起始课，通过本节内容的学习，使学生了解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.会分析四种命题间的相互关系.命题、四种命题及其相互关系是逻辑学的基本知识.数学学科包含了大量的命题，了解命题的基础知识，认识命题的相互关系，对于掌握具体的数学学科知识很有帮助. 课时分配 本节内容用2课时的时间完成，主要讲解命题及其关系.本节课主要学习“若p ，则q ”形式的命题及四种常见命题间的关系及其相互转化. 教学目标 重点:命题的概念和四种命题间的相互关系. 难点：命题的概念和四种命题间的相互关系. 知识点：四种常见命题间的关系及其真假判断. 能力点：四种常见命题的真假判断. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：将形如“若p ，则q ”的命题转化为逆命题、否命题与逆否命题. 考试点：将“若p ，则q ”的命题转化为逆命题、否命题与逆否命题及其真假判断. 易错易混点：四种常见命题的真假判断. 拓展点：如何由四种常见命题拓展出逻辑学的其他知识点. 教具准备多媒体课件 课堂模式学案导学 一、引入新课 思考下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a ∥b ，则直线a 与直线b 没有公共点 ． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）若2 1x =,则1x =． （5）两个全等三角形的面积相等． （6）3能被2整除． 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情.其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假． 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清． 我们在初中已经学过许多数学命题，什么叫做命题？你能举出一些数学命题的例子吗？ 【设计意图】命题是一个基本而常用的概念，学生应该了解这个概念.可以通过一些数学命题的例子加深对命题概念的理解，并引入“若p ，则q ”形式的数学命题，以及这种形式的数学命题的条件和结论做准备. 【设计说明】在分析以上命题特点及其真假后，总结出命题、真命题、假命题的概念.
四种命题四种命题间相 互关系 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
四种命题四种命题间的相互关系 1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点) 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点) 教材整理1 四种命题 阅读教材P 4～P 6 ，完成下列问题. 1.四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题. 2.四种命题的形式 原命题：若p，则q. 逆命题：若q，则p. 否命题：若﹁p，则﹁q. 逆否命题：若﹁q，则﹁p. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题.( ) (2)四种命题中，原命题是固定的.( ) (3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.() 解:(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错. (2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错. (3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错.
答案:(1)×(2)×(3)× 教材整理2 四种命题间的相互关系 阅读教材P 6～P 8 ，完成下列问题. 1.四种命题之间的相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况 (2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有.( ) (2)两个互逆命题的真假性相同.( ) (3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个.( ) 解:(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命题，故(1)对. (2)两个互逆命题的真假性无关，故(2)错. (3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错. 答案:(1)√(2)×(3)× 小组合作探究 四种命题的概念 例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：
1.1命题及其关系 第一课时 1.1.1 命题及其关系 一、教学目标 （一）知识目标： 了解命题的概念； 会判断一个命题的真假； 并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式. （二）能力目标： 培养学生的概括能力和思维能力； 培养学生的辨析能力及培养他们分析问题和解决问题的能力 （三）德育目标： 激发学生学习的兴趣和积极性； 养成良好的学习习惯 二、教学的重难点及教学设计 （一）教学重点：命题的改写. （二）教学难点：命题概念的理解. （三）授课类型：新授课 （四）教学方法：教师引导，合作交流与独立探究相结合 三、教具准备： 多媒体课件 四、教学过程： （一）导入新课（用PPT给出） 思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？ （1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点； （2） 2 + 4 = 7； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； （4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ； （5）两个全等的三角形面积相等； （6）3能被2整除. 引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句 2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判 断为真。 （二）讲授新课 1. 教学命题的概念： ①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题； 假命题：判断为假的语句叫做假命题. 上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、
命题与逻辑联结词 一、命题与逻辑联结词 1、命题定义 可以判断真假的语句叫“命题” 2、分类 简单命题 复合命题（由简单命题与逻辑联结词构成） p 或q ：q p ∨ p 且q ：q p ∧ 非p ：p ?（命题p 的否定） 3、判断复杂命题的真假 一真或真，一假且假. 4、四种命题 （1）原命题. 若p ，则q . （2）逆命题 若q ，则p . （3）否命题 若p ?，则q ?. （4）逆否命题 若q ?，则p ?. 5、四种命题关系 （1）原命题与逆否命题同真同假. （2）逆命题与否命题同真同假. 6、命题的否定与否命题. （1）命题的否定：（只否定结论）. p 表示命题，非p 叫做命题的否定； 若p 则q ，则命题的否定为：若p 则q ? （2）否命题（既否定条件，又否定结论） 若p 则q 的否命题为： 若p ?则q ?. 二、充分条件与必要条件. 1、充分条件 若q p ?，则p 是q 的充分条件（q 的充分条件p ） 2、必要条件 若q p ?，则q 是p 的充分条件（p 的充分条件q ） 3、充要条件 若q p ?且p q ?（或q p ?）则p 是q 的充要条件。 4、充分条件与必要条件判定 （1）数轴法 （2）集合法
（3）等价法 三：全称量词与存在量词 1、 全称量词：“所有的”.“任意一个”.“每个”，用“?”表示。 存在量词：“存在一个”.“至少有一个”.“有些”，用“?”表示. 2、 全称命题（含有全称量词的命题）：();,x p M x ∈? 特称命题（含有存在量词的命题）：().,00x p M x ∈? 3、含有一个量词的命题的否定. 命题 命题的否定 ()X P M x ,∈? ()00,x p M x ?∈? ()00,x p M x ∈? ()x p M x ?∈?, 4、一些常用正面描述的词语的否定形式： 正面词语 = > < 是 都是 一定 否定词语 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 不一定 正面词语 至多有一个 至少有一个 至多有n 个 至少有n 个 P 或q P 且q 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n +1个 至多有n -1个 非p 且非q 非p 或非q
1.1.3四种命题间的相互关系 【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题． 1．四种命题的相互关系 2．四种命题的真假性 (1) (2) ①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________． 一、选择题 1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是() A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确 C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确 2．下列说法中正确的是() A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价 C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是() A．能被2整除的整数，一定能被6整除 B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除 C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除 D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除 4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()
A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 5．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ?α，m ?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( ) A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ． 二、填空题 7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ??U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”) 8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”) 9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b ，则a 2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假． 11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.
1.1.3四种命题的相互关系 教材分析： 本节课高中数学人教版选修1-1第一章常用逻辑用于第一大节第三课时内容它的前面一节里已介绍了四种命题的概念和形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，它也为后续学习奠定基础，这节课本身也是高考内容。 （一）教学目标 ◆知识与技能：掌握四种命题的相互关系会用等价命题判断四种命题的真假。 ◆过程与方法：多让学生举命题的例子，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力． ◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． （二）教学重点与难点 重点：（1）会判断四种命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系． 难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假． （三）教学过程 学生探究过程： １．复习引入 四种命题的概念和形式是什么？ 2.思考、分析 问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间的关系已经知道。你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？ （1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数． 3.归纳总结 我们发现，命题（2）、（3）是互为逆否命题，命题（2）、（4）是互否命题，命题（3）、（4）是互逆命题。 一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如下图所示若P，则q．若q，则P． 原命题互逆 逆命题 互 否互 为 否 逆互 否为 互 逆 否 否命题逆否命题 互逆 若￢P，则￢q．若￢q，则￢P．
四种命题及其关系 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆ 原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 A ．真、假、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即 （2例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.即
1．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 2．设m ∈R ,命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是 A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m > B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m > D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤ 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成()i ,z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2．【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤，故选D.