关于导函数列一致收敛的性质的一些命题. 函数列可逐项求导的充分条件 定理10.10 如果函数列}{n f 满足条件: (1) 每一个n f 在区间],[b a 上有连续的导函数;
(2) 由导函数构成的函数列}{n
f '在],[b a 上一致收敛于函数
g ;
(3)
至少在某一点],[0b a x ∈,)}({0x f n 收敛。
那么， }{n f 在],[b a 上一致收敛于某个函数f ，f 在区间],[b a 上有连续的导函数，而且对每个],[b a x ∈，有)()(x g x f ='，
即 )(lim ))(lim
(x f x f n n n n '='∞
→∞
→ 。
定理 设函数列}{n f 的每一项都在区间I 上连续可导，如果对任何
I B A ∈,，
B A <，函数列}{n f 在],[B A 上一致收敛于函数f
,函数列}{n f '在],[B A 上一致收敛
于函数
g ,那么f
在区间
I
上有连续的导函数，而且对每个I x ∈，有
)()(x g x f ='，即
)(lim ))(lim (x f x f n n n n '
='∞
→∞
→ 。
定理1.设[][]b a x b a C x f n ,,,)(02∈∈.若{})(0x f n 收敛, {})(0x f n '收敛,且{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛,则
{})(x f n '在[]b a ,上一致收敛;{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛.
(lim ())lim ()n n n n f x f x →∞
→∞
''=，(lim ())lim ()n n n n f x f x →∞
→∞
''''= 。
定理2 设[],,)(2b a C x f n ∈且{}{})(,)(b f a f n n 收敛,如果{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n 与{})(x f n '均在[]b a ,上一致收敛.
证明由?''-+-'+=b
a n n n n dx x f x
b a b a f a f b f )()())(()()(，
得?''----='b
a n n n n dx x f x
b a
b a f b f a f )()()()()( ,由条件,可知{})(a f n '收敛,利用定理1,即得到结论.
定理3 设[],,)(2
b a C x f n ∈若{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛,{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛,
则{})(x f n '在[]b a ,上一致收敛.
[],C a b ，[],m C a b 是Banach 空间 。
定理4设[],,2b a C f ∈[]
.2,1,0,)(sup )
(,==∈k x f
M k b a x k
则有0212
)(M a
b M a b M -+
-≤ 证明 存在),(b a ∈ξ,使得a
b a f b f f --=
')
()()(ξ,由))(()()(ξηξ-''+'='x f f x f ,得
2)()(M x f x f ξξ-+'≤'
20)(2
M a b M a b -+-≤
从而有0212
)(M a
b M a b M -+
-≤. 定理5 设[],,2
b a C f ∈[]
.2,1,0,)(sup )
(,==∈k x f
M k b a x k
则对任意20a b -<
<ε,成立1202
2M M M εε
≤+ ； 存在常数C ，使得1
1
221002()M CM M M ≤+ 。 证明 任取2
0a
b -<
<ε. 对任意),,(b a x ∈存在子区间[]εε+=x x I ,或[]x x I ,εε-=,使得
[]εεε=?∈I b a I x ,,
由εξI t x t f x t x f x f t f ∈-''+-'+=,))((2
1
))(()()(2, 得
()22021
2)(x t M M x t x f -?
+≤-' ,2
1
2220ε?+≤M M εI t ∈,
从而有
,21
2)(220M M x f εε+≤'
,2
2)(02M M x f εε+≤'
故成立1202
2M M M εε
≤+ .
取 11
22002()2
b a M M M ε--=
+代入上式， 则有1
1
221002()M CM M M ≤+。
定理6 设[]3,,f C a b ∈[]
(),sup (),0,1,2,3k k x a b M f x k ∈==
则存在常数C ，使得12332003()M CM M M ≤+，2133
1003()M CM M M ≤+。
定理7 设[],,n f C a b ∈()
()[,]||||sup |()|i i x a b f
f x ∈=<∞，n i ,,2,1,0 = .
则存在常数C ，使得1()
()
||||||||(||||||||)k k k n n
n
f C f f f -≤+，n 为正整数，2≥n ，
n k <≤0。
定理8 设[],,m n f C a b ∈2m ≥ 若{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛,
{}()()m n
f x 在[]b a ,上一致收敛,
则{
}
()
()k n f x 在[]b a ,上一致收敛.，1,2,,1k m =- 。 定理10.21(魏尔斯特拉斯)闭区间],[b a 上的任何连续函数f
能在这个区间上用多项式
一致逼近,即 设
],[b a C f ∈,则对任意0>ε,总能找到多项式)(x P ,使得对],[b a 中的所有的x ,
均有ε<-|)()(|x P x f 。
定理 设
],[b a C f ∈，则存在多项式序列)}({x p n ，使得)}({x p n 在
],[b a 上一致收敛于)(x f 。
定理 设],[b a C f ∈，
且],[b a C f ∈'，则存在多项式序列)}({x q n ，使得)}({x q n 在],[b a 上一致收
敛于
)(x f ，)}({x q n
'在],[b a 上一致收敛于)(x f '。 证明 由于],[b a C f ∈'，
根据魏尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式序列)}({x p n ，使得)}({x p n 在],[b a 上一致收敛于)(x f '，
令dt t p a f x q x
a
n n )()()
(?+=，显然)(x q n 仍是多项式，)()(a f a q n =
)()(x p x q n n
='；
从而得
)}
({x q n 在
]
,[b a 上一致收敛于
)()()(x f dt t f a f x a
='+?，
)}({x q n
'在],[b a 上一致收敛于)(x f '。 定理 设
],[b a C f k ∈，则存在多项式序列)}({x q n ，使得)}({x q n 在
],[b a C k
中收敛于)(x f 。
第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性
对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。
数学分析第十三章函数列与函数项级数 一致收敛函数列的性质1 第八讲
数学分析第十三章函数列与函数项级数 一致收敛函数列的性质 定理13.8（极限交换定理） {}n f 设函数列在上一致收敛于,00(,)(,)a x x b ?()f x 且 对每个n , 0 lim ()n n x x f x a →=，→∞ lim n n a 则和→0 lim ()x x f x 均存在且 相等：00 lim lim ()lim lim (). n n x x n n x x f x f x →→∞ →∞→=即 {}n a 证先证是收敛数列. 故存在正整数N , 当n >N 及对任意正整数p , 对一切00(,)(,)，x a x x b ∈?有|()()|.(1) n n p f x f x ε+-<0ε>，{}n f 由于一致收敛, 对任意0 lim ()lim , n x x n f x a →→∞=
数学分析第十三章函数列与函数项级数 定理指出: 在一致收敛的条件下, {()}n f x 中关于独立变量x 与n 的极限可以交换次序, 即 ,()(,)n f x a b 类似地若在lim () n x a f x +→上一致收敛, 且存在, ++→∞→∞ →→=lim lim ()lim lim ();n n n n x a x a f x f x ()(,)lim (), n n x b f x a b f x -→若在上一致收敛,且存在-- →∞ →∞→→=lim lim ()lim lim ().n n n n x b x b f x f x 则有则有00 lim lim ()lim lim (). (2) n n x x n n x x f x f x →→∞ →∞→=
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学计划：４课时． 教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用． 教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 定理13．8 设函数列{}n f 在()()b x x a o o ,, 上一致收敛于()x f ，且对每个n ， ()n n x x a x f o =→lim 则n a ∞ →lim 和()x f o x x →lim 均存在且相等． 证 先证{}n a 是收敛数列.对任意0>ε，由于{}n f 一致收敛，故有N ，当N n >和任意正整数p ，对一切()()b x x a x o o ,, ∈有 ()().ε<-+x f x f p n n (1) 从而 ()()ε≤-=-+→+x f x f a a p n n x x p n n 0 lim 这样由柯西准则可知{}n a 是收敛数列． 设.lim A a n n =∞ →．再证().lim 0 A x f x x =→ 由于)(x f n 一致收敛于)(x f 及n a 收敛于A ，因此对任意,0>ε存在正数N ，当N n >时，对任意),(),(00b x U x a x ∈ 3 3 )()(ε ε < -< -A a x f x f n 和 同时成立.特别取,1+=N n 有 .3 ,3 )()(11ε ε < -< -++A a x f x f N N 又(),lim 110 ++→=N N x x a x f ，故存在,0>δ，当δ<-<00x x 时， .3 )(11ε < -++N N a x f 这样，当x 满足δ<-<00x x 时， A a a x f x f x f A x f N N N N -+-+-≤-++++1111)()()()( ,3 3 3 εε ε ε =+ + < 即 ().lim 0 A x f x x =→ □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，{})(x f n 中两个独立变量x 与n ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即 ()().lim lim lim lim 0 0x f x f n x x n n n x x →∞→∞ →→= (2) 类似地，若)(x f n 在()b a ,上一致收敛且)(lim x f n a x + →存在，可推得 ()().lim lim lim lim x f x f n a x n n n a x ++→∞→∞ →→=；若)(x f n 在()b a ,上一致收敛和)(lim x f n b x +→存在，则可推 得()().lim lim lim lim x f x f n b x n n n b x + + →∞→∞ →→=．
摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异 关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛
Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence
目录 1 引言 (4) 2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4) 2.1 函数列收敛 (5) 2.2函数列的一致收敛 (5) 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5) 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9) 4.1从定理的角度阐述 (10) 4.2从集合的角度阐述 (11) 结论 (12) 参考文献 (13) 致谢 (14)
1引言 收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。 特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把 函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的 理解这个概念。而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析 中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文 为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数 列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立 建立 2 函数列收敛与一致收敛的定义 2.1函数列收敛： 设 ,2,1f f …,,n f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。（1）也可以简单地写作： ? ?????n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0 x 代入（1）可得数列 ), 0 (),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D E ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D 上每一点x ，都有数 列? ?? ???n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作,f 则有
关于导函数列一致收敛的性质的一些命题. 函数列可逐项求导的充分条件 定理10.10 如果函数列}{n f 满足条件: (1) 每一个n f 在区间],[b a 上有连续的导函数; (2) 由导函数构成的函数列}{n f '在],[b a 上一致收敛于函数 g ; (3) 至少在某一点],[0b a x ∈,)}({0x f n 收敛。 那么， }{n f 在],[b a 上一致收敛于某个函数f ，f 在区间],[b a 上有连续的导函数，而且对每个],[b a x ∈，有)()(x g x f ='， 即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n '='∞ →∞ → 。 定理 设函数列}{n f 的每一项都在区间I 上连续可导，如果对任何 I B A ∈,， B A <，函数列}{n f 在],[B A 上一致收敛于函数f ,函数列}{n f '在],[B A 上一致收敛 于函数 g ,那么f 在区间 I 上有连续的导函数，而且对每个I x ∈，有 )()(x g x f ='，即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n ' ='∞ →∞ → 。 定理1.设[][]b a x b a C x f n ,,,)(02∈∈.若{})(0x f n 收敛, {})(0x f n '收敛,且{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛,则 {})(x f n '在[]b a ,上一致收敛;{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛. (lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''=，(lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''''= 。 定理2 设[],,)(2b a C x f n ∈且{}{})(,)(b f a f n n 收敛,如果{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n 与{})(x f n '均在[]b a ,上一致收敛. 证明由?''-+-'+=b a n n n n dx x f x b a b a f a f b f )()())(()()(， 得?''----='b a n n n n dx x f x b a b a f b f a f )()()()()( ,由条件,可知{})(a f n '收敛,利用定理1,即得到结论. 定理3 设[],,)(2 b a C x f n ∈若{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛,{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n '在[]b a ,上一致收敛.
函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers