§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
教学计划：４课时．
教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用．
教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤：
本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性．
定理13．8 设函数列{}n f 在()()b x x a o o ,, 上一致收敛于()x f ，且对每个n ，
()n n x x a x f o
=→lim 则n a ∞
→lim 和()x f o
x x →lim 均存在且相等．
证 先证{}n a 是收敛数列.对任意0>ε，由于{}n f 一致收敛，故有N ，当N n >和任意正整数p ，对一切()()b x x a x o o ,, ∈有
()().ε<-+x f x f p n n (1)
从而
()()ε≤-=-+→+x f x f a a p n n x x p n n 0
lim
这样由柯西准则可知{}n a 是收敛数列． 设.lim A a n n =∞
→．再证().lim 0
A x f x x =→
由于)(x f n 一致收敛于)(x f 及n a 收敛于A ，因此对任意,0>ε存在正数N ，当N n >时，对任意),(),(00b x U x a x ∈
3
3
)()(ε
ε
<
-<
-A a x f x f n 和
同时成立.特别取,1+=N n 有
.3
,3
)()(11ε
ε
<
-<
-++A a x f x f N N
又(),lim 110
++→=N N x x a x f ，故存在,0>δ，当δ<-<00x x 时，
.3
)(11ε
<
-++N N a x f
这样，当x 满足δ<-<00x x 时，
A a a x f x f x f A x f N N N N -+-+-≤-++++1111)()()()(
,3
3
3
εε
ε
ε
=+
+
<
即 ().lim 0
A x f x x =→ □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，{})(x f n 中两个独立变量x 与n ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即
()().lim lim lim lim 0
0x f x f n x x n n n x x →∞→∞
→→= (2)
类似地，若)(x f n 在()b a ,上一致收敛且)(lim x f n a
x +
→存在，可推得
()().lim lim lim lim x f x f n a
x n n n a
x ++→∞→∞
→→=；若)(x f n 在()b a ,上一致收敛和)(lim x f n b
x +→存在，则可推
得()().lim lim lim lim x f x f n b x n n n b
x +
+
→∞→∞
→→=．
由定理13.8可得到以下定理．
定理13.9（连续性） 若函数列{}n f 在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续．
证 设0x 为I 上任一点。由于()()00
lim x f x f n n x x =→，于是由定理13.8知()x f x x 0
lim →亦存
在，且()()()00lim lim 0
x f x f x f n n x x ==∞
→→，因此)(x f 在0x 上连续． □
由定理13.9可知：若各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 例如：函数列{}n
x
的各项在(]1,1-上都是连续的，但其极限函数
()???=<<-=1
,1,
11,0x x x f
在1=x 时不连续，从而推得{}n
x
在(]1,1-上不一致收敛。
定理13.10（可积性） 若函数列{}n f 在[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则 ()().lim lim dx x f dx x f n b
a n n n b
a ?=?∞
→∞
→ ()3
证 设f 为函数列{}n f 在[]b a ,上的极限函数。由定理13.9，f 在[]b a ,上连续，从而() ,2,1=n f n 与f 在[]b a ,上都可积． 因为在[]b a ,上()∞→→→
n f f n
，故对任给正数ε，存在N ，当N n >时，对一切
[]b a x ,∈，都有
()().ε<-x f x f n
再根据定积分的性质，当N n >时有
()()()()()dx x f x f dx x f dx x f n b
a b
a n b
a -?=?-? ()()dx x f x f n b
a -?≤
().a b -≤ε 这就证明了等式（3）． □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换． 例1 设函数
???
?
?
????
≤≤=<≤-<≤,
11,0.,2,1,121,22,210,2)(x n n n x n x na a n
x na x f n n n n 其图象如图413-所示．
显然{})(x f n 是[]1,0上连续函数列，且对任意
[].0)(lim ,1,0=∈∞
→x f x n n 又[]
n n x a x f =-∈0)(sup 1,0，因此
{})(x f n 在[]1,0上一致收敛于0的充要条件是().0∞→→n a n
由于n a dx x f n
n 2)(1
0=
?，因此→?1
0)(dx x f n 0)(1
0=?dx x f 的充要条件是.02lim ==
∞→n
a n
n 这样当1≡n a 时，虽然(){}x f n 不一致收敛于()x f ，但定理10.13
的结论仍成立．但当
n a n =时，
(){}x f n 不一定收敛于()x f ，且()2
11
≡
?dx x f n 也不收敛于()01
=?dx x f n .
例1说明当(){}x f n 收敛于()x f 时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件．
定理11.13（可微性）设{}n f 为定义在[]b a ,上的函数列，若[]b a x o ,∈为{}n f 的收敛点，{}n f 的每一项在[]b a ,上有连续的导数，且{}n f '在[]b a ,上一致收敛，则
()()
().lim
lim x f dx
d x f dx
d
n n n n ∞
→∞
→= （4）
证 设()()()[]b a x n g f n A x f n
o n ,,',∈∞→→
→∞→→，
我们要证明函数列{}n f 在区间[]b a ,上收敛，且其极限函数的导数存在且等于g ．
由定理条件，对任一[]b a x ,∈，总有
()()().'dt t f x f x f x
x n o n n o
?
+
=
当∞→n 时，右边第一项极限为A ，第二项极限为()dt t g x
x o
?（定理10.13），所以左边极限
存在，记为f ，则有
()()()(),lim dt t g x f x f x f x
x o n n o
?
+
==∞
→
其中().A x f o =。由g 的连续性及微积分学基本定理（第十章§5）推得
.'g f =
这就证明了等式（4）． □ 在定理11.13的条件下，还可推出[]b a ,上(),∞→→
→n f f n
请读者自己证明．
与前面两个定理一样，一致收敛条件是极限运算与求导运算交换的充分条件，而不是必要条件．
例2 函数列 () ,2,1),1ln(212
2
=+=
n x n n
x f n 与 ,2,1,1'2
2
=+=
n x
n n x f n
在[]1,0上都收敛于0，由于
]
()(),2
1''m a x lim 1,0=
-∈∞→x f x f n x n
所以导函数()x f n '在[]1,0上不一致收敛，但有
()()[]
.'.lim 0'lim x f x f n n n n ∞
→∞
→== □
在上述三个定理中，我们都 可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子。在今后
的进一步学习中(如实变函数论)我们将讨论使上述定理 成立的较弱的条件。但在目前的一般情况下，只有满足一致收敛的条件，才能保证定理结论的成立。 现在讨论定义在区间[]b a ,上函数项级数
++++)()()(21x u x u x u n ()5 的连续性、逐项求积与逐项求导的性质，这些性质可由函数列的相应性质推出．
定理12.13（连续性）若函数列级数()x u n ∑在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续．
这个定理指出：在一致收敛条件下，（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即
()()().lim lim ∑∑→→=??? ??
x u x u n x x n x x o
o ()6
定理13.13（逐项求积）若函数列级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛，且每一项()x u n 都连续，则
()().dx x u dx x u b
a
n b
a
n ?
∑?
=
()7
定理14.13（逐项求导）若函数列级数()x u n ∑在[]b a ,上每一项都有连续的导函数，
[]b a x o ,∈为()x u n ∑的收敛点，且()x u n ∑'在[]b a ,上一致收敛，则
()()().∑∑
=??? ??x u dx
d x u dx d n
n
()8
定理13.13和14.13指出，在一致收敛条件下，逐项求积或求导后求和等于求和后再求
积或求导．
最后，我们指出，本节中六个定理的意义不只是检验函数列或函数项级数是否满足关系式），（8)6(),4()2(--更重要的根据定理的条件，即使没有求出极限函数或函数，也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和函数的解析性质． 例3 设
()),
1ln(12
23
x n n
x u n +=
.,2,1 =n
证明函数项级数()∑x u n 在[]1,0上一致收敛,并讨论其和函数在[]1,0上的连续性、可积性与可微性．
证 对每一个，易见()x u n 为[]1,0上增函数，故有 ()()(
),1ln 112
3
n
n
u x u n n +=
≤ .,2,1 =n
又当1≥t 时，有不等式()t t <+21ln ，所以 ()(
),111ln 12
3
2
3
n
n n
n
n
x u n =?<
+≤ .,2,1 =n
以收敛数∑
2
1n
为()x u n ∑的优级数，推得()x u n ∑在[]1,0上一致收敛．
由于每一个()x u n 在[]1,0上连续，根据定理12.13与定理13.13，()x u n ∑的和函数()x S 在[]1,0上连续且可积。又由
()(
)
,122122
2
2'
n
nx
x x x
n n x x u n =
?≤
+=
.,2,1 =n
即∑
2
1n
也是()x u n ∑'
的优级数，故()x u n ∑'
也在[]1,0上一致收敛。由定理14.13，
得()x S 在[]1,0上可微． □
作业布置：Ｐ４１ ５．
第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性
对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。
第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，
我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时
§4.2 复变函数项级数 教学目的：1．理解复变函数项级数收敛的概念，掌握其收敛的常用 判别法，以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质． 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3．掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性，能灵活正确求出所给级 数的收敛半径；能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数． 教学重点：掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法；能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点：正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,（书上为其中各项在区域D 内有定义,）则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E
的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1．【幂级数的定义】通常把形如： 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级
函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学计划：４课时． 教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用． 教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性． 定理13．8 设函数列{}n f 在()()b x x a o o ,, 上一致收敛于()x f ，且对每个n ， ()n n x x a x f o =→lim 则n a ∞ →lim 和()x f o x x →lim 均存在且相等． 证 先证{}n a 是收敛数列.对任意0>ε，由于{}n f 一致收敛，故有N ，当N n >和任意正整数p ，对一切()()b x x a x o o ,, ∈有 ()().ε<-+x f x f p n n (1) 从而 ()()ε≤-=-+→+x f x f a a p n n x x p n n 0 lim 这样由柯西准则可知{}n a 是收敛数列． 设.lim A a n n =∞ →．再证().lim 0 A x f x x =→ 由于)(x f n 一致收敛于)(x f 及n a 收敛于A ，因此对任意,0>ε存在正数N ，当N n >时，对任意),(),(00b x U x a x ∈ 3 3 )()(ε ε < -< -A a x f x f n 和 同时成立.特别取,1+=N n 有 .3 ,3 )()(11ε ε < -< -++A a x f x f N N 又(),lim 110 ++→=N N x x a x f ，故存在,0>δ，当δ<-<00x x 时， .3 )(11ε < -++N N a x f 这样，当x 满足δ<-<00x x 时， A a a x f x f x f A x f N N N N -+-+-≤-++++1111)()()()( ,3 3 3 εε ε ε =+ + < 即 ().lim 0 A x f x x =→ □ 这个定理指出：在一致收敛的条件下，{})(x f n 中两个独立变量x 与n ，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即 ()().lim lim lim lim 0 0x f x f n x x n n n x x →∞→∞ →→= (2) 类似地，若)(x f n 在()b a ,上一致收敛且)(lim x f n a x + →存在，可推得 ()().lim lim lim lim x f x f n a x n n n a x ++→∞→∞ →→=；若)(x f n 在()b a ,上一致收敛和)(lim x f n b x +→存在，则可推 得()().lim lim lim lim x f x f n b x n n n b x + + →∞→∞ →→=．
第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 （一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈?，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 ．逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ，及 0>?ε，()0,>=?εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>?>?N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 ．非一致收敛 00>?ε，对N n N >?>?0,0，及I x ∈?0，使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛． 证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞ →n n f ，即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取031 0>=ε。对0>?N ，取 N N n >+=10，取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n ， 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，
第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值
摘要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异 关键词：函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛
Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view, through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence
目录 1 引言 (4) 2 函数列收敛与一致收敛的定义 (4) 2.1 函数列收敛 (5) 2.2函数列的一致收敛 (5) 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异 (5) 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系 (9) 4.1从定理的角度阐述 (10) 4.2从集合的角度阐述 (11) 结论 (12) 参考文献 (13) 致谢 (14)
1引言 收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。 特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把 函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的 理解这个概念。而且证明时学生常常都用""N -ε语言硬套，各个版本数学分析 中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文 为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数 列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立 建立 2 函数列收敛与一致收敛的定义 2.1函数列收敛： 设 ,2,1f f …,,n f … （1） 是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列。（1）也可以简单地写作： ? ?????n f 或,n f n=1,2,… 设0x ∈E ，以0 x 代入（1）可得数列 ), 0 (),...0(2),0(1x n f x f x f （2） 若数列（2）收敛，则函数列（1）在点0x 收敛，0 x 称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）在数集D E ?上每一点都收敛，则称（1）在数集D 上收敛。这时D 上每一点x ，都有数 列? ?? ???n f 的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列（1）的极限函数。若把此极限函数记作,f 则有
学号 数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 学院名称：数学与信息科学学院 专业名称：数学与应用数学 年级班别： 姓名： 指导教师： 2012年5月
数项级数和函数项级数及其收敛性的判定 摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。 关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法. Several series and Function of series and the judgment of their convergence Abstract In this paper, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and logarithmic discriminant method. Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method 前 言 在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。 1 正项级数及其收敛性 一系列无穷多个数123,,,,, n u u u u 写成和式 123n u u u u +++ + 就称为无穷级数，记为1 n n u ∞ =∑。如果()0,1,2,3, n u n ≥=，那么无穷级数1 n n u ∞ =∑,就称为正项 级数。
函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且
1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7）
2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性:
3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4
关于导函数列一致收敛的性质的一些命题. 函数列可逐项求导的充分条件 定理10.10 如果函数列}{n f 满足条件: (1) 每一个n f 在区间],[b a 上有连续的导函数; (2) 由导函数构成的函数列}{n f '在],[b a 上一致收敛于函数 g ; (3) 至少在某一点],[0b a x ∈,)}({0x f n 收敛。 那么， }{n f 在],[b a 上一致收敛于某个函数f ，f 在区间],[b a 上有连续的导函数，而且对每个],[b a x ∈，有)()(x g x f ='， 即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n '='∞ →∞ → 。 定理 设函数列}{n f 的每一项都在区间I 上连续可导，如果对任何 I B A ∈,， B A <，函数列}{n f 在],[B A 上一致收敛于函数f ,函数列}{n f '在],[B A 上一致收敛 于函数 g ,那么f 在区间 I 上有连续的导函数，而且对每个I x ∈，有 )()(x g x f ='，即 )(lim ))(lim (x f x f n n n n ' ='∞ →∞ → 。 定理1.设[][]b a x b a C x f n ,,,)(02∈∈.若{})(0x f n 收敛, {})(0x f n '收敛,且{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛,则 {})(x f n '在[]b a ,上一致收敛;{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛. (lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''=，(lim ())lim ()n n n n f x f x →∞ →∞ ''''= 。 定理2 设[],,)(2b a C x f n ∈且{}{})(,)(b f a f n n 收敛,如果{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n 与{})(x f n '均在[]b a ,上一致收敛. 证明由?''-+-'+=b a n n n n dx x f x b a b a f a f b f )()())(()()(， 得?''----='b a n n n n dx x f x b a b a f b f a f )()()()()( ,由条件,可知{})(a f n '收敛,利用定理1,即得到结论. 定理3 设[],,)(2 b a C x f n ∈若{})(x f n 在[]b a ,上一致收敛,{})(x f n ''在[]b a ,上一致收敛, 则{})(x f n '在[]b a ,上一致收敛.
函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers
第十章 函数项级数 一、内容简介 本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。 二、学习要求 1. 了解用多项式来逼近函数的思想； 2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质； 3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。 三、学习的重点和难点 重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开; 难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别, 四、研究级数的目的 1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。 3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。 §１ 一致收敛性 一．点收敛的收敛域 函数项级数： 1 ()n n u x ∞ =∑． 定义１ 设()n u x (1,2, ,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是 1 ()n n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1 ()n n u x ∞ =∑的收 敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数． 例：（１） 1 ()1n n x S x x ∞ === -∑ (1,1)x ∈-． （２）1 n p n x n ∞ =∑ 1p > ，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］； 0P ≤，收敛域为（－１，１）． （３） 1sin p n x n ∞ =∑ 0p >时，(,)-∞∞．
例：nx e - 收敛域为(0,)∞． 部分和函数列：{()}n S x ． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上收敛?{()}n S x 在D 上收敛． 二．函数序列的一致收敛性 {()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈． 00 lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞ →∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？ 一般否．反例： 例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11 x S x x ∈-?=? =? ． 1lim ()0x S x - →= 1 lim lim ()lim11n n n x S x - →∞→∞ →==。 例：()0n S x = →．(,)D =-∞+∞ ()0S x = ()n S x nx '==． 例：1!()0n n x S x ∈?=? ? 其他 ． x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数 q p 时，n p >时，!q n p 整数，()1n S x =． ()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积． 定义２ 设lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有： ()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D n S x S x ? 若级数 1 ()n n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1 ()n n u x ∞ =∑一致收敛于 ()S x ． 例１：22 ()1n x S x n x =+． 1 ()n n S x ∞ =∑ 0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →．
函数项级数的一般概念
一、函数项级数的一般概念 1.定义： . 1 2 0 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞ =++++=121)()()()(n n n x u x u x u x u {}上的函数列，称 是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。
2.收敛点与收敛域： 如果I x ∈0,数项级数∑∞ =10)(n n x u 收敛, 则称0x 为级数 )(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞ =的所有收敛点的全体称为收敛域, . )(:1??????∈=∑∞ =收敛n n x u R x K
3.和函数: {}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n n k k n ∑== 部分和数列。).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞ →∈函数项级数的和函数： . , )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞ =
解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +?+=111)(11∞→+→n x ,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛. , 11>+?x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n n x n +-∑∞=二、典型例题 板书
,111)2(>+x 当,11<+?x , 02时即<<-x 原级数发散. , 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n n n , 2时当-=x . 11发散级数∑∞=n n ). ,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当, 2 0-==?x x 或板书
第十一章 无穷级数 11.1常数项级数 11.1.1常数项级数的基本概念和基本性质 (1)常数项级数的基本概念 ①无穷多个数1u ，2u ，…，n u ，…依次相加得到的表达式∑∞ =1n n u 称为常数项级数； ②常数项级数前n 项的和∑==n k k n u S 1 ( ,2,1=n )称为常数项级数的部分和； ③若常数项级数S S u n n n n ==∞ →∞ =∑lim 1 存在，则称收敛，否则为发散. (2)常数项级数的基本的性质 ①若两个常数项级数∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 中，一个收敛，一个发散，则()∑∞ =+1 n n n v u 发散； 若∑∞=1 n n u 和∑∞=1 n n v 均发散，则()∑∞ =+1 n n n v u 的敛散性必须具体讨论； ②常数项级数∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件为0lim =∞ →n n u . 11.1.2正项级数敛散性的判定 若0≥n u ，则称∑∞ =1n n u 为正项级数. (1)比较判别法 设0≥n u ，0≥n v ，若A u v n n n =∞ →lim ,则有： ①当+∞< . 1lim 1 1lim 111?? ? ? ? ? ???=+∞=><=∑∑∞ =∞ →∞ =+∞→此判别法失效，，发散，且级数，收敛， 级数，若n n n n n n n n n u u u u u ρ (3)根值判别法 . 1lim 1 1lim 11?? ? ?? ? ???=+∞=><=∑∑∞ =∞ →∞ =∞→此判别法失效，，发散，且级数，收敛，级数，若n n n n n n n n n u u u u ρ (4)与 p n 1 的比较 ①若+∞≠∞→p n n n u 1 /lim 且1>p ，则∑∞ =1n n u 收敛； ②若01 /lim ≠∞→p n n n u 且1≤p ，则∑∞ =1 n n u 发散. 由以上结论可知：级数∑∞ =1 /1n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散. 【例11.1】证明调和级数∑∞ =11 n n 是发散的. 解：显然直接通过以上4种结论是得不出调和级数∑∞ =11 n n 的敛散性. 但这个级数的前12+m 项的部分和为： (). 12121212121 212 21121 817161514131211 2 1312111121+=++++>??? ??+++++++??? ??++++??? ??++??? ??+=++++ =++=m S m m m m m 由于级数n n ∑∞ =12 1 发散，所以由比值判别法可知级数∑∞ =11n n 发散.
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