数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛的例题
第六讲
数学分析第十三章函数列与函数项级数注对于例9中的级数(15), 只要单调且收敛于零,{}n a 的任何闭区2π(0,1,2,)k k =±± 级数(15)就在不包含间上一致收敛.
数学分析第十三章函数列与函数项级数复习思考题
1. 总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法
(不局限于书上现成的判别法); 常可以使用哪些方法呢？2．给出函数项级数在D 上不一致收敛的柯西准则
(即柯西收敛准则的否定形式). 判别不一致收敛通
第３７卷第８期２ＯＯ５年８月 哈尔滨工业大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳＴ【ＴＵＴＥＯＦ’ｒＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．３７Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２００５关于级数的绝对收敛 杨云燕 （哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨１５０００ｌ，Ｅ哪ａｉｌ：ｙｙｙ蚰＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．叻） 摘要：拓展了级数绝对收敛的概念．设（ｘ，ｘ’）是任意对偶系统，在ｚ上找到了一个可容许拓扑ｒ，使得在 （ｘ，ｒ）上有界乘数收敛级数都是绝对收敛的，但是，当可容许拓扑下７严格强于ｒ时，在（ｘ，ｒ’）中，一定存在有 界乘数收敛级数不是绝对收敛的．这个结果的建立主要借助予李容录的一致收敛引理…和Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓ－ｉｎｓｋｉ矩阵定理‘２１． 关键词：绝对收敛；有界乘数收敛；等度连续；可容许拓扑；Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ矩阵定理 中图分类号：０１７３文献标识码：Ａ文章编号：０３６７—６２３４（２００５）０８—１１１３—０３ ｏｎａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎＶｅｒｇｅｎｔｓｅｒｉｅｓ ＹＡＮＧＹｕｎ－ｙａｎ （Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈｅｍ砒ｉｃｓ，ＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ，Ｅ－ｍａｊｌ：ｙｙｙａｎ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎｖｅ唱ｅｎｃｅｉｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ｆｏｒｅｖｅｒｙｄｕａｌｐａｉｒ（Ｘ，ｘ’），Ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｎａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ丁ｏｎｘｓｕｃｈｔｈａｔ，ｉｎ（Ｘ，丁），ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓａｒｅａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｂｕｔｉｎ（Ｘ，ｒ’），ｗｈｅｒｅｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙｒ’ｉｓｓｔｒｉｃｔｌｙｓｔｒｏｎｇｅｒｔｈａｎｒ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎ． Ｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓｗｈｉｃｈａｒｅｎｏｔａｂｓｏＩｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．ＴｈｉｓｒｅｓｕｈｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＵｎｉｆｏ珊ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＬｌｅｍｍａ…ｏｆＵＲｏｎｇ．１ｕａｎｄＡｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＢａｓｉｃＭａｔｒｉｘＴｈｅｏｒｅｍ［引． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅ；ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ；Ａｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＭａ喇ｘＴｈｅｏｒｅｍ 称赋范空间（ｘ，０?ＩＩ）内的级数∑鼍是绝对收敛的若∑三，Ｉ｜巧ＩＩ＜＋∞．本文将这个简单的概念推广到局部凸空间的情形，进而发现：在一个对偶系统中存在一个可容许拓扑ｒ，使得对所有强于弱拓扑而弱于ｒ的可容许拓扑而言，所有有界乘数收敛级数都是绝对收敛的． 以下如不加声明，ｘ代表局部凸空间，ｘ’是它的对偶． 定义１称ｘ中的级数∑勺是绝对收敛的，若对任意等度连续序列｛Ｚ｝￡ｘ’有∑王，ｚ（勺）收敛． 若ｘ是赋范空间，｛骛｝∈ｘ，则∑三，ＩＩ巧ｏ＜＋∞当且仅当对任意等度连续序列｛彳｝∈ｘ’，∑二。Ｚ（戈，）收敛 收稿日期：２００４一０６—２８． 作者简介：杨云燕（１９７８一），女，博士研究生 为得到以下有关级数及其绝对收敛性质的一些结果，引进如下的一致收敛引理［１｜： 引理ｌ－ｆ２≠勿，Ｇ是Ａｂｅｌ拓扑群，｛Ｚ｝ｃＧｎ，则下列（１）（２）等价． （１）对每个｛哟｝ｃ以，∑二。石（ｑ）收敛． （２）∑工，Ｚ（哆）关于｛ｑ｝ｃ力一致收敛． 定理ｌｘ中的级数∑巧绝对收敛当且仅当对任意等度连续集Ａ∈ｘ’，∑二。ｌＺ（勺）Ｉ关于｛Ｚ｝互Ａ一致收敛． 证明假设∑吩绝对收敛．若Ａ是ｘ’的一个等度连续子集，则曰＝｛矿：ＩｔＩ≤ｌ／∈Ａ｝也等度连续．因此，对任意｛乃｝∈Ａ，∑二，Ｉ‘７；（％）Ｉ收敛．从而，据引理１有∑三，Ｉｚ（巧）Ｉ关于｛ｚ｝∈Ａ一致收敛． 若Ａ∈ｘ’等度连续，命 ０髫｜Ｉ＾＝ｓｕｐ｛Ｉ．厂（菇）ｌ：厂∈Ａ｝，菇Ｅｘ， 万方数据
第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，
我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时
无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.
函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）
第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 - 条件收敛与绝对收敛. 定义10．5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的,我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛. 如果∑∞=1 ||n n a 发散,但∑∞=1 n n a 是收敛的， 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的,如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10。1７ 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然． 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由C ａuc ｈy 收敛准 则，对0>?ε， 存在N ，当n 〉N 时,对一切自然数 p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a 于是：
≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立. 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或Ｄ'Ａlembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散,这是因为利用Cauch ｙ判别 法或D ’Ａｌｅｍｂert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 | |n n a 为发散时，是根据这个级数的一般项｜a n ｜当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1n n a 而言,它的一般项也不趋于零，所以级 数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-1 1 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解,当0≤p 时，由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散． 当2>p 时， 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛,所以原级数绝对收敛。
函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且
1、若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛.（正确） 2、数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错误） 3、若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致收敛。（正确） 4、若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（正确） 5、如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数.（错误） 6、函数可导必连续，连续必可导。（错误） 7、极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中。（正确） 8、线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x的值是30，那么我们可以预 测y的估计值为( 98 )。 9、下列关系是确定关系的是（正方形的边长和面积）。 10、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于B、是由各观测值到均值距 离的平方和除以样本量减１.而不是直接除以样本量。 11、主要用于样本含量n≤30以下，不经分组资料平均数的计算的是D、直接法。 12、C、盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。 13、设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是B、PC≥PA+PB-1。 14、统计学以C、概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对 研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 15、已知甲任意一次射击中靶的概率为0.5,甲连续射击3次，中靶两次的概率为A、0.375. 16、下面哪一个可以用泊松分布来衡量B、一段道路上碰到坑的次数。 17、线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的C、 垂直距离的平方和。 18、当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间B、 近乎完全负相关。 19、关于概率，下列说法正确的是（ABC） 20、下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性（ABC） 21、什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法（BD） 22、关于协方差，下列说法正确的有（ABD） 23、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 24、线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的（BD） 25、下列对众数说法正确的有（ABCD） 26、下列关于主观概率的说法正确的有（BC） 27、如果A和B是独立的，下列公式正确的有（BCD） 28、对于统计学的认识，正确的有（ACD） 29、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 30、在自然界和人类社会中普遍存在变量之间的关系，变量之间的关系可以分为（AB） 31、应用逻辑判断来确定每种可能的概率的方法适用于古典概率或先验概率。（正确） 32、互补事件可以运用概率的加法和概率的乘法。（错误） 33、泊松分布中事件出现数目的均值入是决定泊松分布的唯一的参数。（正确） 34、袋中有5个白球，n个红球，从中任取一个恰为红球的概率为2/3,则n为（B、10） 35、我们探究概率主要是针对（C、不确定事件） 36、某人忘记了电话号码的一位数字，因而他随意拨号，第一次接通电话的概率是（B、1/10） 37、一个盒子里有20个球，其中有18个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出3个球，则下列结论中，正确的是（C、所取出的3个球中，至少有1个是红球） 38、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，要求其中至少有甲型和乙型电视机各1
1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7）
2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性:
3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4
无穷级数知识点汇总 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.
函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers
1、若数项级数和绝对收敛,则级数必绝对收 敛(正确)
1、若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛.（正确） 2、数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错误） 3、若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致 收敛。（正确） 4、若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（正确） 5、如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数.（错 误） 6、函数可导必连续，连续必可导。（错误） 7、极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中。（正确） 8、线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x的值是30，那么 我们可以预测y的估计值为( 98 )。 9、下列关系是确定关系的是（正方形的边长和面积）。 10、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于B、是由各观测 值到均值距离的平方和除以样本量减１.而不是直接除以样本量。 11、主要用于样本含量n≤30以下，不经分组资料平均数的计算的是D、直 接法。 12、C、盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。 13、设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是B、PC≥ PA+PB-1。 14、统计学以C、概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究 随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 15、已知甲任意一次射击中靶的概率为0.5,甲连续射击3次，中靶两次的概 率为A、0.375.
16、下面哪一个可以用泊松分布来衡量B、一段道路上碰到坑的次数。 17、线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关 系的各点的C、垂直距离的平方和。 18、当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变 量之间B、近乎完全负相关。 19、关于概率，下列说法正确的是（ABC） 20、下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性（ABC） 21、什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法（BD） 22、关于协方差，下列说法正确的有（ABD） 23、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 24、线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该 直线的（BD）
第十章 函数项级数 一、内容简介 本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。 二、学习要求 1. 了解用多项式来逼近函数的思想； 2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质； 3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。 三、学习的重点和难点 重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开; 难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别, 四、研究级数的目的 1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。 3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。 §１ 一致收敛性 一．点收敛的收敛域 函数项级数： 1 ()n n u x ∞ =∑． 定义１ 设()n u x (1,2, ,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是 1 ()n n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1 ()n n u x ∞ =∑的收 敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数． 例：（１） 1 ()1n n x S x x ∞ === -∑ (1,1)x ∈-． （２）1 n p n x n ∞ =∑ 1p > ，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］； 0P ≤，收敛域为（－１，１）． （３） 1sin p n x n ∞ =∑ 0p >时，(,)-∞∞．
例：nx e - 收敛域为(0,)∞． 部分和函数列：{()}n S x ． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上收敛?{()}n S x 在D 上收敛． 二．函数序列的一致收敛性 {()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈． 00 lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞ →∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？ 一般否．反例： 例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11 x S x x ∈-?=? =? ． 1lim ()0x S x - →= 1 lim lim ()lim11n n n x S x - →∞→∞ →==。 例：()0n S x = →．(,)D =-∞+∞ ()0S x = ()n S x nx '==． 例：1!()0n n x S x ∈?=? ? 其他 ． x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数 q p 时，n p >时，!q n p 整数，()1n S x =． ()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积． 定义２ 设lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有： ()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D n S x S x ? 若级数 1 ()n n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1 ()n n u x ∞ =∑一致收敛于 ()S x ． 例１：22 ()1n x S x n x =+． 1 ()n n S x ∞ =∑ 0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →．
第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。 3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性
对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞ →n lim n x =?? ?=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。
函数项级数的一般概念
一、函数项级数的一般概念 1.定义： . 1 2 0 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞ =++++=121)()()()(n n n x u x u x u x u {}上的函数列，称 是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。
2.收敛点与收敛域： 如果I x ∈0,数项级数∑∞ =10)(n n x u 收敛, 则称0x 为级数 )(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞ =的所有收敛点的全体称为收敛域, . )(:1??????∈=∑∞ =收敛n n x u R x K
3.和函数: {}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n n k k n ∑== 部分和数列。).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞ →∈函数项级数的和函数： . , )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞ =
解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +?+=111)(11∞→+→n x ,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛. , 11>+?x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n n x n +-∑∞=二、典型例题 板书
,111)2(>+x 当,11<+?x , 02时即<<-x 原级数发散. , 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n n n , 2时当-=x . 11发散级数∑∞=n n ). ,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当, 2 0-==?x x 或板书
函数项级数的一致收敛性及其应用 令狐文艳 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into
being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers 目录 1 引言…………………………………………………………………… (1) 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………… (2) 2.1 函数列及其一致收敛性…………………………………………………………………… …2
第四讲 函数项级数与幂级数 【教学内容】 1. 函数项级数的概念; 2. 幂级数的收敛性及其运算。 【教学目的与要求】 1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念; 2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法; 3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 会应用这些性质求和函数。 【教学重点与难点】 重点: 幂级数收敛半径和收敛区间的求法; 难点: 求和函数。 【教学过程】 一、函数项级数与幂级数的概念 定义1 形如 n n n n n x a x a x a x a a ∑∞ == ++++0 2 210 的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数． 形如 +-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010 的级数，称为关于0x x -的幂级数． 将0x x -换成x ，这个级数就变为 n n n x a ∑∞ =0 ． 下面将主要研究形如 n n n x a ∑∞ =0 的幂级数． 幂级数 n n n x a ∑∞ =0 当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的数项级数00 n n n a x ∞ =∑，可利用 数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛． 定义2 若 n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处发散， 称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞ =0 的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的 集合称为它的发散域． 例1 判断幂级数 +++++n x x x 21的敛散性． 解 ： 由第一节例3可知，当1 §3.2 函数列与函数项级数 一、主要知识点和方法 1、基本概念 函数列 收敛域 极限函数 设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列 {()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。 {()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为 极限函数，记为()f x 。于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞ =，或记为 ()()D n f x f x ??→，称{()} n f x 在D 上收敛于()f x 。 函数列一致收敛性 若0ε?>，N ?，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<， 则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D n f x f x ???→一致。 函数列一致有界性 若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()} n f x 在D 上一致有界。 函数项级数 和函数 设{()}n u x 是E 上的函数列，称 1 ()n n u x ∞ =∑为E 上的函数项级数。 若其 部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1 () n n u x ∞ =∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为 1 ()()n n u x S x ∞ == ∑。 函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的部分和函数列，若()()D n S x S x ??? →一致 ，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。函数列与函数项级数
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