函数项级数的一致收敛性及其应用
摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.
关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数
Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions.
Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers
目录
1 引言 (1)
2 函数项级数的相关概念介绍 (2)
2.1 函数列及其一致收敛性 (2)
2.2 函数项级数及其一致收敛性 (3)
2.3 一致收敛函数项级数的性质 (4)
3 函数项级数的一致收敛性判别法 (5)
3.1 一般判别法 (5)
3.2 魏尔斯特拉斯判别法 (7)
3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 (7)
3.3.1 阿贝尔判别法 (8)
3.3.2 狄利克雷判别法 (8)
3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法 (10)
3.4.1 比式判别法 (10)
3.4.2 根式判别法 (11)
3.4.3 对数判别法 (12)
3.5 Dini判别法 (13)
4 幂级数的应用 (14)
4.1 幂级数的定义 (14)
4.2 幂级数的应用 (14)
4.2.1 幂级数在近似计算中的应用 (14)
4.2.2 幂级数在计算积分中的应用 (15)
4.2.3 幂级数在求极限中的应用 (15)
4.2.4 幂级数在数列求和中的应用 (16)
4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用 (16)
4.2.6 幂级数在求导中的应用 (17)
4.2.7 幂级数在概率组合中的应用 (17)
4.2.8 幂级数在证明不等式中的应用 (18)
4.2.9 用幂级数形式表示某些非初等函数 (18)
5 总结 (19)
致谢 (20)
参考文献 (21)
1 引言
随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor展开和Fourier展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001)[1].函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明.
2 函数项级数的相关概念介绍
2.1 函数列及其一致收敛性
定义1 设
??,,,21n f f f ，
是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可简单的写作：
}{n f 或n f ， ,2,1=n .
设E x ∈0，以0x 代入}{n f 可得数列
??),(),(),(00201x f x f x f n ，
若数列)}({0x f n 收敛，则称函数列}{n f 在点0x 收敛，0x 称为函数列}{n f 的收敛点.若数列
)}({0x f n 发散，则称函数列}{n f 在点0x 发散.若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛，则
称}{n f 在数集D 上收敛.这时D 上每一点x ，都有数列)}({x f n 的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列}{n f 的极限函数.若极限函数记作f ，则有 )()(lim x f x f n n =∞
→，D x ∈
或 )()(x f x f n → )(∞→n ，D x ∈. 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点集合，称为函数列}{n f 的收敛域.
定义2 设函数列}{n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有
ε<-)()(x f x f n ， 则称函数列}{n f 在D 上一致收敛于f ，记作
)()(x f x f n ? )(∞→n , D x ∈. 注：本文用“?”表示一致收敛.
由定义看到，如果函数列}{n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的)(εN （即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要N n >，都有
ε<-)()(x f x f n .
由此可以看到函数列}{n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的函数列}{n f ，在D 上不一定一致收敛.
2.2 函数项级数及其一致收敛性
定义3 设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列， 表达式
)(1x u +)(2x u +…+)(x u n +…，E x ∈ （1）
称为定义在E 上的函数项级数，简记为
∑∞
=1
)(n n
x u
或)(x u n ∑。称
∑==n
k k n x u x S 1
)()(，E x ∈， ,2,1=n
为函数项级数的部分和函数列。
若E x ∈0，数项级数
++++)()()(00201x u x u x u n （2） 收敛，即部分和∑==
n
k k
n x u
x S 1
00)()(当∞→n 时极限存在，则称级数（1）在点0x 收敛，0x 称为
级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点0x 发散.若级数（1）在E 的某个子集
D 上每点都收敛，则称级数（1）在D 上收敛．若D 为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称D
为级数（1）的收敛域．级数（1）在D 上每一点x 与其所对应的数项级数（2）的和)(x S 构成一个定义在D 上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作
)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，D x ∈, 即
)()(lim x S x S n n =∞
→，D x ∈．
也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．
定义 4 设{)(x S n }是函数项级数)(x u
n
∑的部分和函数列．若{)(x S n }在数集D 上一致收
敛于函数)(x S ,则称函数项级数
)(x u
n
∑在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称)(x u n ∑在D 上一
致收敛(华东师范大学数学系，2001)[2]
.
2.3 一致收敛函数项级数的性质
定理1 （连续性）若函数项级数)(x u
n
∑在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项都连续，则其
和函数在[]b a ,上也连续.
它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即
))((lim ))(lim (0
x u x u
n x x n
x x ∑∑→→=.
定理2 (逐项求积)若函数项级数)(x u
n
∑在[]b a ,上一致收敛，且每一项)(x u n 都连续，则
dx x u
dx x u b a
n
b a
n ?
∑∑?
=)()(.
此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺序. 定理3 (逐项求导)若函数项级数
)(x u
n
∑在[]b a ,上每一项都有连续的导函数，[,]x a b ∈为
)(x u n
∑的收敛点，且)(x u n '
∑在[]b a ,上一致收敛，则
))(())((∑∑=
x u dx
d
x u
dx d
n n . 此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，2005)[3]
.
3 函数项级数的一致收敛性判别法
3.1 一般方法
判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.
定义4的条件太强，函数项级数固定一点D x ∈,)(x u
n
∑实际上是一个特殊数列.受此启发,
利用数列的性质得到以下定理：
定理4 （一致收敛的柯西准则）函数项级数
)(x u
n
∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：
对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有
ε<-+)()(x S x S n p n
或 ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n .
此定理中当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的必要条件. 推论 函数项级数)(x u
n
∑在数集D 上一致收敛的必要条件为：函数列{})(x u n 在D 上一致
收敛于零.
设函数项级数在D 上的和函数为)(x S ，称
)()()(x S x S x r n n -= 为函数项级数
)(x u
n
∑的余项.
定理5 函数项级数
)(x u
n
∑在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是：
0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x r n D
x n n D
x n .
证明 必要性 因为
∑)(x u
n
在区间D 上一致收敛,所以0>?ε，0N ?>，使得当N
n >时，对一切D x ∈,都有)()(x S x S n -ε<，即)(x r n ε<，所以ε≤∈)(sup x r n D
x ，所以
0)(s u p lim =∈∞→x r n D
x n .
充分性 设
∑)(x u
n
在D 上不一致收敛,即00>?ε，00,N n N ?>?>,D x ∈?0，使得
000)()(0ε≥-x S x S n ，即0)(sup 0ε≥∈x r n D
x ，所以0)(sup lim ≠∈∞→x r n D
x n .与已知矛盾(李岚，2003)[4].
例1 若)(x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n 且)(x f 与)(x g 在[]b a ,上都可积，
0)()(lim 2
=-?∞
→dx x f x f b
a
n n ，设?=x a dt t g t f x h )()()(，?=x
a
n n dt t g t f x h )()()(，则在[]b a ,上
)(x h n 一致收敛于)(x h .
证明
?
??-=
-=
-x a
n x a
x
a n n dt
t g t f t f dt t g t f dt t g t f x h x h )())()(()()()()()()(
2
12
2
12
)
)(())()(()()()(dt t g dt t f t f dt t g t f t f x
a
x
a
n x a
n ???-≤-≤0))(())()((2
12
2
12
→-≤??b
a
n b
a
dt t g dt t f t f (n →∞)，
所以利用定理1,当n →∞时，)(x h n 一致收敛于)(x h .
例2 设0)(≥x u n ，在[]b a ,上连续， ,2,1=n ，又
∑∞
=1
)(n n
x u
在[]b a ,收敛于连续函数)(x f ，
则
∑∞
=1
)(n n
x u
在[]b a ,一致收敛于)(x f .
证明 已知)()()(x S x f x r n n -=（其中∑∞
==
1
)(k k n x u S ）是单调递减且趋于0，所以N n ∈?，
[]b a x ,∈?有0)(≥x r n ，且[]b a x ,0∈?，0>?ε，,
0),(0>?εx N ),(0εx N n ≥时，有
ε<≤)(00x r n .将n 固定，令),(00εx N N n ==，因为)()()(x S x f x r n n -=在[]b a ,上连续,既然
ε<)(x r n ，所以00>?σ，当),(0000σσ+-∈x x x 时ε<)(x r n .从而0N n >时更有ε<)(x r n 即ε<)(x r n 仅当),(0000σσ+-∈x x x .
如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ，可找到相应的邻域),(λλλλσσ+-x x 及相应的λ
N ,使得
λN n >时，对),(λλλλσσ+-∈x x x 恒有ε<)(x r n .
如此[]{}b a x x x ,:),(∈+-λλλλλσσ构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记为{}),(,),,(1111r r r r x x x x σσσσ+-+- ，于是[]b a x ,∈?，总{}r i ,,2,1 ∈?，使得当
),(i i i i x x x σσ+-∈时，取{}
r N N N N ,,,max 21 =，那么当N n >时，恒有ε<)(x r n .
由定理2得，
()n u x ∞
∑在[]b a ,一致收敛于)(x f .
3.2 魏尔斯特拉斯判别法
判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理4外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判别.
定理6 (魏尔斯特拉斯判别法)设函数项级数)(x u
n
∑定义在数集D 上，∑n M 为收敛的正
项级数，若对一切D x ∈，有
n n M x u ≤)(， ,2,1=n ， （3） 则函数项级数
)(x u
n
∑在D 上一致收敛.
证明 由假设正项级数
∑n
M
收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数ε，存在某正整数
N ，使得当N n >及任何正整数p ，有
ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11. 又由（3）式对一切D x ∈有
)()()()(11x u x u x u x u p n n p n n ++++++≤++
ε<++≤++p n n M M 1.
根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数)(x u
n
∑在D 上一致收敛.
例3 判断函数项级数
∑
2
sin n
nx
在),(+∞-∞上的一致收敛性. 证明 因为对一切),(+∞-∞∈x 有
221
sin n n nx ≤∑，
而正项级数
21n 是收敛的，所以根据魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数∑2sin n
nx
在),(+∞-∞上是一致收敛的.
定理6也称为M 判别法或优级数判别法.当级数)(x u
n
∑与级数∑n M 在区间],[b a 上成立关系式（3）时，则称级数∑n
M
在],[b a 上优于级数
)(x u
n
∑，或称∑n M 为)(x u n ∑的优级
数.
3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
下面讨论定义在区间I 上形如
++++=∑)()()()()()()()(2
2
1
1
x v x u x v x u x v x u x v x u n
n
n
n
（4）
的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式. 3.3.1 阿贝尔判别法
定理7 （阿贝尔判别法）设 （ⅰ）
)(x u
n
∑在区间I 上一致收敛；
（ⅱ）对于每一个I x ∈,{})(x v n 是单调的；
（ⅲ）{})(x v n 在I 上一致有界，即对一切I x ∈和正整数n ,存在正数M ，使得
M x v n ≤)(.
则形如
)()(x v x u
n n
∑的级数在I 上一致收敛.
证明 由（ⅰ），任给0>ε，存在某正整数N ，使得当N n >及任何正整数p ，对一切I x ∈，有
ε<++++)()(1x u x u p n n
又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到
)()()()(11x v x u x v x u p n n p n n ++++++ εεM x v x v p n n 3))(2)((1≤+≤++. 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论.
例4 判断函数项级数∑+-x
n n cos )1(，]2,2[ππ-∈x 的一致收敛性.
证明 记 n x a n
n )1()(-=，n
x x b n cos 11)(+=,
因为
)(x a n ∑是收敛的数项级数，从而在]2
,2[π
π-
上一致收敛. 又因为每个]2,2[ππ-
∈x ，{})(x b n 单调，且{})(x b n 在]2,2[π
π-上一致有界，于是由阿贝尔判别法易知级数（4）在]2
,2[π
π-
上一致收敛(刘庆生，2009；翟永恒，2009；刘桂仙，2009)[5].
3.3.2 狄利克雷判别法 定理8 （狄利克雷判别法）设
（ⅰ）
)(x u
n
∑的部分和函数列
∑==n
k k
n x u
x U 1
)()(，
（n=1，2，…） 在I 上一致有界；
（ⅱ）对于每一个I x ∈，{})(x v n 是单调的； （ⅲ）在I 上)(,0)(∞→?n x v n ， 则形如
)()(x v x u
n n
∑的级数在I 上一致收敛.
证明 由（ⅰ），存在正数M ，对一切I x ∈，有M x U n ≤)(.因此当p n ,为任何正整数时，
M x U x U x u x u n P n p n n 2)()()()(1≤-=+++++ .
对任何一个I x ∈，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到
)()()()(11x v x u x v x u p n p n n n ++++++ ))(2)((21x v x v M p n n +++≤.
再由（ⅲ），对任给的0>ε，存在正数N ，当N n >时，对一切I x ∈，有 ε<)(x v n ， 所以，
εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(2)()()()(11=+<++++++ .
于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在I 上一致收敛. 例5 函数项级数
∑++-1
)()1(n n
n n n x
在]1,0[上一致收敛.
证明 因为记n x u n n )1()(-=，n
n n x x v ???
??+=1)(时，)(x u n 一致收敛,)(x v n 单调且并且一致
有界，所以由阿贝尔判别法得函数项级数 ∑++-1
)()1(n n
n n n x 在]1,0[上一致收敛.
例6 若数列{}n a 单调且收敛于零，则级数
∑nx a
n
cos
在]2,[απα-)0(πα<<上一致收敛.
证明 由2
sin
2)21
sin(cos 211
x x
n kx n k +=
+∑=，在]2,[απα-上有 212sin 21212
sin
21212sin 2)21
sin(cos 1
+≤+≤-+=
∑=αx x x
n kx n
k ， 所以，级数
∑nx cos 的部分和函数列在]2,[απα-上一致有界，于是令
n n n a x v nx x u ==)(,cos )(， 则由狄利克雷判别法可得级数∑nx a
n
cos 在]2,[απα-)0(πα<<上一致收敛.
对于级数
∑nx a
n
cos ，只要{}n a 单调且收敛于零，那么级数在不包含)
,2,1,0(2 ±±=k k π的任何闭区间上都一致收敛.
3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法
函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题,但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是它的一致收敛性，对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlete 判别法等.对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的方法,是一个值得研究的课题.有鉴于此,结合数项级数的比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法(毛一波，2006)[6]
.
3.4.1 比式判别法
定理9 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,记)
()
()(1x u x u x q n n n +=
，存在正整数N 及实数
q 、M ,使得:1)(<≤q x q n ,M x u N ≤)(,对任意的N n >,D x ∈成立,则函数项级数∑∞
=1
)
(n n x u 在D 上一致收敛.
证明 易见
M q x u x q x q x q x u x u x u x u x u x u x u x u N n N N n n N N N n n n n n ---+---≤??=??=
)()()()()()
()
()()()()()(211211 ,
而等比级数
∑∞
=-?N
n N n
Mq q
，当公比10< 知， ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 定理9有极限形式： 定理10 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,记) () ()(1x u x u x q n n n +=，若： 1)()(lim <≤=∞ →q x q x q n n , 且)(x u n 在D 上一致有界，则函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 例7 设n n x n n x u )] 1(41[951)]1(32[852)(-+??-+??= 为定义在]1,0[=D 上的函数列，证明级数 )(x u n ∑在]1,0[=D 上一致收敛. 证明 由于： 143 434132lim )()(lim 1<≤=++=∞→+∞→x x n n x u x u n n n n ，2)(0≤≤x u n ， 由定理10，知函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在]1,0[=D 上一致收敛. 3.4.2 根式判别法 定理11 设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若存在正整数N ,使得 1)(<≤q x u n n ， N n >?，D x ∈成立，则函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 证明 由定理条件，N n >?，D x ∈，n n q x u ≤)(成立，而几何级数 ∑n q 收敛，由优级 数判别法，函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 注：当定理11条件成立时，级数∑∞ =1 )(n n x u 在D 上还绝对收敛. 定理11的极限形式为： 定理12 设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若 1)()(lim <≤=∞ →q x q x u n n n ， N n >?，D x ∈成立，则函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 例8 证明函数项级数 ∑n x n 在),[],(+∞--∞r r 上一致收敛（其中r 为大于1的实常数）. 证明 因为 111<<→=r x x n x n n n n ， 由定理12知，函数项级数 ∑n x n 在),[],(+∞--∞r r 上一致收敛（吴良森，毛玉辉，2002）[7]. 3.4.3 对数判别法 定理13 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若 )(ln ) (ln lim x p n x u n n =-∞→存在，那么 （ⅰ）若D x ∈?,1)(>>p x p ，则函数项级数 ∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛. （ⅱ）若D x ∈?,1)(< ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上不一致收敛. 证明 （ⅰ）由定理条件知，对0>?ε，N ?,使得N n >?，有 εε+<-< -)(ln ) (ln )(x p n x u x p n ， 即 ε ε +-< <)()(1)(1x p n x p n x u n ， 则当1)(>>p x p ，D x ∈?成立时，有p n n x u 1)(<，而p 级数∑p n 1 当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛； （ⅱ）当1)(< ，p 级数∑p n 1 当1 ∑∞ =1 )(n n x u 在D 上不一致收敛. 3.5 Dini 判别法 定理14 若 （ⅰ）每个)(x a n 均在],[b a 上连续且非负； （ⅱ）)(x a n ∑在],[b a 上收敛于连续函数)(x S ； 则 )(x a n ∑在],[b a 上一致收敛于)(x S . 例9 证明：∑∞ =+-12 2)1(n n x n n 在),(+∞-∞内闭一致收敛. 证明 显然， 1)1(1≤-∑=n k k 在),(+∞-∞上一致有界.任取R b a ?],[对],[b a x ∈，易证当n 充分大时? ?? ?? ?+22x n n 单调递减且)(0lim 22x f x n n n ≡=+∞→，每个22x n n +及0)(≡x f 均在],[b a 上连续，故由Dini 定理知? ?? ?? ?+22x n n 在],[b a 上一致收敛于0，于是，由狄利克雷判别法知原级数在],[b a 上一致收敛. 所以，由],[b a 的任意性知，原级数在),(+∞-∞上内闭一致收敛(吉米多维奇，1987)[8] . 4 幂级数的应用 幂级数是一类最简单的函数项级数，下面我们以幂级数为例，说明函数项级数的一致收敛性 在计算中的应用． 4.1 幂级数的定义 定义5 由幂函数列{} n n x x a )(0-所产生的函数项级数 +-++-+-+=-∑∞ =n n n n n x x a x x a x x a a x x a )()()()(020201000 ， 称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸. 4.2 幂级数的应用 幂级数是高等数学中的一个非常重要的内容，其简单的结构形式和逐项求导、逐项求积的优良性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式的推导等问题中.巧妙地利用函数的幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚(赵瑜,2009)[9] . 4.2.1 幂级数在近似计算中的应用 我们可以利用幂级数展开式进行近似计算,即在展开式有效的区间上,函数值可以近似的利用这个级数按精确度要求计算出来(同济大学应用数学系，2002) [10] . 例10 计算积分 dx x x ?1 0sin 的近似值，要求误差不超过0.0001. 解 由于1sin lim 0=→x x x ，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在0=x 处的值为1，则 它在积分区间]1,0[上连续. 展开被积函数，有 +-+-=! 7!5!31sin 6 42x x x x x )(+∞<<-∞x ， 在区间]1,0[上逐项积分，得 +?-?+?-=?! 771 !551!3311sin 1 0dx x x . 因为第四项的绝对值 30000 1!771 !551 !3311sin 1 0?+?-≈?dx x x ， 算得 9461.0sin 10≈?dx x x . 4.2.2 幂级数在计算积分中的应用 当)(x f 的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算)(x f 的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求积分的值. 例11 证明： +?-+?+?-=?)! 2(2)1(!44!221cos 2420n n x x x dt t t n n x ． 证明 因为 )!2()1(cos 20 n x x n t n ∑∞ =-=，],[+∞-∞∈x ， 所以 dt t n dt n t dt t t x n n n n x n n x ?∑?∑?-∞=-∞=-=-=01 20 12000)!2(1)1()!2()1(cos = +??-++?+?-)! 2(2)1(!44!22142n n x x x n ，∞ 4.2.3 幂级数在求极限中的应用 求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一. 例12 求x x x x 30 sin arcsin lim -→的值. 解 因为 +???+? +=5 4231321sin 5 3x x x x arx ，)1(≤x ??? ? ??+---= 5 5333 !533!33341sin x x x ，)(∞ 61)()(61lim !533!3334154231321lim sin arcsin lim 333305 5335 3030-=++-=??? ? ??+---???? ??+???+?+-=-→→→x x x x x x x x x x x x x x x x οο ． 4.2.4 幂级数在数项求和中的应用 一致收敛的幂级数的性质：幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，可用于计算幂级数的和（裴礼文，1983） [11] . 例13 求 ∑∞ =?-13 )1(n n n n ． 解 当 11<<-x 时，设n n x n n x s ∑∞ =+= 1)( =∑ ∑∑∑∞ =∞=∞=∞ =+--=+-=??? ??+-1 111111111n n n n n n n n n n x x x x n x x n x . 设∑∞ =+=11)(n n n x x g ，)11(<<-x ， 则 ∑∞ =++=11 1 )(n n n x x xg ，且 x x x n x x xg n n n n -=='??? ? ??+=∑∑∞ =∞ =11)]([11, 从而 00011()ln(1)111x x x x x xg x dx dx dx x x x x x -==-=------???． 当0≠x 时， x x x g ) 1ln(1)(---=, 此时，x x x x x x x x n x x x n n n n n n ) 1ln(11)1ln(111111 10-+ -=-++-=+--=+∑∑∞ =∞ =. 令31=x ，可得 32ln 3233 1311ln 31113)1(1+=??? ??-+-=?-∑∞ =n n n n . 4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应用 例14 试用幂级数的展开式来推导欧拉公式 2 cos ,2sin ix ix ix ix e e x i e e x --+=-=. 解 当x 为实数时，由指数函数的幂级数展开式知, 2340()111 1()()()! 2!3!4!n ix n ix e ix ix ix ix n ∞ ===+++++ ∑ 因为 2,1,0,1,,1,)44()34()24() 14(==-=-==++++n i i i i i i n n n n 所以 x i x x x x i x x e ix sin cos )! 5!3()!4!21(5 342+=++-+++- = , 即 x i x e ix sin cos +=, 在上式中x -以置换x 可得 x i x e ix sin cos -=-, 再由两式联立，解得： 2 cos ,2sin ix ix ix ix e e x i e e x --+=-=. 4.2.6 幂级数在求导中的应用 例15 求)1ln(arctan )(2x x x x f +-=在0=x 处的n 阶导数. 解 因为函数)(x f 在0=x 处的泰勒级数为 ∑ ∞ =0 )(! )0(n n n x n f ，所以可先将)(x f 用间接方法展成x 的幂级数，然后从n x 的系数中解出)0() (n f ， x x x x x x x f arctan 1arctan 1)(2 2=+--+= )11(,)1(11)(2422 <<-+-+-+-=+= 'x x x x x x x f n n 进行两次积分： ++-+-+-=''='+?125301 21) 1(5131)()(n n x x n x x x dx x f x f ) 11(,) 22)(12()1(65143121)()(226420 <<-++--++?+?-==+? x n n x x x x dx x f x f n n x 则n n n n f n 2)12(1)1()2()0() 2(---= ，即 ?????=-==--=-) 3,2,1,12(,0)2(),2()1()0(12) 2( m m n m n n f n n . 4.2.7 幂级数在概率组合计算中的应用 定义6 设),2,1,0( =n B n 是一个数列，若存在一个函数()F x ，使得 R x x B x B B x F n n <++++= 10)(成立，则称()F x 为数列{})2,1,0( =n B n 的生成函数. 例16 将一颗骰子连续投掷10次，问：出现20点的概率是多少？ 解 设n B 表示共出现点n 的方式的总数，显然6010≤≤n B .从而n B 的生成函数为： 10 6 6260 11)1()(?? ????--++++==∑x x x x x x B x F n n , 第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛， 我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时 正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。 函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞ ⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列 函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件） 比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则 函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数. 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛. 公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n S （2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞ →n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但是 0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证明： 几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε+++++ +< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳 一 定义 引言 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有 ()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作 ()()x f x f n →→ ()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 ()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ ) 1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞ =1 或()x u n ∑；称 ()()x u x S n k k n ∑==1 , E x ∈, ,2,1=n )2( 为函数项级数)1(的部分和函数列． 设数集D 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞ ==1 )()(n n x u x S ，即 D x x S x S n n ∈=∞ →),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的和函数，称) ()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项． 定义1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一 函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且 漫谈正项级数的收敛性及收 敛速度(总4页) 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞→n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但 是0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1 n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证 明：几何级数∑∞ =1 n n q ，当1|| 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理12.2.1 正项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?部分和数列{}n S 有界。 证明：由于对n ?，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞ =1 n n u 收敛?{}n S 收敛?{}n S 有界。 定理12-2-2（比较原则） 设∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使 得对 N n >?都有 n n v u ≤， 则 （1）若级数 ∑∞ =1n n v 收敛，则级数 ∑∞ =1n n u 也收敛； （2）若级数 ∑∞ =1 n n u 发散，则级数 ∑∞ =1 n n v 也发散。 证明：由定义及定理12-2-1即可得。 例1、考察 ∑∞ =+-1 2 11 n n n 的收敛性。 解：由于当2≥n 时，有 2 22)1(1)1(1111-≤-=-≤+-n n n n n n n ， 因正项级数∑∞ =-22)1(1n n 收敛，故∑∞ =+-1 2 11 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 是两个正项级数，若 l v u n n n =∞→lim ， 则 （1） 当+∞< 1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7） 2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性: 3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4 本科毕业论文 题目正项级数收敛性判别法的比较及其应用学生姓名__宋婕 学号120050901008 系别数学系 年级2005 级 专业数学与应用数学 指导教师_ _赵利彬 职称教授 完成日期2009年2月15日 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 宋婕 摘要：级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍. 关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较 Positive series convergence criterion of comparison and its application Song Jie Abstract:Series of mathematical analysis theory is an important part of the positive series is a series of important theoretical component of the progression of convergence is the core issue of series theory, in order to resolve the positive series Summation of the problem must be resolved positive series convergence judge. Positive series convergence solution may be judged more, but still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency, especially some typical problems, using the typical method to a multiplier. Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare 一、引言 数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 （一）正项级数收敛的充要条件 部分和数列有界，即存在某正数M，对，有 关于函数项级数的收敛性 作者： xxx 指导老师：xxx 摘 要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。 关键词 ：函数项级数 收敛 一致收敛 判别方法 1 引 言 作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点和难点，在实际应用中也比较广泛。在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理的适用范围作出归纳。. 2 函数项级数一致收敛的定义 我们知道，所谓函数项级数 ()n u x ∑在某区间I 收敛，是指它逐点收敛.意即：对I 中 每固定一点x I ∈，作为数项级数，1 n u x n ∞ =∑（） 总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级数的各种判别法逐点进行判断。 定义1 ：函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于是指对于任意的0x D ∈， 数列0()n S x 收敛于0()S x ，用” N ε-”语言来表示的话，就是：对任意给定的0ε>， 可以找到N ,当n>N 时，成立：0|()()|n S x S x ε-< 一般来说，这里的N 应理解为0(,)N x ε,即N 不仅与ε有关，而且随着0x 的变化而变化。 这意味着在D ，{()}n S x 的收敛速度可能大相径庭。如果{()}n S x 不仅在D 上点点收敛，而且在D 上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的N 仅与ε有关而与0x 无关. （充要条件）设｛n S ｝是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列，若｛()n S x ｝在数集D 上一致收敛于 ()S x ,则称函数项级数 ()n u x ∑一致收敛于函数()S x ,或称()n u x ∑在 D 上一致收敛. 函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers函数项级数的一致收敛性共8页word资料
正项级数敛散性地判别方法
函数项级数的一致收敛性精选
函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用
比较几种判定正项级数收敛性的方法
函数项级数一致收敛性的判别法
关于数项级数敛散性的判定
正项级数收敛及其应用公式版
，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞ =1ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达
正项级数收敛的判别方法
函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳
函数项级数一致收敛性
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1 时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数 ∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1 ，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1 n n a 发 散。可是，马上又面临新问题：无穷小 n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1 ，但是 ∑∞ =1 ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”： n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。
正项级数收敛性的一般判别原则
第十章 函数项级数
正项级数收敛性判别法的比较及其应用论文
关于函数项级数的收敛性
函数项级数的一致收敛性及其应用
相关主题
文本预览