线段的垂直平分线的判定
线段的垂直平分线是指将一条线段在其中点处垂直于本身，将其一分为二的一条线段。它在几何学中具有重要意义，可以用来表示构成物体形状和构造的组成部分的对称性，而这种对称性则恰恰是美学中的基础。因此，如何判断一条线段的垂直平分线是一门重要的学科。
一般来说，判断一条线段的垂直平分线可以通过三种方法：
（1）直线法。即通过在线段的两端画上同样长度的直线，使它们垂直于线段，然后再画一条直线将它们连接起来，就得到了线段的垂直平分线。
（2）三角形法。即将线段的两端分别作为三角形的两边，线段的中点作为三角形的顶点，再画出三角形的第三条边，就可以得到线段的垂直平分线。
（3）数学法。以线段AB所在直线的斜率为k，则线段AB的垂直平分线斜率为-1/k。例如，线段AB的斜率为3，则线段AB的垂直平分线斜率为-1/3。
上述三种方法都可以用来判断线段的垂直平分线，但是对于有些特殊的情况，还需要根据实际情况选择合适的方法。如果线段的两端不在同一条直线上，则可以使用三
角形法；如果两端是在同一条直线上的，但是斜率不容易计算，则可以使用直线法。
有时候，当线段的两端都在同一条直线上，斜率也容易计算时，可以使用两种方法结合起来：先用直线法将线段分割，再用数学法计算线段垂直平分线的斜率，最后再画出线段的垂直平分线。
总之，判断一条线段的垂直平分线有多种方法，具体选择哪种方法取决于具体情况。
垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段. 2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等. 垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段AB中点C,（2）直线CD⊥线段AB注意：要证明一条直线为一条线段的垂直平分线，应满足两个点到这条线段的两个端点的距离相等且这两个点都在要求证明的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形联合使用。 精讲精练 1.如图，∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是 2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE= 3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于 点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为 4.在四边形ABCD中，M、N分别是CD、 BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADB度数为． 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为 6.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC=15°，则∠A的度数是度． 7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E 在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度． 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A 落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则∠A= 9.已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= ． 10．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是11.如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为
线段的垂直平分线 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点与 相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在 上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到 相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 ；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其 的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 .反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 图1 图2
垂直平分线的定义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。 垂直平分线的性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。 垂直平分线的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 垂直平分线的尺规作法 方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直等分底边。 方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。 等腰三角形的性质： 1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 )
练习： （1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）依据角平分线的性质解答； （3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论． 解答：解：（1）相等． ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴D点到B、C两点的距离相等； （2）相等． ∵点D在∠BAC的角平分线上， ∴D点到∠BAC两边的距离相等； （3）BG=CH． 连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DH，
经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。 垂直平分线的性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。 垂直平分线的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 垂直平分线的尺规作法 方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直等分底边。 方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。 等腰三角形的性质： 1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 ) 2、等角对等边
3、等边对等角 练习： （1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）依据角平分线的性质解答； （3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL 定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论． 解答：解：（1）相等． ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴D点到B、C两点的距离相等； （2）相等． ∵点D在∠BAC的角平分线上， ∴D点到∠BAC两边的距离相等； （3）BG=CH． 连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DH，
线段的垂直平分线与角平分线 【知识框架】 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 图1 图2 图4
1 / 3 线段的垂直平分线知识总结 一、线段垂直平分线的性质定理 说明： 1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。 2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。 例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。 分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。 解： 因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。 因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。 又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。 二、线段垂直平分线定理的逆定理 E D C B A
2 / 3 证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法： 第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分； 第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。 例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。 分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。 证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。 因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。 又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中 A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪ ∠=∠⎨⎪=⎩ 所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。 又因为PC ⊥AB ， 所以PC 垂直平分线段AB ， 所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。 例题2、如图所示，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，连结AD ，点E 在AD 上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD 垂直平分BC 。 分析：本道题目可以选取第二种判断方法，也就是通过得出EB=EC ，AB=AC ，从而证明出AD 垂直平分BC 。 证明： 因为∠1=∠2， 4 3 2 1 E D C B A P C B A
线垂直平分线的判定 线垂直平分线是几何学中的一个重要概念，用于描述一个线段被等分 成两等分的直线，且这条直线与线段垂直。在本文中，我们将深入探 讨线垂直平分线的定义、性质和判定方法。我们将从简单的概念入手，逐渐深入探讨该主题的更复杂和有趣的方面。 1. 线垂直平分线的定义 线垂直平分线是指一个直线将线段等分，且与线段垂直。具体而言， 对于一个线段AB，如果存在一条直线CD，使得CD将AB分为两等分，并且CD与AB垂直，则CD就是线段AB的垂直平分线。线垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以在几何证明中 起到重要的作用。 2. 线垂直平分线的性质 线垂直平分线具有一些重要的性质，这些性质使得它成为几何学中的 一个重要工具： - 线垂直平分线平分线段：线垂直平分线将线段分成两个相等的部分，因此线段的两个端点到线垂直平分线的距离相等。 - 线垂直平分线垂直于线段：线垂直平分线与线段垂直，这意味着线垂直平分线所形成的两个角是直角。 - 线垂直平分线唯一性：对于给定的线段，存在唯一一条垂直平分线。
这是由线垂直平分线的定义所决定的。如果有两条直线同时满足平分 线和垂直线的条件，那么这两条直线将重合。 3. 线垂直平分线的判定方法 线垂直平分线的判定方法有多种，我们将介绍两种常见的方法： - 利用垂直线段的性质：如果两条线段长度相等且垂直相交，那么它们的中垂线就是垂直平分线。 - 利用角的平分线的性质：如果两条边相等的角的平分线也相等，则该平分线是垂直平分线。 4. 个人观点和理解 线垂直平分线作为几何学中的一个重要概念，对于解决几何问题和证 明定理起到至关重要的作用。它不仅可以帮助我们确定线段的中点， 还可以与其他几何概念相结合，拓展我们的几何思维能力。在解决实 际问题时，线垂直平分线的概念也具有一定的应用价值，例如在建筑、地理测量等领域中，它可以帮助我们确保某些结构或地理位置的垂直 平均。深入理解线垂直平分线的概念对于我们的学习和应用都是十分 重要的。 总结回顾： 本文详细介绍了线垂直平分线的定义、性质和判定方法。通过研究线 垂直平分线的定义，我们了解到它是指一条直线将一个线段等分并且 垂直于线段的情况。我们还介绍了线垂直平分线的性质，其中包括平
13．1.2线段的垂直平分线的性质(2课时) 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 教学目标 掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题． 重点 线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点 灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题． 教学设计 一、问题导入 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它． 二、探究新知 (一)线段的垂直平分线的性质 教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？ 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？ 学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 性质的证明： 教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB. 教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB. 教师要求学生自己写已知，求证，自己证明． 学生证明完后教师板书证明过程供学生对照． 已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB. 证明：在△APC和△BPC中， ∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)， ∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． 因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． (二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论． 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”． 此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．” 写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成． 学生给出了如下的四种证法． 已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上． 证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上． 证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC ≌△BPC(SSS)． ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上． 证法三过P点作∠APB的平分线． ∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.
知识要点 线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等精讲精练 ★例1、直线MN⊥AB，垂足为D，且AD=BD,P是MN上任意一点，求证：PA=PB
★例2、△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：直线AO垂直平分线段BC ★★变式1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。 ★★★变式2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求 证：CM=2BM. ★★★变式3、以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征
★★变式4、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 ★★例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF. 求证：OP垂直平分EF. ★★★例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上. ★★★变式5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
★★★变式6、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，AC=24，求BD 的长。 当堂检测 一：填空选择 1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm. 2.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上. 3..如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在______上. 第1题第3题 4.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，
线段的垂直平分线 一、线段垂直平分线的性质 1. 垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 定理的作用：证明两条线段相等。 2. 线段关于它的垂直平分线对称。 二、线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上。 三、关于线段垂直平分线性质定理的推论 1. 关于三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 性质的作用：证明三角形内的线段相等。 2. 三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部。 反之，也成立。 1．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（） A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm 解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC， ∵BC=18cm，AB=10cm，∴△ABD的周长=18+10=28cm． 故选B． 2．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 解：∵在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等， ∴点P一定是三角形三条垂直平分线的交点． 故选B．