线段的垂直平分线——-知识讲解(提高)
【学习目标】
1。掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．
2。会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理。
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、线段的垂直平分线
1。定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2。线段垂直平分线的做法
求作线段AB 的垂直平分线。
作法：
(1)分别以点A ，B 为圆心,以大于
2
1AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2）作直线CD ，CD 即为所求直线．
要点诠释：
（1）作弧时的半径必须大于2
1AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． （2）线段的垂直平分线的实质是一条直线.
要点二、线段的垂直平分线定理
线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
要点诠释：
线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
要点三、线段的垂直平分线逆定理
线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．
要点四、三角形的外心
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
要点诠释:
1。三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心。
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
3.外心到三顶点的距离相等。
要点五、尺规作图
作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图"，画图必须保留痕迹，
在现行的教材里，一般不要求写出作法,但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来。最后要点题即“xxx 即为所求"。
【典型例题】
类型一、线段的垂直平分线定理
1。如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D,连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）
A、7
B、14
C、17
D、20
【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC 的长，则可求得△ ABC的周长．
【答案】C；
【解析】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线,
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10,
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用．举一反三：
【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法，完成填空及证明．
已知:线段AB,要作线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以A、B为圆心,大于1
2
AB的同样长为半径作弧，两弧分别交于点C、D；
(2）作直线CD．
直线CD 即为所求作的线段AB的垂直平分线．
根据上述作法和图形，先填空，再证明．
已知：如图,连接AC、BC、AD、BD，AC=AD=___=___．求证:CD⊥AB，CD平分AB．
证明：
【答案】
已知：如图，连接AC 、BC 、AD 、BD,AC=AD=BC=BD ． 求证：CD ⊥AB,CD 平分AB ．
证明：CD 与AB 交于点E ．
∵在△ACD 和△BCD 中,
,AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCD （SSS)．
∴∠1=∠2．
∵AC=BC ，
∴△ACB 是等腰三角形．
∴CE ⊥AB,AE=BE ．
即 CD ⊥AB,CD 平分AB ．
2.（2015秋•和县期中)如图，在△ABC 中,AB 边的垂直平分线l 1交BC 于点D ，AC 边的垂直平分线l 2交BC 于点E ，l 1与l 2相交于点O ，连结0B ，OC,若△ADE 的周长为6cm ，△OBC 的周长为16cm ．
（1）求线段BC 的长；
(2）连结OA ，求线段OA 的长；
（3)若∠BAC=120°，求∠DAE 的度数．
【思路点拨】(1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【答案与解析】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；
（2)∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OB+OC+BC=16cm，
∴OA=0B=OC=5cm;
(3）∵∠BAC=120°,
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵DA=DB,EA=EC，
∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°．
【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，已知BC=7,AC=16,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．
【答案】∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴BE+EC=AE+EC=AC．
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23．
要点二、线段的垂直平分线的逆定理
3。（2016春•鄄城县期中）如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC．求证:E点在线段AC的垂直平分线上．
【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE,推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．
【答案与解析】证明:∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键．类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用
4。联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义:到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例:如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用:如图2，CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上，且PD=1
2
AB,求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上，试探究PA的长．
【思路点拨】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数;
探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况,根据三角形的性质计算即可得解．
【答案与解析】
应用：解：①若PB=PC,连接PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD=
3
3
DB=
3
6
AB,
与已知PD=1
2
AB矛盾,∴PB≠PC，
②若PA=PC,连接PA，同理可得PA≠PC,
③若PA=PB，由PD=1
2
AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°,
故∠APB=90°；
探究：解:∵BC=5,AB=3，
2222
534
AC BC AB
∴=-=-=
①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4—x）2，
∴x=7
8
，即PA=
7
8
,
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB,由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或7
8
．
【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．
举一反三：
【变式】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°,则∠EAG=________。
【答案】40°;
解：∠B=x，∠c=y，则，∠B+∠C=180°—∠BAC,即x+y=70°①，
∵DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线，
∴BE=AE，AG=CG，
∴∠BAE=∠B=x,∠CAG=∠C=y，
∵∠BAE+∠EAG+∠GAC=∠BAC,
∴x+y+∠EAG=110°②，
联立①②得，∠EAG=110°—70°=40°．
16.2线段的垂直平分线（三）—尺规作图 教学设计说明 一、内容和内容解析； 本节课是冀教版义务教育课程标准教科书八年级上册第十六章《轴对称和中心对称》的第二节的第三课时，是在学习了线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理之后，探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线；在掌握了基本做法后，再来探究如何运用作线段的垂直平分线的方法过一个点作已知线段的垂线；并以作线段的垂直平分线为载体提高学生尺规作图的能力．因而探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线是本节课内容的核心所在．也是线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理学习的一种延续，是这两条定理的一种应用．其目的是加深对线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理的理解；同时本节课探究作图的思维方式及作图的步骤和方法又是对下一节研究角平分线又是对下一节利用尺规作一个角的平分线的铺垫，起着承上启下的作用．是轴对称的重要组成部分．所以本节课的教学重点是探究如何使用直尺和圆规作线段的垂直平分线． 二、目标和目标解析： 1．让学生亲身经历用直尺和圆规作线段的垂直平分线和过一点作已知直线垂线的探究过程；使学生熟练掌握作线段的垂直平分线，过一点作已知直线垂线的两种基本作图； 2．培养学生运用简练、准确的语言表达作图方法与步骤的能力； 3．培养学生使用“执果索因”的方法探究问题的能力和发展学生的逻辑思维；在实际动手操作中体验几何探究的乐趣，培养学生科学的学习态度． 三、教学问题诊断分析： 学生在本节课之前已经学习了全等三角形的知识，在本章还学习了线段的垂直平分线性质定理及逆定理，已经具备了用尺规作线段的垂直平分线的理论基础；此前还学习了用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，学生已经具备了操作尺规的基本技能．尽管如此，由于学生不能根据线段的垂直平分线性质定理的逆定理借助圆规找到符合条件的两个点（这两个点必须在已知线段的垂直平分线上），进而由两点确定一条直线，这将成为教与学中遇到的第一个障碍．在授课过程中需要教师帮助学生做好思维的准备，首先让学生回顾线段的垂直平分线性质定理及其逆定理和前面学习的基本
线段垂直平分线定理知识总结 一、线段垂直平分线的性质定理 说明： 1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。 2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。 例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。 分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。 解： 因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。 因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。 又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。 二、线段垂直平分线定理的逆定理 E D C B A
证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法： 第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分； 第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。 例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。 分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。 证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。 因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。 又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中 A B PAC PBC PC PC ∠=∠?? ∠=∠??=? 所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。 又因为PC ⊥AB ， 所以PC 垂直平分线段AB ， 所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。 例题2、如图所示，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，连结AD ，点E 在AD 上，并且∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD 垂直平分BC 。 分析：本道题目可以选取第二种判断方法，也就是通过得出EB=EC ，AB=AC ，从而证明出AD 垂直平分BC 。 证明： 因为∠1=∠2， 4 3 2 1 E D C B A P C B A
线段的垂直平分线---知识讲解(提高) 【学习目标】 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB 的垂直平分线. 作法： （1）分别以点A ，B 为圆心，以大于 2 1 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于 2 1 AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:
线段的垂直平分线——-知识讲解(提高) 【学习目标】 1。掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2。会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理。 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、线段的垂直平分线 1。定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2。线段垂直平分线的做法 求作线段AB 的垂直平分线。 作法： (1)分别以点A ，B 为圆心,以大于 2 1AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释： （1）作弧时的半径必须大于2 1AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． （2）线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。 要点诠释: 1。三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心。 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等。 要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图"，画图必须保留痕迹，
“ 线段的垂直平分线---知识讲解(提高) 【学习目标】 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中 垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： （1）分别以点 A ，B 为圆心，以大于 1 2 （2）作直线 CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释： AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C ，D 两点； (1)作弧时的半径必须大于 1 2 AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法 之一．同时也给出了引辅助线的方法， 线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段 的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全 等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看 作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接 圆的圆心——外心. 要点诠释:
§1.3.1 线段的垂直平分线(教案) 郑州市第三十一初级中学荆飞 教学分析 【教材分析】 在七年级我们曾经学习过轴对称和轴对称图形，本章将继续学习一些有关轴对称和轴对称图形的性质和证明.以前的学习过程，主要是发展学生的合情推理，而这一章的内容将要求学生从演绎推理的角度对问题进行证明.另外，在整个初中阶段，学生主要接触图形的四种运动状态，而本章将对轴对称和轴对称图形进行深入研究，本节课的线段的垂直平分线就是一个轴对称图形非常重要的一个数学模型. 【我的思考】 学生对于掌握定理及定理的证明并不存在太大的困难，这是因为在七年级“生活中的轴对称”中学生已经有了一定的基础.但是对于定理的逆定理的掌握应该是比较困难的，所以对逆定理研究时应该给学生留出更多的时间和空间去理解思考和感受. 【学习目标】 1、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力. 2、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题. 3、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力. 【教学重、难点】 重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 难点：两者在应用上的区别及各自的作用. 【教学准备】 1、分配学习小组（建议2人一组），明确每个人的任务. 2、预习本节课的内容.
P M N C B A 【教学过程】 一、 巧妙设疑，引入新课 【设计说明：本环节主要利用学生学习过的线段的垂直平分线，将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考提出解决方案，并总结结论，在上课时进行小组内的交流，共享.从而能有效地引起学生的研究兴趣.】 问题1：我们曾经利用折纸的办法得到线段的垂直平分线，那么线段垂直平分线的性质是什么？ 师生活动：将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考并提出解决方案，在上课时展示. 问题2：你能尝试证明这个结论吗？请画出图形，写出已知和求证，并写出证明过程，与你的同伴交流. 师生活动：此时学生可能提出了一个问题：要证明“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需要一个一个依次证明吗？何况不能一个一个依次证明呢？此时教师应鼓励学生思考，想办法来解决此问题. 师：如果一个图形上的每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了，所以我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质. 二、 新知探究 活动一：线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 已知：直线AB MN ⊥,垂足为C ，且BC AC =,P 是MN 上的任意一点. 求证：PB PA = 证明：AB MN ⊥
教师辅导教案 如何作角的平分线？ 1.动手用尺规画出一个角的平分线； 2.说明为什么是角平分线的理由。 用尺规作角的平分线. 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD= 2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 【知识梳理】 1、线段的垂直平分线 我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线． 例如：如图所示，点O是线段AB的中点，且AB⊥CD，垂足为点O，则CD是线段AB的垂直平分线. 2、线段的垂直平分线的定理 线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等． 如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB． 3、线段的垂直平分线定理的逆定理 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 如上图，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上． 4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系： ①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分． 5、三角形三边的垂直平分线交于一点．
从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了 6、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 7、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 8、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 9、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 【典型例题】 知识点一：线段的垂直平分线 考点一：利用线段垂直平分线求角的度数 例1、在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小. 分析：
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧记方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 垂直平分线的尺规作法 方法之一：(用圆规作图) 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直平分底边。 方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。 等腰三角形的性质： 1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。)
2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。) 3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。) 垂直平分线的判定 ①利用定义. ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合) 例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可. 证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知）， ∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余） 又∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A ∴BD=AD（等角对等边） ∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
线段垂直平分线 课时第 1 课时课型新课教具三角板、刻度尺 教学目标知识与能力 掌握线段的垂直平分线性质定理，能灵活运用垂直平分 线性质定理解题。 过程与方法 通过经历垂直平分线性质定理的证明过程，体验逻辑推 理的数学方法。 态度与情感通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识。 重点线段的垂直平分线性质定理，能灵活运用垂直平分线性质定理解题。难点能灵活运用垂直平分线性质定理解题。 教学手 段方法 动手操作，讲练结合 教学过程教师活动学生活动 说明或 设计意图 情境导入一、复习旧知 1、线段是轴对称图吗？如果是请指出它的 对称轴在哪儿？ 2、什么是线段的垂直平分线？根据图形试 着用符号语言描述出来 二、动手动脑 在一张纸上任意画一条线段AB 2、将纸对折，使线段端点A、B重合 3把纸展开，并画出折痕所在的直线MN 4、在MN上任取一点P，分别连接PA、PB 5、将纸沿直线MN对折，观察PA、PB，有什 么现象？ 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两 个端点的距离相等. 学生回忆知识解答 学生动手操作，并得出结论 结论：线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端点的距 离相等.
新知教学 探索新知 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等。 :如图,直线MN⊥AB，垂足是C，AC=CB，点 P 在MN上。 求证:PA=PB. 证明：∵ MN垂直平分AB ∴∠PCA=∠PCB=90° AC=CB 在△PCA和△PCB中 AC=BC〔已证〕 ∠PCA=∠PCB〔已证〕 PC=PC〔公共边〕 ∴△PCA≌△PCB 〔SAS〕 ∴ PA=PB 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分 线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：∵ AC=BC，MN⊥AB， P是MN上任意一点 ∴ PA=PB 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根 据之一 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等〞的题设、结论互换位置，并试着 用语言描述出来。 命题：与一条线段两个端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上。 教师引导学生分析总结： 线段垂直平分线性质 性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线 学生进行思考，并进行证明 与一条线段两个端点距离相 等的点,在这条线段的垂直 平分线上。 增强学生归纳 概括能力和表 达能力，培养 良好的学习习 惯，经历由感 性认识到理性 认识的思维 过程。 思 考 分 析 N M A B P N M A B P
初中数学线段的垂直平分线及坐标知识点总结 中学数学线段的垂直平分线 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 定理2：假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 定理3：两个图形关于某直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 逆定理：假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 以上就是我为大家整合的中学数学知识点大全，同学们都能熟记于心、敏捷运用了吗。接下来还有更多更全的中学数学知识点尽在。 中学数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，盼望同学们很好的掌控下面的内容。 平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为*轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③相互垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般状况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上需要相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第
三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌控了吧，盼望同学们都能考试胜利。 中学数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做*轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，*轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，盼望同学们对上面的内容都能很好的掌控，同学们仔细学习吧。 中学数学知识点：点的.坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们仔细看看哦。 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对〔a，b〕叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 盼望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌控，相信同学们会在考试中取得优异成果的。 中学数学知识点：因式分解的一般步骤 关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 因式分解的一般步骤
线段的垂直平分线教案 教案标题：线段的垂直平分线 教案目标： 1. 学生能够理解和定义线段的垂直平分线的概念。 2. 学生能够使用几何工具正确地绘制线段的垂直平分线。 3. 学生能够应用垂直平分线的概念解决相关的几何问题。 教学重点： 1. 理解线段的垂直平分线的定义和性质。 2. 能够使用直尺和量角器等几何工具绘制线段的垂直平分线。 3. 能够应用垂直平分线的概念解决相关的几何问题。 教学难点： 1. 理解垂直平分线的概念和性质。 2. 能够正确使用几何工具绘制线段的垂直平分线。 3. 能够应用垂直平分线的概念解决相关的几何问题。 教学准备： 1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、直尺、量角器、直角三角板等几何工具。 2. 学生准备：铅笔、橡皮擦、直尺、量角器等几何工具。 教学过程： 引入活动： 1. 教师通过展示一张图纸上已经画好的线段，向学生提问：“如何将这个线段平分？”
2. 学生回答后，教师引导学生思考如何找到线段的平分线。 讲解知识点： 1. 教师简要介绍线段的垂直平分线的概念和性质，即垂直平分线是指将线段分成两个相等的部分，并且垂直于线段。 2. 教师通过示意图和实际线段的绘制，向学生展示如何使用直尺和量角器绘制线段的垂直平分线。 练习活动： 1. 学生使用直尺和量角器等几何工具，在纸上绘制给定的线段，并找出该线段的垂直平分线。 2. 学生可以尝试使用不同的方法和角度来绘制垂直平分线，并比较结果的准确性和一致性。 3. 学生可以互相交换绘制的线段，然后尝试找出对方绘制线段的垂直平分线，以检验自己的理解和绘制能力。 拓展活动： 1. 学生可以尝试解决一些与线段的垂直平分线相关的几何问题，例如：给定一个三角形的两条边，如何找到第三条边的垂直平分线。 2. 学生可以在实际生活中观察和记录一些线段的垂直平分线的应用，例如：建筑物的对称结构、道路的交叉口等。 总结： 1. 教师对本节课的内容进行总结，强调线段的垂直平分线的概念和性质。 2. 教师鼓励学生在今后的学习中继续应用线段的垂直平分线的知识，解决更复杂的几何问题。
线段的垂直平分线 姓名：
【定理证明】 性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 练习：1、如图，已知直线MN是线段AB 的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上 一点，若PA=10 cm，则PB=______cm。 2、如图所示，AC是BD的垂直平分线， 若AD=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的 周长是。 判定：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 练习：AB=AD，BC=CD，AC、BD相 交于点E．则AC是线段BD的． 【学以致用】 已知：如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在AC的垂直平分线上．
【检测】 1、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（）。 A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边中线的交点 2、如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，BD=3cm，△AEC的周长为13cm，求 △ABC的周长。 【拓展】你能画出线段AB的垂直平分线吗？ 学生在此之前已经学习了轴对称图形，对线段的垂直平分线已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于其性质的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应具体生动，深入浅出的为学生讲解清楚。在充分实践和思考的基础上容易得出线段垂直平分线的性质，但学生欠缺逻辑推理的严密性，难以证明性质的准确性。因此，本节课的难点是：线段的垂直平分线定理的证明及运用。 通过本节课，学生经历了类比——猜想——验证来证明线段的垂直平分线的性质和判定的准确性，学生对线段垂直平分线的性质和判定有了初步的掌握，并能利用线段垂直平分线的性质和判定来解决实际问题。 教材分析 线段的垂直平分线的性质是人教版八年级数学内容，它是在认识了轴对称性的础上进行的。是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。线段的
线段的垂直平分线－教学教案 1、教材分析 〔1〕知识结构 〔2〕重点、难点分析 本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理. 定理反映了线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的依据；逆定理反映了线段垂直平分线的判定，是证明某点在某条直线上及一条直线是已知线段的垂直平分线的依据. 本节内容的难点是定理及逆定理的关系. 垂直平分线定理和其逆定理，题设与结论正好相反. 学生在应用它们的时候，简单混淆，援助学生认识定理及其逆定理的区别，这是本节的难点. 2、教法建议 本节课教学模式主要采纳“学生主体性学习〞的教学模式. 提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探究，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为教学活动的主人. 具体说明如下：〔1〕参与探究觉察，领会知识形成过程 学生前面，学习过线段垂直平分线的概念，这样由复习概念入手，顺其自然提出问题：在垂直平分线上任取一点P，它到线段两端的距离有何关系？学生会很简单得出“相等〞. 然后学生完成证明，找一名学生的证明过程，进行投影总结. 最后，由学生将上述问题，用文字的形式进行归纳，即得线段垂直平分线定理. 这样让学生亲自动手实践，积极参与觉察，激发了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼时机，对定理的产生过程，真正做到心领神会. 〔2〕采纳“类比〞的学习方法，猎取逆定理 线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单，学生学习一般没有什么困难，这一节的难点仍旧的定理及逆定理的关系，为了很好的突破这一难点，教学时采纳与角的平分线的性质定理和逆定理比照，类比的方法进行教学，使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.
§线段的垂直平分线 教材分析： 线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。 线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的 应用，可以简化证明 , 方便计算。 在本课的学习中 , 应注重联系线段的垂直平分线性质, 提高综合运用知识的能力。 学情分析： 由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因 此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。 学习目标： 1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段的垂直平分线的判定定理 . 2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题 . 学习重点：线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用 学习难点：线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明 教学方法：观察实践法，讲练结合法，自主探究法，合作探究法 教学手段：多媒体课件
教学过程： 一、情景引入 请每位同学仔细观察老师的操作活动： 纸上有一条线段AB，现在进行对折，使得点 A 与点 B 重合。 在折痕上任取点C，并连接 CA,CB，大家观察 CA与 CB的数量关系？ 在折痕上任取一点 C ，连接C A,C B,大家观察C A, C B的数量关系又如何？ 设计意图：通过让学生观察教师的折纸过程，归纳得到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，激发学生的学习兴趣，吸引学生的有意注意。 二、新课讲解 （一）初步探究 通过刚才的折纸活动我们得到： 命题：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
线段的垂直平分线——巩固练习（提高） 【巩固练习】 一．选择题 1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE 的值是（） A、6 B、4 C、6 D、4 2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 3.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）
A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 6.（2015秋•陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（） A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上 C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上 二．填空题 7．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC 于点E，则△BCE的周长为． 8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ． 9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______________． 10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．
线段的垂直均分线知识讲 解 【学习目标】 1．掌握线段的垂直均分线的性质定理及其逆定理||，会画已知线段的垂直均分线． 2．能运用线段的垂直均分线的性质理及其逆定理解决简单的几何问题及实质问题． 【重点梳理】 重点一、线段的垂直均分线 定义 经过线段中点而且垂直于这条线段的直线 ||，叫做这条线段的垂直均分线 ||，也叫线段的中垂线．线段垂直均分线的尺规作图 求做线段 AB 的垂直均分线 作法： 1 （ 1）分别以点A||， B 为圆心 ||，以大于AB 的长为半径作弧||，两弧订交于C||，D 两 2 点； （2）作直线 CD||， CD 即为所求直 线．重点解说： 作弧时的半径一定大于1 2 AB 的长 ||，不然就不可以获得交点了． 重点二、线段的垂直均分线定理 线段的垂直均分线定理 线段垂直均分线上的随意一点到这条线段两个端点的距离相等． 重点解说： 线段的垂直均分线定理也就是线段垂直均分线的性质||，是证明两线段相等的常用 方法之一．同时也给出了引协助线的方法||，那就是遇到线段的垂直均分线||，画出到线段两个端点的距离 ||，这样就出现相等线段||，直接或间接地为结构全等三角形创建条件． 重点三、线段的垂直均分线逆定理 线段的垂直均分线逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点||，在这条线段的垂直均分线上． 重点解说： 到线段两个端点距离相等的全部点构成了线段的垂直均分线||，也就是线段的垂直均分 线能够看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的会合． 三角形三边垂直均分线交于一点||，该点到三角形三极点的距离相等||，这点是三角形外接圆的圆心——外心． 【典型例题】 种类一、线段的垂直均分线定理 1、如图 ||，△ ABC 中 AC ＞ BC||，边 AB 的垂直均分线与AC 交于点 D||，已知 AC=5|| ， BC=4||，则△ BCD 的周长是（） A．9B．8C．7D．6
第十二讲垂直平分线、角平分线一、垂直平分线 知识点： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的 距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,, i j k分别是△ABC三边AB、BC、 CA的垂直平分线，则直线,, i j k相交于一点O，且OA＝OB＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 部，则该三角形是钝角三角形. 图1 图2
经典例题： 例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果△EBC 的周长是24cm ， 那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直 平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，如果BC=8cm ， 那么△EBC 的周长是 3） 如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28度， 那么∠EBC 是 例2. 已知：如图所示，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线 •三角形的中线： 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。 每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 角平分线： 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 高线： 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 线段的垂直平分线： 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 巧计方法：点到线段两端距离相等。 •三角形中线性质定理： 1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线长： ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ； mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2 ； mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2 。 (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长） 3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。 垂直平分线的性质： 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶 点的距离相等。 垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 •垂直平分线的尺规作法： 方法一： 1、取线段的中点。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。 得到一个交点。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直等分底边。 方法二： 1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线， 得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。 2、连接这两个交点。原理：两点成一线。 垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 《角平分线性质》教学设计 一、教学目标 【知识与技能】 进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。 【过程与方法】 通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 【情感态度与价值观】 通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
初二数学寒假班讲义第07讲-垂直平分线与角 平分线（提高）-学案 学科教师辅导讲义学员编号_________年级八年级下课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题 第07讲-垂直平分线与角平分线授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标能够证明线段垂直平分线的性质定理.判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理；掌握角平分线的性质定理.判定定理以及相关结论；授课日期及时段T （Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一.知识梳理 1.线段垂直平分线的性质定理定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 3.三角形三条边的垂直平分线的性质性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 4.尺规作图 5.角平分线的性质定理定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6.角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 7.三角形三内角的角平分线性质性质三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一线段垂直平分线的性质例 1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的 （）A三条高的交点B三条角平分线的交点C三条中线的交点D三条边的垂直平分线的交点例 2.下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PAPB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线A1个B2个C3个D4个例 3.如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交A C.BC于E，D两点，EC4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13B15C17D19例 4.如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD若CDAC，A50，则ACB的度数为（）A90B95C100D105例 5.如图，ABC中，AC8，BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为例