三角恒等变换单元教学设计
《导数及其应用》单元教学设计
兰州西北中学吴隆环
2教学内容的分析：
数学视角分析：
课标视角分析
教材比较视角分析
一、“概率”在教材中所处位置的变化二、教学内容变化及问题思考2001年第2版中编者是把“概率”放在第二册(下A)的第十章排列、组合和概率中的,捆绑两部分内容让学生学习,而到了2006年第2版,编者把这两部分内容分为第十章排列、组合和二项式定理以及第十一章概率,把概率单独成章,虽然教学要求和目标都未改变,不过还是可以体会编者的某种意图。到了2007年第3版的普通高中课程标准实验教科书必修3A版中,则把排列组合内容直接去掉,也就是在高中必修的教材中,不再安排学习排列组合,而是直接学习概率。排列组合虽然在理科选修教材中出现,但也是学习了概率之后的事情了,文科则完全没出现。新课程中的《概率》分三个小节,随机事件的概率、古典概型、几何概型,其中穿插了两个阅读与思考:天气变化的认识过程和概率与密码;去掉了相互独立事件同时发生的概率,增加了几何概率。
教学方法视角分析
3教学目标分析：（三维目标）
4学习者特征分析
5重点难点分析
6学习任务分析
7课时数的分配计划
8某一具体课时的教学活动的过程设计（要有每一步的设计意图）
9对教学设计的自我评价
2019-2020学年高中数学 3.2三角恒等变换导学案新人教版必修4 一、练习反馈 1、（1）要得到的图象向______平移_______。 （2）的图象向右平移_________得到。 2、函数最近的对称轴是___________。 3、函数的图象按向量平移到，的函数解析式为 当为奇函数时，向量可以等于。 4、已知函数f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0,-1≤φ≤1)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 ，且过点(2，-1)，则函数f(x)=______。 5.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜)的最小正周期是π,且f(0)=,则( ) A.ω=,φ= B.ω=,φ= C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点 和最低点之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若sinx+f(x)＝,求sinxco sx的值. 7.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？ 8.求方程lgx＝sinx实根的个数.
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相 邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(3,-2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈［1,2］时，求f(x)的值域. 二．公式 三、例题分析 1．若，则等于（）（A）（B）（C）（D） 2．函数的最小正周期是 （） （A）（B）（C）（D） 3．函数的最小正周期是。 4．函数在上的值域是。5．化简= 。 6．已知函数为偶函数，求的值。
三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值．
例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
教学过程 一、课堂导入 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
二、复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。 απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， απαtan )2tan(=+k （公式一） sin( )sin ， cos() cos ， tan( ) tan （公式二） sin( ) sin ， cos( )cos ， tan( ) tan （公式三） ααπsin sin(=-） ， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四） sin( )cos 2 （公式五） sin( )cos 2 （公式六） cos()sin 2 cos( ) sin 2
简单的三角恒等变换 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值12，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值； (2)当x ∈????0，π4时，求g (x )＝1 2 f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
《简单的三角恒等变换》教学设计 一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用． 二、编写意图与特色 本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想： 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示2 2 2 sin ,cos ,tan 2 2 2 α α α ． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12 α α=-和2cos 12sin 2 α α=-来做此题． 因为2cos 12sin 2 α α=-，可以得到2 1cos sin 2 2α α -= ； 因为2 cos 2cos 12 α α=-，可以得到2 1cos cos 2 2 α α += ．
3．2 《简单的三角恒等变换》导学案 【学习目标】 会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明； 会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 【重点难点】 学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。 【学法指导】 Sα、2Cα、2Tα，先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注复习倍角公式 2 意 Cα。既然能用单角，表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？回顾复习两角和与差的正弦、余2 弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。 【知识链接】： 1、回顾复习以下公式并填空： Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)= sin2α= tan2α= cos2α= 2、阅看课本P139---141例1、2、3。 三、提出疑惑： 【学习过程】： 探究一：半角公式的推导（例1） 请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。 2、半角公式中的符号如何确定？ 3、二倍角公式和半角公式有什么联系？ 4、代数变换与三角变换有什么不同？ 探究二：半角公式的推导（例2） 请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？
3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；
因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
三角恒等变换 单元教学设计 一、教材分析 1、本单元教学内容的范围 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦 3.1.2 两角和与差的正弦 3.1.3两角和与差的正切 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 三角函数的积化和差和和差化积 2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。 三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。 3、本单元教学内容总体教学目标 （1）和角公式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用． 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 （2）倍角公式和半角公式 经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C α的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。 了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。 （3）三角函数的积化和差和和差化积 经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。 4、本单元教学内容重点和难点分析 （1）和角公式 重点：两角和与差的余弦公式求值和证明. 难点：两角和的余弦公式的推导. （2）倍角公式和半角公式 重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C α的两种变形； 2.半角的正弦、.余弦、正切公式。 难点：1.倍角公式与同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用； 2.半角公式和倍角公式之间的内在联系，以及应用公式时正负号的选取.
三角恒等变换导学案 一、两角和与差的余弦公式 1. cos(α+β)= 以-β代β得： 2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例： cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105° （2）cos15° (3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20° (5)cos 215°-sin 215° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55° 4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 5．求cos75°的值 6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115° 7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20° 8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β. 二、两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式： sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲： 10 3sin 5sin 103cos 5ππππ-54 ?????ππ,2135531352π3π6π3π6π
求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)
3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值. 4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值. 5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值. 6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为 7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β) 8.化简2cos χ-6sin χ 解： 我们得到一组有用的公式： （1）sin α±cos α=2sin =2cos . （3）sin α3±cos α=2sin =2cos （4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+?）=2 2b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin - 3252βαtan tan 312131545354 ??? ??±4πα ???? ?4πα ?????±3πα ?????3πα
本章复习 本章知识网络 教学分析 理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一． 切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)． 高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．
3.2 简单的三角函数恒等变换 授课班级：高一（1）班 授课教师：郭建德 授课日期：2018-1-11 一、教学目标 1．知识与技能 熟练掌握和、差、二倍角公式,会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力 2．过程与方法 通过三角变换,加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识 3．情感、态度与价值观 体会变换中形变而质不变的哲理 二、教学重点和难点 1．教学重点 引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式、积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力 2．教学难点 认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、授课类型和授课方法： 新授课（公开课）；探究合作，先学后练 四、教学过程 1、新课导入 复习倍角公式2S α、2C α、2T α 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α 。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 2、新课讲解、范例演示 半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12α α=-和2cos 12sin 2α α=-来做此题．（二倍角公式中以 α代2α，2 α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=．
学案22 简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换． 自主梳理 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． 2．公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值1 2，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值；
3.2 简单的三角恒等变换学案（含答案） 3.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点.变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简.求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式 sin21cos2，cos21cos2，tan21cos1cossin1cos1cossin.思考半角公式对任意角都适用吗答案不是，要使得式子有意义的角才适用知识点二 辅助角公式辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx.其中tanba1若k，kZ，则tan2sin1cos1cossin恒成立2辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点a，b同象限3sinx3cosx2sinx6.提示 sinx3cosx212sinx32cosx2sinx3.题型一应用半角公式求值例1已知sin45，523，求cos2和tan 2.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin45，且523，cos1sin23 5.54232，cos21cos255.tan2sin1cos 2.反思感悟利用半角公式求值的思路1看角若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角
公式求解2明范围由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围3选公式涉及半角公式的正切值时，常用tan2sin1cos1cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦.余弦值时，常先利用sin221cos2，cos221cos2计算4下结论结合2求值跟踪训练1已知cos33，为第四象限角，则tan2的值为________考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案262解析方法一用tan21cos1cos来处理因为为第四象限角，所以2是第二或第四象限角所以tan 20.所以tan21cos1cos133133231284312622262.方法二 用tan21cossin来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan21cossin13363262.方法三 用tan2sin1cos来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan2sin1cos63133633262.题型二三角函数式的化简例2化简2cos212tan4sin24.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解 2cos212tan4sin24cos22cos4sin4sin24cos2sin22cos2cos2 1.反思感悟三角函数式化简的要求.思路和方法1化简的要求能求出值的应求出值尽量使三角函数种数最少尽量使项数最少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数2化简的思路对于和式，基本思路是降次.消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二
1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。 2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。 3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 （预习教材P139—P142） 复习： Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)= sin2α= tan2α= cos2α= 二、新课导学 ※探索新知 探究一：半角公式的推导 请同学们阅看p139例1. .思考1、2α与α有什么关系？α与α/2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。 .思考2、半角公式中的符号如何确定？ 思考3、二倍角公式和半角公式有什么联系？ .思考4、代数变换与三角变换有什么不同？ 变式训练1：求证
sin tan 21cos 1cos tan 2sin α α αααα = +-= 探究二：积化和差、和差化积公式的推导. 请同学们阅看p140例2。 .思考 1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？ .思考2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ . 思考3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？ 点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式． 变式训练2：课本p142 2（2）、3（3） 探究三：三角函数式的变换。 请同学们阅看p140例3。 .思考1、例3的过程中应用了哪些公式？ .思考2、如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值． 变式3：已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=
第6课时简单的三角恒等变换 能运用和角公式、差角公式和二倍角公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 前面我们学习了和角、差角及二倍角公式,初步体会到三角恒等变换在解题中的作用,本节课我们将在之前的基础上继续探究公式在更多方面的运用,体会学习公式的重要意义. 问题1:代数式变换与三角变换有什么不同呢? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点. 问题2:三角恒等变换的要求是什么? (1)化简:要求使三角函数式化为最简,项数尽量少,名称尽量少,次数尽量低,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的要求值. (2)求值:要注意角的范围,三角函数值的符号之间的联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进一步缩小角的范围. (3)证明:是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于左边,或将左右都进行变换使其左右相等. 问题3:三角恒等变换有哪些技巧? (1)常值的代换:如“1”的代换就是一种特殊的常值代换. (2)切化弦:当化简式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函数关系式 将正切化为正弦和余弦,这就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好处在于减少了三角函数名称. (3)升幂与降幂公式:sin2α= ,cos2α= ,运用它就是降幂.反过来,直接运用倍角公式或变形公式1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,就是升幂. (4)角的变换:角的变换把已知角与未知角联系起来,使公式顺利运用,解题过程中常见的角的代换有:α=()-β,α=β-(),α=错误！未找到引用源。 [(α+β)+(α-β)],α+β=()-α. 问题4:三角应用问题解答的一般步骤是什么? (1):审读题意,分清已知与未知,理解数学关系,画出示意图. (2):根据已知条件与求解目标,设角建立三角式,选择适当三角函数模型. (3):利用三角变换,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论,即求得数学模型的解.
第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换 一、教学目标 1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角 y a x b x的化简方法. 恒等变换，记住sin cos y A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin() 式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题. 3、能运用三角公式解决一些实际问题. 4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想. 二、教学重难点 教学重点： 引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如 y A x的三角函数性质进行讨论 sin() 教学难点： 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不 y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin() 用. 三、教学过程 [来源:学。科。网Z。X。X。K] y A x函数性质的探究 探究一：形如sin() 问题1.求函数2sin(2)() y x x R的周期，最大值. 6
问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值. 问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如 sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()y A x 的形式呢？辅助角公式： 例题1：函数3sin 3cos ()22x x y x R 的周期为 .
y A x函数的实际应用 探究二：形如sin() 问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且 ,则当取何值时，内接长方形面 AOB,(0,) 2 积最大？
《三角恒等变换》复习课（2个课时） 一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法： 1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？ 2．化简，要 求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分 母尽量不含三 角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； 3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或 逆用公式，如升、降幂公式， co s α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=0 00030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 例题 例1 已知sin （α+β）= 32，sin （α-β）=51，求β αtan tan 的值。 cos （α-β）=cos αcos β+sin αsin β cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β tan （α+β）=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α-β）=βαβαtan tan 1tan tan +- sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α- sin 2α =2cos 2α-1=1-2 sin 2α tan2α=βαβαtan tan 1tan tan -+
高一数学《必修4》编号75 编制：刘菊芳审核：林伟湛高一( )班第___组姓名时间：周行政签字 三角恒等变换小结与复习 【复习要点】 1.熟记以下公式： 用β -代β 常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变换如： ①2α是的二倍；4α是的二倍；α是的二倍；2 2 π α ±是的二倍. ②() ααββ =+-；③() 424 πππ αα +=--；④2()()()() 44 ππ ααβαβαα =++-=+--等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础 ．．．．．．，通常切化 ．． 弦，变异名为同名 ．．．．．．．．. （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值， 例如常数“1”的代换变形有：22 1sin cos sin90tan45 αα =+=?=?. （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：，. （5）化一公式：sin cos)) a b ααααα? +==+ （其中sin?= ；c o s?= .） （6）三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手： 角函数互化.
例1. 已知3123cos(),sin(),(,),(0,)45413444 πππππ αβαβ-=+= ∈∈，求sin()αβ+的值. 例2. 已知函数2 1 ()sin )cos()2 f x x x x π=--+.（1）求函数()f x 最小正周期； （2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x 的集合；（3）求函数的单调增区间.
三角恒等变换 单元教学设计 一、教材分析 1、本单元教学内容的范围 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦 3.1.2 两角和与差的正弦 3.1.3两角和与差的正切 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 — 三角函数的积化和差和和差化积 2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。 三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。 3、本单元教学内容总体教学目标 （1）和角公式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用． 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 （2）倍角公式和半角公式 \ 经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C α的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。 了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。 （3）三角函数的积化和差和和差化积 经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。 4、本单元教学内容重点和难点分析 （1）和角公式 重点：两角和与差的余弦公式求值和证明. 难点：两角和的余弦公式的推导. （2）倍角公式和半角公式 重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C α的两种变形； "