（2）计算
155
sin 155cos 20sin 110sin 22-的值为（ ） A.23- B.2
3 C.21- D.21 （3）化简
40sin 125cos 40cos -等于（ ）
A.1
B.3
C.2
D.2
（4）()=+ 10tan 3150sin
【规律方法】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
题型2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
【例2】（1）（教材课后练习）已知()5330sin =
+α ， 15060<<α，则=αcos （2）已知534sin 6cos =+???
??
-απα，则??? ??+67sin πα的值是 （3）已知παπβ<<<<20，且912cos -=??? ??-βα，3
22sin =??? ??-βα，则()βα+cos 的值为
（4）已知α、β为锐角，71cos =α，()14
35sin =+βα，则=βcos （5）（10月月考）已知1028cos =??? ??
+πα，α为锐角，则=??? ?
?-42cos πα
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值．
例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x
第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
教学过程 一、课堂导入 思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.
二、复习预习 复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。 απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， απαtan )2tan(=+k （公式一） sin( )sin ， cos() cos ， tan( ) tan （公式二） sin( ) sin ， cos( )cos ， tan( ) tan （公式三） ααπsin sin(=-） ， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四） sin( )cos 2 （公式五） sin( )cos 2 （公式六） cos()sin 2 cos( ) sin 2
简单的三角恒等变换 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值12，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值； (2)当x ∈????0，π4时，求g (x )＝1 2 f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．
3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；
因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝
三角恒等变换 单元教学设计 一、教材分析 1、本单元教学内容的范围 和角公式 3.1.1 两角和与差的余弦 3.1.2 两角和与差的正弦 3.1.3两角和与差的正切 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 三角函数的积化和差和和差化积 2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一。代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系。在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换。在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。通过本章学习，学生的推论能力和运算能力将得到进一步提高。 三角恒等变换在数学积应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推论能力和计算能力。本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质。 3、本单元教学内容总体教学目标 （1）和角公式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用． 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。 能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 （2）倍角公式和半角公式 经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式积公式及公式2C α的两种变形，再运用二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明。 了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力。 （3）三角函数的积化和差和和差化积 经历运用两角和、两角差的三角函数公式推导出三角函数的积化和差和和差化积的过程，体会“解方程组”和“换元”的数学思想，掌握三角函数的积化和差和和差化积公式，能正确运用公式进行有关的计算和证明。 4、本单元教学内容重点和难点分析 （1）和角公式 重点：两角和与差的余弦公式求值和证明. 难点：两角和的余弦公式的推导. （2）倍角公式和半角公式 重点：1.二倍角的正弦、.余弦、正切公式及公式2C α的两种变形； 2.半角的正弦、.余弦、正切公式。 难点：1.倍角公式与同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用； 2.半角公式和倍角公式之间的内在联系，以及应用公式时正负号的选取.
三角恒等变换导学案 一、两角和与差的余弦公式 1. cos(α+β)= 以-β代β得： 2.cos(α+β)≠cos α+cos β 反例： cos =cos( + )≠cos + cos 3. 不查表，求下列各式的值. (1)cos105° （2）cos15° (3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20° (5)cos 215°-sin 215° (6)cos80°cos35°+cos10°cos55° 4. 已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 5．求cos75°的值 6.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115° 7.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20° 8.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)= - ,求cos β. 二、两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式： sin(α+β)= sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β 2、典型例题选讲： 10 3sin 5sin 103cos 5ππππ-54 ?????ππ,2135531352π3π6π3π6π
求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)
3、已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值. 4、 已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值. 5、变式： 已知sin(α-β)= ,sin(α+β)= ,求tan α:tan β)的值. 6、在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为 7.已知sin α+sin β= cos α+cos β= , 求cos(α-β) 8.化简2cos χ-6sin χ 解： 我们得到一组有用的公式： （1）sin α±cos α=2sin =2cos . （3）sin α3±cos α=2sin =2cos （4）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+?）=2 2b a +cos(α-θ) 9、化简3cos χχsin - 3252βαtan tan 312131545354 ??? ??±4πα ???? ?4πα ?????±3πα ?????3πα
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
本章复习 本章知识网络 教学分析 理解领会新课标的编写意图．新课标中三角函数部分共分三个板块完成：必修4《三角函数》、《三角恒等变换》、必修5《解三角形》，本章是第二个板块；其中三角函数模型是主线，三角变换是关键．三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一． 切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变换思想主要是：①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝A sin(ωx＋φ)；②化成“两个一”：即化为一个角的一种三角函数的二次型结构，再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如a sinθ＋b cosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可)． 高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面：一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变换，包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想，利用向量的工具性，灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．
3.2 简单的三角函数恒等变换 授课班级：高一（1）班 授课教师：郭建德 授课日期：2018-1-11 一、教学目标 1．知识与技能 熟练掌握和、差、二倍角公式,会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力 2．过程与方法 通过三角变换,加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识 3．情感、态度与价值观 体会变换中形变而质不变的哲理 二、教学重点和难点 1．教学重点 引导学生以已有公式为依据,以推导半角公式、积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力 2．教学难点 认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力 三、授课类型和授课方法： 新授课（公开课）；探究合作，先学后练 四、教学过程 1、新课导入 复习倍角公式2S α、2C α、2T α 先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α 。既然能用单角 表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 2、新课讲解、范例演示 半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12α α=-和2cos 12sin 2α α=-来做此题．（二倍角公式中以 α代2α，2 α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=．
学案22 简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换． 自主梳理 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________； (2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________； (3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π 2 )． 2．公式的逆向变换及有关变形 (1)sin αcos α＝____________________?cos α＝sin 2α 2sin α ； (2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2 C ．－3，32 D ．－2，3 2 3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.1 2 D ．1 4．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( ) A ．有最大值1 2，最小值0 B ．有最小值1 2 ，无最大值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1 2 ，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值． 变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1 sin ????π4＋x sin ??? ?π4－x . (1)求f ??? ?－11π 12的值；
三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ
3.2 简单的三角恒等变换学案（含答案） 3.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点.变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简.求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式 sin21cos2，cos21cos2，tan21cos1cossin1cos1cossin.思考半角公式对任意角都适用吗答案不是，要使得式子有意义的角才适用知识点二 辅助角公式辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx.其中tanba1若k，kZ，则tan2sin1cos1cossin恒成立2辅助角公式asinxbcosxa2b2sinx，其中所在的象限由a，b的符号决定，与点a，b同象限3sinx3cosx2sinx6.提示 sinx3cosx212sinx32cosx2sinx3.题型一应用半角公式求值例1已知sin45，523，求cos2和tan 2.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin45，且523，cos1sin23 5.54232，cos21cos255.tan2sin1cos 2.反思感悟利用半角公式求值的思路1看角若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角
公式求解2明范围由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围3选公式涉及半角公式的正切值时，常用tan2sin1cos1cossin，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦.余弦值时，常先利用sin221cos2，cos221cos2计算4下结论结合2求值跟踪训练1已知cos33，为第四象限角，则tan2的值为________考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案262解析方法一用tan21cos1cos来处理因为为第四象限角，所以2是第二或第四象限角所以tan 20.所以tan21cos1cos133133231284312622262.方法二 用tan21cossin来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan21cossin13363262.方法三 用tan2sin1cos来处理因为为第四象限角，所以sin0.所以sin1cos211363.所以tan2sin1cos63133633262.题型二三角函数式的化简例2化简2cos212tan4sin24.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解 2cos212tan4sin24cos22cos4sin4sin24cos2sin22cos2cos2 1.反思感悟三角函数式化简的要求.思路和方法1化简的要求能求出值的应求出值尽量使三角函数种数最少尽量使项数最少尽量使分母不含三角函数尽量使被开方数不含三角函数2化简的思路对于和式，基本思路是降次.消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二
简单三角恒等变换复习、公式体系
(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2
专题五《三角恒等变换》综合检测 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-
第三章三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换 一、教学目标 1、能用两角和与差的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦公式进行简单的三角 y a x b x的化简方法. 恒等变换，记住sin cos y A x的三角函数性质进行讨论，能灵活运用公2、能正确的对形如sin() 式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题. 3、能运用三角公式解决一些实际问题. 4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想. 二、教学重难点 教学重点： 引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如 y A x的三角函数性质进行讨论 sin() 教学难点： 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不 y A x三角函数的应断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin() 用. 三、教学过程 [来源:学。科。网Z。X。X。K] y A x函数性质的探究 探究一：形如sin() 问题1.求函数2sin(2)() y x x R的周期，最大值. 6
问题2.求函数sin 3cos ()y x x x R 的周期，最大值. 问题3.函数sin 3cos y x x 如何化简为sin()y A x 的形式呢？问题4.刚才所化简的函数是形如 sin cos y a x b x 的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x 的函数化简为sin()y A x 的形式呢？辅助角公式： 例题1：函数3sin 3cos ()22x x y x R 的周期为 .
y A x函数的实际应用 探究二：形如sin() 问题5：如图，半径为R的半圆内有一内接长方形，圆心为O,且 ,则当取何值时，内接长方形面 AOB,(0,) 2 积最大？
三角恒等变换练习题一 一、选择题 1．(2014年太原模拟)已知53 )2sin(=+θπ,则=-)2(cos θπ( ) A. 2512 B ．2512- C ．25 7 - D. 257 2．若54cos -=α,且α在第二象限内，则)4 2cos(π α+为( ) A ．50231- B. 50231 C ．50217- D. 50 217 3．(2013年高考浙江卷)已知2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan ( ) A. 34 B. 43 C ．34- D ．4 3 - 4．已知),0(,2cos sin πααα∈=-,则=α2sin ( ) A ．1- B ．22- C. 2 2 D ．1 5．(2014年云南模拟)已知53 )4sin(=-πx ,则x 2sin 的值为( ) A ．25 7 - B. 257 C. 259 D. 2516 6．计算??-??13sin 43cos 13cos 43sin 的结果等于( ) A. 2 1 B.33 C.22 D.23 7．函数)sin (cos sin )(x x x x f -=的最小正周期是( ) A. 4π B. 2 π C ．π D ．π2 8．(2014年郑州模拟)函数)24(2cos 3)4(sin 2)(2π ππ≤≤-+=x x x x f 的最大值为( ) A ．2 B ． 3 C ．32+ D ．32- 9.（2010理）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+的图像( ) A. 向左平移4π个长度单位 B. 向右平移4 π 个长度单位