2021年高中数学《几个三角恒等式》教案2 苏教版必修4
三维目标
知识与技能
掌握和差化积、积化和差公式的推导方法．
过程与方法
通过和差化积和积化和差公和公式的推导，提高学生三角变换的能力．
情感、态度、价值观
让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．
重点难点
重点：积化和差、和差化积公式的推导方法．
难点：三角恒等式的证明．
教学过程
一、创设情境
sin(＋)＝sin cos＋cos sin．
sin(－)＝sin cos－cos sin．
以上是用，的正余弦表示它们和或者差的正弦，反之，sin cos如何用sin(＋)和sin(－)来表示呢？
二、讲解新课
数学理论：
sin cos ＝1
2
[sin(＋)＋sin(－)]， cos sin
＝1
2
[sin(＋)－sin(
－)]，
cos cos ＝1
2
[cos(
＋)＋cos(－)]，
sin
sin ＝－1
2
[cos(＋
)－cos(
－)]．
以上这些表达式把三角函数的乘积化为同名的三角函数的和或者差，统称积化和差公式，对于这些结论不必加以记忆和运用． 问题：由sin(＋)＋sin(－)＝2sin
cos
试推导sin ＋sin
．
令A ＝
＋，B ＝－，可得
sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B
2cos
A －B
2，
sin A －sin B ＝2cos
A ＋B
2sin
A －B
2， cos A ＋cos B ＝2 cos
A ＋B
2cos
A －B
2， cos A －cos B ＝－2sin
A ＋B
2
sin
A －B
2
．
以上过程体现的换元的数学方法，这些表达式把同名的三角函数的和或者差化为三角函数的乘积，统称和差化积公式，对于这些结论也不必加以记忆和运用．
例题讲解：
例1 运用三角函数变换证明：tan 2＝sin 1＋cos ＝1－cos sin
．
证明：tan 2
＝
sin
2
cos 2＝2sin
2
2
2sin 2cos
2
＝1－cos
sin
．
tan 2＝sin 2cos 2＝2sin 2cos
22cos 2
2
＝sin
1＋cos
．
例2 已知sin(＋)＝1
2，sin(－
)＝13，求tan(＋)－tan －tan tan 2
tan(＋)
的
值．
解：由已知可得
sin cos ＋cos sin ＝1
2， sin cos
－cos
sin
＝13
． 两式相加得
sin cos
＝512
， 相减得
cos sin ＝112
． tan(＋)－tan －tan
tan 2tan(＋)＝
tan(
＋)－(1－tan tan )tan(
＋)
tan 2tan(＋)
＝
tan tan ＝sin cos
cos sin
＝5．
课堂训练：
1．设a ，b ，a ＋b 均为锐角，a ＝sin(a ＋b)，b ＝sina ＋sinb ，c ＝cosa ＋cosb ，则( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a 答案：A ．
2．已知a 是第三象限角，且sina ＝－24
25，则tan 2
的值为 ( )
A ．43
B ．34
C ．－34
D ．－4
3
答案：D ．
3．在△ABC 中，求证：sin2A ＋sin2B －sin2C ＝2sin A sin B sin C ． 证明：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C
＝sin 2(B ＋C )＋
1－cos2B 2－1－cos2C
2
＝sin 2(B ＋C )＋12(cos 2C －cos 2
B )
＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C ) ＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )] ＝sin A·2sin B sin C ＝2sin A sin B sin C ．
三、课堂小结