42.【解】 由?????=?=′=?=′,024,
0222
2
y x y f xy x f y
x 得D 内驻点为.2)1,2(),1,2(=±±f 在边界)22(0:1≤≤?=x y L ，记
,)0,()(2x x f x g ==
显见在1L 上),(y x f 的最大值为4，最小值为0.
在边界)0(4:2
22≥=+y y x L 上，记
).22(85)4,()(242≤≤?+?=?=x x x x x f x h
由0104)(3
=?=′x x x h 得驻点.2
5,25,
0321=?
==x x x .8)2,0()0(==f h .4
7
23,2525=????????±=????????
±
f h 综上，),(y x f 在D 上的最大值为8，最小值为0.
43.设函数),(y x z z =的微分dy y x dx y x dz )412()122(+++=，且0)0,0(=z ，求函数
),(y x z z =在25422≤+y x 上的最大值。
【解】 由dy y x dx y x dz )412()122(+++=知，2
2
212y xy x z ++=
令???=+==+=04120
122y x z y x z y
x
驻点：0)0,0(),0,0(=z
)254(212),,(2222?++++=y x y xy x y x F λλ
???
??=?+==++==++=0
254)2(02412)1(081222
2y x F y y x F x y x F y x λλλ
由（1）和（2）式知：
?
?
?=++=++0)2(60
6)41(y x y x λλ且有非零解. 则
,026641=++λλ解得 4
17
,221?==λλ 21=λ时，驻点.50),3,2(),3,2(21?=??z P P 4
17
2?
=λ时，驻点.4425),4,23(),4,23(43=??z P P
比较得 4
425
max =z
44.【解】 设).10(2),,,(2
22?++++=z y x yz xy z y x F λλ
令 ???
????=?++=′=+=′=++=′=+=′,010,
022,022,02222z y x F z y F y z x F x y F z y
x λλλλ
得可能的最值点 ),2,5,1(A ),2,5,1(??B ),2,5,1(?C ),2,5,1(???D
),2,0,22(?E ).2,0,22(?F
因为在D A ,两点处55=u ；在C B ,两点处55?=u ；在F E ,两点处0=u ，所以
55max =u ；.55min ?=u
45.【解】作拉格朗日函数
).4()(),,,,(22222?+++?++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ
令 ?????????=?++=′=?+=′=+?=′
=++=′=++=′,
04,0,02,022,02222z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ
解方程组，得 ),2,1,1(),,(111=z y x ，).8,2,2(),,(222??=z y x 故所求的最大值为72，最小值为6.
46.【解】设切点为),,(y x P 切线为 ))((x X x y y Y ?′=? y x y x x y 33)(++?
=′，截距y
x Y y x X 31
,3100+=+= )
81(21
xy S +=
)0,0(>>y x
)1323(),,(2
2
?+++=y xy x xy y x F λλ 2
2
y x = ,8
1=
=y x 41=S
47.【解】 点),,(z y x 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2
z H =在条件022
2
2
=?+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点.令)53()2(),,,,(2
2
2
2
?+++?++=z y x z y x z z y x L μλμλ，由
?????
????=++=?+=+?=′=+=′=+=′,
53,02,0342,02,02222z y x z y x z z L y L x L z
y x
μλμλμλ 得y x =，从而??
?=+=?,532,02222z x z x 解得?????=?=?=,5,5,5z y x 或 ??
?
??===.
1,1,
1z y x 根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为
)5,5,5(??和)1,1,1(.
48.【解】 )()2
3(),,,,(22
22
2
2
z y x z y x z y x z y x L ++++++++=μλμλ
26
13
11d ?=±?=
λ 613111+=
d 6
13
112?=d 49．【证】求函数xy 在条件)0(>=+k k q
y p x q
p 下的最大值。 令 )(),(k q
y p x xy y x L q
p ?++=λ
则 01
=+=?p x x
y L λ
01
=+=?q y y
x L λ
k q
y p x q
p =+
由此解得q
k y k x p
1,1
==，这是唯一的驻点，为最大值点，则
q
x p x k k
k k xy q
p q
p q p +===?≤+1111
50.【解】 （I）由题设知
10000)0,0(,6,220=+=??+=??C y y
C
x x C ，
从而有.2
642010000),(2
2y y x x y x C ++++= （II）由题设知50=+y x ，此时的成本函数为
,500,2
)50()50(642010000)50,()(2
2≤≤?+?+++=?=x x x x x x x C x f
求导得 ,3623)(?=
′x
x f 令0)(=′x f 解得唯一驻点.24=x 又02
3
)24(>=′′f ，所以24=x 是成本函数)50,(x x C ?的最小值点.
故当甲为24件，乙为26件时，总成本达到最小，最小成本为11118)26,24(=C 万元.
（III）
32)220(26
2426
24=+=??====y x y x x
x
C ，其经济意义为：当生产乙产品26件时，生产第25
件甲产品需32万元.
51.【解】 1）令y x y x C y x R y x L 2),(),(),(???=
364232142
2
????+=y xy x y x
???????=??=??=??=??0823202214y x y
L y x x
L
3,4==y x ，根据题意最大值存在，可能取得极值的点唯一。
则 3,4==y x 时L 最大，40)3,4(max =L （万元） 2）令)62(),(),,(?+?=y x y x L y x F λλ
??
?
??=?+=′=???=′=???=′06202823202214y x F y x F y x F y x λλλ 解得 2,2==y x ，驻点唯一，最大值存在，28)2,2(max =L （万元）
52.设),(y x f 在圆域12
2
≤+y x 上有连续一阶偏导数，且1),(≤y x f . 求证在单位圆内至少有一点),(00y x 可使
.16),(),(2
002
00
?
?????+????????y y x f x y x f 【证】 考查函数
)(2),(),(22y x y x f y x g ++=
在单位圆周12
2
=+y x 上，有1),(≥y x g . 而在圆心处1)0,0(≤g . 这样),(y x g 可在单位圆内取到它的最小值. 设该点是),(00y x ，从而有
0)
,(),(0000=??=??y
y x g x y x g ，
即
0004)
,(x x
y x f ?=??，
0004),(y y y x f ?=?? 从而 .16)(16),(),(2
0202
002
00<+=?
??????+????????y x y y x f x y x f
因式分解讲义
因式分解讲义 课 题 因式分解 学习目标与分析 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 学习重点 重点：因式分解的概念与提公因式法。 难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式。 关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式。 学习方法 讲解法 练习法 学习内容与过程 教师分析与批改 一、回顾： 1、整式乘法有几种形式？ （1） 单项式乘以单项式 （2） 单项式乘以多项式：a （m ＋n ）=am ＋an （3） 多项式乘以多项式：（a ＋b ）（m ＋n ）=am ＋an ＋bm ＋bn 2、乘法公式有哪些？ （1） 两数和乘以它们的差公式：()()2b a b a b a -=-+ （2） 两数和的平方公式：()2222b ab a b a +±=± 3、试计算 （1）3a （a －2b ＋c ） （2）（a ＋3）（a －3） （3）()22b a + （4）()23b a - 二、探索新知，找出规律 1、根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？ （1）32a －6ab ＋3ac=（ ）（ ） （2）2a －9=（ ）（ ） （3）2a ＋4ab ＋42b =（ ）（ ） （4）2a －6ab ＋92b =（ ）（ ） 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解。 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解结合：2a －2b =（a ＋b ）（a －b ） 说明：从左到右都是因式分解其特点是：由和差形（多项式）转化成整式的积的形 式；从右到左是整式乘法特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)。 结论：因式分解与整式乘法正好相反。 三、巩固练习
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2． 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。 3． 设 2 ()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 4． 计算 3。 5。 计算。 6． 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8． 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10． 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11． 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12． 设()arcsin xf x dx x C =+? ，则 1 () dx f x =? 。 13． 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-，且(())ln f x x ?=，求()x dx ??。 14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15． 计算x 。 16． 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17． 计算ln t tdt α ? 。 18． 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1．设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??，求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2． 设1 ()2()f x x f x dx =+? ，则()f x = 。 3． 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?＝ 。
大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
高等数学 简明二阶微分方程讲义
高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为
因式分解 复习 专题 讲义 知识点 典型例题
因式分解复习 一、基础知识 1.因式分解概念： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为 将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。 2．常用的因式分解方法： （1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是 各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因 式的方法叫做提公因式法。 ①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数； 字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法： ①常用公式 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方：2 22)b a (b 2ab a ±=+± ②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） （3）十字相乘法 ①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成 ()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两 个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系 数b ，那么它就可以分解成： ()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法 ①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22 a b a b -+-没有公因式， 又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。 例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分 解。 ③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多 项式正确分解即可。
考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)
最新下载(https://www.doczj.com/doc/9217328050.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例
§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数
高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续
历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .
因式分解的四种方法(讲义)
因式分解的四种方法（讲义） ? 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？ ? 知识点睛 1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分
解． 2. 因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①公因式要提尽； ②首项为负时要提出负号； ③提公因式后项数不变． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法时需要注意两点： ①能提公因式先提公因式； ②找准公式中的a 和b ． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是 有范围的，目前我们是在______范围内因式分解． ? 精讲精练 1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________． ①222233x y x y -=-??； ②2(3)(3)9a a a +-=-；
高等数学上册复习要点及解题技巧
高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令
经典的考研数学辅导书比较
考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标
因式分解专题复习讲义
因式分解专题复习讲义 教学内容 【内容回顾】 1.计算 (1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982 （5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） 2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值
3.指出下列各多项式的公因式： （1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn （3）－6abc＋3ab2－9a2b 4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）; （3）a2－4=（a+2）（a－2）; （4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 【知识精讲】 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
（一）提公因式法 1、公因式 多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。 2、提公因式法 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 （二）公式法 1.平方差公式 a 2－ b 2 =(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 2.完全平方公式 a 2±2a b +b 2=（a ±b ）2 两数的平方和加上（或减去）这两数的积的 2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. （三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法， 用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x ab 2x a b x ab x a x b 2
考研高数辅导：高等数学的比重
考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不
高等数学A2复习要点
高等数学A2 第7章 向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。（课本9页，例7-7） 2. 求向量的单位向量。（课本9页，例7-7） 3. 求向量的方向角，方向余弦。（课本10页，例7-8） 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。（课本17页，习题3） 5. 求向量的点积a b →→?，叉积a b →→?。（课本15页，例7-13） 6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。 （寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25） 7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30） 第8章 多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。（课本44页，例8-3） 2. 求多元函数的极限。（课本46页，例8-6） 3. 求多元函数的偏导数。（课本51页，例8-11） 4. 求多元函数的全微分。（课本56页，例8-16） 5. 求多元复合函数的导数。（课本60页，公式8-13，例8-22） 6. 求多元隐函数的导数。（课本65页，公式8-23，例8-26） 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。（课本67页，例8-27；8-28） 8. 求多元函数的极值。（课本71页，例8-30，课本74页，拉格 朗日乘子法）
第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4） 2. 直角坐标系下二重积分的计算。（课本86页，例9-5） 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。（课本87页，例9-6） 4. 极标系下二重积分的计算。（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8） 第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。 2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10） 4.求幂级数的收敛半径，收敛域。（课本143页，例10-11） 第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。（课本159页） 2. 会判断微分方程的阶。（课本160页，课后习题1） 3. 求解可分离变量的微分方程。（一阶）（课本161页，例11-4）
高中物理竞赛辅导讲义_微积分初步
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?
初二数学人教版因式分解_讲义
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
大一高数上复习重点
大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020
高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数
三.微分中值定理与导数的应用：
洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质
2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换
高数辅导讲义(4)
第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a
