第一部分函数极限连续
函数、极限、
连续
函数极限连续
函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质
函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质
函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点
性性唯一性
函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断
性有界性局部有界性点
收敛数列的函数极限的
保号性局部保号性
数列极限四函数极限与数
则运算法则列极限的关系
极限存在准函数极限四
则则运算法则
夹逼准则两个重要极
限
单调有界准无穷小的比
则较
高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
历年试题分类统计及考点分布
考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计
运算法则极限准则阶
年份
1987
1988 5 3 8 1989
1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998
1999
2000 5 5 2001
2002
2003 4 4 8 2004 4 4 2005
2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27
本部分常见的题型
1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)
e x
2
, f [ (x)]
1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义
,
域。
解: 由 f (x) e x 2
知 f [ ( x)] e
2
( x)
1
x ,又 (x) 0 ,则 ( x)
ln(1 x), x 0 .
例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)
1, x
1
则 f [ f ( x)]
1
0, x 1
, .
1, x
1,
练习题 : (1)设
f (x)
0, x
1, g ( x)
e x , 求
f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这
1, x 1,
两个函数的图形。
(2)
设
0, x 0, 0, x 0,
求
f ( x)
g( x)
x 2 ,
x, x 0,
, x 0,
f [ f (x)], g[ g( x)], f [
g (x)], g[ f ( x)] .
二、 求数列的极限
方法一 利用收敛数列的常用性质
一般而言 ,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质 1(极限的唯一性 ) 如果数列
x n 收敛 ,那么它的极限唯一。
性质 2(收敛数列的有界性 )如果数列 x n 收敛 ,那么数列 x n 一定有界。
性质 3(收敛数列的保号性 ) 如果
lim x
n
a ,且 a 0(或 a 0 ),那么存在
n
n 0 N
,使得当 n n 0 时,都有 x n 0 (或 x n 0 ).
性质 4(数列极限的四则运算法则 )
如果 lim
x n a,
lim
y
n
b, 那么
n
n
(1)
lim n (x n y n )
a b ;
(2) lim x n ? y
n
a ?
b ;
n
(3)当 y n 0( n N ) 且 b 0 时,
lim x
n
a .
n
y n
b
例 3 若
lim
x n
a
,则
lim
x
n
a .
n
n
注: 例 3 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n
, 显然 lim
x
n
1,
n
但数列 x n
( 1)n 没有极限。
例 4 如果数列 x n 收敛 , 那么数列 x n 一定有界。
注: 例 4 的逆命题是不对的 , 例如我们取 x n ( 1)n , 显然数列 x n 有界 ,
但数列 x n
(
1)n 没有极限。
例 5 设 a n , b n ,
c
n
均为非负数列 , 且
lim
a
n
0,
lim b n
1,lim
c
n
.
n
n
n
下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果
是错的 , 试给出一个反例。
(1) a n b n , n N ;
(2) b n c n , n N ;
(3) lim n a n c n 不 存在 ;
(4)
lim
b n c
n
不存在 .
n
解:
(1)是错的 , 我们可以令 a n
1 , b n n , 显然 lim a
n
0,
lim b
n
1 ,
n n 1
n
n
但 a 1 1,b 1 1
, 从而 a 1 b 1 .
2
n
1
(2) 是 错 的 , 我 们 可 以 令 b n ,c n
n , 显 然
n 1 3 lim
b n 1,lim
c n
, 但 b 1 1 , c 1 1 , 从而 b 1 c 1 .
n
n
2 3
(3)是错的 , 我们可以令 a n
1 , c n 1 n , 显然
lim a
n
0,
lim c
n
,
n 3
n
n
但
lim n a n c n lim n
1 1 1
( n ? 3 n) 3
.
(4) 是对的 ,
由于
lim n
b n 1
0,
lim n c n
,
则 lim n b n c n
, 即极
限 lim
b n c
n
不存在。
n
注 1: 极限的保序性是说 , “若 lim a n
a ,
lim b
n
b, a b , 则存在 n 0
N
n
n
使得当 n n0时有 a n b n.”,而不是对任意的 n N 有 a n b n.
注 2: 事实上我们可以得到如下一个常用的结论 :
若
lim a n a0,lim b n , 则lim a n b n .
n n n
练习题 : 设数列 x n与 y n满足lim x n y n0,则下列断言正确的是( )
n
(A)若
(B)若
(C)若x n
x n
x n
发散 , 则
无界 , 则
有界 , 则
y n必发散.
y n必无界.
y n必为无穷小.
(D)若
1
x n
为无穷小 , 则y n必为无穷小 .
方法二利用一些常用的结论
(1) 设数列x n 有界 , 又lim y n0 , 则lim x n y n
n n
0, q 1
(2) lim n q n
1),lim
n
n
1 . 0( q q 1, q
, q 1
(3)
1
0) . lim a n 1(a
n
例 6 lim 1
cos
n
0 .
n n 2
练习题 : (1) lim(n n2 1 1)sin n _______.
n 2
(2) lim(n n 1)sin n __________.
n 2
例 7
1
lim (a n b n c n) n max a, b, c (a 0, b 0, c n
解:
1 1
由于 max a,b, c (a n b n c n) n 3n max a,b, c
0.
0).
1
,故lim(a n b n c n ) n
n
max a, b, c .
练习题 : 已知 a 1 1
0,......, a m
, 求极限 lim
(a
1
n
...... a m n ) n .
n
1 x
2 n
x, x 1
例 8
1 . lim n 1 x
2 n
x
0, x
x, x 1
1
x 2 n
解:
当 x
1时
lim 1 x 2 n
x x
;
n
1 x 2n
当
x 1时
lim n 1 x 2n
x 0
;
1 x 2n
1
1
当 x 1时 lim lim x 2n
x .
2n x
x
1 x
n
n
1
1
x 2n
1 x 2n
x, x 1 故 lim
x 0, x 1 .
1
x 2n n
x, x 1
练习题 :
lim 1 x
________.
1 2 n
n
x
方法三 利用 Heine 定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限
Heine
定理 :
lim xx f ( x) A 的充分必要条件是 : 对于任意满足条件
lim
x
n
x 0 且 x n x 0 (n N ) 的数列 x n
, 相应的函数值数列 f ( x n ) 成立
n
lim
f (x n
)A
.
n
1
例 9 设数列 x n 满足 x n
0(n N
)
且 lim
x
n
0 , 计算
lim
(
sin x n
) x n
2
.
n
n
x n
解: 我们考虑函数极限
1
sin x x 2
lim x0 ( x
)
ln(
sin x
) ln(1
sin x
1)
sin x 1 sin x x cos x 1
x
x
x
lim e
x 2
lim
e
x
2
lim e x 2
lim e x 3
lim e 3 x 2
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
sin x
1
lim e 6 x
e 6
x 0
1
从而
lim
(
sin x n
) x n 2
n
x n
练习题 : 设数列
1 1
lim
(
sin x
) x 2
e 6 .
x
x
1
x n 满足 x n
0(n N )
且 lim
x
n
0 ,计算
lim
[
ln(1 x n )
] x n .
n
n
x n
方法四 利用夹逼准则
例 10 计算
lim
n( 1
1 ......
1
) .
n 2
n 2 2 n 2
n
n
解: 由于
n 2
n( 1
1
......
1 )
n 2
, 故
2
n
2
n 2
2
n 2
n
2
n
n
n
lim
n( 1
1
......
1
) 1 .
2 n 2
2
n 2
n
n
n
练习题 : (1) 计算
lim
(
1
1
......
1
) . n 2
1 n 2
2 n 2
n
n (2)
计算 lim
( 1
2
......
n ) .
2 n
1 2
n 2
n 2
n
n
n
n
n
(3)
计算 lim
(1 1
1 ...... 1 ) n 1 .
n
2 3 n
(4)
计算
lim
(
1
1
......
1
) .
1
n
2
n
n
n
n
方法五 利用单调有界准则
适用题型 : (1) 由递推关系 x n 1 f ( x n ) 定义的数列 x n 极限问题 , 一般先 用单调有界准则证明极限存在 , 然后等式两边取极限求出极限。
(2)有些题目直接给出了数列
x n 的通项公式 , 要求我们证 明数列 x n 的极限存在 , 这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存
在。
例 11 (1996, 6分) 设 x 1 10, x n 1 6
x n (n
N ) , 试证数列 x n 极限存在 ,
并求此极限。
证明 : 先证明数列 x n 是单调减少的。
由于 x n 1 x n
6 x n x n
(3 x n )(2 x n )
n N ) , 所以数列 x n
是单
6 x n
0(
x n
调减少的。
注意到 0 x n x 1 ( n N ) , 于是数列 x n 有界 , 故数列 x n 极限存在。
设 lim
x n a , 等式 x n 1 6 x n 两边取极限 得 a
6 a , 即 a 3 或 n
a 2 , 又 0 a
x 1 10 ,
所以 a 3 , 亦即 lim
x n
3
.
n
练习题 : (1)证明数列 2, 2
2, 2
2
2 ,...... 的极限存在 , 并求此极
限。
(2) 设 x 1
2, x n 1
2x n ( n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并求
此极限。
(3) 设 x 1 1, x n 1
4 3x n (n N ) , 试证数列 x n 极限存在 , 并
求此极限。
(4) 设 0
x 1 1, x n 1 x n (2 x n )(n N ) , 试证数列 x n 极限存在 ,
并求此极限。
例 12 (2008, 4 分 ) 设函数 f ( x) 在 ( ,
) 内单调有界 , x n 为数列 , 下
列命题正确的是 ( B )
( A ) 若
( B ) 若
x n
x n
收敛 , 则
单调 , 则
f ( x n ) f ( x n )
收敛 .
收敛 .
( C ) 若
( D ) 若
f ( x n )
f ( x n )
收敛 , 则
单调 , 则 x n
x n 收敛 .
收敛 .
解: 由于 f ( x) 在 (
,
) 上单调有界 , 若
x n 单调 , 则 f (x n ) 是单调有
界数列 , 故
f ( x n ) 收敛。
事实上 (A) 、 (C) 、 ( 1)n N ) , 显 然
(D) 都是 错误的 。 若令 x n
(n
n
lim
( 1)n 0 , 即 x n
,
1 arctanx, x 0
n 收敛 再令 f (x)
, 显然 f ( x) 在
n
arctanx, x 0
( ,
)
上 单 调 有 界 , 但f (x n ) 不 收 敛 。 由 于
1 arctan 1
, n 2k(k N )
f ( x n ) n
, 所以 lim f ( x n ) 不存在 , 故 (A) 不正 1
2k 1(k
N n
arctan( ), n )
n
确。
若令 x n n(n N ), f (x) arctan x , 显然
f ( x n ) 收敛且单调 , 但 x n 不收
敛 , 故(C)和(D) 不正确。
例 13 (2006, 12分) 设数列 x n 满足 0 x 1 , x n 1 sin x n (n N ) .
( I ) 证明
lim x n
存在 , 并求该极限 ;
n
1
( II ) 计算 lim (
x n 1
) x n 2 .
n
x n
解: ( I ) 用数学归纳法证明数列
x n 是单调减少的且有界。
由 0 x 1 得 0 x 2 sin x 1 x 1
设 0 x n , 则 0 x n 1 sin x n 界, 故
lim x n
存在。
n
;
x n , 所以数列
x n 是单调减少的且有
记 lim x n
a ,
于 是 0
a
. 由 x n 1 sin x n 得 a sin a , 注 意到 函 数
n
f ( x) x sin x 在区间 [0, ] 上是单调增加的 , 所以 a
0 , 即
lim x n
0 .
n
( II ) 见例 9.
注 1: 在判别一个函数 f ( x) 的单调性时 , 我们经常用到下面两个孰知的
结论。
(1) 设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续 , 在 (a, b) 内可导 , 若 (a,b) 中除至多
有限个点有 f ' ( x) 0 之外都有 f ' (x) 0 , 则 f (x) 在 [ a, b] 上单调
增加。
(2) 设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续 , 在 (a, b) 内可导 , 若 (a,b) 中除至多
有限个点有 f ' ( x) 0 之外都有 f ' (x) 0 , 则 f (x) 在 [ a, b] 上单调
减少。
注 2: 记住一些基本的不等式可以帮助考研学子在考试时节省大量的
时间 , 例如 sin x
x ( x
R),ln(1 x) x( x 0) 等。
练习题 : 设数列 x n 满足 x 1 0, x n 1 ln(1 x n )(n N ) .
( I ) 证明
lim x n
存在 , 并求该极限 ;
n
1 ( II ) 计算 lim (
x n 1
)x n
.
n
x n
例 14 (2011, 10分) 证明 : (1)对任意正整数 n , 都有 1
ln(1 1 ) 1 ; (2)设 x n 1
1
1
ln n(n
n 1 n
n ......
N ) , 证明数列 x n
收敛。
2
n
证明 : (1)由于函数 f ( x) x ln(1 x) 在 [0, ) 上单调增加 , 从而当 x 0
时 f (x)
f (0) 0 ,
所以对任意正整数 n , 都有 ln(1
1 ) 1 .
x
n
n
由于函数 g( x)
ln(1 x)
在 [0,
) 上单调增加 ,
从而当 x
0 时
x 1
g( x) g (0) 0 ,
所以对任意正整数 n , 都有
1
ln(1 1 ) .
n 1 n
故对任意正整数 n , 都有
1
ln(1 1 ) 1 .
n
1 n n
(2)先证明数列 x n 是单调减少的。
我们考虑
x
n 1
x n 1
......
1
1)]
1 1
ln n)
[1
n ln( n (1
......
1 1
2 1 2
n
) 0( n
N ) , 这表明数列 x n
是单调减少的。
ln(1
n 1
n
注意到
x n 1
1
...... 1 ln n ln 2 ln 3 ...... ln(1 1 )
ln n ln( n 1) ln n 0( n N )
2
n
2 n 从而数列 x n 有界 , 故数列 x n 收敛。
练习题 : 设 x n 1
1
......
1
(n N ) , 证明数列 x n 收敛。
2 2
2
n
方法六 利用定积分的定义
设函数 f ( x) 在 [a,b] 上连续 , 则
lim
1 n
i b
f ( x) dx .
n i
f [a
(b
a)]
n
1
n
a
例 15 计算极限
lim (
1 1 n 1 ......
1 ) .
n
n 2
2n
解:
lim
(
11
1
......
1 )
lim 1 (
1
1
......
1 )
1
dx ln 2 .
n
n 1 n 2
2n
n
n
1
1
2
1 1
0 1 x
n 1
n
例 16 (1998, 6 分) 求 lim( sin
sin
2
sin ) .
n n
n
......
n
1
1
1
n
n
2
n 解: 注意到
1
n
sin
i
n sin
i 1
n sin
i
n 1 i 1
n
i 1
n 1
n i
i 1
n
lim
1
n sin
i
1
2
而
sin xdx
,
n
n
i 1
n
1
n
i
n
1 n
i 1
2
lim sin
)
lim(
?
sin
sin xdx
n
n 1 i 1
n n
n 1 n i 1
n
sin
sin 2
sin
2 .
故 lim( n n n
...... ) n
1 1
1
n
n
n
2
1
练习题 : (1) 计算 lim n
n
n
1
i
.
i 1
n
(2)
计算 lim 1p 2p
...... n p
( p 0) .
n p 1
n
(3)
计算 lim
1
2 ......
(n 1) [sin sin
sin ] .
n
n n
n
n
三、 求函数的极限
方法一 利用函数极限的常用性质
一般而言 ,函数极限有以下四种常用的性质。
性质 1(函数极限的唯一性 ) 如果 lim f (x) 存在 ,那么这极限唯一。
x x 0
性质 2(函数极限的局部有界性 ) 如果 lim f ( x)
A ,那么存在常数 M 0
x x 0
和
0 ,使得当 0 x x 0
时,有 f (x)
M .
性质 3( 函数极限的局部保号性 ) 如果 lim f (x)
x x 0
那么存在常数
0 ,使得当
0 x
x 0
时 有 f ( x)
,
性质 4(函数极限的四则运算法则 )如果 lim
f (x)
x x 0 (
)
(1) x lim x( )
[ f (x)
g( x)] A
B ;
A ,且 A 0 (或 A
0 ),
0 (或 f ( x)
0 ).
A,
lim g( x)
B, 那么
x
x 0 ( )
(2) lim [ f (x) ? g( x)]
A? B ;
x
x 0 ( )
(3)若又有 B 0 ,则
lim
f ( x) A .
x x 0 (
) g( x) B
例 17 下列陈述中哪些是对的 , 哪些是错的 ? 如果是对的 , 说明理由 ; 如果是错的 , 试给出一个反例。
(1)如果 lim f (x) 存在 , 但 lim g (x) 不存在 , 那么 lim [ f ( x) g ( x)] 不存在 ;
x x 0
x x 0
x x 0
(2)如果
lim xx
f (x)
和
lim xx g (x) 都不存在 ,
那么
lim xx [ f ( x)
g( x)] 不存在 ;
(3)如果 lim f (x)
存在 , 但 lim g (x) 不存在 , 那么 lim f ( x) ? g( x) 不存在 .
x x 0
x
x 0
x x 0
解 : (1)
对 ,
因 为 ,
假 若
lim xx
[ f ( x) g( x)]
存 在 , 则
lim g (x) lim [ g( x)
f ( x)]
lim f (x) 也存在 ,
这与已知条件矛盾。
x x 0
x
x 0
x x 0
1, x 0
1, x 0
(2)错, 例如 f (x)
0, x 0 , g( x) 0, x
当 x
0 时的极限都不
1, x 0
1, x 0
存在 , 但 f ( x) g(x) 0当 x
0 时的极限存在。
1, x 0
(3) 错 , 例如 f ( x)
0,
lim f ( x) 0, g( x)
0, x 0 , lim g( x) 不存在 ,
x 0
1, x
0 x 0
但 lim f ( x) ? g(x) 0 .
x x 0
例 18(函数极限的局部保号性 ) (1)如果 lim f ( x)
A ,且 A
0 (或 A 0 ),
x
x 0
那么存在常数
0 ,使得当
0 x x 0 时 有 f (x) 0 ( 或 f ( x) 0 );
,
(2)如果 lim f (x)
A 且 A 0 (或 A 0 ), 那么存在常数 X 0 使得当 x X
x
时有 f ( x) 0 (或 f ( x) 0 ).
注 : 例 18 是一些非常适用的结论 , 它们经常可以帮助我们确定方程在
给定区间上实根的个数。
方法二 利用一些常用的结论
(1) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
(2) 当 a 0 0, b 0 0, m 和 n 为非负整数时 , 有
a 0 , n m
b 0
a 0 x m a 1x m 1
...... a m
lim
n
n 1 0, n m
x
b 0 x
b 1x ...... b n
, n m
例 19
lim
sin x 0 .
x
x
sin x
0 ,
sin x
注:
lim
x 但
lim
1, 我们强烈建议考研学子在计算函数
x
x 0
x
极限时务必要仔细地观察自变量的变化过程 , 稍有不慎就会出现重
大差错。
练习题 : (1)
lim
x 2 sin 1 ________.
x 0
x
(2)
lim arctan x
________.
x x
3
2
例 20 lim
3x 3 4x 2 1 3 . x
7x
5x 1 7
3x 2
2x 1
________.
练习题 : (1) lim
3
x 2
x
2x 1
(2) lim
2x 3
x
2
1
4x 2
6x 1
x
(3) lim
x 2 1 2x 2
x 1
x
________.
________.
方法三 利用左、右极限
由于
lim f ( x)
A
lim f ( x) lim f (x) A , 鉴于此 , 如果我们要考查
x x 0
x x 0
x x 0
函数 f (x) 当 x
x 0 时极限是否存在 , 我们可以去考查函数 f ( x) 在 x 0 处
的左、右极限是否存在并相等。
适用题型 :多用于判别一个分段函数 f ( x) 在分段点 x 0 处的极限是否存 在。
例 21 (1992, 3 分) 当 x
1 时, 函数
x 2 1
e x 1
1
的极限 ( D )
x 1
(A) 等于 2. (B)等于 0.
(C)为 .
(D)不存在但不为 .
解: 由于
lim x
2
1e x
1
1
lim
( x
1)e x
1 1
0,
lim
x 2 1
e x 1 1
lim
(x 1)e x
1 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
1 时, 函数
x 2
1
则当 x
1
e x
1
的极限不存在但不为.
x 1
注:
1
1
0 .
这里特别应注意的是 lim e x
,lim e x
x 0
x 0
1
练习题 : (1) (2000, 5分)
2 e x sin x
. 求
lim [
4
x
]
x
1 e x
(2)设 f ( x)
x sin 1
, x
0 , 求 lim
f ( x) .
x
x 2
, x 0 x 0
(3) 设 f ( x) ln(1 x), x 0 , 求
lim
f ( x) .
1
e x , x 0
x
1)x
1
方法四
利用 两个重 要极限 ： lim
(1 e ( 或者 lim (1 x) x e ) ,
x
x
x
lim
sin x
x 1
x 0
在处理 1 型极限时 , 经常将所求极限“凑”成基本极限
lim
(1 1 )x
的
x
x
形式 , 然后求出极限。
注 : 洛必达法则也是一种常用的处理 1 型极限的方法 , 但鉴于它的重要
性 , 我们将在第二部分 (一元函数微分学 )做专门的总结。
例 22 (1991, 5 分) 求
lim (cos
x ) x .
x 0
1
(cos x 1)
解: lim (cos
?
x
2 .
x)
x
lim
[1
(cos x 1)]
cos
x 1
e
x 0
x
1
例 23 (2011, 10分) 求极限 lim
[ ln(1
x)
] e x 1 .
x 0
x
解:
1 ln(1 x) 1
1
lim
[1
ln(1
x)
1
lim [1
ln(1
x) 1]
ln(1 x) ?[ x
1]?
e x 1 lim [
ln(1 x)
]e
x
1
1]e x
1
x 1
x 0
x
x 0 x
x 0
x
而 lim ln(1 x )
1
lim
ln(1 x) x lim
ln(1 x ) x
1 [
x
1] ?
e x
1
x?( e x
1)
x 2
2
x
x
x
故
lim [
ln(1 1
1
x)
]
e
x
1
e 2 .
x 0
x
练习题 : (1) (1990, 3分) 设 a 是非零常数 , 则 lim(
x
a ) x ________.
x
x
a
(2) (1993, 5 分) 求极限 lim(sin
2
cos 1)x
.
x
x
x
(3) (1995, 3 分)
2
________.
lim
(1
3x) sin x
x 0
(4) (1996, 3 分) 设 lim(
x
2a ) x 8 , 则 a ________.
x x a
1
(5) (2003, 4 分) lim (cosx)ln(1
x 2
)
________.
x 0
2
(6) 求极限 lim (2sin
x e x ) x .
x 0
sin x
1
(7)
求极限 lim x0
( ) 1 cosx .
x
1
1
(8) 求极限 lim [ (1
x)x ] x .
x 0
e
(9) 求极限
lim
( 2
arctan x) x .
x
(10) 求极限 lim (
a x
b x
c x 1
) x (a 0, b 0, c 0) . x 0
3
(11) 求极限 lim (sin x)tan x .
x
2
1
(12) 求极限 lim x 1 x .
x 1
(13) 求极限 lim( 2x
3) x 1 .
x
2x 1
方法五 利用等价无穷小代换
在处理函数极限的过程中 , 如果我们能恰当地利用等价无穷小代换
,
可以使计算简化。 为了便于考研学子复习 , 我们把常用的等价无穷小
代换列举如下 :
sin x ~ x,arcsin x ~ x, tan x ~ x,arctan x ~ x
当 x 0 时, 1 cos x ~ 1 x 2 , n 1 x 1 ~ 1 x
2
n
ln(1 x) ~ x, e x
1 ~ x
例 24 (1994, 3 分) 设
lim
a tan x b(1 cos x)
2
2
, 则必
c ln(1 2x) d(1 e
x
2
2 , 其中 a c
x 0
)
有 ( D )
(A) b 4d
(B) b 4d (C) a 4c
(D) a 4c
a tan x b(1 cos x)
a tan x
b
1
cos x
a
解 :
lim
lim
x
x
, 从 而
c ln(1 2x)
d(1 e
x
2
ln(1 2x) 1 e x
2
2
x
)
x 0
2c
c x
d x
a
4c .
例 25 (2008, 9 分)
[sin x sin(sin x)]sin x
.
求极限 lim
4
x 0
x
解:
[sin x sin(sin x)]sin x
lim [sin x sin(sin x)]sin x
(t sin t)t
lim
4
4
lim
4
x 0
x
x 0
(sin x) t 0
t
lim t sin t
1 cost
1
t 3
lim
3t 2
.
t 0
t 0
6
1
练习题 : (1) (1991, 3 分) 已知当 x 0
时, (1 ax 2 ) 3
1 与 cosx 1 是等价 无穷小 , 则常数 a _______.
(2) (1992, 5 分) 求 lim
e x sin x 1 .
x
1
1 x 2
sin x
(3) (1993, 3 分) 设 f (x)
sin t 2dt, g( x) x 3 x 4 , 则当 x
0 时,
f (x) 是 g( x) 的( )
(A) 等价无穷小(B)同阶但非等价的无穷小
(C)高价无穷小
(D)低价无穷小
(4) (1994, 3 分) limcot x( 1 1 _________. sin x ) x 0
x
3sin x x 2
cos
1
(5) (1997, 3 分)
lim
(1 cos x)ln(1 x
__________.
x 0
x)
(6) (1999, 3 分) lim( 12
1 ) ________.
x 0
x
x tan x
(7) (2004,
4 分 )
把 x 0 时 的 无 穷 小 量
x
x
2
x
cost 2 dt ,
tan tdt ,
sin t 3dt 排列起来 , 使排在后面的
是前一个的高阶无穷小 , 则正确的排列次序是 (
)
(A)
, ,
(B)
, ,
(C)
, ,
(D)
, ,
(8) (2006, 3 分)
lim
x ln(1 x) _________.
1
cos x
x
(9) (2007, 4 分) 当 x
0 时, 与 x 等价的无穷小量是 (
)
(A) 1 e x (B) ln 1 x
(C) 1
x 1 (D) 1
cos
x
1 x
(10) (2009, 4 分) 当 x
0 时 , f (x)
x sin ax 与 g( x)
x 2 ln(1 bx)
是等价无穷小 , 则( )
(A)
a 1,
b 1
(B)
a 1,b
1 (C)
a
1
6
6 1,b
6
(D) a
1,b 1
6
(11) 求极限 lim 1 cosx .
x 0
x(1 cos x)
(12) lim x sin x
________.
2 (e x
1)
x 0
x
(13) 求极限
lim
tan x sin x
.
(sin x) 3
x 0
(14) 求极限
lim
sin x tan x
.
3
1 x 2
1)( 1 sin x 1)
x 0 (
(15) 求极限 lim[ 1
1
] .
x 0
ln(1 x)
x
方法六 利用 Heine 定理
Heine 定理被经常用于证明某个函数极限的不存在性。
f ( x) 当 x
x 0 时极限不存在
, 我们计划构造两个点列
为了证明函数
x n , y n 满足如
下条件 :
(1) lim x n
n
x 0 且 x n
x 0 ( n
N ) ;
(2) lim y n
n
x 0 且
y n
x 0 ( n
N )
;
(3) lim f (x n ) n
lim f ( y n ) .
n
从而我们可以说明函数
f ( x)
当 x
x 0 时极限不存在。
例 26 证明 limsin 1
不存在。
x 0x
证 明 : 我 们 特 殊 地 取 x n
1 1 , 则 显 然 有
, y n
( n N )
n
2n
2
lim x n 0, x n 0( n N ) 与 lim y n 0, y n
0( n N ) .但由于 lim sin
1
0 而
n
n
n
x n
lim sin 1
1 , 故 limsin
1
不存在。
n
y n
x
0 x
练习题 : 证明 limcos
1
不存在。
x 0
x
四、 讨论函数连续性，并判断间断点类型
例 27 讨论函数 f ( x)
lim
1
x 2 n
1 2 n x
的连续性 , 若有间断点 , 判别其类
n
x
型。
x, x 1
解: 由例 8 知 f ( x)
0, x
1 , 从而 x 1 和 x 1 均为 f ( x) 的第一类间
x, x
1
断点。
例 28 设函数 f ( x)
e x , x 0
, 应当怎样选择数 a , 使得 f ( x) 成为在
a x, x
( ,
) 内的连续函数。
解 : 要 使 f ( x) 成 为 在 (
,
) 内 的 连 续 函 数 , 我 们 只 需
lim f (x) lim f ( x)
f (0) a , 故 a 1 .
x 0
x 0
练习题 : (1)求函数 f ( x) x
3
3x 2
x 3
的连续区间。
x 2
x 6
(2)设函数 f ( x) 与 g(x) 在点 x 0 连续 , 证明函数
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+
（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word
word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：
授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.
物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程
(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像
2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一部分函数极限连续
历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域。 解: 由2 ()x f x e =知2 ()[()]1x f x e x ??==-,又()0x ?≥, 则()0x x ?=≤. 例2 (1990, 3分) 设函数1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,lim n n n x a y b →∞ =.
考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
计算机基础 机械工业出版社同名教材 配套电子教案
第4章文字处理软件Word的使用 4.1 Word的基本操作 4.1.1 启动Word 4.1.2 Word的窗口组成 4.1.3 新建空白文档 4.1.4 保存文档 4.1.5 关闭文档与退出Word 4.1.6 打开已有文档 4.2编辑文档 4.2.1 输入文字 4.2.2 插入符号 4.2.3 撤销与恢复 4.2.4 选定文本块 4.2.5 删除、复制或移动文本 4.2.6 Office剪贴板 4.2.7 查找和替换 4.2.8 打开多个文档 4.2.9 更改默认设置 4.3文档视图 4.4设置页面格式4.4.1 设置页面 4.4.2 页眉和页脚 4.4.3 页码 4.5设置文档的格式
4.5.1 设置字符格式 4.5.2 设置段落格式 4.5.3 用格式刷复制格式 4.5.4 清除格式 4.5.5 自动更正 4.6 处理表格 4.6.1 建立表格 4.6.2 修改表格 4.6.3 设置表格格式 4.6.4 数据的计算与排序4.7 插入图片 4.7.1 插入图片文件 4.7.2 从“插入剪贴画”任务窗格插入剪贴画 4.7.3 从“剪辑管理器”插入剪辑 4.7.4 调整图片 4.8 绘图 4.8.1 创建绘图 4.8.2 自选图形 4.8.3 移动图形对象并调整其大小 4.8.4 三维和阴影效果 4.8.5 叠放图形对象 4.8.6 组合图形 4.9 文本框 4.10 艺术字
4.11 边框、底纹和图形填充 4.11.1 添加边框 4.11.2 添加阴影、颜色或图形填充4.12 公式 4.13 打印文档 4.13.1 打印前预览页面 4.13.2 打印文档 4.13.3 检查打印作业的进度 习题4
考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标
章节备课 第9章 输出演示文稿 本章内容提要 打包演示文稿 打印演示文稿 将演示文稿输出为网页或图片 课 题：第9章 输出演示文稿 教学目的：通过实例学习输出演示文稿，使学生掌握本章知识点。 教学方法：讲授法 应用制作好的ppt 演示 课 时 数：合计2课时，理论1课时，上机实践1课时 教 具：微机室 ppt2007素材见光盘 授课内容： 第一节： 第9章 输出演示文稿 制作好演示文稿后，我们还可将其打包以便在别的计算机中播放。此外，还可以打印演示文稿或将演示文稿发布成网页或图片等。 9.1 打包演示文稿 如果需要在另一台计算机上播放演示文稿，我们最容易想到的方法是将演示文稿文件复制到播放演示文稿的计算机中。但事情并非这么简单：假如你准备播放演示文稿的计算机中没有安装PowerPoint 程序，或者演示文稿中所链接的文件以及所采用的字体在那台计算机上不存在，这些情况会使演示文稿无法播放，或者影响演示文稿的播放效果。 为了解决上述问题，PowerPoint 提供了演示文稿的“打包”工具，利用该工具可以将播放演示文稿所涉及到的有关文件连同演示文稿一起打包，形成一个文件夹，从而方便在其他计算机中进行播放。 9.1.1 打包演示文稿 打开要打包的演示文稿 第一次执行打包操作时出现
单击“选项”按钮，打开“选项”对话框设置打包选项:在“包含这些文件”设置区中可选 择需要在打包文件中包含的内容；在“帮助保护PowerPoint 文件”设置区中可设置打开或修改包中的演示文稿时是否需要密码 如果要将演示文稿打包到文件夹，可在“打包成CD ”对话框中单击“复制到文件夹”按钮，在打开的对话框输入文件夹名称“感受童画的激情”，然后单击“浏览”按钮，设置存放打包文件夹的位置 返回“复制到文件夹”对话框，在“位置”编辑框中可看到放置打包文件的位置，单击“确定”按钮，打开提示对话框，询问是否打包链接文件，单击“是”按钮，系统开始打包演示文稿，并显示打包进度。等待一段时间后，即可将演示文稿打包到指定的文件夹中。最后单击“打包成CD ”对话框中的“关闭”按钮，将该对话框关闭。 9.1.2 播放打包的演示文稿 将演示文稿打包后，可找到存放打包文件的文件夹，然后利用U 盘或网络等方式，将其拷贝或传输到别的计算机中。要播放演示文稿，可双击打包文件夹中的“Play.bat ”文件进行播放。
微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =
（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?
考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的
辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
Word2003电子教案 目录 第一章Word基础知识 (3) 第一节Word 2003 简介及新增功能 (3) Word 2003 简介 (3) Word 2003新增功能 (3) 第二节Word 2003 基本操作 (4) Word 2003 启动与退出 (4) Word 2003 界面组成 (4) 第二章文档基本操作 (5) 第一节新建文档最常用方法 (6) 第二节保存文档最常用方法 (6) 第三节打开和关闭文档 (6) 第三章文本编辑 (6) 第一节输入文本 (7) 第二节修改文本 (8) 选择文本 (8) 文本编辑 (8) 查找与替换 (9) 拼写和语法 (10) 第四章文本格式编辑 (10) 第一节设置字符格式 (10) 设置字体 (10) 设置字号 (10) 设置字形 (11) 第二节美化文本 (11) 设置字体效果 (11) 设置字间距 (12) 设置文字动态效果 (12) 添加边框和底纹 (12) 第三节设置制表位 (13) 第四节设置段落格式 (14) 第五章表格的制作 (16) 第一节创建表格 (16) 第二节编辑表格 (17) 第三节美化表格 (18) 第四节数据处理 (19)
第六章图形和图像编辑 (20) 第一节绘制图形 (20) 第二节插入图片或剪切画 (21) 第三节艺术字 (22) 第四节文本框 (23) 第七章样式和模版 (23) 第一节样式应用 (23) 第二节模板应用 (24) 第八章文档高级应用 (25) 第一节宏的应用 (25) 第二节目录 (26) 第三节公式 (26) 第四节使用域 (26) 第五节邮件合并 (26) 第九章页面设置与打钱印输出 (26) 第一节页面设置 (26) 第二节文档格式 (28) 第三节打印输出 (29)
第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a
考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习
(2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了，