第三章 一元函数积分学
§3．1 不定积分
甲 内容要点
一．基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念
设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间
I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称
为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设
()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()C x F dx x F +='?
或 ()()?
+=C x F x dF （2）
()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =?
（3）()()?
?
=dx x f k dx x kf （4）
()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f
3．原函数的存在性
设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如()
?dx x 2sin ，()
?dx x 2
cos ，
?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2
等。被积函数有原函数，
但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二．基本积分公式
1．C x dx x ++=
?+1
1
ααα
()，实常数1-≠α 2．
?+=C x dx x ln 1
3．?+=C a a
dx a x x
ln 1 ()1,0≠>a a
C e dx e x x +=?
4．?
+=C x xdx sin cos 5．?
+-=C x xdx cos sin
6．C x dx x xdx +==
??tan cos 1
sec 22
7．C x dx x
xdx +-==??cot sin 1csc 2
2
8．C x xdx x +=?
sec sec tan 9．C x xdx x +-=?
csc csc cot 10．C x xdx +-=?
cos ln tan 11．C x xdx +=?
sin ln cot 12．C x x xdx ++=?
tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=?
cot csc ln csc 14．
?
+=-C a
x
x a dx arcsin
2
2 ()0>a 15．
C a
x
a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16．
C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a
17．
C a x x a x dx +±+=±?
222
2ln ()
0>a
三．换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法） 设
()()C u F du u f +=?，又()x ?可导，则
()[]()()[]()()
()du u f x u x d x f dx x x f ???=='?????令
()()[]C x F C u F +=+=?
这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式：
（1）
()()()??++=
+b ax d b ax f a
dx b ax f 1
()0≠a （2）()()()
?
?++=+-b ax d b ax f na dx x b ax f n
n n n 11 ()0,0≠≠n a
（3）()()()x d x f x dx
x f ln ln ln ?
?=
（4）
??
? ????? ??-=??? ????
x d x f x dx x f 1112 （5）
()()()??=x d x f x dx x f
2 （6）
()()()??=
x
x x x a d a f a
dx a a f ln 1 ()1,0≠>a a ()()()??=x
x x
x
e d e
f dx e e f
（7）()()()??=x d x f xdx x f sin sin cos sin （8）()()()??-=x d x f xdx x f cos cos sin cos （9）
()()()??
=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2
（10）()()()??-=x d x f xdx x f cot cot csc
cot 2
（11）()()()??=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec （12）
()()()??-=x d x f xdx x x f csc csc cot csc csc
（13）
()()()
??
=-x d x f dx x
x f arcsin arcsin 1arcsin 2
（14）
()()()??
-=-x d x f dx x
x f arccos arccos 1arccos 2
（15）
()
()()??=+x d x f dx x x f arctan arctan 1arctan 2 （16）()()()??-=+x arc d x arc f dx x
x arc f cot cot 1cot 2
（17）????? ????? ?
?-=+?
?? ??
x d x f dx x x f 1arctan 1arctan 11arctan 2 （18）
(
)[]()[]()()
??++++=+++22222
2
2
2ln ln ln a x x d a x x f dx a
x a x x f ()0>a
（19）
(
)[]()[]()()
??
-+-+
=--+22222
2
2
2ln ln ln a x x d a x x f dx a
x a x x f ()0>a
（20）
()()
()C x f dx x f x f +='?
ln ()()0≠x f
2．第二换元积分法
设()t x ?=可导，且()0≠'t ?，若()[]()()C t G dt t t f +='???，
则
()()()[]()()()[]
C x G C t G dt t t f t x dx x f +=+='=?
?-1
????令
其中()x t 1
-=?
为()t x ?=的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x 与n b ax +或x 与n
d
cx b ax ++或由x
e 构成的代数式的根式，例如b ae x +等。
只要令根式()t x g n =，解出()t x ?=已经不再有根式，那么就作这种变量替换()t x ?=即可。 第二类：被积函数含有
()0 2≠++A C Bx Ax ，如果仍令t C Bx Ax =++2解出()t x ?=仍是
根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0>A 时先化为
()[]
22