定积分与微分基本定理
定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标: ● 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点: ● 重点:正确计算定积分,利用定积分求面积. ● 难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题. 学习策略: ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 (1)()f x C =(C 为常数),则'()f x = (2)()n f x x =(n 为有理数),则'()f x = (3)()sin f x x =,则'()f x = (4)()cos f x x =,则'()f x = (5)()x f x e =,则'()f x = (6)()x f x a =,则'()f x = “凡事预则立,不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?
(7)()ln f x x =,则'()f x = (8)()log a f x x =,则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ,()g x 均可导 (1)和差的导数:[()()]'f x g x ±= (2)积的导数:[()()]'f x g x ?= (3)商的导数:()[]'() f x g x = (()0g x ≠) 知识点一:定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续,用分点b x x x x x a n n =<??<<<=-1210将区间[,]a b 分为n 个小区间,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ(i =1,2,3…,n ),作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ,当∞→n 时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做)(x f 在区间[,]a b 上的 .记作 .即()b a f x dx ?= , 这里, 分别叫做积分下限与积分上限, 叫做积分区间, 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个 ,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤: 知识点二:定积分的几何意义 设函数)(x f 在区间[]b a ,()a b ≠上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以 及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的 ; 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID : #tbjx6#233073
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求 定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理 [考纲传真] 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义. 【知识通关】 1.定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在 每个小区间上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑n i =1f (ξi )Δx =∑n i =1 b -a n f (ξi ),当n →∞ 时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定 积分,记作??a b f (x )d x ,即??a b f (x )d x =lim n →∞∑n i =1 b -a n f (ξi ). 在??a b f (x )d x 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义 图形 阴影部分面积 S =??a b f (x )d x S =-??a b f (x )d x S =??a c f (x )d x -??c b f (x )d x S =??a b f (x )d x -??a b g(x )d x =??a b [f (x )-g(x )]d x 2.(1)??a b kf (x )d x =k ??a b f (x )d x (k 为常数);
(2)??a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =??a b f 1(x )d x ±??a b f 2(x )d x ; (3)??a b f (x )d x =??a c f (x ) d x +??c b f (x )d x (其中a §1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有
()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差
定积分与微积分基本定理1
第23练 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.(2016·安徽示范高中联考)??1 e ? ????2x +1x d x 等于( ) A .e 2 -2 B .e -1 C .e 2 D .e +1 2.从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v =gt (g 为常数),则电视塔高为( ) A.1 2g B .g C.32 g D .2g 3.(2016·江西师大附中期末)若? ?1 2(x -a )d x =∫π 40cos 2x d x ,则a 等于( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 4.(2016·淄博一模)如图所示,曲线y =x 2 -1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( ) A .??02|x 2 -1|d x B.???? ??02(x 2 -1)d x C.??0 2(x 2 -1)d x D.??01(x 2 -1)d x +??1 2(1-x 2 )d x
5.(2016·天津蓟县期中)由直线y =x 和曲线y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.14 B.12 C .1 D .2 6.(2016·辽宁师大附中期中)定积分??0 1x (2-x )d x 的值为( ) A.π4 B. π2 C .π D .2π 7.(2016·山西四校联考)定积分??-2 2|x 2 -2x |d x 等于( ) A .5 B .6 C .7 D .8 8.若函数f (x ),g (x )满足? ?1-1f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组 正交函数.给出三组函数: ①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x +1,g (x )=x -1;③f (x )=x ,g (x )=x 2 . 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 二、填空题 9.(2016·江西高安二中段考)已知? ?a -a(sin x +3x 2 )d x =16,则正实数a 的值为________. 10.(2017·德州月考)如图,已知点A ? ?? ??0,14,点P (x 0,y 0)(x 0>0)在曲线y =x 2 上,若阴影 部分面积与△OAP 面积相等,则x 0=________. 11.设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10,已知F (x )=x 2 +1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位:m ;力的单位:N). 12.(2016·洛阳统考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小的数,设f (x )=min{x 2 ,x },那么由函数y =f (x )的图象、x 轴、直线x =1 2和直线x =4所围成的封闭图形的面积为 ________.
定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义 河南省卢氏县第一高级中学山永峰 考 什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. [归纳·知识整合] 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x
微积分基本定理
微积分基本定理(教案)(总4 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除
微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积 分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-??
3.4 定积分与微积分基本定理
3.4 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.与定积分∫d x 相等的是( ). 3π 01-cos x A.∫sin d x B.∫d x 23π 0x 2 23π0|sin x 2|C. D .以上结论都不对 |2∫3π0sin x 2 d x |2. 已知f (x )为偶函数,且f(x)d x =8,则f(x)d x =( ) 6∫0?-66A .0 B .4 C .8 D .16 3.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( ). A. m B. m C. m D. m 1603803403203 4.一物体以v =9.8t +6.5(单位:m /s )的速度自由下落,则下落后第二个4 s 内经过的路程是( ) A .260 m B .258 m C .259 m D .261.2 m 5.由曲线y =,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为 x ( ). A. B .4 C. D .6 1031636.已知a =2,n ∈N *,b =x 2d x ,则a ,b 的大小关系是( ). n ∑i =11n (i n )1∫0 A .a >b B .a =b C .a 数学:1.6 微积分基本定理(教案)
1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥),则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()() S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()() b a f x dx F b F a =-?若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()() b a f x dx F b F a =-?